概率-随机事件的概率板块二随机事件的概率计算学生版

即Mlg知识内容

版块一：事件及样本空间

I.必然现象与随机现象

必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；

随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象.

2.试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实

验的结果称为试验的结果.

一次试验是指事件的条件实现一次.

在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件；

在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；

在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件.

通常用大写英文字母A，5,C，来表示随机事件，简称为事件.

3.基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，

称为基本事件.它包含所有可能发生的基本结果.

所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用。表示.

版块二：随机事件的概率计算

I.如果事件八，4同时发生，我们记作简记为

2.一般地，对于两个事件如果有尸(A8)=P(A)P(8),就称事件A与8相互独立，

简称A与8独立.当事件A与8独立时，事件入与8,A与否，入与疗都是相互独立的.

3.概率的统计定义

一般地，在〃次重复进行的试验中，事件4发生的频率?，当〃很大时，总是在某个常数附

n

近摆动，随着〃的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记为

P(A).

从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率P(A)满足：OWP(A)W1.

当A是必然事件时，P(A)=1,当A是不可能事件时，户(A)=0.

4.互斥事件与事件的并

互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件.

由事件A和事件2至少有一个发生(即人发生，或4发生，或A,8都发生)所构成的事件

C,称为事件A与8的并(或和)，记作C=AUB.

若。=八」8,则若。发生，则A、8中至少有一个发生，事件AJA是由事件A或3所包

含的基本事件组成的集合.

5.互斥事件的概率加法公式：

若A、8是互斥事件，有Q(AUB)=P(A)+P(A)

若事件A,&凡两两互斥(彼此互斥)，有

"(AJ&U…U4)—'(A)十〃(4)十十

事件“AJ&U…U4”发生是指事件A，&，，4中至少有一个发生.

6.互为对立事件

不能回时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件.事件A的对立事件记作A.

有尸(,)=I-P(A).

〈教师备案〉

i.概率中的，，事件，，是指，，随机试验的结果，，，与通常所说的事件不同.基本事件空间是指一

次试验中所有可能发生的基本结果.有时我们提到事件或随机事件，也包含不可能事件和必

然事件，将其作为随机事件的特例，需要根据情况作出判断.

2.概率可以通过频率来“则量”，或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的统

计定义.在实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率.

随机事件的频率是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总是在某

个常数附近摆，且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事件

的概率.概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数星上反映了随机事件发生的可能性的

大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率.

3.基本事件一定是两两互斥的，它是互斥事件的特殊情形.

主要方法：

解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：

求概率的步骤是：

等可能事件

互斥事件

第•步，确定事件性质即所给的问题归结为四类事件中的某•种.

独立事件

n次独立重复试验

(和事件

第二步，判断事件的运算二二二，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或

I积事件

相乘事件.

等可能事件：P(A)=-

n

第三步,运用公式互斥事件:P(A+B)=P(A)+P(B)求解

独立事件：P(AB)=P(A)P(B)

〃次独立重复试验:R(k)=C：/(I-p)n-k

第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.

解决此类问题的关键是会正确求解以下六种事件的概率〔尤其是其中的(4)、(5)两种概率):

(1)随机事件的概率，等可能性事件的概率：

⑵互斥事件有一个发生的概率；

⑶相互独立事件同时发生的概率；

⑷〃次独立里复试验中恰好发生k次的概率；

⑸〃次独立重复试验中在第k次才首次发生的概率；

(6)对立事件的概率.

另外：要注意区分这样的语句：“至少有一个发生〃，"至多有一个发生〃，“恰好有一个发生〃,

“都发生”，"不都发生〃，“都不发生”，"第攵次才发生〃等.

助嘛典例分析

题型一概率与频率

【例1】下列说法：

①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；

②做〃次随机试验，事件A发生的频率％就是事件的概率；

n

③百分率是频率，但不是概率；

④频率是不能脱离具体的〃次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试

验次数的理论值；

⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.

其中正确的是（）

A.①④⑥B.②④⑤C.①③④D.①③⑤

【例2】对某工厂所生产的产品质量进行调查，数据如下:

抽查件数50100200300500

合格件数4795192285478

根据上表所提供的数据，估计合格品的概率约为多少？若要从该厂生产的此种产品

中抽到950件合格品，大约需要抽查多少件产品？

【例3】某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下:

投篮次数810129101660100

7

进球次数68971124574

进球频率

（1）在表中直接填写进球的频率；

（2）这位运动员投篮一次，进球的概率为多少？

【例4】下列说法：

①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小;

②做〃次随机试验，事件A发生，〃次，则事件A发生的概率为丝；

n

③频率是不能脱离〃次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数

的理论值；

④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.

其中正确命题的序号为.

【例5】盒中装有4只相同的白球与6只相同的黄球.从中任取一只球,试指出下列事件

【例10]⑴某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件A为“只订甲报、'，事件8为“至

少订一种报“，事件。为“至多订一种报“，事件。为“不订甲报”，事件E为“一

种报也不订判断下列每对事件是不是互斥事件，再判断它们是不是对立事

件.

①A与C；②B与E;③B与D;④3与C；⑤C与E.

【例11】抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数、事件8为“落地时向上的

数是偶数”，事件。为“落地时向上的数是3的倍数;事件。为“落地时向上的

数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（）

A.A与BB.4与CC.A与。D.。与。

【例12】每道选择题都有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的.某次考试共有12道

选择题，某人说：“每个选择支正确的概率是‘，我每题都选择第一个选择支,

4

则一定有3题选择结果正确”.对该人的话进行判断，其结论是（）

A.正确的B.错误的C.模棱两可的D.有歧义的

题型三随机事件的概率计算

【例13】（2010丰台二模）

为1,向该网内随机投•点点尸恰

形外的概率是________.

【例14】（2010崇文一模）

从52张扑克牌（没有大小I'.中随机的抽一张牌，这张牌是J或Q或K的概率为

【例15］（朝阳一模）

一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行.若蜜蜂在飞行过程

中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10,则就有可能捕到玻

璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10,则飞行

是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞

行是安全的概率是（)

A.13

B.—C.—D.

816278

【例16］（东城二模）

匕。¥中，设集合。={",），）|0•71,0・y41},在区域。内由

一点P（x,y）,则满足x+），Wl的概率等r.

【例17］（朝阳一模）

［乂问［一兀，兀］内掰记为qb,则使彳f（x）=x2+2ax-b2-nt

零点的概率为（）

【例18］（东城一模）

q仝为6的圆形标靶射击，假设他；

」机的，则此人。阴」上叮靶心的距离小卜2的概率为I

11

Ca-•

B.9-4-2

【例19］（西城一模）

为1的正方形内任取•点P，则点P到点A的距离小于1的相

为一

【例20】(丰台二模)

已知

C={(x,_y)|x+yC6,x>0,y>01,A={(x,y)|xC4,y>0,x-2y>0).

向区域。上随机投一点P,则点?落入区域A的概率是

【例21](朝阳一模)

袋子中装有编号为冬b的2个黑球和编号为c,d,e的3个红球，从中任意摸出2个

球.

(1)写出所有不同的结果；

⑵求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；

⑶求至少摸出1个黑球的概率.

【例22】(崇文二模)

在平面直角坐标系直为中，平面区域—的坐标(x,y)满足/+)/W5,从区

域W中随机取点M(x,y).

xwZyeZ<M」J,第四象限的概;；

/:y=-x+b(b>0)lj|M]O:x2+y2=5相交所截得的弦长为VL5,求

y^-x+b勺机%.

【例23］（西城一模）

守4张卜，片，每张卜片上写有I个数字，数字分别是1、2、3、4.现

从盒子中随机抽取卡片.

⑴若一次抽取3张k片，求3张:片上数字之和大「7的概率；

⑵花第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片.求两次抽取中至少一次抽到数字3

的概率.

【例24］（海淀一模）

卜：100

一次，其中O）林仃20兀、10兀、0兀的一部分瓜」或

面积相等.假定指针停在任一位置都是等可能的.当指针停在某区域时，返相应

金额的优惠券.：例如:某顾客消费.218欠转动获得了20元，第

得了10元，元！、」30元优惠券.）顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按

照规则参与了活动.

/C160》

B

岑甲消费J'128兀,求他获F0元的概：

⑵若顾客乙消费1280元，求他总共获得优惠三广20元的概：

【例25】（石景山一模）

.—I灾仔归世，时於项I邓进行竞标,共仃6家企'也参叮竞标.其中A企业

东门辽j，i，B、C两家企业来门牛i建省，。、E、尸三家企业来自河南省.此

项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业巾标的概率相同.

⑴企业E口标的概率是乡少？

⑵在中标的企业中，至少有一家来自河南省的概率是多少？

【例26］（湖北高考）

投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记.'硬币正面向上”为事件A,“骰于向

敷池3”为事件6,则事件A,6⑺个：少仃•件发生的概率是

AB.2

-HU卷4

【例27】盒子中有大小相同的3只小球,1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜

色不同的概率是

【例28】（江西高考）

一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作

弊，他用两种方法来检测.方法一：在100箱中各任意检查一枚；方法二：在5

箱”两痔.区口法一、二能发现至少一枚劣币的分别为四，0，

则（）

A./?!=p2B./?!<p2C./?,>p2D.以上三:种怙况都有可能

【例29】（陕西卷高考）

铁矿石A和B的含铁率。，冶炼每万吨铁矿石的8。的排放量b及每万吨铁/G的

价格c如下表：

abc(1

A50%13

B70%0.56

1.9:求C2的排放量八

买铁矿石的最少费用为（百万元）.

【例30】甲、乙两人进行击剑比赛，甲获胜的概率是0.41,两人战平的概率是。.27,那

甲不输的概率为甲不获胜的概率为.

【例31】已知A,8是相互独立事件，且P（A）=0.3,P（B）=0.6,则P（-8）=.

【例32】某人射击5枪，命中3枪，3枪中恰有2枪连中的概率为（）

【例33】袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的

概率.

⑴摸出2个或3个白球；

⑵至少摸出一个黑球.

【例34】一批产品共100件，其中5件是废品，任抽10件进行检查，求下列事件的概率.

⑴10件产品中至多有一件废品；⑵10件产品中至少有一件废品.

【例35】（湖南卷文）

为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产

业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的现有3名

236

工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：

⑴他们选择的项目所属类别互不相同的概率；

⑵至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.

【例36】甲、乙二射击运动员分别对一目标射击I次，甲射中的概率为0.8,乙射中的概

率为0.9,

求：⑴2人都射中的概率？⑵2人中有I人射中的概率？

【例37］（全国卷I文）

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束,假

设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概妥为0.4,各局比赛结果相互独立.已

知前2局中，甲.，乙各胜I局.

⑴求再赛2局结束这次比赛的概率；

⑵求甲获得这次比赛胜利的概率.

【例38】纺织厂某车间内有三台机器，这三台机器在一天内不需工人维护的概率：第一

台为0.9,第二台为0.8,第三台为0.85,问一天内：

⑴3台机器都要维护的概率是多少？

（2）其中恰有一台要维护的概率是多少？

⑶至少一台需要维护的概率是多少？

【例39】从甲口袋摸出一个红球的概率管，从乙口袋中摸出一个红球的概率是:，呜

是（）

A.2个球不都是红球的概率B,2个球都是红球的概率

C.至少有一个红球的概率D.2个球中恰好有I个红球的概率

【例40】甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为1和工，求:

34

⑴两个人都译出密码的概率；⑵两个人都译不出密码的概率；⑶恰有I个人译出密

码的概率；

⑷至多1个人译出密码的概率；⑸至少1个人译出密码的概率.

【例41】现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果:

胜、平、负，13场比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设

奖，则某人获得特等奖的概率为.

【例42】从10位同学（其中6女，4男）中，随机选出3位参加测验，每位女同学能通

过测验的概率均为

每位男同学能通过测验的概率均为|,试求：

⑴选出的3位同学中至少有一位男同学的概率；

⑵10位同学中的女同学甲和乙及男同学丙同时被抽到，且三人中恰有二人通过测

验的概率.

【例43】（天津）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为，

2

与〃，且乙投球2次均未命中的概率为

16

⑴求乙投球的命中率〃；

⑵求甲投球2次，至少命中1次的概率；

⑶若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率.

【例44】甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒子中有黄、黑、白三种颜色的

球各2个，从两个盒子中各取I个球，求取出的两个球是不同颜色的概率.

【例45】某商场有奖销售中，购满100元商品得I张奖券，多购多得.第I000张奖券为

一个开奖单位，设特等奖I个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等

奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,3,C,求：

⑴P(A),P(3),P(C)；

⑵1张奖券的中奖概率；

(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.

【例46】把10张卡片分别写上0,1,2,,9后，任意叠放在一起，从中任取一张，设“抽

到大于3的奇数''为事件A,“抽到小于7的奇数”为事件3,求P(A),P(B)和

P(八B).

【例47】甲、乙两人下棋，乙不输的概率是0.7,下成和棋的概率为0.5,分别求出甲、

乙获胜的概率.

【例48】黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示:

血型ABAB0

该血型的人所占比例（％）2829835

已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可

以输给A5型血的人，其他不同血型的人不能互相输血.小明是4型血，若小明因

病需要输血，问：

⑴任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？

⑵任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？

【例49】在袋中装20个小球，其中彩球有〃个红色、5个蓝色、10个黄色的，其余为白

球.

17

求：⑴如果从袋中取出3个都是相同颜色彩球：无白色）的概率是工，且〃22,

114

那么，袋中的红球共有几个？

⑵根据⑴的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率.

【例50】某射手射击一次射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.12,0.32,0.27,0.11,

计算这名射手射击一次：

⑴射中9环或8环的概率；⑵至少射中7环的概率；⑶至多射中8环的概率.

【例51】射击运动员李强射击一次击中目标的概率是0.8,他射击3次，恰好2次击中目

标的概率是多少？

【例52】在1,2,3,4,5条线路汽车经过的车站上，有位乘客等候着1,3,4路车的到

来.假如汽车经过该站的次数平均来说2,3,4,5路车是相等的，而1路车是其

他各路车次数的总和.试求首先到站的汽车是这位乘客所需要线路的汽车的概

率.

【例53](全国I卷文)某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根

据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6,经销一件该商品，若顾

客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利

润250元.

(1)求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；

⑵求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率.

【例54](全国n卷文)从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，

假设事件A：“取出的2件产品中至多有I件是二等品”的概率P(A)=0.96.

(1)求从该批产品中任取I件是二等品的概率〃；

⑵若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件8："取出的2件产品中至少

有一件二等品〃的概率P(B).

【例55](全国卷I文)

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束.假

设在一局中，甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概案为0.4,各局比赛结果相互独立.已

知前2局中，甲、乙各胜1局.

⑴求再赛2局结束这次比赛的概率；

⑵求甲获得这次比赛胜利的概率.

【例56】为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供斐用，

单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P）和所需

费用如下表：

预防措施甲乙丙T

P0.90.80.70.6

费用（万元）90603010

预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120

万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.

【例57】某售货员负责在甲、乙、丙三个柜面上售货.如果在某一小时内各柜面不需要

售货员照顾的概率分别为0.9,0.8,0.7.假定各个柜面是否需要照顾相互之间没

有影响，求在这个小时内：

⑴只有丙柜面需要售货员照顾的概率；

⑵三个柜面恰好有一个需要售货员照顾的概率；

⑶三个柜面至少有一个需要售货员照顾的概率.

【例58】（北京卷）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.

方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；

方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.

假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a,b,c,且三门课程考试是

否及格相互之间没有影响.

⑴分别求该应聘者用方案一和方案二M考试通过的概率；

⑵试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）