概率论与数理统计(理工类-第四版)吴赣昌主编课后习题答案第六章

第六章参数估计

6.1点估计问题概述

习题1

总体X在区间［0,0］上均匀分布，XI,X2,-,Xn是它的样本，则下列估计量。口是0的

一致估计是().

(A)0D=Xn；(B)0D=2Xn；

(C)0□=X'=lnLi=lnXi;(D)0C=Max{Xl,X2,Xn}。

解答：

应选(D).

由一致估计的定义，对任意£>(),

P(|Max{XI,X2,Xn}—0|<£)

=P(-e+0(Max{XI,X2,Xn}<8+0)

=F(e+0)—F(-e+0).

因为

FX(x)={0,x<0x0,OWxW0i,x>0,及F(x)=FMax{Xl,X2,1,Xn}(x)=FXl(x)FX2(x)-FXn

(x),

所以

F(£+8)=1,F(-e+0)=P(Max{XI,X2,Xn}<—£+0)=(1—x9)n,

故

P(IMax{Xl,X2,-Xn)-0I(e)=l-(l-xO)n-l(l+8).

习题2

设。是总体X的标准差，XI,X2,•Xn是它的样本，则样本标准差S是总体标准差。的

Oo

(A)矩估计量；(B)最大似然估计量；(C)无偏估计量；(D)相合估计量。

解答：

应选(D).

因为，总体标准差。的矩估计量和最大似然估计量都是未修正的样本标准差；样本方差是

总体方差的无偏估计，但是样本标准差不是总体标准差的无偏估计.可见,样本标准差S是总

体标准差。的相合估计量.

习题3

设总体X的数学期望为hXI,X2,Xn是来自X的样本，al,a2,-,an是任意常数，验

证(Ei=lnaiXi)/£i=lnai(£i=lnaiW0)是U的无偏估计量。

解答：

E(X)=u,

E(Li=lnaiXiEi=lnai)=1Zi=lnai-Ei=lnaiE(Xi)(E(Xi)=E(X)=p)

=口Ei=lnaiEi=ln=u,

综上所证，可知Ei=lnaiXiEi=lnai是u的无偏估计量。

习题4

设0匚是参数0的无偏估计，且有D(0□)〉0,试证。口2=(32])2不是02的无偏估

计.

解答：

因为D(0口)=E(92)-[E(0□)]2,所以

E(0a2)=D(G□)+[E(0口)]2=。2+D(。匚))。2,

故(0口)2不是。2的无偏估计。

习题5

设XI,X2,…,Xn是来自参数为X的泊松分布的简单随机样本，试求入2的无偏估计量。

解答：

因X服从参数为X的泊松分布，故

D(X)=入，E(X2)=D(X)+[E(X)]2=入+入2=E(X)+入2,

于是E(X2)—E(X)=X2,即E(X2—X)八2.

用样本矩A2=lnEi=lnXi2,Al=X一代替相应的总体矩E(X2),E(X),便得入2的无偏估计

量

XC2=A2—Al=lnLi=lnXi2—X.

习题6

设XLX2,…，Xn为来自参数为n,p的二项分布总体，试求p2的无偏估计量。

解答：

因总体X~b(n,p),故

E(X)=np,

E(X2)=D(X)+[E(X)]2=np(l-p)+n2p2

=np+n(n—l)p2=E(X)+n(n-l)p2,

E(X2)-E(X)n(—1)=E[ln(n-l)(X2—X)]=p2,

于是，用样本矩A2,A1分别代替相应的总体矩E(X2),E(X),便得p2的无偏估计量

pD2=A2—Aln(n—l)=ln2(n—1)Ei=ln(Xi2-Xi)。

习题7

设总体X服从均值为0的指数分布,其概率密度为

f(x;0)=(10e-x0,x>00,xWO,

其中参数"0未知。又设XLX2,Xn是来自该总体的样本，试证：X一和n(min(Xl,X2,

…,Xn))都是0的无偏估计量，并比较哪个更有效.

解答：

因为E(X)=。，而E(X1=E(X),所以E(X-)=0,是。的无偏估计量.设

Z=min(XI,X2,Xn),

因为

FX(x)={0,x^Ol—e—x0,x>0,

FZ(x)=l—[1—FX(x)]n={1—e—nxO,x>00,xWO,

所以fZ(x)={n0e-nx。，x>OO,xCO,这是参数为n0的指数分布，故知E(Z)=0n,而

E(nZ)=E[n(min(Xl,X2,Xn)]=0,

所以nZ也是0的无偏估计.现比较它们的方差大小.

由于D(X)=e2,故D(X-)=02n.

又由于D(Z)=(On)2,故有

D(nZ)=n2D(Z)=n2-02n2=02.

当n〉1时,D(nZ)〉D(X"),故X一较nZ有效.

习题8

设总体X服从正态分布N(m,l),X1,X2是总体X的子样，试验证

ml=23X1+13X2,m2=14X1+34X2,m3=12X1+12X2,

都是m的无偏估计量;并问哪一个估计量的方差最小？

解答：

因为X服从N(m,1),有

E(Xi)=m,D(Xi)=l(i=l,2),

得

E(ml)-3(23X1+13X2)-23E(X1)+13E(X2)-23m+13m-m,

D(ml)=D(23X1+13X2)=491)(XI)-19D(X2)=49+19=59,

同理可得：E(m2)=m,D(m2)=58,E(m3)=m,I)(m3)=12.

所以，ml,m2,m3都是m的无偏估计量，并且在irl,m2,m3中，以m3的方差

为最小.

习题9

设有k台仪器。已知用笫i台仪器测量时，测定值总体的标准差为。i(i=l,2,…,k),用

这些仪器独立地对某一物理量0各观察一次，分别得到XLX2,…，Xko设仪器都没有系

统以差，即E(Xi)-。(i-l：2,…，k),问al,a2,…，ak应取何值，方能使用0-Ei-lkaiXi

估计0时，。是无偏的，并且D(8)最小？

解答：

因为E(Xi)=0(i=l,2,,k),故

E(0)=E(Li=lkaiXi)=Ei=lkaiE(Xi)=0Li=lkai,

欲使E(。)=0,则要Ei=lkai=L

因此，当Zi=lkai=l时，0=Ei=lkaiXi为。的无偏估计，D(0)=Li=lkai2oi2,要

在£i=lkai=l的条件下D(0)最小，采用拉格朗日乘数法。

令

L(al,a2,“，ak)=D(€)+入(1-Ei=lkai)=Li=lkai2oi2+入(1—Ei=lkai),

{ddii=0,i=l,2,-,kEi=lkai=l,

即2aioi2-入=0,ai=X2i2；

又因Ei=lkai=l,所以\£i=lkl2。i2=l,记£i=lkl。i2=l。02,所以

入=2。02,于是

ai=o02o12(i=l,2,k),

故当ai=c02ci2(i=l,2,•1•,k)时，0=£i=lkaiXi是0的无偏估计，且方差最小.

dlnL(0)d0=lpLi=lnxi—11-pLi=ln(m—xi)=0,

解方程得p=lmnEi=lnxi,故参数的最大似然估计量为

p=lmnLi=lnXi=lmX-.

习题2

设总体X服从均匀分布U[0,0]，它的密度函数为

f(x；。)={18,0WxW00,其它，

(1)求未知参数0的矩估计量；

(2)当样本观察值为0。3,0o8,0o27,0。35,0.62,0。55时，求。的矩估计值。

解答：

(1)因为

E(X)=1-8+8xf(x;0)dx=l0；00xdx=02,

令E(X)=lnEi=lnXi,即02=X",所以0=2X-o

(2)由所给样本的观察值算得

x-=16£i=16xi=16(0o3+0。8+0。27+0。35+0。62+0。55)=0«4817,

所以0=2x-=0.9634.

习题3

设总体X以等概率1。取值1,2,…，0,求未知参数0的矩估计量。

解答：

由

E(X)=1X10+2X10+-+0xi0=l+02=lnEi=lnXi=X~

得()的矩估计为0=2X-—1.

习题4

•批产品中含有废品，从中随机地抽取60件，发现废品4件,试用矩估计法估计这批产品的

废品率.

解答：

设P为抽得废品的概率，1-P为抽得正品的概率(放回抽取)。为了估计P,引入随机变量

Xi={l,第i次抽取到的是废品0,第i次抽取到的是正品，

于是P{Xi=l)=p,P{Xi=0}:1—p=q,其中i=l,2,…，60,且E(Xi)=p,故对于样本

XI,X2,X60的一个观测值xl,x2，…,x60,由矩估计法得p的估计值为

p=160Zi=160xi=460=115,

即这批产品的废品率为115。

习题5

设总体X具有分布律

X123

Pi0220(1-0)(1—0)2

其中0为未知参数。已知取得了样本值xl=l,x2=2,x3=l,试求0的矩估计

值和最大似然估计值.

解答，

E(X)=1X02+2X20(1—0)+3X(1-0)2=3-20,

x-=l/3X(1+2+1)=4/3.

因为E(X)=X，所以0=(3-xD/2=5/6为矩估计值，

L(0)=ni=13P{Xi=xi}=P{Xl=l}P{X2=2}P{X3=l}

=04-20.(1—0)=205(1—0),

InL(0)=ln2+51n0+ln(1—0),

对0求导，并令导数为零

dlnLd0=50-11-0=0,

得0L=56o

习题6

(1)设XLX2,…，Xn来自总体X的一个样本，且X~n(X),求P{X=0}的最大似然估计。

(2)某铁路局证实一个扳道员五年内所引起的严重事故的次数服从泊松分布，求一个扳道

员在五年内未引起严重事故的概率p的最大似然估计，使用下面122个观察值统计情况。

下表中，r表示一扳道员某五年中引起严重事故的次数，s表示观察到的扳道员人数。

r012345

sr444221942

解答：

(1)已知，人的最大似然估计为入L=X-.因此

-P{X=0}=e-XL=e—X~

(2)设X为一个扳道员在五年内引起的严重事故的次数，X服从参数为X的泊松分底：样

本容量n=122a

算得样本均值为

x-=1122XLr=05r-r=1122X(0X44+1X42+2X21+3X9+4X4+5X2)

一L123,

因此

P{X=0}=e—x"=e—1.123=^0.3253.

习题6.3置信区间

习题1

对参数的一种区间估计及一组观察值(xl,x2,…,xn)来说，下列结论中正确的是0。

(A)皆信度越大，对参数取侑范围估计越准确：

(B)置信度越大，置信区同越长；

(C)置信度越大，置信区旬越短；

(D)置信度大小与置信区诃有长度无关。

解答：

应选(B).

置信度越大，置信区间包含真值的概率就越大，置信区间的长度就越大，对未知参数的估计

精度越低.

反之，对参数的估计精度越高，置信区间的长度越小，它包含真值的概率就越低，置信度就越

小。

习题2

设(01,。2)是参数0的置信度为1-a的区间估计，则以下结论正确的是().

(A)参数。落在区间(。1,。2)之内的概率为1-a；

(B)参数0落在区间(01,02)之外的概率为a;

(C)区间(01,。2)包含参数0的概率为1-a；

(D)对不同的样本观察值:区间1,02)的长度相同.

解答：

应先(C)。

由于01,02都是统计量:即(()1,02)是随机区间，而0是一个客观存在的未知常数，故

(A),(B)不正确.

习题3

设总体的期望U和方差。2均存在，如何求u的置信度为1-a的置信区间？

解答：

先从总体中抽取一容量为n的样本XI,X2,Xn.根据中心极限定理，知

U=X--uo/n-*N(0,1)(n­0°).

(1)当。2已知时，则近似得到U的置信度为1-a的置信区间为

(X--ua/2on,X_+ua/2。n)。

(2)当。2未知时,用。2的无偏估计S2代替。2,这里仍有

X--uS/n-N(0,1)(l办

于是得到M的1—a的置信区间为

(X--ua/2Sn,X-+ua/2Sn),

一般要求n230才能使用上述公式，称为大样本区间估计。

习题4

某总体的标准差。=3cm,从中抽取40个个体,其样本平均数x-=642cm,试给出总体期望

值P的95%的置信上、下限(即置信区间的上、下限)。

解答：

因为n=40属于大样本情形，所以X―近似服从

N(u,o2n)

的正态分布，于是U的25%的置信区间近似为

(X一土。nua/2),

这里x~=642,。=3,n=40七6.32,ua/2=1.96,从而

(x~±onua/2)=(642±340X1.96).(642±0o93),

故U的95%的置信上限为642。93,下限为641.07.

习题5

某商店为了了解居民对某种商品的需要，调查了100家住户，得出每户每月平均需求量为

10kg,方差为9,如果这个商店供应10000户，试就居民对该种商品的平均需求量进行区

间估计(a=0.01),并依此考虑最少要准备多少这种商品才能以0o99的概率满足需求?

解答：

因为『100属于大样本问题，所以、一近似服从N(P,□2/n),于是P的99%的置信区间

近似为(X一土Snua/2),而

x-=10,s=3,n=100,ua/2=2.58,

所以

(x~±snua/2)=(10±3100X2o58)=(10±0.774)=(9。226,10。774).

由此可知最少要准备10.774X10000=107740(kg)这种商品，才能以0.99的概率满足需求。

习题6

观测了100棵“豫农一号”玉米穗位，经整理后得下表(组限不包括上限)：

分组编号12345

组限

组中值70-8080-9090-100100-110110-12075859510511539131626

频数

分组编号6789

组限

组中值120-130130-140140-150150-16012513514515520742

频数

试以95%的置信度.求出该品种玉米平均穗位的置信区间.

解答：

因为n=100属于大样本情形，所以P的置信度为95%的置信区间上、卜.限近似为

X-±snua/2,这里n=lC0,ua/2=1。96,还需计算出和s。

取a=115,c=10,令zi=(xi—a)/c=(xi—115)/10,用简单算公式，

(1)x-=a+cz-;(2)sx2=c2sz2.»

编号123456789

758595105115125135145155

组中值xi

zi=xi-l1510-4-3—2—101234

组频率mi

mizi3913162620742

zi2-12-27-26-1602014128

mizi216941014916

123456789

z=1100Li=19mizi=l1OOX(-27)=—0.27,

x-=10X(—27)+115=112.3,

sz2=199Ei=19mizi2=199X313^3o161616,

sx2=102X3.161616=316O1616,SX^17.78。

于是

(x~±snua)^(112.3±17.7810X1。96)一(112。3±3.485)

=(108.815,115.785)°

习题7

某城镇抽样调查的500名应就业的人中，有13名待业者,试求该城镇的待业率p的置信度为

0o95置信区间。

解答：

这是(0-1)分布参数的区间估计问题。待业率p的0.95置信区间为

(pl,p2)=(—b-b2—4ac2a,—b-b2—4ac2a)«

其中

a=n+ua/22,b=-2nX~—(ua/2)2,c=nX-2,

n=500,x-=13500,ua/2=1o96.

则(pl,p2)=(0o015,0o044)o

习题8

设XI,X2,…，Xn为来自正态总体N(U,。2)的一个样本，求u的置信度为1一。的单侧置

信限.

解答：

这是一个正态总体在方差未知的条件下，对U的区间估计问题，应选取统计量：

T=X~—uS/n-1(n—1)。

因为只需作单边估计,注意到t分布的对称性，故令

P{T<ta(n-1))=l-a和P{T>ta(n-l)}=l-a.

由给定的置信度1-a,查自由度为n-1的t分布表可得单侧临界值ta(n-l)。将不等

式T〈ta(n-1)和T>ta(n—1),即

X—uS/n<ta(n-1)和X-yS/r)ta(n—1)

分别变形，求出P即得U的1—a的置信下限为

X_ta(n-1)Sn.

U的1-a的置信上限为

X-+ta(n—1)Sn,

U的l-Q的双侧置信限

(X—ta/2(n—1)Sn,X+ta/2(n—1)Sn).

习题6.4正态总体的置信区间

习题1

已知灯泡寿命的标准差。二50小时，抽出25个灯泡检验，得平均寿命x-=500小时，试以

95%的可靠性对灯泡的平均寿命进行区间估计(假设灯泡寿命服从正态分布).

解答：

由于X-N(n,502),所以y的置信度为95%的置信区间为

(X—±ua/2on),

这里x-=500,n=25,o=5C,ua/2=l。96,所以灯泡的平均寿命的置信区间为

(x~±ua/2on)=(500+5025X1.96)=(500+19.6)=(480.4,519.6)。

习题2

•个随机样本来自正态总体X,总体标准差。=1。5,抽样前希望有95%的置信水平使得

P的估计的置信区间长度为L=l.7,试问应抽取多大的一个样本？

解答：

因方差已知，P的置信区间长度为

L=2ua/2-on,

于是n=(2oLua/2)2.

由题设知,1—a=0.95,a=0.05,a2=0.025.查标准正态分布表得

uOo025=1o96,o=l。5,L=l,>7,

所以，样本容量

n=(2Xlo5X1.961。7)2旬1。96.

向上取整数得n=l2,于是欲使估计的区间长度为lo7的置信水平为95%,所以需样本容

量为n=12.

习题3

设某种电子管的使用寿命服从正态分布.从中随机抽取15个进行检验,得平均使用寿命为

1950小时，标准差s为300小时，以95%的可靠性估计整批电子管平均使用寿命的置信上、

下限。

解答：

由X〜N(u,02),知U的95%的置信区间为

(X-±Snta/2(n—1)),

这里x~=1950,s=300,n=15,ta/2(14)=2。145,于是

(x-±snta/2(n-l))=(1950±30015X2«145)

^(1950±166.151)=(1783.85,

2116o15).

即整批电子管平均使用寿命的置信上限为2116。15,下限为1783。85o

习题4

人的身高服从正态分布，从初一女生中随机抽取6名，测其身高如下(单位：cm)：

149158.5152o5165157142

求初一女生平均身高的置信区间(a=0.05).

解答：

X~N(u,o2),u的置信度为95%的置信区间为

(X-±Snta/2(n-l)),

这里乂一=154,s=8.01£7,tO.025(5)=2.571,于是

(x-±snta/2(n-l))=(154±8.01876X2.571)

七(154±8.416)2(145。58,162。

42).

习题5

某大学数学测验,抽得20个学生的分数平均数x—=72,样本方差s2=16,假设分数服从正

态分布，求。2的置信度为98%的置信区间.

解答：

先取x2分布变量，构造出的。2的置信区间为

((n-l)S2xa/22(n-1),(n—1)S2xl-a/22(n-1)).

已知1—a=0.98,a=0.C2,a2=0.01,n=20,S2=16°

查x2分布表得

xG.012(19)=36o191,x0.992(19)=7.633,

于是得。2的98%的置信区间为(19X1636。191,19X167。633),即(8.400,39。827).

习题6

随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差s=ll(m/s)。设炮口速度服从正

态分布，求这种炮弹的炮口速度的标港差。的置信度为0.95的置信区间。

解答：

已知n=9,s=l1(m/s),1—a=0。95.查表得

x0.0252(8)=17。535,xO..9752(8)=2。180,

。的0.95的置信区间为

(8sx0o0252(8),8sx0.9752(8)),即(7.4,21。1)。

习题7

设来自总体N(u］，16)的一容量为15的样本，其样本均值x「二14。6；来自总体N(P2,

9)的•容量为20的样本，其样本均值x2~=13o2;并且两样本是相互独立的，试求P1-P2

的90%的置信区间。

解答：

l-a=0o9,a=0.1,由中(ua/2)=1-02=0.95,查表，得

ua/2=1.645,

再由nl=15,n2=20,得

o12nl+a22n2=1615+920=9160=1.232,

ua/2o12nl+o22n2=lo645X1.232^2.03,

x-l-x-2=14o6—13.2=1o4,

所以，u1—u2的90%的置信区间为

(lo4-2003,1.4+2.03)=(—0.63,3。43).

习题8

物理系学生可选择一学期3学分没有实验课,也可选一学期4学分有实验的课.期未考试每

一章节都考得一样，若有上实验课的12个学生平均考分为84,标准差为4,没上实验课的

18个学生平均考分为77,标准差为6,假设总体均为正态分布且其方差相等,求两种课程平

均分数差的置信度为99%的置信区间.

解答：

设有实验课的考分总体X1~N(in,。2),无实验课的考分总体X2~N(口2,。2)。两

方差相等但均未知，求ul—U2的99%的置信区间，应选t分布变量，

T=X1~—X2"—(y1—u2)SWlnl+ln2-t(nl+n2-2),

其中SW二(nl—1)S12+(n2-l)S22nl+n2-2.

U1-U2的l—a的置信区间为

(Xr-X2-±ta/2(nl+n2—2)SWlnl+ln2)<>

由已知，x「一x2-=84—77=7,且

sW=(12-l)X42+(18—1)X6212+18-2=5。305,

112+118*0。373,1-<i=0.99,a2=0.005,

查t分布表得tO.005(28)=2.763o

于是，U1-22的0.99的置信区间为(7±2.763X5.305X0.373),即(7±5。

467),亦即(lo53,12o47)o

习题9

随机地从A批导线中抽取4根，又从B批导线中抽取5根，测得电阻(欧)为

A批导线0o1430o1420o1430o137

B批导线0o1400。1420o1360o1380。140

设测定数据分别来自分布N(ul,o2),N(u2,。2),且两样本相互独立，又ul,U2,。2

均为未知，试求口1一口2的置信水平为0。95的置信区间.

解答：

对于1-。=0。95,查表得tO.025(7)=2.3646,算得

x-=0.141,y-=0o139；sl2=8.25X10-6,sl^O.0029.

s22=5。2X10—6,s2=0.0023,sW^O.0026,15+14=0。6708,

故得U1-U2的0.95置信区间为

(0.141—0o139±2.3646X0o0026X().6708),HP(—0.002,0.006)。

习题10

设两位化验员A,B独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各作10次测定，其测定值的样

本方差依次为sA2=0o5419,sB2=0o6065。设。A2,。B2分别为A,B所测定的测定值的总

体方差，又设总体均为正态的，两样本独立，求方差比。A2/OB2的置信水平为0.95的置

信区间。

解答：

选用随机变量

F=SA2oA2/SB2oB2-F(nl-l,n2-l),

依题意，已知sA2=0。541S,sB2=0o6065,nl=n2=10.

对于1-a=0.95,查F分布表得F0.025(9,9)=1FO。025(9,9)=14,03,于是得oA2

oB2的0。95的置信区间为

(sA2sB21Fa/2(9,9),sA2sB2Fa/2(9,9))一(0.222,3。601).

总习题解答

习题1

设总体X服从参数为入。>0)的指数分布,XLX2,•••,Xn为一随机样本,令Y=min{Xl,X2,

…,Xn),问常数c为何值时，才能使cY是X的无偏估计量。

解答：

关键是求出E(Y).为此要求Y的密度fY(y).

因Xi的密度函数为fX(x)={Ae-Ax,x>00,x<0；

Xi的分布函数为FX(x)={1-e-Xx,x)00,xWO,于是

FY(y)=l-[l—FX(y)]n={1—e—nA.y,y>00,yWO.

两边对y求导得fY(y)=ddyFY(y)={n入e-n入y>y>00,y<0,即Y服从参数为n入的指

数分布，故

E(Y)=nX.

为使cY成为人的无偏估计量，需且只需E(cY)=入，即cn、=入，故c=ln。

习题2

设XI,X2,…，Xn是来自总体X的一个样本，已知E个)=u,D(X)=o2.

(1)确定常数c,使cEi=ln—l(Xi+l-Xi)2为。2的无偏估计;

(2)确定常数c,使(X")2-cS2是口2的无偏估计(X，S2分别是样本均值和样本方差).

解答：

(1)E(cLi=ln—1(Xi+1—Xi)2)

=cEi=ln—IE(Xi+12-2KiXi+l+Xi2)

=cEi=ln—1{D(Xi+1)+[E(Xi+1)]2—2E(Xi)E(Xi+1)+D(Xi)+[E(Xi)+[E(Xi)]2}

=c(n—1)(o2+y2-2y2+o2+y2)=2(n—1)o2c.

令2(nT)。2c=o2,所以

c=12(n-l)o

(2)E[(X-)2-cS2]=E(X-2)-cE(S2)=D(X-)+[E(X-)]2—co2

=o2n+ii2—co2。

令o2n+U2—co2=[12,则得c=ln。

习题3

设XI,X2,X3,X4是来自均值为。的指数分布总体的样本，其中。未知.设有估计量

Tl=16(X1+X2)+13(X3+X4),

T2=X1+2X2+3X3+4X45,

T3=Xl+X2+X3+X44o

(1)指出Tl,T2,T3中哪几个是。的无偏估计量;

(2)在上述0的无偏估计中指出一个较为有效的.

解答：

(1)0=E(X),E(Xi)=E(X)=0,D(X)=02=D(Xi),i=l,2,3,4.

E(T1)=E(16(Xl+X2)+13(X3+X4))=(26+23)6=0,

E(T2)=15E(X1+2X2+3X3+4X4)=15(1+2+3+4)0=20,

E(T3)=14E(X1+X2+X3+K4)=0,

因此，Tl,T3是。的无偏估计量.

(2)D(T1)=23602+2902=103602,0(T3)=116-402=1402=93602,

所以D(T3)<D(T1),作为。的无偏估计量,T3更为有效.

习题4

设从均值为口，方差为。2(。>0)的总体中，分别抽取容量为nl,n2的两独立样本，灯一和

X2一分别是两样本的均值，试证：对于任意常数a,b(a+b=l),Y=aX「+bX2一都是u的无偏估

计;并确定常数a,b,使D(Y)达到最小。

解答：____

E(Y)=E(aXl-+bX2")=aE(Xl-)+bE(X2-)=(a+b)u.

因为a+b=l,所以E(Y)=u.

因此,对于常数a,b(a4b=l),Y都是u的无偏估计,

D(Y)=a2D(Xl-)+b2D(X2")=a2o2nl+b2o2n2.

因a+b=l,所以D(Y)=o2[a2nl+ln2(l-a)2],令dD(Y)da=O,即2。2(anl-l-an2)=0,解

得

a=nlnl+n2,b=n2nl+n2

是惟一驻点.

又因为d2D(Y)da2=2o2(lnl+ln2)>0,故取此a,b二值时,D(Y)达到最小。

习题5

设有一批产品，为估计其废品率p,随机取一样木XI,X2,…，Xn,其中

Xi={l,取得废品0,取得合格品，i=L2,n,

证明：p=X—=lnEi=lnXi是p的一致无偏估计量.

解答•

由题标条件

E(Xi)=p-1+(1-p)0=p.

D(Xi)=E(Xi2)—[E(Xi)]2=p-12+(1—p)02—p2=p(1-p),

E(p)=E(X")=E(lnEi=lnE(Xi))=lnEi=lnE(Xi)=lnEi=lnp=p<,

由定义，P是p的无偏估计量，又

D(p)=D(X")=D(lnEi=lnXi)=ln2Ei=lnD(Xi)

=ln2Ei=lnp(l-p)=ln2np(1-p)=pqn.

由切比雪夫不等式，任给£》()

P{Ip-pI2s}=P{IX-—p|沁}W1E2D(X-)=le2p(1—p)n-0,n-*°°

所以limn-*8p{|p-p|2£}=0,故p=X1是废品率p的一致无偏估计量。

习题6

设总体X~b(k,p),k是正整数，0<p<l,k,p都未知，XI,X2,…,Xn是一样本，试求k和p

的矩估计.

解答：

因总体X服从二项分布b(k,p),故

{al=E(X)=kpa2=E(X2)=D(X)+[E(X)]2=kp(1—p)+(kp)2,

解此方程组得p=al+al2-a2al,k=al2al+al2-a2o

用Al=lnEi=lnXi=X，A2=ln£i=lnXi2分别代替al,a2,即得p,k的矩估计为

p=X--S2X",k=[X_2X-—S2],

其中S2=lnEi=ln(Xi—X-)2,[x]表示x的最大整数部分.

习题7

求泊松分布中参数X的最大似然估计。

解答：

总体的概率函数为

P{X=k}=Xkk!e—X,k=0,1,2,….

设xl,x2,…，xn为从总体中抽取的容量为n的样本，则似然函数为

L(xl,x2,xn;入)=ni=lnf(xi；入)=11i=lnXxixi!e-X=X£i=lnxiIIi=lnxi!e-nX,

lnL=(Ei=lnxi)InX-nX-£i=lnlnxi!,

令dlnLdX=1XLi=lnxi-n=O,得卜的最大是然估计为

入=lnLi=lnxi=x-,

即x-=lnEi=lnxi就是参数、的最大似然估计。

习题8

已知总体X的概率分布

P{X=k)=C2k(1—0)k02—k,k=0,1,2,

求参数的矩估计。

解答：

总体X为离散型分布，且只含一个未知参数0,因此,只要先求离散型随机变量的数学期

望E(X),然后解出o并用样本均值X一代替E(X)即可得o的矩估计0.

由E(X)=Ek=02kC2k(1-9)k02-k=lX2(1—0)0+2(1-9)2=2-20,即有

o=l-E(X)2。

用样本均值X-代替上式的E(X),得矩估计为0=1-X-2.

习题9

设总体X的概率密度为

f(x)={(e+l)x0,O<x<lO,其它,

其中0〉-1是未知参数，XI,X2,Xn为一个样本,试求参数0的矩估计和最大似然估计量。

解答：_

0E(X)=/O1(0+1)x0+ldx=0+l0+2.令E(X)=ln£i=lnXi=X,得0+1。+2=X)解

得0的矩估计量为

0=2X--11-X"

设xl,x2,…,xn是样本XI,X2,…,Xn的观察值，则似然函数

L(xl,x2,xn,0)=lli=ln(0+1)xi0

=(0+l)n(xlx2-xn)0(0(xi<1,i=l,2,1,1,n),

取对数得InLnin(0+1)+0Ei=lnlnxi,从而得对数似然方程

dlnLd0=n0+1+Ei=lnlnxi=0,

解出0,得0的最大似然估计量为

。=-nEi=lnlnXio

由此可知，。的矩估计和最大似然估计是不相同的。

习题10

设X具有分布密度

f(x,o)={oxe—Ox!,x=0,1,2,-0,其它，0<e<+co,

XI,X2,Xn是X的一个样本,求0的最大似然估计量.

解答：

似然函数

L(0)=ni=ln0xie-0xi!=e-n0ni=ln«xixi!,

lnL(0)=-n0+Li=lnxiln0-Li=lnln(xi!),

dd0(lnL(。))=—n+10£i=lnxi,

令ddO(lnL(O))=0,即

-n+10£i=lnxi=0=>0=ln52i=lnxi,

故0最大似然估计量为

o=X-=lnEi=lnXio

习题11

设使用了某种仪器对同一量进行了12次独立的测量，其数据(单位：亳米)如下：

232o50232.4823245232。30

232o48232.05232.45232.60232。47232.30

试用矩估计法估计测量值的均值与方差(设仪器无系统误差).

解答：

设测量值的均俏与方差分别为P与。2,因为仪器无系统误差，所以

e=p=X-=lnEi=lnXi=232+112Ei=ln(Xi—232)

=232+1/12X4.76t232。3967.

用样本二阶中心矩B2估计方差。2,有

。2=lnEi=ln(Xi—X-)2=lnEi=ln(Xi-a)2-(X--a)2

=112Zi=112(Xi-232)2-(232.3967—232)2

=0.1819—0o1574=0.0245.

习题12

设随机变量X服从二项分布

P{X=k}=Cnkpk(1-p)n—k,k=0,1,2,n,

XI为其一个样本，试求p2的无偏估计量.

解答：

\becauseX'b(n,p),

・・・E(X)=np,D(X)=np(l—p)=E(X)-np2

=>p2=ln[E(X)—D(X)]=ln[E(X)—E(X2)+(EX)2]

=>p2=ln[E(X(1-X))]+lnn2p2=lnE(X(l-X))]+np2

=>p2=E[X(X-D]n(n—1),由于E[X(XT)]=E[X1(X1—1)],

故

p2=X1(X1—1)n(n-l)o

习题13

设XI,X2,…,Xn是来自总体X的随机样本，试证估计量

X-lnZi=lnXi和Y=Ei=lnCiXi(Ci20为常数，Ei=lnCi=l)

都是总体期望E(X)的无偏估计，但X一比Y有效。

解答：

依题设可得

E(X-)=lnEi=lnE(Xi)=lnXnE(X)=E(X),

E(Y)=Ei=lnCiE(Xi)=E(X)Ei=lnCi=E(X).

从而X，Y均为E(X)的无偏估计量，由于

D(X-)=ln2Ei=lnD(Xi)=lnD(X),

D(Y)=D(Ei=lnCiXi)=Ei=lnCi2D(Xi)=D(X)Li=lnCi2..

应用柯西-施瓦茨不等式可知

1=(Ei=lnCi)2W(£i=lnCi2)((i=lnl2)=nEi=lnCi2,0InW£i=lnCi2,

所以D(Y)>D(X~),故X一比Y有效.

习题14

设XI,X2,…，Xn是总体X〜U(0,0)的一个样本，证明：01=2X一和。2=n+lnX(n)是0

的一致估计.

解答：

因E(01)=0,D(01)=023n;E(02)=0,D(02)=0n(n+2),X(n)=max{Xi}.

依切比雪夫不等式，对任给的£>0,当n-8时，有

P{I01—0|»£}WD(01)E2=023ns2-0,(n-8)

P{I02一。|2ZD(02)E2=G2n(n+l)£2-0,(n-8)

所以，。1和。2都是。的一致估计量.

习题15

某面粉厂接到许多顾客的订货，厂内采用自动流水线灌装面粉，按每袋25千克出售。现从

中随机地抽取50袋，其结果如下：

25.8,24.7,25oD,24。9,25o1,25。0,25.2,

24.8,25。4,25.3,23.1,25.4,24.9,25.0,

24o6,25«0.25.1,25.3,24.9,24.8,24.6,

21。1,25.4,24.9,24。8,25o3,25.0,25.1,

24.7,25.0,24o7,25o3,25.2,24.8,25o1,

25O1,24。7,25.0,25o3,24.9,25o0,25。3,

25o0,25.1,24,7,25o3,25。1,24.9,25.2,

25o1,

试求该厂自动流水线灌装袋重总体X的期望的点估计值和期望的置信区间(置信度为0。95)。

解答：

设X为袋重总体，则E(X)的点估计为

E(X)=X-=150(25.8+24.Z+-+25.1)=24.92kg.

因为样本容量n=50,可作为大样本处理，由样本值算得x-24.92,s2po.4376,s=0o6615,

则E(X)的置信度为0.95的置信区间近似为

(X--ua/2Sn,X-+ua/2Sn),

查标准正态分布表得ua/2=u0.025=1.96,故所求之置信区间为

(24。92—1.96X0.661550,24.92+1.96X0.661550)=(24。737,25.103),

印有95%的把握，保证该厂生产的面粉平均每袋重量在24。737千克至25。103千克之间.

习题16

在一批货物的容量为100的样本中，经检验发现有16只次品,试求这批货物次品率的置信度

为0。95的置信区间。

解答：

这是(0—1)分布参数区间的估计问题。

这批货物次品率P的1-a的置信区间为

(pl,P2)=(12a(—b-b2-4ac),12a(-b+b2-4ac))。

其中a=n+ua/22,b=—(2r.X-+ua/22),c=nX-2o

由题意，x-=1610()=0o16;n=l()0,1—a=0.95,u()o025=1.96.算得

a=100+lo962=103.842,

b=-(2X100X0。16+1。962)=—35.842,

c=100X0.162=2.56.

p的0。95的置信区间为(pl,p2)=(12a(-b±b2-4ac)),即

(12X103.842(35.8416±22U2823)),

亦即(0。101,0o244).

习题17

在某校的一个班体检记录中，随意抄录25名男生的身高数据，测得平均身高为170厘米，

标准差为12厘米，试求该班男生的平均身高U和身高的标准差。的置信度为0。95的置信

区间(假设测身高近似服从正态分布)。

解答：_

由题设身高X~N(u,o2),n=25,x~=170,s=12,a=0。05.

(1)先求□置信区间(。2未知)，取

U=X"—MS/n-t(n-1),ta/2(n-l)=t0.025(24)=2o06。

故H的0。95的置信区间为

(170-1225X2,06,170+1225X2.06)

=(170-4o94,170+4.94)=(165。06,174,94).

⑵。2的置信区间(u未知)，取

U=(n—1)S2a2-x2(n-l),

xa/22(n-l)=x0o0252(24)=39。364,x1-a/22