概率 与统计-2025届高中数学一轮复习特训（含解析）

概率与统计--2。25届高中数学一轮复习特训

一、选择题

1.某校团委对“学生性别和喜欢某视频APP是否有关”做了一次调查，其中被调查的女生人数是男生

人数的一半，男生喜欢该视频APP的人数占男生人数的,，女生喜欢该视频APP的人数占女生人数

6

的2,若依据小概率值a=0050的独立性检验，认为喜欢该视频APP和性别有关，则男生至少有

3

（）

_n(acl-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(」+d)

A.12人B.6人C.10人D.18人

2.已知变量x和y的统计数据如表：

X12345

y66788

根据上表可得回归直线方程），=0.6x+6/，据此可以预测当％=8时，）'=（）

A.8.5B.9C.9.5D.I0

3.如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，

小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，

每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.记格子从左到右的编号分别

为0,I,2,…，1（）,用X表示小球最后落入格子的号码，若P（X=A）«P（X=%）,则心=（）

C.6D.7

4.设10WX[＜居＜阳＜%W104，随机变量。取值*，工2，工3，X4的概率均为上，随机变量^2取值

4

的概率也均为;，若记。信），。心）分别是

X1+x2+x3W+七+工4工3+5+X[X4+X]+x2

3333

的方差，则（）

A.O侑）,力体）B.O信）=。值）

C.£＞（《）＜0（$）D.与的大小不确定

5.为了研究某公司工作人员人数x（单位:名）和月销售量），（单位:万元）的关系，从该公司随机抽取

10名工作人员，根据测最数据的散点图可以看出），与X之间有线性相关关系，设其回归直线方程为

1010

y-晟+々•已知=320,£»=240（）,2=5•若该公司工作人员为25名，据此估计其月销售量为

/=1i=l

()

A.195B.200C.205D.210

6.已知随机变量X的分布列为

X51015

p1+55P2-2p

PP_

666

贝1」〃=()

A.lB.-1JD，或」

3323

7.为了研究某公司工作人员人数x（单位:名）和月销售量），（单位:万元）的关系，从该公司随机抽取

10名工作人员，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为

1010

)，=菽+。•已知£>,=320,£>=2400£=5•若该公司工作人员为25名，据此估计其月销售量为

/=11=1

()

A.195B.200C.205D.210

8.已知随机变量X〜3(小〃)，若O(2X)=2E(X)，则〃=()

A-B.lC.lD.1

16842

二、多项选择题

9.若随机变量X〜N(O,22)1〜%(0,32〉则()

A.p(x<o)=0.5B.p(x<-2)=P(X>2)

C.P(X<-2)=P(y>2)D.P(X<-2)<P(y>2)

10.变量心，之间的相关数据如下表所示，其经验回归直线),=%+〃经过点(10,团),且相对于点

(11,5)的残差为。2则()

X99.51010.5II

y1110m65

A."2=8B.5=.2.8C.〃=36D.残差和为°

11.甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球(两箱中的球除颜色外，

没有其他区别),先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件4和A2表示从甲箱中取出

的球是红球和白球;再从乙箱中随机取出两球,用事件3表示从乙箱中取出的两球都是红

球，则()

311Q2

A.p(A)=mB.P(8)=而C.P(B\A])=-D,P(A2\B)=—

三、填空题

12.某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均为05

并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为.

13.某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对

每道题的概率均为2,且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对〃?

3

道试题的概率为/(〃。，则当〃，=时,/(〃?)取得最大值.

没有售出则每个球将损失6元，且每个球被售出的概率等于排球的合格率.求小李到该市

场批发2个排球进行销售获得的纯利润的数学期望.

18.有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据,如下表所示.

平均气温/℃-3-4-5-6-7

销售额/万元2023273050

⑴根据以上数据，用最小二乘法求出回归方程y=认+4；

⑵预测平均气温为一9℃时，该商品的销售额为多少万元.

〃.__

Z（X,-可（K-了）ZX-"X>

b=J--------;—----------,a=y-bx

9（4-可2少;7二

1=11=1

19.零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高.某企业为了提高零件产

品质量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计整理，得到数据如下表：

零件直径（单位：厘米）[1.0,1.2)[1.2,1.4)[1.4,1.6)[1.6J.8)[1.8,2,0]

零件个数1025302510

已知零件的育杼可视为服从F态分布N（4,b2）.〃,分别为这1。。个零件的直径的平均数及方

差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）.

⑴分别求"，4的值；

⑵试估计这批零件直径在［1.0441.728］的概率；

⑶随机抽查2000个零件，估计在这2000个零件中，零件的直径在［1.044,1.728］的个数.

参考数据：70.052«0.228;若随机变量J〜N（4，/），则尸（〃一。4彳■卜0.6827，

P（//-2cr<^<//+2（7）«0.9545，P（〃-3bMi/+3o■卜0.9973.

参考答案

1.答案：A

解析：设被调查的男生人数为x,则被调查的女生人数为土，则2x2列联表为

2

付某视频APP的态度合

性别

喜欢不喜欢计

X5x

男生X

6T

XXX

女生

362

X3x

合计X

2T

根据小概率值a=().()5()的独立性检验，

认为喜欢某视频APP和性别有关，则/之3.841，

3x(xx5xxY

即/二216,63)=技>3.841=“’

X-----X

22

则3.841x8^10243,

3

又土，土，三均为整数，

236

所以男生至少有12人.

故选：A.

2.答案；D

Ayxr-年日方答—1+2+3+4+5方—6+6+74-8+8_

解析：依题意,％=--------------=3>y=--------------=7，

55

即样本的中心点为(3,7),于是7=0.6乂3+。，解得〃=5.2，即旷=0.6工+5.2,

当工=8时，预测)，=0.6X8+5.2=10.

故选：D.

3.答案：B

解析：母下落一层向左或向右落下等可能，概率均为

2

每一层均要乘以工，共做10次选择，

2

故X服从二项分布，X〜

又£（X）=10xg=5,

令P（X=h）最大,

P（X=Z0）"（X=Z°T）

P（X=3"（X=K+1）

911

解得三工攵0工卫，又因为OKAKIO，keZ,所以4=5,

22

所以P（X=A）KP（X=5）,攵=0,1,2,3,・•・/（），

P（X=k）SP（X=k°）,且%=5.

故选：B.

4.答案；A

解析：石信）二%%,

。（。）=；［（』-£（。））2+（石-£（。））2+（七-七（。））2+（%4-E（。））2

+x；+芍+X：）-2（耳+&+七+%）石（。）+4七2侑）］

VX]+工2+工3+工2+13++43+14+再+几+&+戈2

F（4）_1二/十%;七十%二E（0J.

3333

£（。广

=；（*+»信）卜广+广一£*+广+产_£*+广+产

/

/x、2/、2/\2/、2、

=-卜+々+为3[+仔+1+仆+'3+1+*[+—+*[_2（百+/+冬+3%）+4炉信

43/3V3/<3/

所以只需比较X；+X；+X；+Xj与

2

%+/+X3士上工土上j的大小,

।为十七十七1+当+乙+%+

亍I33

因为（占+刍+/丫

+x；+%；+2X1X2+2再占+2央3)

I3）

、2\2\2

（3+3

所以々+工）十士+玉+^+刍+看+%工4+玉+W|

+

3J

XX

3(x：+x；+x；+x：)+212%看+2%X3+223+2x2x4+2x3x4+2X1X4)J»®

因为104$</<再<ZV1°4，

所以

AJXXJV

2X2<入：十x；，2xlxi<X：+x；,223vx；+x；,2x2x4<x；十：，2x3x4vx：十x；，2x1x4<x：十

所以①3（X；+X；+X；+W）+6（X；+JV；+毛2+%0\)=((石0+石9+石)+毛9卜\

所以。⑹＞。（$）,

故选:A.

5.答案：C

1><»_1io

解析：根据题意，计算x=-2七=32,y=」»=240,$=5；

1°1=11°<=1

/.a=y-bx=240-5x32=80,

/.y=5x+80'

当x=25时，可得y=5x25+80=205,

所以估计其月销售量约为205.

故选:C.

6.答案：C

解析：由分布列的性质，得加+5+5p2-27+工=]，即(2〃_1)(3〃+1)=0,解得〃=，或〃=_!，

66623

当〃二一工时,K<o，不符合分布列的性质，所以〃=,.

362

故选：C.

7.答案：C

1_1io

解析：根据题意，计算x=—?苍=32»y=—'J,.=240,$=5；

/.a=y-bx=240-5x32=80,

/.y=5x+80'

当x=25时，可得y=5x25+80=205，

所以估计其月销售量约为205.

故选:C.

8.答案：D

解析：依题意X满足二项分布，且£>（2X）=2E（X），

即4D（X）=2E（X），2D（X）=E（X），

即2〃p（l-解得〃=（〃=0舍去）.

故选：D

9.答案：ABD

解析：随机变量X〜N（0,22）,Y〜N（O,32）,由正态分布的性质得：

对于A,B,p（x<o）=o.5.p（x<-2）=P（X>2）,A,B正确；

对于C,D,p（-2<X<2）=P（-3<Y<3>则P（X<-2）=P（y>3）<P（y>2）,C错误,D正确.

故选：ABD.

10.答案：AD

解析：因为经验回归直线）,=嬴+。经过点

所以m-10b+ci*5/w=11+10+加+6+5，

因为相对于点（11,5）的残差为0.2,

所以5-（1伪+〃）=0.2,

所以6=8，3=-32,〃=40A正确,B错误,C错误,

所以），=_3.2X+40，

当r=9时,y=—3.2x9+40=11.2，

当x=9.5时,y=—3.2x9.5+40=9.6，

当x=10时，），=—3.2x10+40=8，

当x=10.5时，y=—3.2x10.5+40=6.4，

当x=11时，y=—3.2x11+40=4.8，

所以残差和为11—11.2+10—9.6+8—8+6—64+5—4.8=0，D正确.

故选：AD.

11.答案：ABD

解析：尸(4)=3/对,?(历=3乂与+2入V=1,13对.

、55C；5C；50

P（8IA）=^^=^^二上C错.

1P（AJ310

5

2C；

—X——

P(A,⑶=3=空=2刀对.

■P(B)H11

50

12.答案：A

16

解析：某人参加考试4道题目中，答对的题目数X满足二项分布X~,

所以尸（X23）=尸（X=3）+P（X=4）=C：（口+5

V2；16

故答案为：9

16

13.答案：13或14

解析:由题意得〃小c唱"“一旷心腔孙且2,则黑m

(O、"？(o\20-m

即.

JroM,Xx

[20!x2^20!_xl

射w!(20-/n)!3(/??-1|!(21-w)!3

1

20!X-->20!2

3--------------------------X-

/??!(20-???)!(6+1)!(19-3

又m£N，所以加=13或m=14,故当=13或〃?=14时，/（⑼取得最大值.

14.答案：0.14

解析：由题可得P（X>2）=0.5,因此P（X>2.5）=P（X>2）-P（2vXK2.5）

=0.5-0.36=0.14.

15.答案：(1)y=22x-1040

（2）原材料投入为100万元时，预计该产品的利润为1160万元.

解析：3）设利润y（万元）关于原材料投入x（万元）的线性回归方程为5,二八+育,

由已知元=学82+84+85+86+88)=85,

y=1(770+800+830+850+900)=830，

^(x/-x)(x-y)=(-3)x(-60)+(-l)x(-30)+0+1x20+3x70=440.

1=1

£（玉-,2=9+1+0+1+9=20，

1=1'

人力"hT

所以力二E±（_）2-=22，a=y-bx=830-22x85=-1040*

1=1

所以利涧y（万元）关于原材料投入x（万元）的线性回归方程为$，=22%一1040：

（2）由（1）当工=100时，y=22xl00-1040=1160，

所以当原材料投入为100万元时，预计该产品的利润为1160万元.

16.答案：（1J

2

解析：（1）设每一轮罚球中，甲队球员罚进点球的事件为人，未罚进点球的事件为乙队球员罚进点

球的事件为从未罚进点球的事件为后.

设每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的事件为C,由题意，得在每一轮罚球中两队打成平局的情况

有两种:甲、乙均未罚进点球，或甲、乙均罚进点球，

£

则P（C）=PO）xP⑻+尸（A）xP⑹一

2

故每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率为工.

2

⑵因为甲队第5个球员需出场罚球，则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分，即四轮罚球结束

时比分可能为2:1或2:2或3:2.

①比分为2:1的概率为

P（孙P⑻P（孙P⑻+P（孙尸（孙P（孙尸⑻

②比分为2:2的概率为可可/（3）/（可/（3）=（1-,卜2、（1・1卜2=1.

\2）3\2J39

③比分为3:2的概率为.（A）•P（8）•川孙P（8）+P（孙P（8）•尸⑷•尸（8）

12J2c2

=-x-x1--x-x2=-.

23139

II?4

综上，甲队笫5个球员需出场罚球的概率为2+已+±=2.

9999

17.答案：（1）94.4%；

（2）16.69

解析：（1）设A,8,。分别表示购买的排球来自甲厂、乙厂、丙厂，。表示购买的排球是

合格品，则尸（A）=40%,P（B）=P（C）=30%,P（Q|A）=95%,P（D|B）=92%,

P（D|C）=96%

所以P（D）=P（A）.P（£）|A）+P（5）.P（D|3）+，（C）.P（0C）.

=40%x95%+30%x92%+30%x96%=94.4%.

⑵设小李到该市场批发2个排球进行销售获得的纯利润为X元，

依题意可得X的可能取值为10+8,10-6,-5+8,-5-6,即18,4,3,-11.

F(X=18)=0.95x0.96=0.912,

P(X=4)=0.95x(l-0.96)=0.038,

p(X=3)=(l-0.95)x0.96=0.048,

P(X=-11)=(1-0.95)X(1-0.96)=0.002.

所以E(X)=18x0.912+4x0.038+3x0.048+(—11)x0.002=16.69,

故小李到该市场批发2个排球进行销售获得的纯利润的数学期望为16.69元.

18.答案：⑴$,=-6.7x—3.5

(2)56.8万元

解析：(1)由表中数据可知，元=:乂(一3-4一5-6-7)=-5,

了」x(20+23+27+30+50)=30,

5

工