概率论与数理统计-教案32课时

第一章随机事件及其概率

概率论与数理统计是从数量化的角度来研究现实世界中一类不确定现象（随机现象）规律性的一门应用数学学科,

20世纪以来，广泛应用于工业、国防、国民经济及工程技术等各个领域.本章介绍的随机事件与概率是概率论中

最基本、最重要的概念之一.

【教学目的与要求】

通过学习，使学生理解随机事件和样本空间的概念；熟练掌握事件间的关系与基本运算。理解事件

频率的概念；了解随机现象的统计规律性。知道概率的公理化定义；理解古典概型的概念；了解

几何概率；掌握概率的基本性质（特别是加法定理），会应用这些性质进行概率计算。理解条件概

率的概念；掌握乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式，并会应用这些公式进行概率计算。理解事件

独立性的概念，会应用事件的独立性进行概率计算。掌握贝努里概型及有关事件概率的计算。

【教学重点】

事件的关系与运算；概率的公理化体系；古典概型的计算；概率的加法公式、乘法公式与全概率公式；条

件概率与事件的独立性。贝努里概型。

【教学难点】

古典概率的计算；全概公式与贝叶斯公式的应用；

【计划课时】8

【教学内容】

第一节随机事件

一.随机现象

从亚里士多德时代开始，哲学家们就已经认识到随机性在生活中的伶用.但直到20世纪初.人们才认识到随机现象

亦可以通过数量化方法来进行研究.概率论就是以数最化方法来研究随机现象及其规律性的一门数学学科.而我们

已学过的微积分等课程则是研究确定性现象的数学学科.

二.随机现象的统计规律性

由于随机现象的结果事先不能预知.初看似乎亳无规律.然而人们发现同一随机现象大量重复出现时.其每种

可能的结果出现的频率具有稳定性.从而表明随机现象也有其固有的规律性.人们把随机现象在大量重复出现时所

表现出的量的规律性称为随机现象的统计规律性.概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科.

为了对随机现象的统计规律性进行研究，就需要对随机现象进行重复观察.我们把对随机现象的观察称为随机

试验.并简称为试验，记为.例如.观察某射手对固定目标进行射击.抛一枚硬币三次，观察出现正面的次数.记录某

市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验.

随机试验具有下列特点：

I.可重复性.试验可以在相同的条件下重复进行；

2.可观察性.试验结果可观察,所有可能的结果是明确的；

3.不确定性.每次试验出现的结果事先不能准确预知.

三,样本空间

尽管一个随机试验将要出现的结果是不确定的.但其所有可能结果是明确的.我们把随机试验的每一种可能的结果

称为一个样本点.记为（或）;它们的全体称为样本空间.记为（或）.

基本事件的称谓是相对观察目的而言它们是不可再分解的、最基本的事件，其它事件均可由它们复合而成,

一般地，我们称由基本事件复合而成的事件为复合事件.

四.事件的集合表示

按定义.样本空间是随机试验的所有可能结果（样本点）的全体.故样本空间就是所有样本点构成的集合.每一个样

本点是该集合的元素.一个事件是由具有该事件所要求的特征的那些可能结果所构成的.所以一个事件对应于中

具有相应特征的样本点(元素)构成的集合.它是的一个子集.于是.任何一个事件都可以用的某一子集来表示，常

用字母等表示.

五.事件的关系与运算

因为事件是样本空间的一个集合，故事件之间的关系与运算可按集合之间的关系和运算来处理.

六,事件的运算规律

事件间的关系及运算与集合的关系及运算是一致的，为了方便，给出下列对

昭表.

表1.1

例题选讲：

例1在管理系学生中任选一名学生，令事件A表示选出的是男生，事件8表示选出的是三年级学生，事件C表

示该生是运动员.

(1)叙述事件4^e的意义；(2)在什么条件下AAC=C成立？

(3)什么条件下CuB?(4)什么条件下X=8成立？

例2考察某一位同学在一次数学考试中的成绩，分别用4,B,C,D,P,尸表示下列各事件(括号中表示成绩所处

的范围):A—优秀([90,100]),8—良好([80,90)),

则是两两不相容事件与是互为对立事件，即有均为的子事件，且有

例3甲，乙，丙三人各射一次靶，记“甲中靶”“乙中靶”“丙中靶”则可用上述三个事件的运算来

分别表示下列各事件：

(I)“甲未中靶”：⑵“甲中靶而乙未中靶”：

(3)“三人中只有丙未中靶"(4)“三人中恰好有一人中靶”：

(5)“三人中至少有一人中靶"AUBUC(6)“三人中至少有一人未中靶”WU后US或而心

(7)“三人中恰有闲人中靶"ABeUA豆CUW8C;(8)“三人中至少雨人中靶"ABUACUBC;

(9)“三人均未中靶”ABC;(10)“三人中至多一人中靶A耳不方CUN后G；

(11)“三人中至多雨人中靶”痂;或WU再U彳；

注：用其他事件的运算来表示一个事件，方法往往不惟一，如上例中的⑹和(H)实际上是同一事件，读者应学会

用不同方法表达同一事件，特别在解决具体问题时，往往要根据需要选择一种恰当的表示方法.

例4指出下码各等式命题是否成立，并说明理由：

(1)=(2)AB=AUB;

(3)7U5nC=A§C;(4)(AB)(AB)=0;

⑸如果Au8,贝Ij4=4及(6)如果A6=0,且CuA,则8C=0;

(7)如果Au3,那么看uW;(8)如果那么4U4=A

例5化曾下列事件：(1)(2)

思考题

1.设当事件与同时发生时也发生.…).

(A)AU8是。的子事件；(B)48C;或一U百U髭;

(C)45是C的子事件；(D)C是45的子事件.

2.设事件｛甲种产品畅销.乙种产品滞销｝.则的对立事件...).

(A)甲种产品滞销，乙种产品畅销；(B)甲种产品滞销；

(C)甲、乙两种产品均畅销；(D)甲种产品滞销或者乙种产品畅销.

第二节随机事件的概率

对一个随机事件，在一次随机试验中，它是否会发生，事先不能确定.但我们可以问，在一次试验中，事件发生

的可能性有多大？并希望找到一个合适的数来表征事件在一次试验中发生的可能性大小.为此，本节首先引

入频率，它描述了事件发生的频繁程度，进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数…-概率.

一.频率及其性质

定义.若在相同条件卜进行次试验.其中事件发生的次数为.贝J称为事件发生的频率.易见.频率具有卜述

基本性质..1.…2…3.设是两两互不相容的事件.则

2

力,(AU&U・・*U4i(A)+/〃(A2)+・・"(4).

二,概率的统计定义

定义2在相同条件下重复进行n次试验，若事件发生的频率随着试验次数n的增大而稳定地在某个常数

(附近摆动，则称为事件的概率.记为.

频率的稳定值是概率的外在表现.并非概率的本质.据此确定某事件的概率是困难的，但当进行大量重复试验

时，频率会接近稳定值.因此，在实际应用时，往往是用试验次数足够大的频率来估计概率的大小.且随着试验次数

的增加.估计的精度会越来越高。

三,概率的公理化定义

任何•个数学概念都是对现实世界的抽象，这种抽象使得其具有广泛的适用性.概率的频率解释为概率提供了经

验基础.但是不能作为一个严格的数学定义.从概率论有关问题的研究算起.经过近三个世纪的漫长探索历程.人们

才真正完整地解决了概率的严格数学定义.1933年.前苏联著名的数学家柯尔莫哥洛夫.在他的“概率论的基本概

念”一书中给出了现在已被广泛接受的概率公理化体系.第一次将概率论建立在严密的逻辑基础上.

定义3设E是随机试验，S是它的样本空间,对于石的每一个事件A赋于一个实数，记为P(A),若P(A)满足下

列三个条件：

1.非负性：对每一个事件，..…2.完备性：；

3.可列可加性：设是两两互不相容的事件，则有

则称P(A)为事件A的概率.

四.概率的性质

性质I-性质

例题选讲：

频率及其性质

例..圆周率是一个无限不循环小数.我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位,这个记录保持了

1000多年.以后有人不断把它算得更精确.1873年.英国学者沈克士公布了一个的数值.它的数目在小数点后一共

有707位之多.但几十年后.曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑.他统计了的608位小数.得到了下表：

你能说出他产生怀疑的理由吗？

因为是一个无限不循环小数，所以.理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1,

但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.

概率的统计定义

例2检查某工厂一批产品的质量，从中分别抽取10件、20件、50件、100件、150件、200件、300件检查,

检查结果及次品频列入表1-21

由表I看出.在抽出的n件产品中.次品数随着n的不同而取不同值.从而次品频率仅在0.05附近有微小变化.

所以0.05是次品频率的稳定值.

例..从某鱼池中取100条鱼.做上记号后再放入该鱼池中.现从该池中任意捉来40条鱼.发现其中两条有记号.问池

内大约有多少条鱼？

概率的性质_

例4己知P(彳)=0.5,P(A豆)=0.2,P(8)=0.4,求

(1)P(AB);(2)P(A-B);(3)P(AuB);(4)P(AB).

例5观察某地区未来5天的天气情况，记片为事件：“有，・天不下雨"，已知P(4)=iP(A)),i=l,2,3,4,5.求

下列各事件的概率：

(I)天均下雨；(2)至少一天不下雨；(2)至少一天不下雨；

例.某城市中发行2种报纸A.B.经调查,在这2种报纸的订户中.订阅A报的有45%,订阅B报的有35%.同时订阅

2种报纸A.B的有10%.求只订一种强纸的概率

讲解注意：

思考题

1.设A8=0,P(A)=0.6,P(AU8)=0.8,求事件4的逆事件的概率.

2.设P(A)=0.4,P(8)=0.3,夕(AU8)=0.6,求P(A—3).

3.设A8都出现的概率与A8都不出现的概率相等，且P(A)=〃，求P(4).

3

第三节古典概型与几何概型

引.一个纸桶中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为1一10.把球搅匀.蒙上眼睛从中任取一球.因为抽

取时这些球被抽到的可能性是完全平等的.所以我们没有理由认为这10个球中的某一个会比另一个更容易抽得.

也就是说，这10个球中的任一个被抽取的可能性均为.

这样一类随机试验是一类最简单的概率模型.它曾经是概率论发展初期主要的研究对象.

一、古典概型

我们称具有下列两个特征的随机试验模型为古典概型。1.随机试验只有有限个可能的结果；

2.每一个结果发生的可能性大小相同因而古典概型又称为等可能概型.在概率论的产生和发展过参程中，它是

最早的研究对象，且在实际中也最常用的一种概率模型。它在数学上可表述为：在古典概型的假设下，我们来推导

事件概率的计算公式.设事件包含其样本空间中个基本事件.即则事件发生的概率

称此概率为古典概率.这种确定概率的方法称为古典方法.这就把求古典概率的问题转化为对基本事件的计数问

题.

二、计算古典概率的方法

基本计数原理：

1.加法原理：设完成一件事有种方式，其中第一种方式有种方法，第二种方式有种方法，……，第种方式有

种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事的方法总数为.

2.乘法原理：设完成一件事有个步骤，其中第一个步骤有种方法，第二个步骤有种方法，……，第个步骤有

种方法；完成该件事必须通过每一步骤才算完成，则完成这件事的方法总数..

3.排冽组合方法：排列公式：(2.组合公式.(3.二项式公式.

三、几何概型

古典概型只考虑了有限等可能结果的随机试验的概率模型.这里我们进一步研究样本空间为一线段、平面区域或

空间立体等的等可能随机试验的概率模型一几何概型.

(a)设样本空间是平面上某个区域.它的面积记为；(b)向区域上随机投掷一点，这里“随机投掷一点”的含

义是指该点落入内任何部分区域的可能性只与区域的面积成比例.而与区域的位置和形状无关.向区域

上随机投掷一点.该点落在区域的的事件仍记为，则概率为.其中为常数，而，于是得，从而事件的

概率为..几何概....

注：若样本空间S为一线段或一空间立体，则向S“投点”的相应概率仍可用(*)式确定，但〃。应理解为长度或

体积.

例题选讲：

例1一个袋子中装有10个大小相同的球，其中3个黑球,7个白球，求

(I)从袋子中任取一球，这个球是黑球的概率；

(2)从袋子中任取两球，刚好一个白球一个黑球的概率以及两个球全是黑球的概率.

例2将标号为1,2,3,4的四个球随意地排成一行，求下列各事件的概率：

(I)各球自左至右或自右至左恰好排成1,2,3,4的顺序；

(2)第1号球排在最右边或最左边；

(3)第I号球与第2号球相邻；

(4)第1号球排在第2号球的右边(不一定相邻).

例3将3个球随机放入4个杯子中，问杯子中球的个数最多为1,2,3的概率各是多少？

例4将15名新生(其中有3名优秀生)随机地分配到三个班级中，其中一班4名，二班5名，三班6名，求：

(I)每一个班级各分配到一名优秀生的概率；

(2)3名优秀生被分配到一个班级的概率.

例5在1~2000的整数中随机地取一个数，间取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？

例6一个袋子中装有个球，其中个黑球，个白球,随意的每次从中取出一个球(不放回)，求下列各事

件的概率：

(1)第，次取到的是黑球；

(2)第，次才取到黑球；

(3)前，次中能取到黑球.

几何概型

4

例7某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，设电台每正点是报时一次，求他(她)等待时间短于

10分钟的概率.

例8会面问题.甲、乙两人相约在7点到8点之间在某地会面.先到者等候另一人20分钟,过时就离开.如果每个

人可在指定的一小时内任意时刻到达.试计算二人能够会面的概率.

思考题

I.设有件产品.其中有件次品.现从中任取件.求其中有件次品的概率.

第四节条件概率

先由一个简单的例子引入条件概率的概念.

一、条件概率的概念

在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.如在事件发生的条件下，求事件发

生的条件概率，记作.

定义1设是两个事件，且，则称(1)为在事件发生的条件下，事件的条件概率.相应地，把称为无条件

概率。一般地..

注.1.用维恩图表达(1)式.若事件已发生，则为使也发生，试验结果必须是既在中又在中的样本点，即此点必属

于.因已知己发生，故成为计算条件概率新的样本空间.2.计算条件概率有两种方法:：a.在缩减的样本空间

中求事件的概率，就得到；b.在样本空间中，先求事件和，再按定义计算。

二、乘法公式

由条件概率的定义立即得到:P(A8)=P(A)P(8|A)(P(A)>0)(2)

注意到45二胸，及A8的对称性可得到:P(人B)=P(8)P(A|8)(P(4)>0)(3)

(2)和(3)式都称为乘法公式，利用它们可计算两个事件同时发生的概率.

三、全概率公式

全概率公式是概率论中的一个基本公式。它使一个复杂事件的概率计算问题，可化为在不同情况或不同原因

或不同途径下发生的简单事件的概率的求和问题。

定理1设44,…，4,…是一个完备事件组，且尸(4)>0,i=1,2,…，则对任一事件—有

注：全概率公式可用「计算较复杂事件的概率，公式指出：在复杂情况下直接计算P(或不易时，可根据具体情况

构造一组完备事件{4},使事件4发生的概率是各事件4«=12…)发生条件下引起事件4发生的概率的总和.

四、贝叶斯公式

利用全概率公式，可通过综合分析一事件发生的不同原因、情况或途径及其可能性来求得该事件发生的概率.下面

给出的贝叶斯公式则考虑与之完全相反的问题，即，一事件已经发生，要考察该事件发生的各种原因、情况或途径的

可能性.例如，有三个放有不同数量和颜色的球的箱子，现从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号

箱的概率.或问:该球取自哪号箱的可能性最大？

定理2设…,4,…是一完备事件组厕对任一事件&P(3)>0,有

i=l,2,…，贝叶斯公式

注.公式中，和分别称为原因的验前概率和验后概率.是在没有进一步信息(不知道事件是否发生)的情况下诸

事件发生的概率.当获得新的信息(知道发生)，人们对诸事件发生的概率有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻

划了这种变化.特别地，若取，并记.则，于是公式成为

例题选讲：

条件概率

例I一袋中装有10个球，其中3个黑球,7个白球，先后两次从袋中各取一球(不放回)

(1)已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；

(2)已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率.

例.袋中有5个球.其中3个红球2个白球.现从袋中不放回地连取两个.己知第一次取得红球时.求第二次取得白球

的概率.

5

乘法公式

例3一袋中装10个球，其中3个黑球、7个白球，先后两次从中随意各取一球(不放I可)，求两次取到的均为黑球

的概率.

分析：这一概率.我们曾用古典概型方法计算过.这里我们使用乘法公式来计算.在本例中.问题本身提供了两步完

成一个试验的结构.这恰恰与乘法公式的形式相应.合理地利用问题本身的结构来使用乘法公式往往是使问题得

到简化的关键.

例4设袋中装有只红球,只白球.每次自袋中任取一只球.观察其颜色然后放回.并再放入只与所取出的那只球

同色的球.若在袋中连续取球四次.试求第一.二次取到红球且第三.四次取到白球的概率.

例5设某光学仪器厂制造的透镜.第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破.第二次落下打破的概率为

7/10.若前两次落下未打破.第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.

例6)已知，试求

例7一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，求第二次取到的是黑球

的概率.

全概率公式

例8人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化.往往会去分析影响股票价格的基本因素.比如利率的变化.

现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%.利率不变的概率为4。％.根据经验.人们估计.在利率下调的情况下.

该支股票价格上涨的概率为80%,而在利率不变的情况下.其价格上涨的概率为40%.求该支股票将上涨的概率.

例9某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06,乙厂每

箱装120个，废品率为0.05,求：(1)任取一箱,从中任取一个为废品的概率；(2)若将所有产品开箱混放，求任取一

个为废品的概率.

例1.在例7中，我们将“第二次取到的球为黑球”这一事件分解为两种情况下发生，那里利用全概率公式算得“第

二次取到的球为黑球”的概率.现在的问题是，假设我们已经观察到“第二次取到的球为黑球”，但我们不知道是

在第一次取到的球为黑球的情况下第二次取的是黑球的可能性大，还是在第一次取到的球为白球的情况下第二

次取到的是黑球的可能性大，现求“第一次取到的是黑球”这种“情况”发生的概率.

例11对以往数据分析结果表明.当机器调整得良好时.产品的合格率为98%.而当机器发生某种故障时.其合格率为

55%.每天早上机器开动时.机器调整良好的概率为95%.试求已知某日早上第一件产品是合格时.机器调整得良好

的概率是多少？

例12设某批产品中，甲，乙，丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%,各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%,

现从中任取•件,(1)求取到的是次品的概率;(2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率.

例13根据以上的临床记录，某种诊断癌症的是眼睛有如下的效果:若以表示事件“试验反应为阳性”，以表

示事件“被诊断者患有癌症”，则有

现在对自然人群进行普查，设备试验的人患有癌症的概率为0.005,即P(C)=0.005,试求

思考题

1.设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8.活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物.它能活

到25岁以上的概率是多少？

第五节事件的独立性

一、两个事件的独立性

定义若两事件4,3满足aA8)=P(A)P(5)⑴则称43独立，或称A.B相互独立.

注.当，时.，相互独立与，互不相容不能同时成立.但与既相互独立又互不相容(自证).

定理.设，是两事件.且，若，相互独立.则•反之亦然.

定理2设事件A,3相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与瓦彳与&彳与后.

二、有限个事件的独立性

定义：为三个事件.若满足等式则称事件相互独立.

对〃个事件的独立性，可类似写出其定义：

定义设A，4,…,4是〃个事件，若其中任意两个事件之间均相互独立，则称4,…,4两两独立.

三、相互独立性的性质

6

性质1若事件A，…,4。此2）相互独立，则其中任意以1＜心〃）个事件也相互独立;

由独立性定义可直接推出.

性质2若个事件相互独立，则将中任意个事件换成它们的对立事件，所得的个事件仍相互独立；对

时，定理2已作证明，一般情况可利用数学归纳法证之，此处略.

性质3设是个随机事件，则相互独立两两独立。即相互独立性是比两两独立性更强的性质，

四、伯努利概型

设随机试验只有两种可能的结果.事件发生（记为..事件不发生1记为）.则称这样的试验为伯努利（Bcrmourlli）

试验.设将伯努利试验独立地重复进行次.称这一串重复的独立试验为重伯努利试验.或简称为伯努利概型.

注：〃重伯努利试验是•种很重要的数学模型，在实际问题中具有广泛的应用.其特点是:事件A在每次试验中发

生的概率均为〃，且不受共他各次试照中A是否发生的影响.

定理3（伯努利定理）设在一次试验中，事件A发生的概率为则在〃重贝努里试验中，事件A恰好发

生攵次的概率为片X=%｝=p&Q-p尸,（k=0,1,…

推论设在一次试验中，事件A发生的概率为同。＜〃＜1），则在〃重贝努里试验中，事件A在第攵次试验中的才

首次发生的概率为p（l-p产，（攵=0,1,…

注意到“事件A第k次试验才首次发生”等价于在前々次试验组成的火重伯努利试验中”事件A在前攵-1次试验

中均不发生而第k次试验中事件A发生”，再由伯努利定理即推得.

例题选讲：

两个事件的独立性

例1从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记4=｛抽到K｝,8=｛抽到的牌是黑色的｝,问事件A、8是否独

立？

注：从例1可见.判断事件的独立性.可利用定义或通过计算条件概率来判断.但在实际应用中.常根据问题的实际

意义去判断两事件是否独立.

相互独立性的性质

例.已知甲、乙两袋中分别装有编号为L2.3.4的四个球.今从甲、乙两袋中各取出一球.设｛从甲袋中取出的是偶

数号球｝.｛从乙袋中取出的是奇数号球｝.｛从两袋中取出的都是偃数号球或都是奇数号球｝.试证两两独立但不

相互独立.

例3和工某一零件共需经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2%,3%,5%,3%,假定各道工

序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率.

例4如图是一个串并联电路系统.都是电路中的元件.它们下方的数字是它们各自正常工作的概率.求电路系统的

可靠性.

例5甲.乙两人进行乒乓球比赛.每局甲胜的概率为p,p2l/2.问对甲而言，采用三局二胜制有利.还是采用五局三胜

制有利.设各局胜负相互独立.

例6某种小数移栽后的成活率为90%,一居民小区移栽了20棵，求能成活18的概率.

伯努利概型

例7一条自动生产线上的产品，次品率为4%,求解以下两个问题：

（I）从中任取10件，求至少有两件次品的概率；

（2）一次取1件，无放回地抽取，求当取到第二件次品时，之前已取到8件正品的概率.

例8一个医生知道某种疾病患者自然痊愈率为0.25.为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用.且规定

若10个病人中至少有四个治好则认为这种药有效.反之则认为无效.求

（1）虽然新药有效，且把痊愈率提高到0.35,但通过实验却被否定的概率.

（2）新药完全无效，但通过实验却被认为有效的概率.

例9一个袋中装有10个球，其中3个黑球,7个白球，每次从中随意取出一球，取后放回.

（1）如果共取10次，求10次中能取到黑球的概率及10次中恰好取到3次黑球的概率.

（2）如果未取到黑球就一直去下去，直到取到黑球为止，求恰好要取3次黑球的概率.

例10一辆飞机场的交通车载有25名乘客途经9个站，每位乘客都等可能在这9站中任意一站下车（且不受其

7

他乘客下车与否的影响)，交通车只在有乘客下车时才停车，求交通车在第站停车的概率以及在第站不停车

的条件下第站的概率，并判断“第站停车”与“第站停车”两个事件是否独立.

例11某型号高炮，每门炮发射•发炮弹击中飞机的概率为06现若干门炮同时各射一发,(1)问:欲以99%的把握击

中一架来犯的敌机至少需配置几门炮？(2)现有3门炮，欲以99%的把握击中一架来犯的敌机，问:每门炮的命中率应

提高到多少？

思考题：1.某工人一天出废品的概率为0.2.求在4天中：

(1)都不出废品的概率；(2)至少有一天出废品的概率；

(3)仅有一天出废品的概率；(4)最多有一天出废品的概率；

(5)第一天出废品，其余各天不出废品的概率.

第二章随机变量及其分布

在随机试验中，人们除对某些特定事件发生的概率感兴趣外，往往还关心某个与随机试验的结果相联系的变量.

由于这一变量的取值依赖于随机试验结果，因而被称为随机变量.与普通的变量不同，对于随机变量，人们无法事

先预知其确切取值，但可以研究其取值的统计规律性.本章将介绍两类随机变量及描述随机变量统计规律性的分

布.

【教学目的与要求】

通过学习，使学生了解随机变量的概念；理解分布函数的概念和性质；掌握离散型随机变量和连续型随机变量

的描述方法；理解分布律与概率密度的概念和性质。熟练掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态

分布；会利用概率分布计算有关事件的概率。会求简单的随机变量函数的概率分布；

【教学重点】

离散型随机变量的分布律与连续型随机变量的概率密度的概念和性质；二项分布、泊松分布、均匀分布、指

数分布和正态分布；随机变量的函数的分布。

【教学难点】

连续型随机变量函数的分布；

【计划课时】7

【教学内容】

第一节随机变量的概念

一、随机变量概念的引入

为全面研究随机试验的结果.揭示随机现象的统计规律性.需将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实

数对应起来.1.在有些随机试验中.试脸的结果本身就由数量来表示.2.在另一些随机试验中.试验结果看起来与数

量无关，但可以指定一个数量来表示之.

二、随机变量的定义

定义：设随机试验的样本空间为，称定义在样本空间上的实值单值函数为随机变量.

随机变量与高等数学中函数的比较：

(1)都是实值函数，但前者在试验前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值；

(2)试验结果的出现有一定的概率，故前者取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.

三、引入随机变量的意义

随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来.由此可见，随机事件这个概

念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.也可以说,随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量

则以动态的观点来研究之.其关系类似高等数学中常量与变量的关系.随机变量概念的产生是概率论发展史上的

重大寻件.引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值

规律的研究，使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究.

8

随机变量因其取值方式不同.通常分为离散型和非离散型两类.而非非离散型随机变量中最重要的是连续型随机变

量.今后，我们主要讨论离散型随机变量和连续型随机变量.

例题选讲：

例1在抛掷一枚硬币进行打赌时，若规定出现正面时抛掷者赢I元钱，出现反面时输I元钱，则其样本空间为

S={正面，反面},记赢钱数为随机变量X,则X作为样本空间S的实值函数定义为X（e）=11'""

-1,e=反面.

例2在将一枚硬币抛掷三次，观察正面”、反面下出现情况的试验中，其样本空间

S={HHH,HHT,H7T,THT,7TH,777};记每次试脸出现正面H的总次数为随机变量X,则X作为样

本空间S上的函数定义为

易见，使取值为的样本点构成的子集为故类似地，有

例3在测试灯泡寿命的试验中，每一个灯泡的实际使用寿命可能是中任何一个实数，若用表示灯泡的寿命

（小时），则是定义在样本空间上的函数，即，是随机变量.

思考题：.一报童卖报,每份0.15元，其成本为0.10元.报馆每天给报童1000份报,并规定他不得把卖不出的报纸退

回.设为报童每天卖出的报纸份数.试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.

第二节离散型随机变量及其分布函数

一、离散型随机变量及其概率分布

定义设离散型随机变量X的所有可能取值为七=…），称P{X=xJ=Pj,i=l,2,…

为X的概率分布或分布律，也称概率函数.

常用表格形式来表示X的概率分布：x再%…&…

PiP\Pi……

二、常用离散分布

退化分布两点分布〃个点上的均匀分布二项分布几何分布超几何分布

泊松分布：泊松分布是概率论中最重要的几个分布之一.实际问题中许多随机现象都服从或近似服从泊松分布.

三、二项分布的泊松近似

定理1（泊松定理）在〃重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率为〃〃（注意这与试验的次数〃有关），如

果〃->8时，，%（2>0为常数），则对任意给定的女,有

iimb（k,n,/?„）=—e”.

"T8k!

例题选讲：

离散型随机变量及其概率分布

例1其篮球运动员投中篮圈的概率是09求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.

例2设随机变量X的概率分布为:P{X=K}="E,k=0,1,2,…，4>0.确定常数〃.

&!

二项分布

例3已知100个产品中有5个次品，现从中有放I可地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的

概率.

例4英人进行射击，每次射击的命中率为0.02,独立射击400次，试求至少击中两次的概率.

例5有80台同类型设备.各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0・01.且一台设备的故障能由一个人处理,考

虑两种配备维修工人的方法.其一由4人维护.每人负责20台.其二由3人共同维护80台.试比较这两种方法在设

备发生故障时不能及时维修的概率的大小.

几何分布

例6英射手连续向•目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是〃，求所需射击发数X的概率分布.

泊松分布

例7某一城市每天发生火灾的次数X服从参数4=0.8的泊松分布.求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的

9

概率.

一项分布的泊松近似

例8某公司生产的一种产品300件.根据历史生产记录知废品率为O.OL问现在这300件产品经检验废品数大于5

的概率是多少？

例9一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数2=5的泊松分布

来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？

例10自1875年至1955年中的某63年间，上海市夏季(5—9月)共发生大暴雨180次，试建立上海市夏季暴雨发

生次数的概率分布模型.

思考题

1.某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2,求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有•个坏了的概率.

2.一汽车沿一街道行驶.需要通过三人均设有红绿信号灯的路口.每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互

独立.且红绿两种信号灯显示的时间相等.以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求的概率分布.

第三节随机变量的分布函数

要描述一个随机变量时，不仅要说明它能够取哪%值，而且还要指出它取这些值的概率.只有这样、才能真正完整

地刻画一个随机变量.为此，我们引入随机变量的分布函数的概念.

一.随机变量的分布函数

定义设X是一个随机变量，称/(x)=Q(XWx)(-oo<x<+8)为X的分布函数.有时记作X~F(x)或&*)♦

分布函数的性质：1.单调非减.若•则；

2...3.右连续性.即

二、离散型随机变量的分布函数

设离散型随机变量X的概率分布为X|*马…%…

PiPlPl…Pn…

则乂的分布函数为尸")=尸(乂­)=工尸。=七)=28.

例题选讲：

随机变量的分布函数

例1等可能地在数轴上的有界区间仅，句上投点，记X为落点的位置(数轴上的坐标)，求随机变量X的分布函数.

0,x<—2,

(1)F(x)=^1/2,-2<x<0,

1,x20;

0,x<0,

例2判别下列函数是否为某随机变量的分布函数(2)F(x)=«sinx,04%<乃，

I,x>n\

0,x<0,

(3)F(K)=<X+【/2,0<.r<l/2,

1,x>1/2.

离散型随机变量的分布函数

Y012

例3设一,求尸(劝.

Pi1/31/61/2

例4X具有离散均匀分布，即2。=玉)=1/〃"=1,2「、〃,求乂的分布函数.

0,xv1,

9/19,

例5设随机变量X的分布函数为F(x)=,求X的概率分布.

15/19,2<x<3,

I,x>3.

思考题

1.设随机变量的概率分布为，求的的分布函数。

1()

第四节连续型随机变量及其概率密度

一、连续型随机变量及其概率密度

定义如果对随机变量X的分布函数尸。),存在非负可积函数/*),使得对于任意实数上有

F(x)=P{X<x}=£则称X为连续型随机变量，称/(x)为X的概率密度函数，简称为概辛密咬或'密度函

数.

关于概率密度的说明：1.对一个连续型随机变量，若已知其密度函数，则根据定义，可求得其分布函数.同时.还

可求得的取值落在任意区间上的概率：

;2.连续型随机变量取任一指定值的概率为0；3.若在点交连续.则…..…(1)

二、常用连续型分布

均匀分布

定义若连续型随机变量X的概率密度为/(©=则称X在区间(。,与上服从均匀分布，记为

(0,其它

X〜U(42).

指数分布

x>0,

定义若随机变量X的概率密度为/(x)=<A>0则称X服从参数为4的指数分布.简记为

0,其它.

X~«2).

正态分布

1

定义若随机变量X的概率密度为=-8<x<8.

其中和都是常数.则称服从参数为和的正态分布.记为

注：正态分布是概率中最重要的连续型分布，19世纪前叶由高斯加以推广，又称高斯分布.

一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每一个因素都不起主导作用(作用微小)，则它

服从正态分布.这是正态分布在实践中得以广泛应用的原因.例如.产品的质量指标.元件的尺寸.某地区成年男子的

身高、体重.测量误差.射击目标的水平或垂直偏差.信号噪声、农作物的产量等等.都服从或近似服从止态分布.

标准正态分布

正态分布当〃=0,b=l时称为标准正态分布，此时，其密度函数和分布函数常用0。)和中(外表

不:(p(x)—①(幻=力标准正态分布的重要性在于，任何一个一股的正态分布都可以通

过线性变换转化为标准正态分布.

定理设x~则Y=上幺~mi).

(7

标准正态分布表的使用：(1)表中给出了时的数值，当时，利用正态分布的对称性，易见有(2)若则

(3)若X~N(〃,/),则y=Az2£~N(0,l),

(T

故X的分布函数F(X)=P{XWX}=P[33W±W]=4七W];

IbbJl。J

例题选讲：

连续型随机变量及其概率密度

例1没随机变量X的密度困数为/&)=乃"’■求其分布困数尸(X).

0,其它

11

kx、0<x<3,

例2设随机变量X具有概率密度f[x}=h-3<x<4,

0,其它.

0,x<0

2

例3设随机变量X的分布函数为F(x)=-x,0<A<I

1,1<x

求(1)概率P{0.3vX〈0.7};(2)X的密度函数.

常用连续型分布

均匀分布

例4某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00,7:15,7:30,7:45等时刻有汽车到达此站，如果乘客

到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量，试求他候车时间少于5分钟的概率.

指数分布

例5某元件的寿命服从指数分布，已知其平均寿命为1000小时，求3个这样的元件使用1000小时，至少己有

一个损坏的概率.

正态分布

例6设X〜N(l,4),求产(5),P{0<X^1.6),P{|X-1|<2}.

例7设某项竞赛成绩(65,100),若按参赛人数的10%发奖，问获奖分数线应

定为多少？

例8将一温度调节器放置在内，调节器整定在°C,液体的温度(以C计)是一个随机变量，且(1)若

求小于89c的概率；

(2)若要求保持液体的温度至少为80C的概率不低于0.99,问至少为多少？

例9某企业准备通过招聘考试招收300名职工，其中正式工280人•临时工20人.报考的人数是1657人.考试满分

是400分.考试后得知.考试总平均成绩.即分.360分以上的高分考生31人.某考生B得256分.问他能否被录取.

能否被聘为正式工？

例10在电源电压不超过200伏，在200~240伏和超过240伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1,

0.001和0.2.假设电源电压服从正态分布(220,25),试求：

(1)该电子元件损坏的概率；(2)该电子元件损坏时，电源电压在200~240伏的概率.

思考题

1.已知，求(1)(2);

(3)P{|X-8|<1};(4)P{|X-9|<0.5}.

2.某种型号电池的寿命X近似服从正态分布N(〃Q2),已知其寿命在250小时以上的概率和寿命不超过350小时

的概率均为92.36%,为使其寿命在//-X和之间的概率不小于09%至少为多少？

第五节随机变量函数的分布

一、随机变量的函数

定义如果存在一个函数g(x),使得随机变量x,y满足y=g(x),则称随机变量y是随机变量x的函数.

注：在微积分中，我们讨论变量间的函数关系时，主要研究函数关系的确定性特征，例如:导数、枳分等.而在概率论

中，我们主要研究是随机变量函数的随机性特征，即由自变量x的统计规律性出发研究因变量yiKj统计性规律.

一般地,对任意区间/,令C=*|g(x)c/},则{Yw/}={g(x)c/}={XcC},

注：随机变量丫与x的函数关系确定，为从x的分布出发导出丫的分布提供了可能.

二、离散型随机变量函数的分布

设离散型随机变量x的概率分布为P{x=xj=p,,i=i2…易见，x的函数y=g(x)显然还是离散型随机变

量。

如何白的概率分布出发导出的概率分布？其一般方法是：先根据自变量的可能取值