浙江省舟山市2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题（含答案）

第第页浙江省舟山市2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题一、单选题（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下列求导结果正确的是（）A．x3'=32x B．(2．若直线l1:a−2x+ay+4=0与A．0 B．2 C．3 D．2或33．记Sn为等差数列an的前n项和，若a3+aA．20 B．16 C．14 D．124．已知数据x1,x2,⋯,x10的平均数为a，标准差为b，中位数为cA．新数据的平均数是2a+1 B．新数据的标准差是4bC．新数据的中位数是2c+1 D．新数据的极差是2d5．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:x2a2−y2b2A．2−1 B．3 C．2+1 6．已知事件A、B，如果A与B互斥，那么PAB=p1；如果A与B相互独立，且PAA．p1=0,pC．p1=0,p7．已知P,Q为椭圆x216+y24=1上的动点，直线PQ与圆M:(x−1)A．43 B．−43 C．−8．已知数列an及其前n项和Sn,a1A．1−220243 B．1−220123二、多选题（每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．下列说法正确的是（）A．直线x−y−2=0的倾斜角为πB．直线x−y−2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2C．过点1,4的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直线方程为x−y+3=0D．过1,4、x10．同时掷红、蓝两枚质地均匀的正四面体骰子，骰子的面上标有1、2、3、4，记录骰子朝下的面上的点数，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是偶数”．则下列说法中正确的是（）A．PA=18 B．PB=11．已知等比数列an的公比为q，前n项和为SA．若q>0且q≠1，则anB．若an是递减数列，则C．任意λ∈RD．若q≠1，则存在λ∈R12．已知椭圆x24+y23=1A．AB的取值范围为2B．以AB为直径的圆与x=−4相离C．若AF1BFD．若弦AB的中垂线与长轴交于点D，则DF1三、填空题（每小题5分，共20分）13．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，这组数据的第60百分位数为．14．方程x2+y2−4y+m=015．已知数列an中，a1=1,an+1+an=116．曲线C:y2=4x0≤x≤4上动点P与M0,4、Nt,0(t<0)构成四、解答题（本题共6小题，70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知函数fx=x3+3b（1）求fx（2）求证：当x>0时，fx18．舟山某校组织全体学生参加了海洋文化知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，将数据按照50,60,（1）根据频率分布直方图，求x；（2）根据频率分布直方图，估计样本的平均成绩；（3）用分层抽样的方法在60,70，70,80这两组学生内抽取5人，再从这5人中选2人进行问卷调查，求所选的两人恰好都在19．已知直线l:y=kx+22与圆O:x2+y2（1）用k表示弦长MN，并求k的取值范围；（2）记△MNO的面积为S，求S的最大值及取最大值时k的值．20．已知单调递增的等差数列an的前n项和为Sn，且a1=2,1a5（1）求an（2）令cn=an⋅bn，数列cn的前21．拋物线y2=2px(p>0)上的Tx0,23x0>2到焦点F的距离为4，直线AB经过P2,0与抛物线相交于A、B两点，Q是直线（1）求抛物线方程；（2）求证：S△ABQ22．已知双曲线C:x2−y2=1，直线l为其中一条渐近线，A1为双曲线的右顶点，过A1作x轴的垂线，交l于点B1，再过（1）求xn（2）过Ai作双曲线的切线分别交双曲线两条渐近线于Mi,Ni

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：x3(cos4x(ln故答案为：A.【分析】由初等函数导数公式，从而找出求导结果正确的选项.2．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可知l1//l解得a=2或a=3，当a=2时，l1:y+2=0，l2当a=3时，l1:x+3y+4=0，此时两直线重合，不符合题意，所以a=2.故答案为：B.【分析】由两直线平行斜率相等得出a的值，再结合分类讨论的方法和两直线平行的条件，从而得出满足要求的实数a的值.3．【答案】D【解析】【解答】解：∵{a∴a3+a7=2∴公差d=a∴a1∴S6故答案为：D．【分析】本题考查等差数列的性质，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式.先利用等差数列的性质求得a5，再根据a5a6=354．【答案】B【解析】【解答】解：对于A，因为x1+x2+⋯+对于B，因为110i=110xi−a2对于C，不妨设x1≤x2≤⋯≤x10，所以y对于D，因为x10−x故答案为：B.【分析】由平均数公式和性质，则判断出选项A；利用标准差公式和性质，则判断出选项B；利用中位数的公式和已知条件，则判断出选项C；利用极差的定义和已知条件，则判断出选项D，进而找出命题错误的选项.5．【答案】C【解析】【解答】解：不妨设点M位于第一象限，

因为△MF1F2是等腰直角三角形，所以MF2将x=c代入双曲线方程x2a2−y所以2c=b2a，即2ac=由e>1，解得e=1+2故答案为：C.【分析】由题意可得MF2⊥F1F2且MF2=F6．【答案】C【解析】【解答】解：如果事件A与B互斥，则PAB=0，所以如果事件A与B相互独立，则事件A与B也相互独立，所以PBPA+B=P故答案为：C.【分析】根据互斥事件的定义和互斥事件求概率公式，则可求出p1的值，再根据独立事件的概率公式和对立事件求概率公式以及互斥事件求概率公式，则求出p7．【答案】A【解析】【解答】解：设Px设直线PQ:y=kx+b，且2x则x1216+y由k=y1−y因为A为直线PQ与圆M的切点，所以kAM=−由①②消去k可得x0所以x0故答案为：A.【分析】设Px1,y1,Qx2,y2,Ax0,y0，利用点差法可得8．【答案】A【解析】【解答】解：由S2n−1>0,S当n≥2时，S2n−2≤0，故当n为奇数时，有an+1−a故an+1即an+1−an−1=−则a=−=−=1−故答案为：A.【分析】由题意和Sn,an的关系式，可得a2n<0，9．【答案】A,B【解析】【解答】解：对于A，直线x−y−2=0的斜率为k=1，则直线的倾斜角为π4对于B，直线x−y−2=0交x,y轴分别于点(2,0),(0,−2)，该直线与坐标轴围成三角形面积为S=1对于C，过点1,4与原点(0,0)的直线y=4x在两坐标轴上的截距都为0，符合题意，即过点1,4且在两坐标轴上的截距之和为0的直线可以是直线y=4x，所以C错误；对于D，当x0=1,y0≠4时的直线或当y故答案为：AB.【分析】利用直线的斜率求直线的倾斜角的方法，则判断选项A；利用直线x−y−2=0交x,y轴，从而赋值得出交点坐标，再结合三角形的面积公式，则判断出选项B；利用已知条件和直线的截式方程，从而得出直线方程，则判断出选项C；利用两点式的成立条件，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：设红骰子朝下的面上的点数为m，蓝骰子朝下的面上的点数为n，样本点为m,n，则样本空间为Ω=m,nm,n∈事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，A=1,4所以PA事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，B=所以PB事件C表示“两枚骰子的点数相同”，C=1,1所以PC事件D表示“至少一枚骰子的点数是偶数”，D=所以PD故答案为：BCD.【分析】根据题意和列举法找到所有可能情况，再由古典概型求概率公式，从而判断出各选项，进而周长说法正确的选项.11．【答案】A,D【解析】【解答】解：对于A：由题意知an=a所以，当a1>00<q<1或a1<0当a1>0q>1或a1<0综上可知，若q>0且q≠1，则an对于B：若an是递减数列，则a可得a1>00<q<1对于C：因为an+λan+1=于是任意λ∈R对于D：当q≠1时，等比数列an的前n项和S假设存在λ∈R则S2S2λ2λ2λaλaλa则λ=−a此时，Sn则Sn+1所以，若q≠1，则存在λ∈R故答案为：AD.【分析】由题意得an+1−an=a1qn−1q−1，再对a1和q进行分类，则判断出首项和公比的取值范围，从而判断出数列的单调性，则可判断选项A；由数列an是递减数列，可得公比的取值范围，则可判断选项B；利用已知条件和等比数列的定义，从而讨论出使得an12．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由题意，如图所示：则F1对于A，直线l斜率不存在时，将x=−1代入x24+y2当直线l斜率存在时，设l:y=kx+1联立椭圆方程x24+显然Δ>0，x所以AB=1+因为4k2+3≥3，所以0<对于B，直线l斜率不存在时，以AB为直径的圆x+12+y直线l斜率存在时，设AB中点为C，则Cx1+则点C到直线x=−4的距离满足x1+x对于C，直线l斜率不存在时，显然不满足题意，直线l斜率存在时，若AF1BF1=2，则所以x1+2x2=−3x1+x对于D，直线l斜率不存在时，显然不满足题意，当k=0时，点D与原点重合，DF直线l斜率存在且不为0时，弦AB的中垂线方程为y−3k令y=0，得D−k24k2+3,0，故答案为：BCD.【分析】利用分类讨论的方法和联立直线与椭圆方程，再利用判别式法和韦达定理，从而由弦长公式和4k2+3≥3，从而得出AB13．【答案】7.5【解析】【解答】解：由题意60%×10=6，

所以这组数据的第60百分位数为故答案为：7.5.【分析】由百分位数的求解方法，从而得出这组数据的第60百分位数.14．【答案】m<4【解析】【解答】方程x2则−42−4m>0，得故答案为：m<4【分析】根据圆的一般方程条件D215．【答案】5059【解析】【解答】解：由题意可知，a1所以S=1+=1+1故答案为：50594048【分析】由题意，将an+1+an=16．【答案】t≤−8【解析】【解答】解：由对称性，不妨考虑P点在x轴或其上方，

设P(x0,y0因为0≤x0≤4作PQ⊥x轴于点Q，则Q(x所以S△PMN=S=−2t+2x0当0<−2t<4时，即当0<t<−8时，则当y由−t28当−t2≥4时，即当t≤−8时，则当y综上所述，t≤−8．【分析】由对称性，不妨考虑点P在x轴或其上方，则设P(x0,y0)(y0≥0)，从而得出y17．【答案】（1）解：由题意可知，f'因为在x=−1所以f'-1=3-6b+3c=0f-1所以fx（2）证明：令gxg'所以gx在区间0,4上g在区间4,+∞上g所以函数gx在0,+∞上的最小值为所以gx≥0，即证得当x>0时，【解析】【分析】（1）由f'(−1)=0和f(−1)=5，从而列方程组得出b,c的值，进而得出函数（2）设gx=fx−15x−80（1）由题f'因为在x=−所以f'-1=3-6b+3c=0所以fx（2）令gxg'所以gx在区间0,4上g在区间4,+∞上g所以gx在0,+∞上的最小值为所以gx≥0即证得当x>0时，18．【答案】（1）解：根据频率分布直方图可知：0.005+0.01+0.015+x+0.04×10=1⇒x=0.03（2）解：平均成绩为x（3）解：由题意得，60,70,70,80两组人数比例为2:3，

所以60,70组应抽取2人，

记为A,B,70,80，组应抽取3人，

记为甲，乙，丙对应的样本空间为：

Ω={A,B，(A，甲)，(A，乙)，(A，丙)，(B，甲)，(B，乙)，(B，丙)，(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)}，共10个样本点，

设事件M=“两人来于60,70”，

则M={(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)}【解析】【分析】（1）由频率分步直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积，再结合矩形的面积之和等于1，从而得出x的值.（2）由频率分布直方图求平均数的方法，从而估计出样本的平均成绩.（3）利用分层抽样的方法得出在60,70，70,80这两组学生内各抽取的人数，再结合古典概型求概率公式，从而得出所选的两人恰好都在（1）根据频率分布直方图可知0.005+0.01+0.015+x+0.04×10=1⇒x=0.03（2）平均成绩为x=（3）由题意得，60,70,70,80两组人数比例为2:3，所以60,70组应抽取2人，记为对应的样本空间为：Ω={A,B，(A，甲)，(A，乙)，(A，丙)，(B，甲)，(B，乙)，(B，丙)，(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)设事件M=“两人来于60,70”，则M={(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)}，共有3个样本点．所以PM19．【答案】（1）解：因为圆心到直线的距离d=2又因为直线l与圆O相交于不重合的M,N两点，且M,N,O三点构成三角形，所以0<22kk2+1<2，得k则MN=2所以，实数k的取值范围为−1,0∪（2）解：法一：MN所以S=12MN⋅d=1242当且仅当2k所以S△MNO的最大值为2，取得最大值时k=±法二：设k2+1=tt≥1则S所以，当1t=34时，即当t=4所以S△MNO的最大值为2，取得最大值时k=±法三：因为S△MNO当且仅当sin∠MON=1时取到等号，此时d=【解析】【分析】（1）由题意和点到直线的距离公式，从而得出实数k的取值范围，再利用勾股定理得出圆的弦长.（2）利用两种方法求解.

法一：由圆的弦长公式和三角形面积公式，从而用k表示出三角形△MNO的面积S，再结合均值不等式求最值的方法得出S△MNO的最大值及最大值时k的值.

法二：设k2+1=tt≥1，则k2=t−1，再利用三角形的面积公式和二次函数的图象求最值的方法，从而得出S△MNO的最大值及最大值时k（1）圆心到直线的距离d=2因为直线l与圆O相交于不重合的M,N两点，且M,N,O三点构成三角形，所以0<22kk2+1<2MN所以k的取值范围为−1,0（2）法一：MN所以S=12MN⋅d=4当且仅当2k所以S△MNO的最大值为2，取得最大值时法二：设k2+1=tt≥1所以S所以当1t=34，即t=所以S△MNO的最大值为2，取得最大值时法三：S△MNO当且仅当sin∠MON=1时取到等号，此时d=20．【答案】（1）解：设递增等差数列an的公差为d(d>0)由1a5是1S2与1S5的等差中项，得则4+d+10+10d化简得12d2−11d−26=0，即d−212d+13=0，

又因为d>0（2）解：因为an则Mn于是得2M两式相减得：−=2因此Mn=n−1⋅2所以，不等式λM等价于λn⋅2n+2≥8n2令cn=2n−11则n≤6时，cn+1−c当n≥7时，cn+1−c所以当n=7时，cnmax=3128，则λ≥3128【解析】【分析】（1）根据等差中项的公式、等差数列前n项和公式，从而列出关于公差d的方程，结合公差的取值范围，从而求解得出公差的值，再利用等差数列的通项公式得出数列an（2）由数列an和数列bn的通项公式cn的通项公式，结合错位相减的方法得出数列cn的前n项和Mn，再由等差数列前n项和公式得出等差数列an的前n项和Sn，则不等式λMn（1）设递增等差数列an的公差为d(d>0)由1a5是1S2与1S则有4+d+10+10d化简得12d2−11d−26=0，即d−2解得d=2，则an（2）an则Mn于是得2M两式相减得：−=2因此Mn=n−1所以不等式λM等价于λn⋅2n+2≥8n2令cn=2n−11则n≤6时，cn+1−c当n≥7时，cn+1−c所以当n=7时，cnmax=3128，则λ≥21．【答案】（1）解：由题可得x0+p所以y2（2）证明：设直线AB方程为：x=my+2,Ax

联立y2=4x则y1所以S△ABQ直线AQ:y=y1x1+2所以S=2⋅4所以S△ABQ【解析】【分析】（1）由焦半径公式和点代入法，从而列方程组求出p的值，进而得出抛物线的标准方程.（2）设直线AB方程为：x=my+2,Ax1,y1、Bx2,y2（1）由题可得