第1章 有理数期末复习（知识清单）（挖空版）-华东师大版(2024)七上

第一章有理数1.大于0的数叫，在正数的前面加上负号“-”的数叫．2.数0既不是，又不是．3.在同一问题中，分别用正数和负数表示具有的意义．4.人们常用正负数来表示一对具有的量．5.有理数及相关概念称为有理数，其中为正有理数，为负有理数．、、统称整数，和统称分数，和统称有理数.注意：不是有理数6.有理数的分类方法（1）按“整”与“分”来分类（即定义）（2）按正、负来分类（即数性）7.有理数“0”的不同意义作用举例表示数的性质0是，是，是表示没有3个人用+3表示，没有人用表示表示某种状态0℃表示冰点表示正数与负数的界点0既不是，也不是，是一个中性数8.一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做.9.规定了、、的直线叫做数轴.10.在数轴上表示数0的点叫，正数在原点的边，负数在原点的边.如果设a是一个正数，则数轴上表示数a的点与原点的距离是个单位长度；表示数-a的点与原点的距离是个单位长度.【注】所有的有理数都可以在数轴上表示出来，但数轴上的点并不都表示有理数.11.只有符号不同的两个数叫做互为.12.在一个数前面加上“+”号，所得数是；在一个数前面加上“－”号，表示求这个数的.13.–a表示的意义是.14.–(–a)表示的意义是，它化简的结果是.15.一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的，记作.16.一个正数的绝对值是它的；一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是，即：.17.正数0，0负数，正数负数.18.两个负数，绝对值大的.一、有理数的定义与分类1.混淆有理数与整数错误：认为“有理数就是整数”或“分数不属于有理数”．注意：有理数包括整数和分数（形如，其中为整数，）．例如：（可化为）也是有理数．2.忽略“0”的特殊性错误：认为“0既不是正数也不是负数，所以不是有理数”．注意：0是有理数，也是整数，但它既非正数也非负数．3.无限不循环小数不属于有理数错误：将π、等误认为有理数．关键：有理数必须能表示为有限小数或无限循环小数．二、绝对值的非负性在进行绝对值计算时，部分同学容易忽略绝对值的结果一定是非负的。比如在化简绝对值表达式|a-1|时，若没有对a的取值范围进行讨论，直接得出|a-1|=a-1，这是错误的。当a<1时，a-1<0，根据绝对值的非负性，此时|a-1|=1-a，只有当a≥1时，|a-1|=a-1。三、比较有理数的大小1.忽略数轴上点的位置关系——方向与正负混淆错误：已知数轴上两点A、B表示的数分别为a和b，求A、B之间的距离时，直接用大数减小数，忽略两点的相对位置。例如：A表示-3，B表示5，错误计算距离为-3-5=-8（未取绝对值），或直接认为距离是5-(-3)=8（正确），但如果题目变为“点A到点B的距离”，部分同学可能因方向混淆而误判符号。核心误区：数轴上两点距离公式为|a-b|，需明确距离是绝对值概念，与点的左右位置无关，但部分同学会将“左减右”或“右减左”作为固定规则，忽略绝对值的非负性。2.动点问题中未分类讨论——遗漏多种可能性错误：已知数轴上点P表示的数为x，点A表示3，若PA=5，求x的值。部分同学仅考虑点P在A右侧，得x=3+5=8，忽略点P在A左侧的情况x=3-5=-2，导致漏解。3.距离与绝对值符号的误用——化简规则出错错误：化简含绝对值的距离表达式时，未判断绝对值内式子的正负。例如：数轴上点P表示x，点Q表示2，若x<2，求PQ的距离时，错误写成x-2，正确应为|x-2|=2-x。符号化简误区：当a≥b时，|a-b|=a-b；当a<b时，|a-b|=b-a。部分同学直接去掉绝对值符号而不判断大小，导致结果错误。4.多动点距离问题——逻辑混乱与计算错误错误：多个动点在数轴上运动时，未理清运动方向（向左/向右）、速度与时间的关系，导致距离计算错误。例如：点A从-1出发向右以2个单位/秒的速度运动，点B从3出发向左以1个单位/秒的速度运动，t秒后求AB的距离。错误解法：直接用初始距离4减去(2t+t)，得4-3t，但未考虑当t>4/3时，两点相遇后距离变为3t-4，未分段讨论。解题关键：先求动点t秒后的位置：A表示-1+2t，B表示3-t；距离为|(-1+2t)-(3-t)|=|3t-4|，需分3t-4≥0（即t≥4/3）和3t-4<0（即t<4/3）讨论，结果为4-3t(t<4/3)四、有理数运算顺序错误1.混合运算顺序颠倒错误：未遵循“先乘除，后加减，有括号先算括号内”的规则。例：计算3-4÷(-2)×3，错误解法：3-4÷(-6)=3+2正确解法：乘除同级运算从左到右，即3-(-2)×3=3+6=9。括号展开时漏乘或符号错误错误：去括号时未将系数乘遍括号内所有项，或符号处理错误．例：计算-2(3x-4y+1)，错误解法：-6x-8y+1（漏乘-2到+1，且-4y乘-2应为正确解法：-6x+8y-2题型01有理数的分类1．（2025七年级下·全国·专题练习）在这几个数中，正数有()，负数有()．2．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）把下列各数填在相应的集合中：正有理数数集合：｛……｝负分数集合：｛……｝非负整数集合：｛……｝有理数集合：｛……｝3．（19-20七年级上·新疆·期中）下列说法中，错误的有（

）①是负分数；②不是整数；③非负有理数不包括；④不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数．A．个 B．个 C．个 D．个4．（24-25七年级上·福建漳州·期中）把下列各数填写在相应的集合中．，7，，，，，，0，(1)整数集合：；(2)分数集合：；(3)正数集合：；(4)非负数集合：．5．（24-25六年级上·上海·期中）在以下各数中：；；；；；；；0；；．属于负分数的有个．6．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列各数中：，，0，，，，，（每相邻两个2之间0的个数逐次加1），其中正有理数有个．题型02绝对值的非负性7．（24-25七年级上·湖南长沙·期末），则a和b各为（

）A．， B．1，3 C．1， D．，38．（24-25七年级下·北京·期中）已知实数a，b满足则．9．（24-25九年级下·广东湛江·阶段练习）如图，数轴上两点、对应的数分别是、，其中、满足，(1)求、的值，并在数轴上标出、两点；(2)数轴上有一动点，当时，请直接写出点对应的数的值．10．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是（填序号）．12．（24-25七年级上·广西贵港·期末）如果为有理数，式子存在最小值，则这个最小值是（

）A． B． C． D．13．（18-19七年级上·重庆綦江·期末）如图，已知点A，B，C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为6，，．

(1)求点A，B对应的数；(2)动点P，Q分别同时从A，C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．M为的中点，N在线段上，且，设运动时间为．①求点M，N对应的数（用含t的式子表示）；②t为何值时，．题型03数轴上的点距离问题14．（23-24七年级上·浙江台州·期中）已知点，在数轴上分别表示有理数，，、两点之间的距离可以表示为，比如式子表示有理数的点与表示数3的点之间的距离．请回答以下问题：(1)若表示一个有理数，，则______．(2)若表示一个有理数，的最小值_____．(3)在一工厂流水线上依次排列了个工作台（工作台在同一直线上），第1个工作台安排了2名工人，其他每个工作台安排了1名工人，现在要在流水线上设置一个工具台，以方便这名工人从工作台到工具台拿取工具，为了让工人们拿取工具所走路程之和最短，请直接说出工具台设置在什么位置．15．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）阅读下面材料：若点在数轴上分别表示实数，则两点之间的距离表示为，且；回答下列问题：(1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是；②在①的情况下，如果，那么为；(2)代数式取最小值时，相应的的取值范围是．(3)若点在数轴上分别表示数，是最大的负整数，且，①直接写出的值．②点同时开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

16．（21-22七年级上·广东广州·期末）如图，在数轴上点A表示的数为﹣6，点B表示的数为10，点M、N分别从原点O、点B同时出发，都向左运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，运动时间为t秒．（1）求点M、点N分别所对应的数（用含t的式子表示）；（2）若点M、点N均位于点A右侧，且AN＝2AM，求运动时间t；（3）若点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，点M、N在整个运动过程中，当PQ+AM＝17时，求运动时间t．题型04有理数运算17．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．18．（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算：19．（24-25七年级上·湖北恩施·期末）对于整数x，规定，例如：，求：的值．20．（21-22七年级上·山东临沂·阶段练习）计算：(1)(2)(3