浙江省金华十校2023-2024学年高二上学期1月期末调研考试数学试题（含答案）

第第页浙江省金华十校2023-2024学年高二上学期1月期末调研考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线：x−2y+3=0与直线：2x+ay−2=0互相平行，则a=（）A．1 B．4 C．−4 D．−12．已知等差数列an中，a3+A．24 B．36 C．48 D．543．如果函数y=x在x=2处的导数为1，那么limA．1 B．12 C．13 4．过点P−1,2且与直线x+2y+3=0A．x−2y+5=0 B．x+2y−3=0 C．2x−y+4=0 D．2x−y=05．圆C：x2+yA．内含 B．内切 C．相交 D．外切6．已知v为直线l的方向向量，n1,n2分别为平面A．v∥n1C．n1∥n7．法国天文学家乔凡尼·多美尼卡·卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称为卡西尼卵形线（CassiniOval）小张同学受到启发，提出类似疑问，若平面内动点与两定点所成向量的数量积为定值，则动点的轨迹是什么呢？设定点M和N，动点为H，若MH⋅NH=2A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线8．已知直线l:y=kx+mk≠±1与双曲线x2−y2=1有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于Ax,0A．51−4 B．51+4 C．51−2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列导数运算正确的（）A．ex'=ex B．1x10．已知等差数列an的公差为−3，若a7>0，aA．18 B．19 C．20 D．2111．已知抛物线Γ:x2=2py的准线方程为y=−1，焦点为F，点AxA．抛物线的方程为：xB．AFC．当直线AB过焦点时，三角形OAB面积的最小值为1D．若AB=32y12．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，是一个八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，某玩具厂商制作一个这种形状棱长为6cm，重量为360A．将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为62B．将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为42C．将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为310D．将玩具放至水中，其会飘浮在水面上.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线fx=12x14．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数m=6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程），数列an满足冰雹猜想，其递推关系为：a1=m（m为正整数），an+1=1215．如图，在四面体ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点，且AEEB=AHHD=CFFB=CGGD=116．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为53,F为椭圆四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A：第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元：公司B：第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%（1）若此人选择在一家公司连续工作n年，第n年的月工资是分别为多少？（2）若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（1.051018．如图，已知圆柱下底面圆的直径AB=6，点C是下底面圆周上异于A,B的动点，圆柱的两条母线CD=BE=3．（1）求证：平面ACD⊥平面BCDE；（2）求四棱锥A−BCDE体积的最大值．19．已知以点A−1,2为圆心的圆与直线l1:x+2y−13=0相切，过点B2,3斜率为k的直线l2（1）求圆A的方程；（2）当MN=219时，求直线20．如图，已知四棱锥P−ABCD的底面是菱形，AB=2,∠BAD=60°，对角线AC,BD交于点O,PO⊥平面ABCD，平面α是过直线AB的一个平面，与棱PC,PD交于点E,F，且PE=1（1）求证：EF//CD；（2）若平面α交PO于点T，求PTPO（3）若二面角E−AB−C的大小为45°，求PO的长．21．已知正项数列an的前n项和为Sn，且（1）求数列an（2）设bn=an+42n（3）若数列cn满足c122．已知F为拋物线E:y2=2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，M为E的准线l上一点，直线MF的斜率为−1,△OFM的面积为116．已知P3,1,Q2,1，设过点P的动直线与抛物线E交于A、B（1）求拋物线E的方程；（2）当直线AB与CD的斜率均存在时，讨论直线CD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：因为两直线平行，则有1×a−−2解得a=−4，经验证此时两直线不重合.故答案为：C.【分析】根据两直线平行斜率相等，纵截距不相等，从而得到关于a的方程，进而解方程结合验证法得出实数a的值.2．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可知，S12故答案为：D.【分析】由等差数列性质和等差数列前n项和公式，从而得出S123．【答案】A【解析】【解答】解：因为函数y=x在x=2根据导数的定义可知limΔ故答案为：A.【分析】根据导数的定义和函数求极限的关系，从而得出limΔ4．【答案】C【解析】【解答】解：由题意，设直线方程为：2x−y+m=0，因为该直线过点P−1,2所以2×−1−2+m=0，解得所以，所求直线方程为：2x−y+4=0.故答案为：C.【分析】由题意，设直线方程为：2x−y+m=0，将点P−1,2代入得出m的值，从而得出过点P−1,2且与直线5．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得，圆C：x−12+y−22=r2圆D:x2+y2则两圆圆心距为5<故两圆可能内含，内切，相交，不可能外切，外离.故答案为：D.【分析】由题意可得两圆半径和圆心坐标，再由圆心距与两圆半径间关系，从而判断出两圆的位置关系.6．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可得，

v∥n1故答案为：B.【分析】由直线方向向量与平面法向量的位置关系，从而判断出直线与平面的位置关系、两平面的位置关系，则判断出各选项，进而找出正确的选项.7．【答案】B【解析】【解答】解：设MN=2c，以线段MN的中点O为平面直角坐标系原点，MN为x建立如图所示平面直角坐标系，

则M−c,0,N设Hx,y，则MH即x2+y2=2+故答案为：B.【分析】利用已知条件，建立平面直角坐标系，再根据数量积的坐标表示，从而求得点H的轨迹方程，再由圆的定义，从而得到动点H的轨迹.8．【答案】A【解析】【解答】解：由已知条件，联立y=kx+mx2−由题意得出Δ=2km2解得xM所以，过点M且与l垂直的直线方程为y=−1在该直线方程中分别令y=0,x=0，依次解得A−2mk所以xP即点P在双曲线x24−若P在右支上面，可以发现点C22,0为x24所以PC+等号成立当且仅当点P与点E重合，其中点E为线段QD与双曲线右支的焦点，若P在左支上面，如图所示：所以PC+当且仅当点P与点F重合等号成立，其中点F为线段QD与双曲线左支的焦点，综上所述，点Px,y到C22故答案为：A.【分析】利用已知条件，联立两直线方程得出交点M的坐标，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出过点M且与l垂直的直线方程，进而得出直线与x轴、y轴的交点坐标，则得出点P在双曲线x24−y24=19．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：对于A，ex对于B，1x对于C，ln2x对于D，xe故答案为：ACD.【分析】根据导数的运算法则、复合函数求导公式、基本初等函数求导公式，从而判断各选项，进而找出导数运算正确的选项.10．【答案】B,C【解析】【解答】解：由题意，得a7=a故答案为：BC.【分析】根据等差数列的通项公式，建立不等式组，从而解不等式组得出首项a1的取值范围，进而得出首项a11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：对于A，抛物线Γ:x2=2py的准线方程为y=−1，所以−p2=−1对于B，因为点Ax1,对于C，由题意可知，抛物线焦点坐标为0,1，显然过焦点的直线AB斜率存在，如图所示：不妨取直线AB的方程为y=kx+1，且x1联立抛物线方程x2=4y，得所以x1所以y1+y点O0,0到直线y=kx+1的距离为d=所以三角形OAB面积为S=12AB即三角形OAB面积的最小值为2，故C错误；对于D，显然直线AB斜率存在，不妨取直线AB的方程为y=kx+t，且x1联立抛物线方程x2=4y，得所以x1所以y1AB=因为AB=所以32解得k2+t=即t=2k2+3因为cos=y当且仅当y1=y此时t=2k2+3=3>0或t=−即cos∠AFBmin=−12故答案为：ABD.【分析】由抛物线的准线，从而列方程求出参数p，进而得出抛物线方程，即可判断选项A；由抛物线定义，即可判断选项B；设出直线AB方程，联立抛物线方程，由韦达定理求弦长，再结合点到直线距离公式得出三角形OAB的面积表达式，进一步由基本不等式求最值，即可判断选项C；设出直线AB方程，联立抛物线方程，由韦达定理求弦长，再结合已知条件得出t=2k2+3或t=−2312．【答案】A,D【解析】【解答】解：将该几何体放置在如图所示的正方体中，对于A，将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为图中正方体的棱长，由题意，该几何的棱长为AB=6cm，所以正方体的棱长为对于B，将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为该几何体外接球的半径，根据正方体和多面体的对称性知，该几何体外接球直径为正方体面对角线，

即2R=12，解得R=6，所以包装盒的半径最小为6cm对于C，将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为两平行平面EMQ与平面BCG的距离，证明求解过程如下：如图所示，不妨记正方体为A2B2C2故四边形A1D1又因为E，Q分别为A1A2，A2B2的中点，所以EQ//BG，又EQ⊄平面BCG，BG⊂平面BCG，所以EQ//平面BCG，同理EM//平面BCG，又因为EM∩EQ=E，EM，EQ⊂平面EMQ，

所以平面EMQ//平面BCG，设对角线A2C1分别交平面EMQ和平面BCG于点M因为C1C2⊥平面A2B2连接A2C2,A故A2C2⊥MQ，又C1C2所以MQ⊥平面A1A2C2C1，

又因为A2C1⊂平面A1A2C2C1，所以又因为平面EMQ//平面BCG，所以A2C1故M1N1即为平面EMQ则M1N1=A2C由题意得EA2=MA2=QA根据VE−A2解得A2M1所以M1则平面EMQ与平面BCG的距离为46，即该玩具的高度为4对于D，该几何体的体积为V=623−8×13×故答案为：AD.【分析】利用已知条件结合补体法，从而求得正方体棱长，即可判断选项A；利用对称性得出球的直径，即可判断x下B；利用已知条件求解出两平行平面的距离，即可判断选项C；先求出几何体的体积，再通过与水密度的大小比较，即可判断D，从而找出说法正确的选项.13．【答案】4【解析】【解答】解：因为fx所以f'则f'故答案为：4.【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率.14．【答案】1和8【解析】【解答】解：因为an+1=1所以a3=2aa2=2aa1=2a故答案为：1和8.【分析】根据an+1=115．【答案】1【解析】【解答】解：因为AEEB=AHHD=CFFB=CG所以AM=1故答案为：16【分析】由题意结合对应边成比例两直线平行和比例关系以及平行四边形的定义，从而得出四边形EFGH为平行四边形，再结合空间向量基本定理，从而以AB,AC,16．【答案】2,−2,【解析】【解答】解：过点F且与直线y=kx垂直的直线l为y=−1由两直线的交点Mc1+k因为点Q在椭圆C上，则1−k221+k22c2a2+4k21+k2故答案为：2,−2,1【分析】利用已知条件，求出点F关于直线y=kx的对称点Q的坐标，再代入到椭圆C的标准方程中，则由椭圆的离心率公式建立直线斜率的方程，从而解方程得出直线斜率的取值，即得出斜率k的取值构成的集合.17．【答案】（1）解：选择在公司A连续工作n年，第一年月工资3000元，

以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元，则他第n年的月工资是：3000+(n−1)×300=300n+2700（元）n∈选择在公司B连续工作n年，第一年月工资3720元，

以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%则他第n年的月工资3720×(1+0.05)n−1（元）（2）解：若此人选择在一家公司连续工作10年，

则分别为：公司A：

12×=12×3000×10+12×300×1+9×9212×3720×1+1.051因为535680>522000，故从公司B得到的报酬较多.【解析】【分析】（1）根据已知条件，再利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，从而分别求出在公司A、B第n年的月工资.（2）分别利用等差数列求和公式、等比数列求和公式，从而分别求出在公司A、公司B得到的报酬，再结合比较法判断出从公司B得到的报酬较多.（1）选择在公司A连续工作n年，第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元，则他第n年的月工资是：3000+(n−1)×300=300n+2700（元）n∈N*选择在公司B连续工作n年，第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%则他第n年的月工资3720×(1+0.05)n−1（元）（2）若此人选择在一家公司连续工作10年，则在公司A、公司B得到的报酬分别为：公司A：12×=12×3000×10+12×300×1+9公司B：12×3720×1+因为535680>522000，故从公司B得到的报酬较多.18．【答案】（1）证明：如图所示，

∵DC为圆柱的母线，∴DC⊥平面ABC，又因为AC⊆平面ABC,∴DC⊥AC①，∵AB是下底面圆的直径，∴AC⊥BC②，∵①②和BC∩DC=C,DC⊂平面BCDE，BC⊂平面BCDE，∴AC⊥平面BCDE，

又因为AC⊆平面ACD,∴平面ACD⊥平面BCDE．（2）解：在Rt△ABC中，

设AC=x,BC=y，则x2+y2=36，V=13y⋅CD⋅x=【解析】【分析】（1）根据圆柱的结构特征得出线面垂直，再由线面垂直的定义证出线线垂直，再根据圆的直径对应的圆周角为直角的性质证出线线垂直，则由线线垂直证出线面垂直，从而根据线面垂直证出面面垂直，即证出平面ACD⊥平面BCDE.（2）利用已知条件和勾股定理以及四棱锥的体积公式，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出四棱锥A−BCDE体积的最大值．（1）∵DC为圆柱的母线，∴DC⊥平面ABC，又AC⊆平面ABC,∴DC⊥AC．①∵AB是下底面圆的直径，∴AC⊥BC．②∵①②及BC∩DC=C,DC⊂平面BCDE，BC⊂平面BCDE，∴AC⊥平面BCDE，又AC⊆平面ACD,∴平面ACD⊥平面BCDE．（2）在Rt△ABC中，设AC=x,BC=y，则xV=1当且仅当x=y=32故VA−BCDE19．【答案】（1）解：设圆A的半径为r，∵圆A与直线l1∴r=−1+4−13所以，圆A的标准方程为(x+1)2（2）解：设直线l2的方程为y=kx−2+3设点Q是MN的中点，连接AQ,AM，

则AQ⊥MN，∵则AQ=由AQ=−k−2+3−2kk解得k=0或k=3所以，直线l2的方程为y=3或3x−4y+6=0【解析】【分析】（1）利用直线与圆相切，得出圆心到直线的距离等于半径，从而得出所求圆A的标准方程.（2）设点Q是MN的中点，连接AQ,AM，则AQ⊥MN，再利用勾股定理求得AQ的值，再根据圆心到直线的距离，建立关于直线斜率的方程，从而解方程得出直线的斜率，进而得出直线l2（1）设圆A的半径为r，∵圆A与直线l1∴r=−1+4−13所以圆A的方程为(x+1)2（2）设直线l2的方程为y=kx−2+3设点Q是MN的中点，连接AQ,AM，则AQ⊥MN，∵则AQ=又由AQ=−k−2+3−2kk解得k=0或k=所以直线l2的方程为y=3或3x−4y+6=020．【答案】（1）证明：因为四棱锥P−ABCD的底面是菱形，AB//CD，

又因为AB⊂平面α，CD⊄平面α，

则CD//平面α，因为平面α∩平面PCD=EF，CD⊂平面PCD，所以EF//CD.（2）解：因为E,A∈平面α，E,A∈平面PAC，得平面α∩平面PAC=AE，又因为T∈PO，PO⊂平面PAC，则T∈平面PAC，

又因为T∈平面α，则T∈AE，即A,T,E三点共线，

由PO⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则PO⊥AC，如图所示，在△PAC中，过点E作PO的垂线，垂足为G，则GE//AC，设PO=t，

由PE=14PC，得PG=14则GT=15GO=15⋅3（3）解：过点O作ON⊥AB于点N，连接TN，由PO⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，

则TO⊥AB，又因为TO∩ON=O,TO,ON⊂平面TON，则AB⊥平面TON，而TN⊂平面TON，于是TN⊥AB，则∠TNO为二面角E−AB−C的平面角，即∠TNO=45°，在菱形ABCD中，由AB=2,∠BAD=60°，得NO=32，则由（2）得TO=35PO=【解析】【分析】（1）根据菱形的结构特征得出线线平行，利用线线平行证出线面平行，再根据线面平行的性质定理证出线线平行，从而证出EF//CD.（2）利用平面的基本事实证出A,T,E三点共线，作EG⊥PO于G，再利用两直线平行对应边成比例，从而推理计算得出PTPO（3）过点O作ON⊥AB于点N，连接TN，利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而作出二面角E−AB−C的平面角，再结合菱形的结构特征和（2）中PTPO的值，从而可得PO（1）四棱锥P−ABCD的底面是菱形，AB//CD，又AB⊂平面α，CD⊄平面α，则CD//平面α，而平面α∩平面PCD=EF，CD⊂平面PCD，所以EF//CD.（2）由E,A∈平面α，E,A∈平面PAC，得平面α∩平面PAC=AE，而T∈PO，PO⊂平面PAC，于是T∈平面PAC，又T∈平面α，则T∈AE，即A,T,E三点共线，由PO⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则PO⊥AC，如图，在△PAC中，过点E作PO的垂线，垂足为G，于是GE//AC，设PO=t，由PE=14PC，得PG=14从而GT=15GO=15（3）过点O作ON⊥AB于点N，连接TN，由PO⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，则TO⊥AB，而TO∩ON=O,TO,ON⊂平面TON，则AB⊥平面TON，而TN⊂平面TON，