概率论与数理统计教案第二章

概率论与数理统计教学兼案

第二章随机变量及其分布

毅钵本号。

教学基本指标

教学课题第二章第一节随机变量及其分布课的类型新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点随机变量的定义教学难点随机变量分布函数的运算

参考教材高教版、浙大版《概率论与梳理统计》作业布置课后习题

大纲要求理解随机变量的定义；

理解分布函数的定义和性质；

理解离散型随机变量和连续型随机变量的概念；

熟练掌握随机变最分布函数的求解。

教学基本内容

一、基本概念：

1、在随机试验£中，Q是相应的样本空间，如果对。中的每一个样本点有一个实

数X（。）与它对应，那么就把这个定义域为。的单值实值函数X=X（G）称为（一维）随

机变量。

2、设X是一个随机变量，对于任意实数x,称函数

F（x）=P（X<x）,—oo<x<-H»

为随机变量X的分布函数。

3、设E是随机试验，X为随机变量，若X的取值范围（记为£\）为有限集或可列集，此时称X为（一维）

离散型随机变量.

4、若一维离散型随机变量X的取值为不,,…,修，…,称相应的概率

P（X3）=〃j,i=l,2,

为离散型随机变量X的分布律(或分布律)且满足(1)非负性PjNO,i=l,2…,；(2)正则性=

1=1

5、设E是随机试验，。是相应的样本空间，X是。上的随机变量，F(x)是X的分布函数，若存在非负函数

/(x)使得

尸(6=匚〃3，

则称X为(一维)连续性随机变量，/")称为X的概率密度函数，满足：(1)/(X)>0,^O<^<-KX)；(2)

心=1o

二、定理与性质

1、分布函数F(x)有如下性质：

(1)对于任意实数x,有0《产(工”1,limF(x)=0,limF(x)=l：

(2)M6单调不减,即当X〈％时，有尸(占)《尸(%2)；

(3)尸(工)是'的右连续函数,即limF(x)=F(x0)o

2、连续型随机变量具有下列性质：

(I)分化函数尸⑴是连续函数，在/(x)的连续点处，9(x)=/(X)；

(2)对任意一个常数c,—8<c<yx),P(X=c)=0,所以，在事件中剔除X=4或剔除

X=b,都不影响概率的大小，即

P(a<X<b)=P(a<X<b)=P(a<X<b)=P(a<X<b).

注意的是，这个性质对离散型随机变量是不成立的，恰恰相反，离散型随机变量计算的就是“点点概率”。

(3)对任意的两个常数a/,P(a<X训=］：f(x)dx。

三、主要例题：

例1设一盒子中装有10个球，其中5个球上标有数字1,3个球上标有数字2,2个球上标有数字3。从

中任取一球，记随机变量X表示为“取得的球上标有的数字”，求X的分布函数厂(工)。

例2设随机变量X的分布律为

X|-102

概率0.20.40.4

求(1)P(X<-0.7)；(2)X的分布函数F(五)。

例3设连续型随机变量X的密度函数为

3/0<x<1

小)=,

0其他

求(1)P(|X|<0.5),(2)X的分布函数尸

微锦本号02

教学基本指标

教学课题课的类型新知识课

第二章第二节常用的离散分布

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点常用离散分布的分布律教学难点二项分布分布律的求解

参考教材高教版、浙大版《概率论与梳理统计》作业布置课后习题

大纲要求熟练掌握常用离散型随机变量分布律的构造及概率的求解

教学基本内容

一、基本概念：

1,伯努利(Bernoulli)试验：设对一随机试验£,只关心某一事件A发生还是不发生，即该随机试验只有两

种可能的试验结果：A和A,则称这样的随机试验叫伯努利(Bernoulli)试验.

2,二项分布记随机变量X表示在〃重伯努利试验中A事件发生的次数，则X的取值为0,1,2,•/,

相应的分布律为：

/\

p(x=k)=:p£(i—p)”",0<p<i,攵=0/，，儿

称随机变量X服从参数为〃，〃的二项分布，记为X

3,0-1分布B(l,p)：二项分布8(〃,p)中,当〃=1时X,即有

P(X=A)=p"(l-〃)T,0</?<1,攵=0,1.

4,泊松分布P(/l)：设随机变量X的取值为0,1,2,…,〃，…，相应的分布律为

万

尸(X=x)=—…，其中%>0.

X9

称随机变量X服从参数为4的泊松分布，记为XP(A).

5,超几何分布，设有N件产品，其中有M(例WN)件是不合格品.若从中不放回地抽取〃(〃WN)

件，设其中含有的不合格品的件数X取值为max(O,〃+M-N),・、min(〃,M),相应的分布律为

kIn-k

P(X=k)=--------,k=max(0,〃+M-N),,min(n,M)

则X服从参数为〃，N和M的超几何分布，记为X其中〃，N和M均为正整数.

6,几何分布Ge(p)：在伯努利试验中，记每次试验中4事件发生的概率为p.设随机变量X表示4事件首次

出现时的试验次数，则X的取值为1,2,.2,•,，相应的分布律为

p(x=k)=(l_〃)ip,0<p<l,k=12「〃,

称随机变量X服从参数为〃的几何分布，记为X~Ge(p).

7,负二项分布NB5p):在伯努利试验中，记每次试验中A事件发生的概率为p.设随机变量X表示人事件第r

次出现时的试验次数，则X的取值为一,厂+1,…,「+〃,…，相应的分布律为

P(X=k)=(1-p)\0<p<1,k=r,r+l,•-,r+/2,

称随机变量X服从参数为匕〃的负二项分布，记为X〜NB(〃,p).其中当厂=1时，即为几何分布.

二、定理与性质：

1,泊松定理：在〃重伯努利试验中，记A事件在一次试验中发生的概率为〃“，如果当〃一>8时，有〃p”->%,

〃T8(3k!

三、主要例题：

例1某人向同一目标重复射击5次，每次命中目标的概率为0.8,求(1)此人能命中3次的概率；(2)此人

至少命中2次的概率。

例2某课程有两种不同的考核方式。第•种，学生在•学期内要参加四次独立的小测验，每次测验的及格率

为0.8,四次中至少要有三次及格，考核通过。第二种，学生只需在学期末参加一次期末考试，考核通过率也

为0.8,试问哪种考核方式更受到学生的青睐？

例3设随机变量X有分布律P(X=&)=£;仅=0.1,2,),求c的值，并求解P(XW2).

例4设某保险公司的某人寿保险险种有1000人投保，每个投保人在一年内死亡的概率为0.005,且每个人在

一年内是否死亡是相互独立的，试求在未来一年中这1000个投保人中死亡人数不超过10人的概率.

例5设X〜Ge(p),则对任意正整数〃?和〃，证明

P(X>>m)=P(X>ri)

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教学基本指标

教学课题第二章第三节常用的连续分布课的类型新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点正态分布教学难点常用连续型随机变量概率求解

参考教材高教版、浙大版《概率论与梳理统计》作业布置课后习题

大纲要求熟练掌握常用连续型随机变量密度函数的构造及概率的求解

教学基本内容

一、基本概念：

1、均匀分布

设X为随机变量，对任意的两个实数。，伙Q<6),概率密度函数为

1

a<x<b,

/3=‘b-a'

0,其它，

则称随机变量X服从区间(a,b)上的均匀分布，记为XU(a,b).

2,均匀分布的分布函数

若x-u(〃力)，则相应的分布函数为

0,x<a

x-a/.

产(%)=----,a<x<b

b-ay

1,------------x>b.

3、指数分布

加七x>0,

设X为随机变量，概率密度函数为=.2>0

0,其它，

则称随机变量X服从参数为％的指数分布，记为X£(A).

4、指数分布的分布函数

0,x<0

若X-E(乃，则相应的分布函数为尸(2=«

ItJC>0.

由此得到，若XE(2),0<a<b,则P(a<X</?)=€

5,正态分布

设X为随机变晟，概率密度函数为

1.叱

/（X）=-T^^e2b,-00<X<-KO

X!2RO

则称随机变量X服从参数为〃（TOV〃<+QO）和/。>0）的正态分布，记为XN（4,b”

6,标准正态分布

当〃=O,b=l时，相应的正态分布称为标准正态分布，记为XN（O,1）.其概率密度函数和分布函数分别

为

I

/（x）=_e2£0（x）,-co<x<+00

尸（"）=1'I—c2d/-<l>（x）—CO<X<-HO

7Jg岳

二、性质

1,若X~N（0,l）,则夕（〃<X"卜①㈤-①（a）；若X~N（〃Q2）,则

P（a<X<》）=①［与乂）一①［与上）.其中中（x）的值，当xNO时可从正态分布表直接查得；当尢<0时，可

用公式①⑴二1一①（一x）求得①⑴的函数值.，

2,标准正态分布的a分位数：当X〜N（0,l川寸，满足概率表达式P（X2%）=a.

三、主要例题：

例1设随机变量x-U（-1,4）,求（1）事件｛|X|<2｝的概率；（2）y表示对X作3次独立重复观测中事件

｛因〈2｝出现的次数,求叩=2）.

例2设随机变量X£（2）,则对任意实数s">0,证明尸（X>s+/|X>s）=P（X>/）

例3设随机变量XN（0,l）,借助于标准正态分布的分右函数表，求下列事件的概率

（I）P（X<1.22）=0）（1.22）=0.8888,

(2)P(X>1.22)=1-P(X<1.22)=1-0(1.22)=1-0.8888=0.1112,

(3)P(X<-1.22)=O(-1.22)=1-0(1.22)=1-0.8888=0.1112,

(4)P(-l<X<1.22)=O(1.22)-<D(-l)=(D(1.22)-[l-a)(l)]

=0.8888-[l-0.8413]=0.7301

(5)P(|X|<1,22)=P(-1.22<X<1.22)=0(1.22)-0(-1.22)。

=①(1.22)—[1一①(L22)]=0.8888-[1-0.8888]=0.7776

例4设随机变量XN(l,4),借助于标准正态分布的分布函数表，求卜.列事件的概率

(1)P(XK3)=G(W)=(D(¥)=O.8413,

(2)P(X>3)=1-P(X<3)=1-O>—=1-0.8413=0.1587,

i2，

(_3—]、

(3)P(XW-3)=①——|=1-0(2)=1-0.9772=0.0228,

(2，

(4)P(-l<XW3)=①[与+①(三口=①⑴一[1一①(I)]

=0.8413-|1-0.8413]=0.6826

⑸P(|x|K3)=P(-3vX43)=4?卜①。

=0(1)-[1-(1)(2)]=0.8413-[1-0.97721=0.8185

例5设随机变量XN（0,l）,c为何值，满足P（XWc）=0.95

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教学基本指标

教学课题第二章第四节随机变量函数的分布课的类型新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点随机变量函数的分布构造教学难点连续型随机变量函数的密度函

数求解

参考教材高教版、浙大版《概率论与梳理统计》作业布置课后习题

大纲要求熟练掌握随机变量函数的分布律或密度函数求解

教学基本内容

一、基本概念：

1,一维离散型随机变量函数的分布

设X为一维离散型随机变量，分布律为P(X=xJ=p,(i=l,2,…),y=g(x)为任一函数,则随机变量

丫二月”)的取值为g(x)i=l,2,…，相应的分布律为

P(Y=M)=P(U{X==刃})=*P”k=l,2..

2,一维连续型随机变量函数的分布

设x是•维连续型随机变量，/J)为相应的密度函数，y=g(