概率论习题试题集

第一章随机事件与概率

一、填空题

二.已知随机事件A的概率，事件B的概率，条件概率，则。

2.设A,B为随机事件已知，，，则。

3.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为和，现目标被击中，则它是甲命中的概

率为。

4.某射手在3次射击中至少命中一次的概率为，则该射手在一次射击中命中的概率为。

5.设随机事件A在每次试验中出现的概率为"，则在3次独立试验中A至少发生一次的概率为

6.袋中有黑白两种球,已知从袋中任取一个球是黑球的概率为!，现从袋中不放回地依次取球则第k次

4

取得白球的概率为。

7.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为，则这三台机器中至

少有一台发生故障的概率是。

8.电路由元件A与两个并联的元件B,C串联而成，若A,B,C损坏与否相互独立，且它们损坏的概率依

次为，则电路断路的概率是。

甲乙两个投篮，命中率分别为，每人投3次，则甲比乙进球数多的概率是。

3人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别是，则此密码被译出的概率是。

二、选择题

(A)对于任意两个事件A.B,有为()

(B)P(A)-P(B)(B)P(A)+P(初一产(A初

(C)P(A)—P(A8)(D)P(A)-P(B)+P(AB)

(A)设A,B为两个互斥事件且，则下列正确的是()

(B)尸(A|5)=P(A)(B)P(@A)=()

(C)P(AB)=P(A)P(B)(D)尸(@A)>()

其人独立地投了3次篮球，每次投中的概率为，则其最可能失败(没投中)的次数为()

(A)2⑻2或3

(C)3(D)1

(A)袋中有5个球(3个新,2个旧)，每次取一个，无放回地抽取两次，则第二次取到新球的概率是

()

33

(B)-(B)-

54

23

©4①)-

(A)n张奖券中含有m张有奖的,k个人购买，每人一张，其中至少有一个人中奖的概率是()

(B)—(B)1一%>

(C)(D)g*

三、计算题

(随机事件、随机事件的关系与运标)

.1.指出下面式子中事件之间的关系：

(1)AB=A;(2)ABC=A;⑶4U5=A.

2一个盒子中有白球、黑球若干个，从盒中有放回地任取三个球设表示事件“第次取到白球..

,试用的运算表示下列各事件.

(1)第一次、第二次都取到白球；(2)第一次、第二次中最多有一次取到白球；

(3)三次中只取到二次白球；(4)三次中最多有二次取到白球；

(5)三次中至少有一次取到白球.

.3.掷两颗骰子，设、分别表示第一个骰子和第二骰子出现点数i朝上的事件，试用、表示下列事件..

出现点数之和为4..(2.出现点数之和大于10.

4对若干家庭的投资情况作调查，记仅投资股票，仅投资基金，仅投资债券，试述下列事件的含义.

.5.用集合的形式写出下列随机试验的样本空间及随机事件.

⑴掷一颗骰子，点数为偶数的面朝上；

⑵掷二颗骰子，两个朝上面的点数之差为2;

(3)杷三本分别标有数字1.2,3的书从左到右排列,标有数字1的书恰好在最左访;

⑷记录一小时内医院挂号人数事件｛一小时内挂号人数不超50人｝;

⑸一副扑克牌的4种花式共52张，随机取4张，取到的4张是同号的且是3的倍数

.6.对某小区居民订阅报纸情况作统计，记分别表示订阅的三种报纸，试叙述下列事件的含义.

（1）同时订阅A8两种报纸；（2）只订阅两种报纸；（3）至少订两种报纸；

•.一份报纸都不订阅...订报同时也订报或报中的一种..•订报不订报…

7.某座桥的载重量是1000公斤（含1000公斤），有四辆分别重为600公斤,200公斤,400公斤和500公斤

的卡车要过桥，问怎样过法即省时间而桥又不会损坏。

（古典概型及其概率）

8.设袋中有5个白球,3个黑球，从袋中随机摸取4个球，分别求出下列事件的概率：

（1）采用有放回的方式摸球，则四球中至少有1个白球的概率；

（2）采用无放回的方式摸球，则四球中有1个白球的概率。

设有3个人和4间房，每个人都等可能地分配到4间房的任一间房内，求下列事件的概率：（1）指定的3

间房内各有一人的概率；（2）恰有3间房内各有一人的概率；（3）指定的一间房内恰有2人的概率。

一幢12层的大楼，有6位乘客从底层进入电梯，电梯可停于2层至12层的任一层，若每位乘客在任一层离

开电睇的可能性相同，求下列事件的概率：（1）某指定的一层有2位乘客离开；（2）至少有2位乘客在同

一层离开。

将8本书任意放到书架上，求其中3本数学书恰排在一起的概率。

某人买了大小相同的新鲜鸭蛋，其中有a只青壳的,b只白壳的，他准备将青壳蛋加工成咸蛋，故将鸭蛋一只

只从箱中摸出进行分类，求第k次摸出的是青壳蛋的概率。

某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将

这些油漆发给顾客。问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆，2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到订货的概

率是多少？

14.将12名新技工随机地平均分配到三个车间去，其中3名女技工，求:

是黑色的概率。

24.10件产品中有3件是次品，从中任取2件。在已知其中一件是次品的条件下，求另一件也是次品的

概率。

25.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，并将其中的1张拿到验钞机上检验，结果发现

是假钞，求抽出的2张都是假钞的概率。

26.小王忘了朋友家电话号码的最后一位，他只能随意拨最后一个号，他连拨了三次，求第三次才拨通

的概率。

27.设袋中装有a只红球，b只白球，每次自袋中任取一只球，观察颜色后放回，并同时放入m只与所取

出的那只同色的球，连续在袋中取球四次，试求第一、第二次取到红球且第二次取到白球，第四次取到

红球的概率。

28.一个游戏需要闯过三关才算通过，已知一个玩家第一关失败的概率是3/10,若第一关通过，第二关

失败的概率是7/10,若前两关通过，第三关失败的概率为9/10,。试求该玩家通过游戏的概率。

盒中有六个乒乓球，其中2个I日球，每次任取一个，连取两次(不放回)，求至少有一次取到旧球的概

率。

(全概率与贝叶斯公式)

30.设有两台机床加工同样的零件，第一台机床出废品的概率是0.03,第二台机床出废品的概率是0.02,

加工出来的零件混放在一起，并且已知第一台机床加工的零件比第二台机床多一倍。试求：

(1)求任意取出的一个零件是一合格品的概率；

(2)如果任意取出一个零件经检验后发现是废品，问它是第一台机床还是第二台机床生产已来的可能

性大？

31.已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25班是色盲患者，假设人群中男女比例1:1。试求：(1)人群中

患色盲的概率是多少？

(2)今从人群中随机地挑选一人，恰好是色盲者，问此人是男性的概率是多少？

32.盒中有10只羽毛球，其中有6只新球。每次比赛时取出其中的2只，用后放回，求第二次比赛时取

到的2只球都是新球的概率。

33.一种传染病在某市的发病率为4圾为查出这种传染病，医院采用一种新的检验法，它能使98%的患

有此病的人被检出阳性，但也会有3%未患此病的人被检验出阳性。现某人被此法检出阳性，求此人确实

患有这种传染病的概率。

34.某人下午5:5:35~5:40~5:45-5:50-迟于5:54

00下班，他所累5:395:445:495:54

计的资料表明：5：39

到家时间

乘地铁到家概率0.100.250.450.150.05

乘汽车到家概率0.300.350.200.100.05

某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。

35.在一个每题有4个备选答案的测验中，假设有一个选项是正确的，如果一个学生不知道问题的正确

答案，他就作随机选择。知道正确答案的学生占参加测验者的90%,试求：

(1)学生回答正确的概率；

(2)假如某学生回答此问题正确，那么他是随机猜出的概率，

36.有朋自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是03020.1,04如果他乘火车、轮

船、汽车来的话，迟到的概率分别是1/4,1/3,1/6,而乘飞机则不会迟到，试问：(1)他迟到的概率多

大？

(2)结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？

37.要验收100台微机，验收方案如下：自该批微机中随机地取出3台独立进行测试，三台中只要有一

台在测试中被认为是次品，这批微机就会被拒绝接受，由于测试条件和水平，将次品微机误认为正品的

概率为0.05,而将正品的微机误判为次品的概率为0.01。如果已知这100台微机中恰有4台次品，试问:

(1)这批微机被接受的概率是多少?(2)假如被接受，而3台微机中有1台次品微机的概率是多少？

(贝努利概型)

38.五架飞机同时去轰炸一目标每架飞机击中目标的概率为，求：五架飞机中至少有三架击中目标的概

率.

39.有一场短跑接力赛，某队有4名运动员参加，每人跑四分之一距离，每名运动员所用时间超过一分钟的

概率为03当四名中有一名运动员所用时间超过一分钟厕该队必输，求：

(1)该队中没有一个运动员所用时间超过一分钟的概率；

(2)最多二人超过一分钟的概率；

(3)该队输掉的概率.

40.某人骑车回家需经过五个路口，每个路口都设有红绿灯，红灯亮的概率为，求：

(1)此人一路上遇到三次红灯的概率；

(2)一次也没有遇到红灯的概率.

41.某台电视机能接收到十个频道的电视节目，每个频道独立地播放广告，每小时放广告的概率均为，问某一

时刻打开电视机：

(1)十个频道都在放广告的概率；

(2)只有三个频道在放广告的概率；

(3)至少有一个频道在放广告的概率.

42.有五个儿童在玩跳绳比赛，每个儿童跳绳能超过100下的概率为06问：

(1)五人中最多有二人超过100下的概率；

(2)至少一人超过100下的概率.

43.据统计某地区五月份中各天下雨的概率为，求：

(1)五月份中下雨的天数不超过五天的概率；

(2)五月份每天都下雨的概率.

44.三名运动员射击同一靶，射中靶的概率都为07问:

(1)靶被射中的概率；

(2)最多二名运动员射中的概率.

45.五家电视台同时接受由卫星转播的一套节目，但受天气影响，五家电视台各自能收到节目的概率都为

0.6,问，至少有三家电视台能收到节目的概率.

某幢大楼有20户居民，每户订日报的概率为02间邮递员每天至少要给这幢大楼送10份日报的概率.

47.20个鞭炮受了潮，每个能放响的概率为03问：

(1)只有5个鞭炮能放响的概率；

(2)最多有10个能放响的概率

(利用事件的独立性求概率)

48.三家电视台独立地播放广告节目，在一小时内各电视台播放广告的概率分别为0.1015.02

(1)求一小时内三家电视台同时播放广告的概率；

(2)求一小时内没有一家电视台在播放广告的概率；

⑶至少有一家电视台在播放广告的概率.

49.一个系统由三个电器并联组成，三个电器会损坏的概率分别为0.304.05

(1)求系统不能正常工作的概率；

(2)求系统能正常工作的概率.

50.有两组射击手各5人，每组射击手射击时射中目标的概率分别为：

⑴0.4,0.6,0.7,0.5,0.5;

(2)0.8,0.4,0.3,0.6,0.5.

两组进行射击比赛，哪组击中目标的概率大.

51一个会议室装有若干组独立的照明系统，每组照明系统由一个开关和一个灯组成，开关、灯损坏的概率分别

0605当开关、灯都正常工作时，这组系统才能正常工作，问会议室里至少需有多少组系统，才能以95%的把握

使室内有灯照明.

52王架飞机同时去轰炸一目标，每架飞机投中目标的概率为06

求⑴5架飞机都投中目标的概率；

⑵只有一架投中目标的概率；

⑶要以90%以上的概率将目标击中，至少应有几架飞机去轰炸.

53.某班级4名学生去参加数学竞赛，他们能得满分的概率分别为0.8060709,求：

(1)只有一张卷子得满分的概率；

⑵没有一人得满分的概率.

54.某人回家需打开大门、过道门和房门三道门，这三道门的钥匙各不相同并放在一起，此人每到一道门便

随机地取一把钥匙开门，然后放回，问此人取了三次钥匙开门锁即能进屋的概率.

55.有二个人从公司回家分别乘公交车、地铁和出租车，二种方式所花的时间超过半小时的概率分别为

0.8.0.6.0.5.

(1)三人中至少有一人回家时间超过半小时的概率；

⑵至少有二人回家时间超过半小时的概率.

56.某台电视机能接收到三个频道节目，这三个频道独立地播放广告，每小时播放广告的概率分别为，问：

(1)打开电视机三个频道都在放广告的概率；

⑵最多有二个频道在播广告的概率.

57.5名运动员各划一条船进行划船比赛，若在规定时间内到达对岸的，可以得到一面锦旗,5名运动员在规定时

间内能到达对岸的概率分别为0809070.5Q6求

(1)至少一人拿到锦旗的概率；

(2)恰有一人拿到锦旗的概率.

(四)证明题

设A,B为两个随机事件，且有，证明：。

设A,B为两个随机事件，，证明：A与B相互独立。

参考答案

一、填空题：

(1)0.7:(2)0.1；(3)；(4)0.5；(5)；(6)；(7)0.496；(8)0.314；(9)0.436；(10)二、选择题:⑴C;(2)

B;⑶A;⑷A;⑸B.

三、计算题：

(随机事件、随机事件的关系与运算)

1.解⑴事件B包含事件A,.

⑵事件B与事件的交包含事件A,.

⑶事件包含事件，.

2.解:...⑵…⑶.

..⑷…⑸.

3解⑴…⑵.

4.解二⑴被调查到的家庭同时投资了股票和基金，没投资债券.

⑵被调查到的家庭，至少投资了一项.

⑶被调查到的家庭，至少一项没投资.

⑷被调查到的家庭，凡投资债券的同时都投资了股票和基金.

(5魔调查到的家庭，或同时投资了股票和基金，但没投资债券，或仅投资债券.

5解⑴..

⑵^二{(1,1),(1,2),…,(5,6)}共36个样本点，

4={(1,3),(3,1),(2,4),(4,2),(3,5),(5,3)}.

⑶。={123,132,231,213,312,321},>4={123,132).

⑷记为一小时内挂号的人数，，.

(5月已分别表示4种花式的第张(),

0={4，・,，4]3，与，.，与3,6，,,,。]3，。，：。13)•

{={(42。3。3)，(44。6&)，(4段孰5),(~/。|222)}.

6.解：⑴.・⑵..(3)

⑷…⑸)…⑹

..7.解记600公斤的卡车过桥，200公斤的卡车过桥

400公斤的卡车过桥，500公斤的卡车过桥

E=｛卡车过桥速度快且桥不会损坏）.

E=ABCD+ABCD+AC~BDA-ACBD.

（古典概型及其概率）

8解⑴

5

⑵〃2=^=后=00893

9.解:

10.解：(1)

⑵Pi=0.8122

11.解:

12.解:

13.解:

-4.解:

15.解：（分子：先从6双中取一双，两只都取来；再从剩下的5双中任取两双，再从每双中任取1

只）

16.解：

93

〃3=।r=0.028（考虑它的对立事件｛三个数字未出现8｝）

1+2+3+4+5+6+728„

--------------------------------=-7=O.U2oo

103----103

（穷举法，仅适合分子较容易穷举的题目。本题第一个数字取6.5.4.3.2.1.0的基本事件分别是

1.2.3.4.5.6.7)

（利用事件的关系求随机事件的概率）

解:设二｛能被4整除｝,二｛能被6整除｝

依题意P(AB)=l-P(AoB)=l-[P(A)+P(B)-尸(AB)]

1000/4250[1000/6]166»2、[1(XX)/⑵83

这里P(A)=,P(B)=

100010001000

2516683

P(AB)=l-[]=0.892

TOGOTO6O-TO6O

二)18.解设=｛甲拿到4A｝,二｛乙拿到4A｝

依题意相互独立，

依题意互不相容，。

19.解：设二｛订阅A报｝,二｛订阅B报｝,二｛订阅C报｝

依题意

P(A)=45%,P(B)=35%,P(C)=30%,P(AB)=10%,P(AC)=8%,P(BC)=5%,P(ABC)=3%

Pi=P(ABC)=P(A)-P(AB)-尸(AC)+P(ABC)=0.45-0.1-0.08+0.03=0.3

p2=P(ABC)=P(AB)-P(ABC)=0.1-0.03=0.07

/?,=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=0.07+0.05+0.02=0.14

(提示：画出文式图，会帮助求出概率)

20.解：设二｛第i天下雨｝,i设,2

依题意P(A)=°6P(A2)=0.6,P(A4)=0.1

p｝=P(AUA2)=P(A)+P(A?)—P(A]c4)=0.6+0.3-0.1=0.8

=P(4&)P(AUA)=I-O.8=

P2=尸(AuA2y=\-o.2

C

p3=P(AUA2)=P(AnA2)=1-P(AnA)=l-0.1=0.9o

21.解：设二｛第i台机床需要人照顾｝,i=l,2,3

依题意，且三个(,i=l,2,3)三个相互独立。

门=0(AD&=a)=P(ABC)=1-P(ABC)=1-0.8x07x0.6=0.664

+A

P2=A4^+4aA+A&4)

=0.2x().3x0.4+().8x().3x0.4+0.2x().7x0.4+0.2x().3x0.6=0.212

(条件概率与乘法原理)

22.解：设二｛活了25岁｝,二｛活了15岁｝

依题意P(A|8)=今黑=霏=。.3750

I\D)U.o

23.解：设二｛黑色｝,二｛同一种颜色｝,且

依题意P(A)=q,P(B)=;P(4⑶=^^=^^=々=0.2860

C；《1P(B)P(8)168

24.解：设=｛2件都是次品｝,=｛2件中至少有1件次品｝.

依题意P(4)=泉P(B)=0；"G；P(A|B)=-^^=1=0.125o

C\oCio产⑷X

25.解：设=｛2张都是假钞｝,二｛至少有一张假钞｝,

依题意，且

P(A网=3二跑，=0l也

1P(B)P(B)17

26解设二｛第i次拨通｝,i=123

--981

依题意，由乘法原理知P(AAA)=^X9Xg=010

27.解：设二｛第i次取到红球｝j=123,4

依题意，由乘法原理知

28廨：设二｛第i次关通过｝,i=L2,3

依题意，由乘法原理知

29.解：设二｛第i次取到旧球｝,i，2

依题意p(AD&)=p(4)+户(42)-P(A4)

这里P(A)=P(&)=1,P(A&)=P(A)XP(&|A)=^4=4

66515

21

所以P(AuA)=：x2---=0.6o

615

(全概率与贝叶斯公式)

30.解设二｛第i台机器生产｝k12二｛产品为次品｝

依题意P(A)=2/3,P(4)=1/3,P(叫A)=。。3,夕(同4)=0.02

由全概公式P(B)=2/3x0.03+1/3x0.02=0.027

由贝叶斯公式，

所以第一台机器生产的可能性大。

31.解：设二｛女性｝,二｛男性｝,二｛色盲｝

依题意依A)=0.5,依&)=0.5,依理A)=。25%,依卸&)=5%

由全概公式P(B)=0.5x0.25%+0.5x5%=0.02625

°.5'。.25%=。.”

由贝叶斯公式P(A2\B)=

P(B)

32.解：设二｛第一次取出i只新球｝k0,12=｛第二次取出新球｝

依题意

c2r'C1c2

P(A)=才，尸⑷=,，尸(4)=/，

Jo^io

r2「2「2

P(3|4)=7bp(M4)=#,P(M4)二片

5oJo5o

由全概公式尸(8)=与又与+冬、与+与、与=28/135。

Cl()CIOC10joC10Cl()

33.解：设二｛患有传染病｝,二｛没有患传染病｝,二｛被检出阳性｝

依题意P(A)=4%,P(4)=96%,A)=98%,P(@&)=3%

4%x98%

由贝叶斯公式P(A18)=--------------------=0.576。

/4%x98%+96%x3%

34.解设二｛乘地铁｝,二｛乘汽车｝,二｛到家时间为5:45~549｝

依题意P(A)=0.5,P(4)=0.5,A)=0.45,P(B\A,)=0.2

由贝叶斯公式P(A|B)=——0,5><0,45——=0.692。

1().5x0.45+0.5x0.2

35.解：设二｛知道正确答案｝,二｛不知道正确答案｝,二｛回答正确｝

依题意P(A)=0.9,P(&)=0.1,尸(即A)=1,P(M&)=0.25

由全概公式P(B)=0.9xl+0.1x0.25=0.925

()，1X(125

由贝叶斯公式P(A|B)=——=0.027o

F0.9x1+0.1x0.25

36.解：设二｛乘火车｝,二｛乘轮船｝,二｛乘汽车｝,二｛乘飞机｝,二｛迟到｝,依题意

P(A)=0.3,P(4)=0.2,P(A)=0.1,P(A)=0.4,

P(3|A)=1/4,P(6|4)=1/5,P(回4)=1/6,P(B|4»)=o

由全概公式P(8)=0.3X1/4+0.2X1/3+0.lx"6+04x0=0.1583

由贝叶斯公式尸(AIB)=------------°3X114-------------=0.474。

“0.3x1/44-0.2x1/3+0.1x1/6+0.4x0

37.解：设二｛三台微机中的次品数为i｝,i=0,1,23二｛微机被接受｝;

依题意

&4)=胃/。)=件j(4)=浒,/>(4)=卦

^l(K)ClOOClOOClOO

223

P(B|4)=0.99\P(B|A})=O.O5x0.99,P(B|A2)=0.05x0.99,P(B|A3)=0.05

由全概公式

x0.052x0.99+与-x0.05=0.8629。

P(B)=xO.99、x0.05x0.9924

盘X)

38.解:

=1-(0.4)5—C；x0.6x(0.4)4—C；x0.62x(0.4)3.

=0.68.

39.解:(1)=0.24.

(2)尸(J<2)=尸(0)+P⑴+P(2)=0.74+C：x0.3x0.73+C；xO.32x0.72=0.92.

(3)P(^>l)=l-P(0)=l-0.74=0.76.

40.解:⑴.

3<243

⑵^=0)=(-)5=—.

J口1乙J

41.解:.........

42.解：⑴=0.32

(2)P(^>l)=l-P(^=0)=1-(0.4)5=0.99

43.解：(1)

「("5)=，&=0)+「《=1)+尸/=2)+，e=3)+/修=4)+/仁=5)

⑵p(g=31)=/“0.

31!

44.解：⑴=0.97.

(2)P-V2)=1-尸©=3)=1-(0.7)366.

45.解:=0.68.

46.解：.

47.解：⑴.

(利用事件的独立性求概率)

48.解：记第家电视台在播放广告，为待求概率的事件.

(1),事件独立.

P(A)=P(A)P(4)P(AJ=o.lx0.15X0.2=0.003.

(2)，事件，，独立，

P(A)=P(AI)P(A2)P(A3)=(l-0.1)(l-0.15)(l-0.2)=0.612