2025年1月黑龙江省普通高中学业水平合格性考试数学试卷（含答案及解析）

2025年1月黑龙江省普通高中学业水平合格性考试数学考生须知1.考生要认真填写考场号和座位号.2.本试卷共6页，分为两部分，第一部分选择题24小题(共72分)；第二部分非选择题6小题(共28分).满分100分.考试时间60分钟.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.第一部分必须用2B铅笔填涂，第二部分必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.5.考试结束后，考生将试卷和答题卡按要求放在桌面上，待监考员收回.第一部分(选择题共72分)一、选择题：本题共24小题，每小题3分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知A={2,4,0},B={1,3,4,5},则A∩B={4}(C)A.{1,2,3,4} B.{2,4,5} C.{4} D.{1,2,3,4,5}2.在复数集中，i为虚数单位，则i²=()A.-1 B.0 C.2 D.33.如图所示,在△ABC中,AB+BC=A.BC B.AC C.AB D.4.已知函数fx=1x+1,A.1 B.12 C.13 D.5.已知a>0,则aA.a⁶ B.a的立方根 C.a² D.a6.已知某医院一天参加体检的100人中，老年人有40人，中年人有60人，采用分层随机试卷第1页，共5页抽样的方法，要从这100人中抽出一个容量为10的样本，如果在各层中按比例分配样本，则老年人被抽到的人数是A.4 B.3 C.2 D.17.已知sinα=12,则sin(A.32 B.12 8.已知向量a=13,向量A.20 B.17 C.8 D.09.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一枚正面朝上，一枚反面朝上”的概率是1/2(C.1/2)。A.0 B.15 C.12 D10.如图所示,在长方体ABCD-A'B'C'D'的所有棱中,与平面ABCD垂直的棱有()条.A.1 B.2 C.3 D.411.已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则π/4是第一(A.一)象限角A.一 B.二 C.三 D.四12.已知x∈R,则'"x=2"是‘“x²>1”的()A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件13.A.4 B.3 C.1 D.014.王老师对本班50名学生报名参与课外兴趣小组(每位学生限报一个项目)的情况进行了统计，列出如下的统计表，则本班报名参加数学小组的人数是()组别数学小组写作小组体育小组音乐小组科技小组试卷第2页，共5页频率0.20.10.30.10.3A.11人 B.10人 C.9人 D.5人15.祖暅是南北朝时期的伟大科学家，在数学上做出了突出的贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了“祖暅原理”，即“幂势既同，则积不容异”.利用祖暅原理可以获得球的体积公式为V=43πR3.已知一个球的半径A.2 B.4 C.43 16.已知命题p:∀x∈R,x2+1>0:命题(q:∃x∈R,xA.命题p是真命题，命题q是真命题B.命题p是假命题，命题q是假命题C.命题p是真命题，命题q是假命题D.命题p是假命题，命题q是真命题17.如图所示，该图像对应的函数解析式是A.y=x-1 B.yC.y=x218.已知sinα=12,cA.0 B.33 C.1 D.19.已知向量 AB=01,则向量A.-1 B.0 C.12 D.20.如果直线l与平面α没有公共点，那么直线l与平面α的位置关系是A.平行 B.垂直 C.相交 D.直线在平面内21.下列函数为奇函数的是()试卷第3页，共5页A.y=x+2 B.y=cosxC.y=sinx D.y=22.若a>b>0,c∈R,则()A.ac>bc B.C.a-c<b-c D.a+c>b+c23.如图所示,函数y=f(x)(x∈[-4,4])的单调递减区间为A.[-4,4] B.[-4,-3]和[1,4] C.[-3,1] D.[-3,4]24.某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y与售出商品的数量x的关系，则可选用。A.一次函数 B.二次函数C.指数型函数 D.对数型函数第二部分(非选择题共28分)二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分.25.已知函数f(x)=2x-1,则函数y=f(x)的零点个数为。26.集合A=x∈Z∣x2≤4,若a∈A，则a27.已知A52-4,B128.三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，其长度分别为1，13，则这个三棱锥的体积是。三、解答题：本题共2小题，每小题8分，共16分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.29.黑龙江省某中学为了掌握该校学生对2025年“亚冬会”的了解程度，现从该校高一年级学生中采用不放回简单随机抽样的方法抽取30人，参加学校组织的“亚冬会”知识竞赛.试卷第4页，共5页(1)高一年级学生知识竞赛成绩统计如下：成绩[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数591132通过以上数据，试估计高一年级参加知识竞赛的30名学生的平均成绩；(2)在上述成绩样本中，从知识竞赛成绩位于[80，100]的学生中不放回地随机抽取2人，求所抽取的2人成组均在[90，100]之间的概率.30.已知函数f(1)求函数f(x)的最小值:(2)求使f(x)≥0成立的x的取值集合。试卷第5页，共5页答案解析1.C【分析】利用交集的性质求解即可.【详解】因为A={2,4,0},B={1,3,4,5},所以A∩B={4}.故选：C2.A【分析】利用复数的运算性质求解即可.【详解】由复数运算性质得i2=-1,故故选：A3.B【分析】利用平面向量加法法则求解即可.【详解】由平面向量加法法则得AB+BC=故选：B4.D【分析】将x=3直接代入解析式即可.【详解】因为函数fx=1故选：D5.D【分析】由幂的运算性质可得答案.【详解】a故选：D6.A【分析】根据分层抽样的概念求解即可.【详解】因为参加体检的100人中，老年人有40人，中年人有60人，所以按分层抽样，老年人被抽到的人数是10×40故选：A7.B【分析】根据诱导公式计算即可.【详解】因为sinα=12答案第1页，共7页故选:B.8.B【分析】利用向量数量积的坐标表示直接求解即可.【详解】因为向量a=13所以⋅故选：B9.C【分析】利用古典概型的概率公式计算求解即可.【详解】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现的所有可能为“正正”，“正反”，“反正”，“反反”,所以出现“一枚正面朝上，一枚反面朝上”的概率P=故选：C10.D【分析】利用长方体的结构特征直接判断得解.【详解】在长方体ABCD-A'B'C'D'中,与平面ABCD垂直的棱有AA',BB',CC',DD',共4条.故选：D11.A【分析】利用象限角的概念可得出结论.【详解】因为0<π4<故选:A.12.B【分析】解不等式.x2【详解】解不等式.x2>1可得x<-1或x>因为{2}{x|x<-1或x>1},因此,“x=2”是‘“x故选:B.13.C【分析】利用对数的运算性质计算求解即可.答案第2页，共7页【详解】由对数的运算性质可得log故选：C14.B【分析】将本班人数乘以参加数学小组的频率，即可得解.【详解】参加数学小组的频率为0.2，所以本班报名参加数学小组的人数是50×0.2=10，故选：B15.D【分析】利用球的体积公式，将半径R=2，直接代入求解即可.【详解】由题意球的体积公式为V=43πR3,则半径故选：D16.C【分析】根据全称命题与特称命题的定判断两命题的真假即可.【详解】因为∀x∈R,x2+1≥1>0,因为x≥0,所以不存在x∈R,x<0,所以命题q故选:C.17.A【分析】根据函数图象判断函数的性质，再结合幂函数的性质判断即可.【详解】由函数图象可知，该函数的定义域为{x|x≠0}，函数图象关于原点对称，故为奇函数，且函数在(0，+∞)，(-∞，0)上单调递减，故符合题意的只有A.函数y=x、y=x³在定义域R上单调递增，不符合题意；函数y=x故选：A18.B【分析】利用同角三角函数关系求解即可.答案第3页，共7页【详解】因为sin所以t故选：B19.D【分析】由模长公式即可求解.【详解】∣故选：D20.A【分析】根据空间线面位置关系可得出结论.【详解】如果直线l与平面α没有公共点，则l//α，故选:A.21.C【分析】根据奇函数的定义求解即可.【详解】选项A:令f(x)=x+2,则f(-x)=-x+2≠-f(x),所以y=x+2不是奇函数;选项B:令f(x)=cosx,则f(-x)=cos(-x)=cosx≠-f(x),所以y=cosx不是奇函数;选项C:令f(x)=sinx,则f(-x)=sin(-x)=-sinx=-f(x),,且定义域为R,所以y=sinx是奇函数;选项D：令.f(x)=x²,则f-x=-x2故选：C22.D【分析】根据不等式的性质逐项判断即可.【详解】因为a>b>0,c∈R,则当c≤0时,ac≤bc,A说法错误;因为a>b>0,所以1a<因为a>b>0,c∈R,所以a±c>b±c,C说法错误,D说法正确;故选：D23.B【分析】根据函数图象判断单调区间即可.答案第4页，共7页【详解】由函数图像可知函数y=f(x)(x∈[-4,4])在[-4,-3]和[1,4]上单调递减,在[-3,1]上单调递增，故选：B24.D【分析】细读题目，可知初期增长迅速，后来增长越来越慢，只有对数函数最符合题意.【详解】由题目信息可得：初期增长迅速，后来增长越来越慢，故可用对数型函数模型来反映y与x的关系.故选:D.【点睛】本题考查函数模型的选择与应用，考查逻辑思维能力，考查学生对实际问题的分析和解决能力，属于常考题.25.1【分析】利用零点存在性定理求解即可.【详解】因为函数f(x)=2x-1在R上单调递增且连续，且f(0)=-1<0,f(1)=1>0,所以函数y=f(x)有1个零点，故答案为：126.-2【分析】计算集合再求出参数的值.【详解】A=x∈Z∣x2≤4若a∈A,满足a2≤4,-2≤a≤2,所以a可以是-2,-1,0,故答案为：-2.(答案不唯一)27.【分析】利用中点坐标公式计算即可.【详解】因为A所以线段AB的中点坐标为5答案第5页，共7页故答案为：328.【分析】根据三条侧棱两两垂直的关系，利用线面垂直的判定定理可得一条侧棱是相对应侧面上的高，进而得到底面面积和三棱锥的高，由三棱锥体积公式可求得结果.【详解】不妨设PA=1,PB=1,PC=3且PA,PB,PC两两互相垂直,∴又PC⊥PA,PC⊥PB,PA,PB⊂平面PAB,PA∩PB=P,∴PC⊥故答案为：329.(1)71(2)1【分析】(1)利用频率分布直方图中平均数估计值的计算公式，可得答案；(2)利用古典概型的概率公式以及列举法，可得答案.【详解】1估计高一年级参加知识竞赛的30名学生的平均成绩为71.(2)由(1)可知竞赛成绩位于[80,100]共有5人,位于[80,90]有3人,记为x,y,z,位于[90,100]有2人,记为a,b,所抽取的2人成组均在[90，100]之间的情况为{a，b}，情况数为1；在5人中抽取2的情况有{x,y},{x,z},{x,a},{x,b},{y,z},{y,a},{y,b},{z,a}