概率论与数理统计期末总结

第1章概率论的根本概念

1.1随机试验

称满足以下三个条件的试验为随机试验：

(1)在相同条件下可以重复进行；

(2)每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果；

(3)进行试验之前，不能确定哪个结果出现。

1.2样本点样本空间随机事件

随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为根本领件。

样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试脸中必然

发生。

>随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本空间往往

是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。

样本空间的子集称为随机事件，简称事件。

在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。

1.3事件的关系及运算

(1)包含关系Au3,即事件A发生，导致事件B发生；

(2)相等关系A=Bf即AuB且BuA；

(3)和事件(也叫并事件)

C=AuB,即事件A与事件B至少有一个发生；

(4)积事件(也叫交事件)

C=AB=Ar>Bf即事件A与事件B同时发生；

(5)差事件

C=A-B=A-AB,即事件A发生，同时，事件B不发生；

(6)互斥事件(也叫互不相容事件)

A、B满足即事件A与事件B不同时发生；

(7)对立事件(也叫逆事件)

/=C-A,即入N=QAA=(t).

1.4事件的运算律

(1)交换律=AB=BA；

[2)结合律AD(3UC)=(AD3)DC,A(BC)=(AB)C；

(3)分配律A(8DC)=(AB)U(AC),AU(BC)=(AVBXAUC)；

14)基等律A<JA=A,AA=A；

(5)差化积A-B=A-AB=AB；

(6)反演律(也叫德•摩根律)A^jB=~Arx~B=~AByAnB=^B=A<jBo

1.5概率的公理化定义

设E是随机试验，。为样本空间，对于。中的每一个事件A,赋予一个实数P(A),称之为

A的概率，P(A)满足：

(1)0<P(A)<1；

(2)P(Q)=1；

(3)假设事件A，4,…，4,…两两互不相容，那么有

MAD&u…=A〜…)=P(A)+a4)+…+p(A“)+…。

1.6概率的性质

(1)P(0)=O；

(2)假设事件A，4,…，4两两不互相容，那么

尸(aDA25・DA〃)=P(A)+P(&)+--+P(A”)；

(3)P(a=l—尸(A)；

(4)P(B-A)=P(B)-P(AB)O

特别地，假设Au8,那么P(8—A)=P(3)—P(4),P(A)<P(B)；

(5)P(5u3)=P(A)+P(3)-尸(AB)。

1.7古典概型古典概率

设随机试验E满足：

(1)E的样本空间。只有有限个样本点；

(2)每个样本点的发生是等可能的，

邦么称此试验为古典概型或等可能概型。

士曲*n八_A所包含的样本点数

古典概率()一样本空间C中所包含的样本点总数°

1.8事件的独立性伯努利概型

假设P(AB)=P(A)P(B),那么称事件A与事件B相互独立。

P(4B)=P(A)P(5)

假设IO?"??]?,那么称事件A、B、C相互独立。假设前三式成立,那么称事

P(AC)=P(A)P(C)

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

件A、B、C两两相互独立。

假设事件A与事件B相互独立，那么A与反入与8,入与否也相互独立。

设随机试验E满足：

11)在相同条件下可重复进行〃次；

(2)每次试验只有两个可能结果，A发生或A不发生，且每次A发生的概率相同；

(3)每次试验是相互独立的，

用么称这种试验为伯努利概型，或称为〃重伯努利试验。

〃重伯努利试验中A发生2次的概率为2(攵)=C：pl"(k=0J,2，…,〃；p+q=l),其中

尸(A)=po

L9条件概率乘法公式全概率公式贝叶斯公式

(1)条件概率P(B|A)=4皿，P(A)>0；

尸(A)

(2)乘法公式P(AB)=P(B|A)P(A),P(A)>0；

(3)全概率公式P(A)=AH忸)尸(玛)+耳闻坊"(32)+…+网4|纥"(纥)，其中

P(B)>0(i=l,2「.,〃)，4,当，…，瓦,是Q的一个分割；

14)贝叶斯公式尸(同4)=总毁2=上幽竺虹㈠=1,"•,〃)

{}ZP(姻)P田)

第2章随机变量及其分布

2.1随机变量分布函数

随机变量X是样本点的实值函数，定义域为样本空间，值域为实数。

分布函数为尸(x)=P(XWx),其中工为任意实数。

2.2分布函数的性质

(1)0<F(x)<1,且lim尸(x)=0,limF(x)=1；

12)尸(%)单调不减，即假设Re%，那么尸(王)工尸(工2)；

(3)F(x)右连续，即尸(x+0)=尸(%)。

2.3离散型随机变量

离散型随机变量X的分布律为P(X=x,)=pk(k=1,2,3,…)o也可以用表格表示

X•・•%•••

PiPi•.•Pn•・•

P(X=xk)

也可以用矩阵表示，即

分布律的性质

(1)/?,>0(攵=1,2,3,…)；

12)£p*=1。

*=i

2.4几种常见的离散型随机变量的分布

(1)(0-1)分布(也叫两点分布)X〜3(1,p)的分布律为

kxk

P(X=k)=p(\-p)-(^=0,1),其中0<〃<1为参数。

12)二项分布X〜仇〃,p)的分布律为

P(X=k)=C>A(1-p)n~k(A=0,12,­..,«),其中0<〃<l为参数。

(3)泊松分布X-或'~乃(几)的分布律为

外

P(X=k)=—e~A(k=0,12,…)，其中2>0为参数。

k\

2.5连续型随机变量

连续型随机变量X的分布函数为F(x)=P(X<x)=£,其中/(x)20且/(元)可积,

/(x)称为X的概率密度。

/(无)的性质:

⑴/(X)>0；

(2)「/(X)公=1；

(3)P(a<X</?)=Jf(x)dx=F(b)-F(a)；

(4)P(X=〃)=0(a为常数)；

(5)当/(%)在点1处连续时,/(x)=F\x)o

2.6几种常见的连续型随机变量的分布

(1)均匀分布X〜U(a,b)

1,

-------a<x<b

X的概率密度fM=«b-ch

、0其他

0,x<a

x-a.

X的分布函数尸(幻=<------,a<x<b

b—a

1,x>b

(2)指数分布X〜E(A)

双已"°,其中义>0为常数。

X的概率密度fM=«

0,x<0

"-，>()

X的分布函数F(x)=<

0,x<0

(3)正态分布X〜N(〃,/)

[(A。)2

X的概率密度fM=-----e2b2(—QO<X<_^]其中〃，b>0为常数。

J2乃0

1(“F

X的分布函数F(x)=--^=-[e2bdt

后bJ-8

(4)标准正态分布X〜N(0,l)

1-4

X的概率密度(p(x)=()

x的分布函数①")=s=j'a力

假设x〜N(〃Q2),那么y=Z二d〜N(OJ),且有计算公式

(7

P{a<X<b)=F(b)-F(a)=①-0(^^)。

(7a

2.7随机变量的函数的分布

•1)离散型随机变量的函数的分布

X的分布律为P(X=x,)=Pk(k=1,2,3,…)，Y=g(X)的分布律有以下两种情形：

①当以=g(%)的值互不相等时，那么

②当"=g(Z)的值有相等时，那么应把那些相等的值分别合并，同时将它们所对应的概

率相加，即得出y=g(x)的分布律。

(2)连续型随机变量的函数的分布

X的概率密度为九(乃，且y=g(x)有连续的导函数，求y=g(x)的概率密度，通常使用

以下两种方法：

①分布函数法：

先求y的分布函数4(y)=P(yW)，)=P(g(X)Wy)=Jfx(x)dx,再对)，求导数，可得丫的

概率密度4(y)=庠(y)。

②公式法：

如果y=g(x)严格单调，其反函数〃()，)有连续的导数，那么y=g(x)也是连续型随机变量,

且其概率密度为g)=8〃(琲'(刈，a<J<P

\0,其他

其中a-rnin{g(-co),g(+8)},尸一max{g(-oo),g(+8)}(此时/(x)在一8Vx<+oo上不为0)；

或a=min{g(a),g0)}，P=max{g(a),g(〃)}(此时/(x)在［a,司之外全为0.)

第3章多维随机变量及其分布

3.1二维随机变量联合分布函数

设x、丫是两个随机变量，称有序数组(x,y)为二维随机变量。

联合分布函数为F(x,y)=P(X其中x,y为任意实数。

3.2联合分布函数的性质

(1)0<F(x,y)W1,且F(-oo,y)=F(x,-co)=F(-oo,-co)=(),/(+oo,+oo)=1o

(2)尸(6y)对每一个变量单调不减,即对任意固定的y,当王</时，产区，y)4尸(乙，丫)；

对任意固定的x,当必<>2时，F(x,y])<F(x,y2)o

(3)F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续。

(4)对任意的芭<七wR,yx<y2eR,有F(x2,y2)-F(x,,y2)-F(x2,>,))+F(x(,)>0o

3.3边缘分布函数

关于X的边缘分布函数户x(工)=尸(x,+8)=limF(x,y)；

y->4oo

关于Y的边缘分布函数尸丫(y)=/(+8,y)=limF(x,y)。

XT3

3.4二维离散型随机变量

(1)二维离散型随机变量(x,y)的联合分布律为P(X=%y=)，j)=p”(0=123,…)

〔2)(x,y)关于x的边缘分布律为。(*=玉)=£。(*=%丫=x)=£>»A亿，

J=17=1-

㈠=1,2,…)

(x,y)关于y的边缘分布律为

p(y=x)=£p(X",y=%)=£p"A小/=i,2,…)

r=l/=1

(3)联合分布律与应满足：

①々NO"/=1,2,..J；

008

②=i。

/=1j=\

3.5二维连续型随机变量

ci)二维连续型随机变量(x,y)的联合分布函数为尸意,)，)=「[,/(〃/)力，办，其中称

/(X,y)20为(X,y)的联合概率密度函数。

12)(X,y)关于X的边缘概率密度为A(x)=F'(x)=匚于(x,y)dy；

(x,y)关于y的边缘概率密度为6()，)=耳(y)=「7。、y)dx。

J-8

⑶联合密度函数/*,)，)的性质:

(i)/(x,y)>0；

②匚匚/(x,y)dxdy=1；

③p[(x,y)£。]="/(x,y)dxdy,其中D为XOY平面上的区域;

④当于(x,y)在点(x,y)处连续时，/(x,y)="：)')

dxdy

3.6二维随机变量的独立性

随机变量X与丫相互独立u>F(x,y)=FxMFY(y)。

离散型随机变量x与y相互独立o1=匕x%(i,j=o

连续型X与丫相互独立=/*,)，)=4").'()')(在连续点处)。

3.7二维随机变量的函数的分布

二维离散型随机变量的函数的分布

二维连续型随机变量的函数的分布

设连续型随机变量(x,y)的联合密度函数/5,)，)，z=g(x,y),z是一维随机变量，z的

分布函数为Fy(Z)=P(Z<Z)=P[g(X,Y)<z]=JJ/ay)dxdy,

g(x,y)<z

Z的密度函数为fz(z)=，匕(z)=，jj/(x,y)dxdyo

dzdzmg

3.8常用的二维连续型随机变量的函数的分布

(1)z=x+y的分布

fz⑶一g①⑶一17(z-y,y)dy或七⑶一乌弓(2)-Pf(x,z-x)dx

azJ-30dz—

特别地，当X、丫相互独立时,72(z)=£A(z-y)fY(y)dy=£/x(x)fY(z-x)dxo

(2)M=max(X,Y)&N=min(X,y)的分布

第4章随机变量的数字特征

4.1随机变量X的数学期望

离散型E(X)=»m

k=\

连续型E(X)=\^xf(x)dx

4.2随机变量函数的数学期望

(1)设y=g(X)是X的函数，其中双幻为连续函数。

离散型E(散=」g6)之

k=l

连续型E(Y)=「g(x)/(x)公

J-<o

(2)设z=g(x,y)是x,y的函数，其中g(_r,y)为连续函数。

离散型&z)=££g5,yj)Pij

r=lj=1

连续型E(Z)={2£g(xyy)f(x,y)dxdy

4.3数学期望的性质

(1)E(C)=C,(C为常数)

(2)E(CX)=CE(X),(C为常数)

推广：E(aX+b)=aE(X)+b(a.人是常数)

推广：£(%)+X2+...+XJ=E(Xl)+E(X2)+-..+E(A；r)

(3)设x与丫相互独立,那么E(xy)=E(x)E(y)

推广：假设凡,X2,X〃相互独立,那么E(X'X?…X，=E(XJE(X2)…E(X〃)

4.4方差方差的性质

方差D(X)=E\X-E(X)f}=E(X2)-[E(X)[

方差的性质

(1)D(C)=0,(C为常数)

(2)O(CX)=C2D(X),(C为常数)

(3)设x与y相互独立，那么。(X土丫)=。(')+力0')

推广：假设X1，x2,X”相互独立，那么

Z)(X,+X2+.-.+XJ=D(X,)+D(X2)+.-+D(XJ

(4)D(X)KE(X-C)2,(c为常数)

4.5几种常见的随机变量的数学期望和方差

(1)(0T)分布X〜B",p)E(X)=p,D(X)=p(l—p)

(2)二项分布X〜B(n,p)E(X)=”,D(X)=np(\-p)

(3)泊松分布X〜或X〜乃(4)E(X)=/l,D(X)=/l

14)均匀分布X〜U(a,b)E(X)=±±,D(X);吐生~

212

⑸指数分布X〜E(㈤E(X)=；,O(X)*

2

16)正态分布X〜N(/JQ2)E(X)=N，D(X)=CT

4.6协方差相关系数

X与y的协方差cov(X,Y)=E{[x-E(X)]Y-£(/)]}=E(XY)-E(x)E(y)

cov(xn

x与y的相关系数PxY=y；

^D(X)4D(Y)

4.7协方差的性质

(1)cov(ciX,bY)=abcov(X,Y),(ab为常数)

(2)cov^X+biia2Y+b2)=a}a2cov(X,K)(q,a2,，，％为常数)

(3)D(aX+bY)=/D(X)+b2D(Y)+2abeov(X,Y),

特别地，D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2cov(X,Y)

(4)设X与丫相互独立，那么cov(X,Y)=()。

4.8相关系数的性质

当夕xy=0时，称X与y不相关。

1,a>0

(1)\PXY\=1<=>Y=aX+b,且PXY—'

-1,«<0

4.9与不相关的性质

(1)假设随机变量X和丫相互独立，那么X和丫不相关;

ocov(X,y)=0<=>E(xr)=E(X)E(n

(2)x和丫不相关

oo(x±r)=D(X)+D(r)oD(X+y)=D(X-Y)

4.10矩

(1)k阶原点矩4=E(XA)(A=l,2,…)

(2)左阶中心矩4=E{X-E(X)H(攵=1,2,…)

第6章数理统计的根本概念

6.1总体样本

在数理统计中，把研究对象的全体称为总体，而把组成总体的各个元素称为个体。通常为

研究总体的某个数量指标而进行随机试验或观察，因此，代表总体的数量指标X是一个随

机变量，所以总体的分布是指随机变量X的分布。从总体中按一定规则抽取〃个个体的

过程称为抽样，抽样的结果称为样本，样本中所含个体的数量〃称为样本容量。假设样本

中的〃个个体七，乂2,…,X”相互独立且与总体同分布称为简单随机样本，简称样本。样本

X.,X2，…,X,的试验结果内，为，…,Z称为样本观测值。

设总体X的分布函数为尸(划，那么X|,X?，…,X”的联合分布函数为

假设X为连续型随机变量，其概率密度为/(幻，那么XI,X?,X”的联合概率密度为

1=1

假设X为离散型随机变量，其分布律为P(X=xJ=0,那么X,X2,X”的联合分布律

为p(X3,X2f，…,x“=z)=力P(X,=再)=jjp,

r=li=l

6.2统计量

设，…,X”是来自总体X的一个样本，g=g(X^X2，…,X")是毛,X2，…,X”的函

教，假设g中不含任何未知参数，那么称g=g(X-X2,…,X”)是一个统计量。

统计量也是一个随机变量。

6.3常用统计量

11)样本均值X=-\X,.

2

(2)样本方差S2=占£屋对=占',2-/?X

〃-1；=]〃-13=1

■3)样本标准差s=土沙-X)

1〃

(4)样本2阶原点矩4=—(女=1,2,…)

〃,=|

⑸样本2阶中心矩统」f(Xj-寸(1=1,2,・・.)

〃/>1

(6)顺序统计量样本中位数极差

第7章参数估计

7.1参数估计点估计

利用统计量去估计总体的未知参数称为参数估计。设X,x?，…,x”是来自总体x的样本,

…，乙是样本的一组观察值。。是总体X的未知参数。假设用一个统计量

<9=6>(x,,X2，…,X")来估计6,那么称8是参数。的估计量；而称，X],x?，…,x〃)的观察

值。(王，々，…,X”)为参数。的估计值。

用i(x-X2，…,x“)去估计。，称为对。作点估计。

7.2矩估计法

所谓矩估计法，是用样本矩(原点矩)去估计相应的总体矩，用样本矩的函数去估计相应

总体矩的函数的一种方法。

设总体x的分布形式，仇，％，…，禽是总体分布中的未知参数，x「x?,x”是来自总体

x的样本，求a的矩估计的步骤如下：

(1)求总体X的前加阶矩

(2)解⑴中的加个方程得未知参数4，％,…，/，即

(3)用样本矩人二LfxJ代替相应总体G阶矩4,得到a4,…4的矩估计量，即

4=4（4，42,…,An）

依=成（4人…,4）

*

*

7.3最大似然估计

设总体X的概率密度为了（.。）（当X为离散型随机变量时为分布律），6为待估参数，

x,,x2，…,x”时来自总体x的样本，为，当，…，£为其一组观测值，称L（e）=jlfG；。）为

似然函数。

假设当。="时，似然函数1（。）到达最大值，那么称1为。的最大似然估计量。

求最大似然估计量的步骤如下：

（1）正确写出总体x的概率密度/（不夕）（当x为离散型随机变量时，p（x；e）为其分布律），

6为待估参数，构造似然函数

12）对似然函数Lg）取对数得对数似然函数In〃夕）；

（3）对对数似然函数关于6求导并令其为零，得似然方程也也=0；

ae

14）解似然方程，就可以得到。的最大似然估计量。

注：假设随机变量x的分布函数中含有多个未知参数q…这时只需令券=0

d0t

（i=1,2,•••,/??）

解该似然方程组，就可以得到各未知参数。的最大似然估计量）。

7.4点估计的评价标准

（I）无偏性设2为参数。的估计量，假设有E（i）=e,那么称"为。的无偏估计量。

（2）有效性设A4都是e的无偏估计量，假设它们的方差满足伉］，那么称

仇较仇有效。

第6、7章复习题

1、设(X1,X2,…,X")是来自总体X〜N(",b’)的样本，具中〃，"未知，那么以下样本

函数中不是统计量的是()

A」£XjB.maxXyC.D/*'-4)？

〃=i区"

fTtlo-Jn(=l

2、设(X1,X2,…,X〃)是来自总体X的样本，歹是样本均值，那么对任意实数c有()

2

A.Z(X,-c)=，X：+c2B.2(X,—cP<±(Xi-Xy

i=lr=li=ir=l

22

C.之(x,-靖=t(Xj-kD.X(^-C)>^(xf.-X)

1=1/=1/=1r=l

3、设总体X〜N(〃°2),〃和02均未知，那么J_£(Xj-又丫是()

ni=]

A.〃的无偏估计B.〃的矩估“C."的无偏估t|D./的矩估计

4、设(4,3,5,5,4,3,4,4)是来自总体X〜N(〃,2)的一个样本的观测值，那么〃的最大似

然估计值是()

A.4B.3C.4.5D.5

5、矩估计必然是()

A.无偏估计B.总体矩的函数C.样本矩的函数D.最大似然函数

6、设总体X〜N(4，/),(%,Xz，…,X“)是来自总体X的样本,那么E(又)二；D(X)=o

7、设(X「X?,…,X")是来自参数为几>0的泊松分布的样本，其样本均值、样本方差分别

是又，S2,那么E(5)=；D(X)=；E(S2)=；样本(X],X2,…,X〃)的联合分布律为。

8、设总体X服从(0T)分布，即x/01(X1,X,,…,X“)是来自总

U-〃P)

体X的样本,那么P(又=&)=(2=0,1,2,…,〃)。

n

9、X(没有讲)设S?是来自总体X〜N(/Q2)容量为16的样本方差，那么。(S?)二。

10、总体参数常用的点估计方法是和。

11、设一个样本观测值为(0,2,0,2,0,2),那么总体均值的矩估计值是，总体方差的矩估

讦值是。

12、设X〜3(叭p),其中〃为未知参数。从总体X中随机抽取样本

(X1,乂2,…,X”)，样本均值为耳，那么未知参数〃的矩估计量p~

13、设总体X服从参数为丸>0的泊松分布，(X1,乂2,…,X“)是来自总体X的样本，其样

本均值，样本方差分别为又，S?.如果G=〃5+(2-3〃后2为4的无偏估计量，那么。=。

14、设总体X〜77(小4),(乂，Xz，…,X〃)是来自总体X的一个样本,歹为样本均值，试求

样本容量〃应取多大，才能使下式成立。

15、设(X「X2,…,X")是来自总体X服从(0T)分布的一个样本，X,当‘方(X,-时

〃/=1

分别为样本均值和样本二阶中心矩，试求夙下)，D(X),E(B2)O

16、设总体X具有分布律如下表所示：

X123

p0229(1-。)(1-打

其中。(0<6><1］为未知参数。取得了样本值M=1,々=2，x3=1,试求。的矩估计值

和最大似然估计值。

1------Y>1

17、设总体X的分布函数为尸(x)={x。'，其中未知参数/?>1，(X-X2,…,X”)

0x<\

是来自总体X的样本。试求：

(1)4的矩估计量；

(2)尸的最大似然估计量。

第1、2、3、4章复习题

1、对任意两个事件A和8,P(A-B)=()

A.P(A)-P(B)B.尸(A)-P(B)+尸(AB)

C.P(A)-P(AB)D.P(A)+P(B)+P(AB)

2、设事件A与事件8互不相容，那么()

A.P(AB)=0B.P{AB)=『(A)P(6)C.P[A)=D.P(AD5)=1

3、设A、片为两事件，且尸(M>U,{4|町=1,那么必有(

A.P(AD8)>P(A)B.P(AuB)>P(B)

C.尸(AuB)=P(A)D.P(AuB)=P(B)

4、设事件A与8相互独立，且P(A)>0,P(B)>0,不能推出()

A.P(AuB)=P(A)+P(B)B.尸(川8)=P(A)

C.P(BA)=P(B)D.P(AB)=P(A)P(8)

5、设事件A与事件B满足P(A3)=0,那么以下说法正确的选项是()

A.A与3互不相容B.A3是不可能事件•

C.P(A)=0或P(8)=0D.P(A-B)=P(A)

6、设事件A与事件3满足条件AS=入豆，那么()

A.ADB=eB.=QC.A\JB=AD.A\JB=B

7、设随机变量X与丫相互独立，其分布律如下表所示:

X01

Y01

P0.50.5

P0.50.5

那么以下结论正确的选项是()

A.X=YB.P(X=y)=lC.P(X=y)=0.5D.以上完全不正确

8、设XLMOJ),X『N(O,D，v=xl+x2f那么()

A.E(Y)=OB.D(Y)=2C.V〜N(OJ)D.y〜N(0,2)

9、设随机变量X〜N(-1,2),y〜N(l,3),且X与y相互独立，那么X+2V〜()

A.N(l,8)B.N(l14)C.N(l,22)D.N(l,40)

10、某射手向同一目标独立重复射击，每次射击击中目标的概率为〃(0</7<1),那么该

射手第4次射击恰好第2次命中目标的概率为()

A.3p(l-p)2B.6p(l-p)2C.3p2(l-p)2D.6p:(l-p)2

11、设随机变量X的分布函数为b(x),以下结论中不一定成立的是()

A.尸(+8)=1B.F(-OO)=0C.0<F(x)<1D.F(x)为连续函数

12、设二维随机变量(x,y)满足E(xy)=E(x)E(y),那么()

A.D(X+Y)=D(X-Y)B.D(XY)=D(X)D(Y)

c.X与丫相互独立D.X与y不相互独立

13、对任意两个随机变量x和y,以下选项正确的选项是()

A.D(X+Y)=D(X)+D(Y)B.E(X+Y)=£(X)+E(Y)

C.E(Xr)=E{X}E(Y)D.D(XY)=D(X)D(Y)

14、随机变量x的概率密度为/x*)，令y=-2x,那么y的概率密度为()

c

A.2fx(-2y)B./x(V)--\fx(一弓)D.：fx(一日)

乙乙乙J乙

15、设二维随机变量(x,y)具有以下概率密度，x与y相互独立，那么/",)，)=()

,jr2+—0<x<l,l<y<2

A.3

0其他

[6x2y0<x<l,0<y<l

D.

0其他

3

八-x0<x<l-x<y<x

C.2f

a0其他

■

c-e-y0<X<2,y>0

D.2

、0其他

16、设A、8、。是任意的三个随机事件，根据概率的性质，那么：

(1)P(B-A)=；

(2)P(Au8)二；

(3)P(A\JB<JC)=o

17、设A、8为两个随机事件，且P(A)=0.4,P(4uB)=0.7。

(1)假设A与B互不相容，那么P(3)=；

12)假设A与B相互独立，那么P(3)=。

18、设P(A)=0.1,P(同4)=0.9,P(BlA)=0.2,那么夕(48)二。

19、设P(A)=0.6,1(3)=0.8,尸(。8)=0.7,那么尸(身A)=。

2。、设随机变量X的分布律为P(X=Z)=幺，k=\2,…，N,那么常数。二。

N

1-e~2xr>0

21、设连续型随机变量X的分布函数为尸(x)=Je1，其密度函数为了。)，那么

0,x<0

/(1)=0

0,x<-1

1,

22、设随机变量X的分布函数为产(外=<8'"，且P(X=1)=j

ax+b,-1<A<1

1.x>1

那么。=，Z?=o

Ax,1<x<2

23、设随机变量X的概率密度为=・B,2<x<3,又。(1<X<2)=。(2<克<3),那

.0,其他

么A=，B=o

24、设随机变量X〜N(L5.4),那么用X23)二。

25、设随机变量X〜仅5,0.1),那么P(X=3)=。

26、设随机变量(X,Y)的分布律如下表所示:

X01

Y

00.4a

1b0.1

事件(x=o)与(x+y=i)相互独立，那么々=，b=o

27、设随机变量X与丫相互独立，方差分别为1,4,那么O(2X-5丫)二。

28、D(X)=25,D(y)=l,pxy=0.4,那么Q(X—y)=。

29、设随机变量X服从参数为2的泊松分布，令y=3X-2,那么E(y)=，D(y)=o

3。、设随机变量X服从参数为;的指数分布，且£[(X-l)(X+2)]=-1,那么

A

D(X)=o

31、设随机变量X〜8(〃,p),且&X)=2.4,O(X)=1.68,那么二项分布中的参数〃=，p=。

32、某门课程只有通过口试及笔试两种考试方可结业，某学生通过口试的概率为80%,通

过笔试的概率为65乐至少通过两者之一的概率为75%,试问该学生这门课程结业的可能性

有多大？

33、设一口袋中有100个球，其中有7个是红球，25个是黄球，24个是黄蓝两色的球，1

个是红黄蓝三色的球，其余43个是无色的球。现从中任取一个球，以A、8、C分别表示

取到的球有红色、有黄色、有蓝色的事件，试问A、。是否两两独立，是否相互独立？

34、。取何值时P(X=Z)=W,(2=