相似三角形的性质与应用 同步练习（培优版）（附答案）-浙教版数学九年级上册

浙教版数学九年级上册4.5相似三角形的性质与应用同步练习（培优版）

夯实基础7黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。

一、选择题

1.一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条

为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（）

A.30厘米、45厘米;B.40厘米、80厘米;

C.80厘米、120厘米:D.90厘米、120厘米

2.如图，小红利用小孔成像原理制作了一个成像装置，他在距离纸筒50cm处准备了一支蜡烛，蜡烛长

为15cm,纸筒的长度为10cm,则这支蜡烛所成像的高度为（）

A.2.5cmB.3cmC.3.75cmD.5cm

3.如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形，A、B、C的纸片的面积分别为8、

S2、S3,（Si与S2,S2与S3的相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，若S>S2>S,则这个矩形

A.4S.B.6S?C.4S?+3SBD.3SI+4S5

4.如图，在矩形ABCD中，E,F分别为BC,CD的中点，线段AE,AF与对角线BD分

别爻于点G.设矩形ABCD的面积为S,则下列结论错误的是（）

A.AG：GE=2：1B.BG：GH：HD=1：1：1

C.Si+S2+S3=；SD«S2/S4,：S（f=1；3；4

5.如图，。是△ABC的重心，辽。的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△A8C的顶点重合）,

S四边膨BCHG,S“GH分别表示四边形8CHG和△4GH的面积，则法卷续”的最大值是（）

SAAGH

A

32

-

c.2D.3-

6.如图，H是AABC的重心，延长AH交BC于D,延长BH交AC于M,E是DC上一点，且DE：EC=

5：2,连结AE交BM于G,贝"BH：HG：GM等于（）

A.7：5：2B.13：5：2C.5：3：1D.26：10：3

7.如图，E,F,G,〃分别是矩形48C0四条边上的点，连接A”，GH相交于点/,JLG77||ADfEF||

AB,矩形BFIG〜矩形EIHD,连接4c交GH,EF于点P,Q,下列一定能求出△DPQ面积的条件是

A.矩形BF/G和矩形的面积之差

B.矩形48co与矩形BF/G的面积之差

C.矩形。f7G和矩形尸C"/的面积之差

D.矩形8//G和矩形E/G力的面积之差

8.-如图，在矩形A8C0中，过点4作对南线80的垂线并延长，与。C的延长线交于点E,与8c交于点产，

垂足为点G,连接CG,且C0=C凡则下列结论正确的有()个：①CE=40;②乙DGC=^BFG:

@CF2=BF•BC;@BG=GE-&CG

A.1B.2C.3D.4

9.如图，在正方形ABCD中，点E是边BCJ一点，且4B=38E.过点B作2尸_L4E,交边CD于点

F.以C为圆心，CF长为半径画圆，交边BC于点G,连接DG,交BF于点H.则OH：HG=()

A.10:3B.3:1C.8:3D.5:3

10,由四个全等的直角三«角形和一个小正方形组成的大正方后ABCD如图所7F.点P,Q分别为AB,GH的

中点，若PQ恰好经过点F,则器的值为（）

C.V13D.4

巩固积厚7宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

二、填空题

11.如图，。。是aABC的外接圆，已知AD平分NBAC交。。于点D,交BC于点E,若BD=6,AE=5,

AB=7,则AC二

12.如图，在AABC中，AC=BC=5,=6,点。为4C上一点，作DE//AB交8c于点E,

点C关于，£的对称点为点0,以力为半径作。0恰好经过点C,并交直线。£于点K/V则椒的值

为

13.如图，RtZkABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,点D是AB边上一点（不与A、B重合），若过点D的

直线截得的三角形与aABC相似，并且平分4ABC的周长，则AD的长为

14.如图，E、F为AABC的BC边上的点、且BE：EF：FC=1：2；3,中线BD被AE.AF极

得的三线段为x,y,z,则x：y：z=

15.如图，面积为4的正方形力BCD中，EFGH分别是各边的中点，将一边两端点分别和对边中点连结,

所得阴影部分为各边相等的八边形，则八边形每条边的长度是.

16.某户外遮阳棚如困1,其截面结构示意图如图2所示.支撑柱AB上地面，AB=120遍cm,P是支撑

柱AB上一动点，伞杆CP可绕着中点E旋转，CD=CP=40715cm,斜拉杆AE可绕点A旋转，AE=1

CP.若NAPE=30°,则BP=cm；伞展开长PD==300cm,苫A,C,D在同一条直线上，某时太阳

光线恰好与地面垂直，则PD落到地面的阴影长为cm.

优义拔高联，书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。

三、解答题

17.如图1,长、宽均为3cm,高为8cm的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为

6cm,绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，将M个情景转化成

几何图形，如图3所示.

图1图2图3

(1)利用图1、图2所示水的体积相等，求0E的长;

(2)求水面高度CF.

18.学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度.如图，小明站立在

地面点F处，他的同学在点B处竖上“标杆”4片,使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直

线上(点F、B、D也在一条直线上).已知小明的身高EF=1.5米，“标杆”43=2.5米，又B。=23

米，FB=2米.

c

口

□

□

□

FBD

备用图

(1)求大楼的高度CD为多少米(CO垂直地面BD)?

(2)小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼上点G的高度GD=

11.5米，那么相对于第一次测量，标杆48应该向大楼方向移动米.

19.如图为幸福小区入口处安装的汽车出入道间示意图.如图1,道间关闭时，四边形ABC。是矩形.如

图2,在道间打开的过程中，边40固定，401直线I,连杆48、CO分别绕点A、D转动，且边BC始终与

边.40平行，P为CO上的一点(不与点C,D重合)，过点P作PE_L直线I,PF1MN,垂足分别为E,F,

即四边形PENF是矩形，过点D作。QLPE,垂足为Q,延长8C与PF相交于点R.

PR

(1)APOQ与△CPR相似吗？请判断并说明理由.

(2)若道间长力B=4米，宽力0=1米，点D距地面0.2米，PE=1.16米，RF=0.8米，CR=1.44

①求点B到地，面I的距离；

②求PF的长.

20.如图，抛物线经过点4(4,0)、8(1,0)^C(0,一2)三点.

(2)P是抛物线上的一个动点，过P作PMlx轴，垂足为M,是否存在点P,使得以4、P、M为顶点

的三角形与△04C相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)在直线4C上方的抛物线是有一点。，使得△0C4的面积最大，求出点。的坐标.

21.我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三南形，这

条边叫做这个三角形的“等底”.

(1)概念理解：

如图1,在aABC中，AC=6,DC=3,ZACB=30°,试判断AABC是否是“等高底”三角形.

(填“是”或“否”)

(2)问题探究：

如图2,ZkABC是“等高底”三角彩，BC是“等底”，作AABC关于BC所在直线的对称图形得到

△A'BC,连接AA'交直线BC于点D.若点B是AAA'C的重心，求益的值.

(3)应用拓展：

如图3,已知li〃Mli与I2之间的距离为2,“等高底”AABC的“等底”BC在直线li上，点A在直

线I?上，有一边的长是BC的V2倍.将AABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C,A'C所在直

线交I?于点D,直接写出CD的值.

22.在平面直角坐标系中，点0为坐标系的原点，抛物线y=Q/+bx经过4(10,0),8点，6)两点，直

线y=2%—4与x轴交于点C,与y轴交于点D,点P为直线y=2%—4上的一个动点，连接P4

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图1,当点P在第一象限时,设点P的横坐标为t,44PC的面积为S,求S关于t的函数解析

式(不要求写出自变量t的取值范围);

(3)如图2,在(2)的条件下，点E在y轴的正半轴上，且OE=OD,连接CE,当支线B尸交x轴正

半轴于点L,交y轴于点V时，过点P作尸G〃CE交x轴于点G,过点G作y轴的平行线交线段以于点

F,连接CF,过点G作GQ〃CF支线段VL于点Q,4CFG的平分线交x轴于点M,过点M作历〃〃C户交尸G于

点H,过点H作”R1CF于点R,若FR+M”=GQ,求点P的坐标.

23.如图：

(1)［基础双固］如图1,在四边形48CD中，对角线8。干分/48C,Z-ADB=^DCB,求证：BD

BA-BC;

(2)［尝试应用］如图2,四边形48co为平行四边形，F，£4。边上，48=力?，点E在84延长线上,

连接EF、BF、CF,^z.EFB=LDFC,BE=4,BF=5,求BC的长；

(3)［拓展提高］如图3,E是△48C内部一点，F为4c边上一点，连接川九BE,CE,EF,已知

乙FEC=4JBE,乙BEC=£AEF,BE=18,EF=7,隽二|，求霄的值.

24.如图

(1)［基础巩固］如图①，在RtaABC中，ZACB=90°,CD_LAB于点D,求证：AC2=AD-AB.

(2)［尝试应用］如图②，在矩形ABCD中，AD=2,点F在AB上，FB=2AF,DFJ_AC于点E,求AE的

长.

(3)［拓展提曲］如图③，在矩形ABCD中，点E在边BC上，NDCE与NDFE关于直线DE对称，点C的

对称点F在边AB上，G为AD中点，连结GC交DF于点M,GC〃FE,若AD=2,求GM的长.

25.

(1)【基础巩固】如图1,在△A8C中，E是力8上一点，过点E作8c的平行线交AC于点F,点D是8c

上任意一点，连结力。交EF于点G,求证：器=器；

(2)【尝试应用】

如图2,在(1)的条件下，连结BF,DF,若47=30。，FE、FB恰好将乙AFD三等分,求需的值;

(3)【拓展延伸】

如图3,在等边△48C中，BD=4DC,连结40,点E在40上，若/8EC=120。，求假的值.

DC

图3

答案与解析7

1.【答案】C

【解析】【解答】当60cm的木条与20cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为90cm与120cm：

当60cm的木条与30cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为40cm与80cm：

当60cm的木条与40cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为30cm与45cm；

所以A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意，

故答案为：C.

【分析】讨论：若20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为60厘米、x厘米、y厘米；

若20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、60厘米、y厘米，；

若20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、y厘关、60厘米，然后利用比例的性质分别计算

出各组对应值即可.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：如图，过点0作OF_LDC,F。的延长线交48于点E,

9：AB||CD,EF1CD,

EF1AB,△OABs*ODC,

.CD_OF

••南一唠

AB=15cm,OF=10cm,OE=50cm,

.10

,,15-SO1

解得：CD=3cm.

答：这支蜡烛所成像的高度为3cm.

故答案为：B.

【分析】过点0作。F1DC,F0的延长线交48于点E,先证明△。48〜△00C,可得空二空，再将数

ADUb

据代入可得黑二黑，最后求出CD=3sn即可。

3.【答案】A

【解析】【解答】解：根据题意，A、B、C三个直角三角形相似，A与B,B与C的相似比相同，且SAS?

>S3,

，如图，设相似比为k,EF=m,则MK=GH=mk,FH=mk\

・•・EH=EF+FH=m(1+k2),

・・.FM=空=磔1+/),FK二kEH=km(1+k2),

Kk

2

由FK+MK=FM得：km(1+k2)+mk=-Q+k),

k

・•・/+k2-1=0,

解得：严二二1挖或/二二1三匹(舍去),

22

・・・s尸kS,=二匹Si,SFkS:=k'S产3噜,

•**S2+S3=Si,

・•・矩形面积等于2(Si+S2+S3)=2(S1+S1)=4sl.

故答案为；A.

【分析】对图形进行点标注，设相似比为k,比二m,则MK二GH二mk,HH=mk2,tH=m(1+k2),

2

2222

FM=m(l+k).FK=km(1+k),根据FK+MK=FM可求出k,根据S?=kSf,S3=kS2=kS分别表示出S?、

k

S3,据此解答.

4.【答案】D

【解析】【解答】①四边形ABCD是矩形

-.AD=BC,AD//BC

•:点E是BC的中点

11

:.BE=28c=-^AD

vAD//BE

.AG_AD_2

•.GE~BE~1

A不符合题意；

AD//BE

BGBE_1

"DG=AD=2

1

*'*BG=交BD

同理得：DH二BD

BG=GH=HD

•••BG：GH：HD=1：1/1

B不符合题意

07AD//BE

BEGDAG

...Si_1

S3+S44

•・•BG=GH=HD

•*,S5=S3=S4

设Si=x则S5=S3=S4=2x

S=12x

同理可得：S2=x

1

•••Si+$2+S3=x+x+2x=4x=TjS

C不符合题意；

④由③可知：S6=6x-x-x=4x

•••S2/S,：S6=1.-2：4

D符合题意；

故答案为：D.

【分析】根据矩形的性质，相似三角形的性质和面积公式进行计算求解即可。

5.【答案】A

【解析】【解答】解：过0作MN〃BC交AB于N,交AC于M,过M作ME/7AB交GH于E

A

二。是4ABC的重心，

・••综=2,D是BC中点

・・・BD二CD,瑞哥

VMN//BC

.•.△AMN〜△ACB

.NO_M0_A0_2S*MN_,丝、2_4

9-

'BD~~CD~AD~yS^ABC~9

,'MO=NO

VME/7AB

：.LMOH=乙NOG

=ANOG(AAS)

SAMOE=—NOG

设S.MEH=x,S“BC=9y

:'AMN=4y»S四边形BCMN=5〃

:・S四边形BCHG=S冏边形BCMN-S/JHOM+SANOG

=S四边形BCMN-0MOE+S/ME")+^ANOG

=5y-x

S/MHG=^AAMN一^ANOG+^AHOM

=S.AMN-S/NOG+(^AMOE+&ME”)

=4y4-x

J四边形BCHG_5x-y

SNGH=钛+y

Vx为定值

S

当y越小附四边形BC1W=在？值越大

SLAGH4%+y

S

，当y=0时四边形BCHG;5箭大此时GH〃BC

S^AGH4

故答案为：A.

【分析】过0作MN〃BC交AN于N,交AC于M,过M作ME//AB交GH于E,根据三角形重心的性质得

BD=CD,瑞=多证A/1MN〜A/ICB得把黑=(奈心=*利用AAS证4M0E三/NOG,根据全等三角

形性质得S/MOE=SANOG，设S^MEH=x,S&ABC=9y可得S^MN=4y,S两切形"CMN=5y，故S期.施

S.,

S四边形BCMN—SZJHOM+S.NOG==5y-x,SAAHc=S/AMN一SANOG+SAHOM=4y+x,即得P型/BCHG_

、△AGH

箝言，由于x为定值，当y越小时比值越大，可得当y=0时比值越大.

r*人।y

6.【答案】D

【解析】【解答】解：如图，过C作CF〃BM,交AE的延长线于F,

A

VH是ZkABC的重心，

・・・M是AC的中点，D是BC的中点，

・・・G是AF的中点，

/.GM=1CF,

乙

设CF=a,则GM=/a,

VCF/7BG,DE：EC=5：2,D是BC的中点，

.CF_CE_2_1

•・阮一丽-5+5+2一寸

ABG=6CF=6a,

VH是4ABC的重心，

.•・BH=|BM得a,

AHG=BG-BH=6a-苧a=|a,

ABH：HG：GM=^a:1a：la=26：10：3.

故备案为：D.

【分析】过C作CF〃BM,交AE的延长线于F,根据平行线分线段成比例得出G是AF的中点，设CF=a,

则GM=la,由CF〃BG,DE：EC=5：3,D是BC的中点，根据平行线分线段成比例的性质求出BG=6a,再

根据H是AABC的重心，得到BH=|BM二竽a,根据线段的和差关系表示出HG,则可得到BH：HG：GM的

值，即可作答.

7.【答案】A

【解析】【解答】解：连接BP、BQ,

根据矩形的性质点B、D到AC的距离相等,

又〈PC=PC,

:.S&DPQ=S&BPQ

设BF=Q,BG=b,AG=kb,

*：GP||BC,乙AGP=乙ABC=90°,

/.△AGPABC,

.AG_GP_k

**AB=BC=k+l,

kk

・••GP=m-BC=申.(k+l)a=ka,

同理，△尸QC〜△ABC,

・FQ_FC_k

,,近一品TFT'

bb

■:S^BPQ=ShABC-ShABp-S^BQC

111

=5(k+l)a-(k+1)6—5(k+l)b-ka—y(k+l)a-kb

乙乙乙

=la/?(l-k)2,

乙

,:S矩形BGIF=ab，S矩形EIHD=/曲

■1

,，SABPQ-2⑪矩形BGIF~S矩形E!HG,

.1

•・SADPQ=S&BPQ=2吓矩形BGIF-S矩形ETH)

故答案为：A.

【分析】连接BP、BQ,根据矩丹的性质点B、D到AC的距离相等，根据同底等高的三角形面积相等得

AG_GP_

S/MPFSABPO.设Bia,BG二b,AG=kb,判断出△AGPs/\ABC,根据相似三角形对应边成比例得AB=BC=

推出GP二ka,同理△FQCs/iABC,得第=盖=占，推出FQ二kb,根据割补法得S.廿SxS△旃

Sziioc=2Q>(l—々/，进而根据矩形面积计算方法得S»S&BGIF二ab,Stt«EiHo=k2ab,则S^BPQ=±(S勉乃产—

S矩形琼面,据此就可得出结论了.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：①由题意可得：CD=CF=AB,4G180,乙CFE="FB,乙ECF=cDAB=

UBC=90°,

：.LABD+乙GBF=乙GBF+乙AFB=90°,

：.LABD=乙AFB=zCFE,

：.LCEF^LADB^ASA),

：.CE=ADf①符合题意：

②由题意可得：乙BFG=Z.CFE=Z-ABD=乙CDB,乙CFE<90°

C.LCFG>90°>乙CGF,

：.CG>CF,即CG>CD.

J.LCDG>Z.CGD,即4BFG>£OGC,②不符合题意；

③由题意可得：Z-AFB=^CDB,Z.DCB=^ABF=90°

/.△ABFBCD,

...器=需，^AB-CD=BCBF

又・.・48=CD=CF,

：.CF2=BF•BC,③符合题意：

④过点C作CHICG,交80延长线于点H,如下图:

由题意可得：Z-HCG=乙DCB=90°,乙CFE=乙CDB,CD=CF

:•乙HDC=乙GFC,Z-HCD=&CF,

：.△CDH=△CFG(ASA)t

：.CH=CG,

由勾股定理可得：HG=VCH2+CG2=V2CG,

•:乙HCG=乙ECB=90°,

C.LHCB=乙ECG,

乂，：CH=CG,CE=AD=BC：

/.△CBH卦CEG(SAS),

:・BH=EG,

义，：BH=BG+GH=BG+&CG,

:・EG=BG+&CG,即8G=GE-&CG,④符合题意；

正确的个数为3,

故答案为：C

【分析】利用全等三角形的判定方法和性质，相似三角形的判定方法和性质逐项判断即可。

9.【答案】B

【解析】【解答】解：如图所示，连接AH,CH,设AE与BF交于M,

D

\,.叫"

-GC

VBF±AE,

AZAMB=90°,

/.ZBAM+ZABM=90°,

•・•四边形ABCD是正方形，

.\AB=BC=CD=AD,ZABE=ZBCF=90°,

.-.ZABM+ZCBF=90°,

AZBAE=ZCBF,

AAABE^ABCF(ASA),

ABE=CF,

ABF=DF,

VCG=CF,NDCG=NBCF,DC=BC,

.,.△BCF^ADCG(SAS),

.,.ZCBF=ZCDG,

又。ZBHG=ZDHF,

AABHG^ADHF(AAS),

AHG=HF,

又THC二HC,CG=CF,

.,.△HCG^AHCF(SSS),

/.ZHCG=ZHCF=45°,

；・A、H、C三点共线,

V.4D||CG,

AAADH^ACGH,

.PH_AD_AD_AB

*，HG=CG='BE=BE

故答案为：B.

【分析】连接AH,CH,设AE与BF交于点M,先证得A、H、C三点共线，由AD〃BC,可得

△ADHs△CGH,利用相似三角杉对应边成比例即得结论.

10.【答案】C

【解析】【解答】解：如图，过点P作PM_LBE于点M,

设BE=a,GH二b,

VAAHD^ABEA,

・・・AH二BE二a,

•・•四边形EFGH是正方形,

AFG=GH=EH=EF=b,

VZAEB=ZPMB=90°,

APM/7AE,

ABP：AP=BM：ME,

•・•点P是AB6勺中点,

，AP二BP,

.\BM=EM=la,

乙

APM是AABE的中位线，

APM=lAE=i(a-b),

又•・•点Q是GH的中点，

AGQ=lGH=lb,

VZPMF=ZBFC=90°,

.,.ZMPF=ZGFQ,

VZPMF=ZFGQ=90°,

AAPMF^AFGQ,

APM：FG=MF:GQ,

APMXGQ=FGXMF,

VMF=EM-EF=1a-b,

A1(a-b)xlb=b(ia-b),

整理得3b2-ab=0,即b(3b-a)=0,

Vb=^0,

/.3b-a=0,

Aa=3b,

AAE=AH-EH=a-b=2b,

•MB=7AE2+BE2=V(2d)24-(3b)2=713b,

AAB：EF=V13.

故答案为；C.

【分析】过点P作PMJ_Btz于点M,设B&a,GH=b,根据全等三角形的性质得AH二B4a,根据正方形的性

质得FG二GH二EH二EF二b,易得PM是4ABE的中位线，根据三角形中位线定理得BM二EM^a,PM=1AE=1(a-

乙乙乙

b),根据中点的定义得GQ与H=；b,易得△PM〃FC,然后判断出△PMFsZ\FGQ,根据相似三甫形对应边

成比例得PMXGQ二FGXMF,代入并整理得3b之一ab=0,即b(3b-a)=0,由于b于0,故可得a=3b,用勾股

定理表示出AB,据此就可求出答案了.

11.【答案】竽

【解析】【解答】解：:NDBC和NDAC所对的弧都是CD弧，

AZDAC=ZDBC,

丁AD平分NBAG即ZBAD=NDAC,

AZDBC=ZBAD,

VZBDE=ZADB,

AAABD^ABDE,

ABD：DE=AD：BD,即6:DE=(5+DE):6,

解得DE二4,DE=-9(舍)，

AAD=AE+DE=4+5=9,

VZACE和ND所对的弧都是AE弧，

,NACE=ND,

VZDBC=ZCAD,

AAAEC^AABD,

AAB：AE=AD：AC,即7：5=9:AC,

JAC二竽，

故答案为：竽.

【分析】根据同弧所对的圆周角相等，结合角平分线的定义，证明△ABDs/XBDJ则用相似三角形的性

质定理求出DE的长，同理证明△AECsZJ\BD,在利用相似三角形的性质定理即可求出AC的长.

12.【答案】韦与

【解析】【解答】解：如图，连接0C,延长CO交AB于H,交圆于F,连接BF,再连接OC、OM,0C交MN

于K,

VAACB为等腰三角形,

ACHXAB,

^BC2-BH2=y/52-32=^，

VZFBC=ZBHC=90°,ZBCH=ZBCF,

ABC:CH二CF：BC,

2

••・5"A学25

・・・0M二等

•・•点C关于DE的对称点为点0,

A0K=KC=j|,

,…。M2-OK2=J管）2_g|j=警,

，MN=2MK』5'§

8

故答案为：2^3

8

【分析】连接0C,延长CO交AB于H,交圆于F,连接BF,再连接OC、OM,0C交MN于K,根据等腰三角

形的性质，先求出CH的长，再利用相似三角形的性质求出CF的长，则知圆的半径的长，再由对称的性

质得出0K的长，然后根据勾股定理即可求出MK的长，则知MN的长.

13.【答案】§、学、*

【解析】【解答】解：设过点D的直线与aABC的另一个交点为E,

VAC=4,BC=3,Z.AB=732+42=5

设AD=x,BD=5-x,

[DE平分aABC周长,・・・周长的一半为(3+4+5)4-2=6,

分四种情况讨论：

①△BEDs/\BCA,如图1,BE=1+x

,MEBD405一无1+x

*-BC=AB'即：丁二'’

②ABDEs/iBCA,如图2,BE=1+x

•BDBE口05—x1+x

-BC=AB'即：—=—'

解得：x=导,

BE=孕＞BC,不符合题意.

S2

③△ADtzs^ABG,如图3,At=6-x

©△BDE^ABCA,如图4,AE=6-x

综上：AD的长为g、学、|.

【分析】根据直线平分三角形周长得出线段的和差关系，再通过四种情形下的相似三角形的性质计算线

段的长.

14.【答案】6/8/7

【解析】【解答】解：:BE：EF：FC=1；2：3

：-BF：FC=3：3=1

・・・F是BC的中点

VBD是三角形ABC的中线：

，点N为三角形ABC的重心,

；・FN：AN=1：2fDN：BN=1；2

设FN=k,则AN=2k,AF=3k

过点B作BG//AF交AE的延长线于G,

/.△BGE^AFAE,

:・BG：AF=BE：EF=1：2

・・・BG=1.5k,

VBG//AF

AABGM^ANAM,

MN=BG：AN=1.5k：2k=3：4

•:DN：BN=1：2

MN：DN=3：4：3.5

MN：DN=6：8：7

:.x：ytz-6r8/7

故答案为：6；8：7.

【分析】由BE：EF:FC=1:2:3可得BF:FC=1,即F是BC的中点，推出点N为AABC的重心，得到

FN：AN=1:2,DN:BN=1:2,设FN=k,则AN=2k,AF=3k,过点B作BG//AF交AE的延长浅于G,证明

△BGE^AFAE,ABGM^ANAM,由相似三角形的性质可得BG,BM：MN=3:4,根据DN:BN=1:2可得

BM：MN:DN=3:4：3.5,据此求解.

15.【答案】:

6

【解析】【解答】解：如图:

•・•正方形ABCD的面积为4

・•・正方形的边长为2,

•:悬E、F、G分别是48、1CD的中点,

，DG=CG=CF=1,

(力•=CD

在A4DG与△OCF中/4DG=£DCF=90°,

(D；=CF

:・&ADG"DCF(SAS),

：.LDAG=Z.CDF,

*：LDAG+ADGA=90°,

：.^GDH+Z.DGH=90°t

:.乙DMG=90°,

〈AG=+所2=通,

ADDG_2_275

.'DM=

AGyfS5

•'­GM可'

由题意可得：AGIICE

：.△DCKDGM

.DG_GM_1

^GC~~CK~2

.”2套

・・CK=丁

同理可得：ABCG三2CBE

:.乙ECB=乙GBC

:・B0=0G=OC=^BG=卓

752/5/5

OK=OC-CK=^-^=^

\*AG||CE

△OKLGML

后

一五二

••比一而一75■一2

F

,0L_1

••布=4

••0L=《GM=第

故答案为：圾

6

【分析】根据正方形ABCD的面积可得边长为2,利用SAS证明△ADG04DCF,得到NDAG二NCDF,结合

NDAG+NDGA=90°可得NDMG二90°,利用勾股定理可得AG,由等面积法可得DM,然后求出GM,证明

△DCK^ADGM,根据相似三角步的性质可得CK,同理可得△BCGg^CBE,得到NECB二NGBC,易得BO、

OG、OC、OK的值，证明△OKLs^GML,然后根据相似三角形的性质进行计算.

16.【答案】60V5;75A

【解析】【解答】解：(1)如图，连接AC,

VE为PC中点，AE=1CP,

•••△PAC为直角三角形,

VZAPt=30",PC=40V15,

，AC=20代

AAP=60X/15.

(2)如图，连结AC,作DF_LBF,

VA,C,D在同一条直线上，

AAD±AB,

.\ZCAP=ZPAD=90°

设AC=a,

在直角三角形PAC和PAD中，由勾股定理得:PA2=PC-AC2=PD-AD2,

.•・（40/15）-a-300-（a+40V15）2,

整理，解得：a=35a5,

・•・AD=AC+CD=35X<15+40A<15=75V15,

APD落到地面的阴影长BF二AD=756cm.

故答案为：60V5:75V15.

【分析】（1）连接AC,E为PC中点，AE二;CP,利用斜边中线等于斜边的一半逆定理可推出ZkPAC为

直角三角形，在根据30°角所对直角边为斜边的一半求出AP,进而可求出BP长；

（2）连接AC,A,C,D在同一条直线上得AD_LAB,在直角三角形PAC和PAD中，由勾股定理得

PA:=PC2-AC2=PD-AD2,求出AC,进而求出AD,由BF等于AD可得影长值.

17,【答案】（1）解：如图所示,

E

D

G

设DE二xcm,则AD=(8—x)cm.

根据题意得：1(8-x+8)X3X3=3X3X6,解得：x=4,

，DE二4(cm)

(2)解：VZE=90°,DE=4,CE=3,

.'CD=5,

VZBCE=ZDCF=90°,

・•・NDCE+NDCB=ZBCF+NDCB,

AZDCE=ZBCF

VZDEC=ZBFC=90°,

.,.△CDE^ACBF,

•CE_CDpn3_5

••乔=两'耳汴=守

.・.CF咚("

答：CF的高是Fem

J

【解析】【分析】(1)设DE=xcm,则AD=(8-x)cm,根据“图1、图2所示水的体积相等”列出方

程并解之即可;

(2)由勾股定理求出CD的长，再班△CDEs£kCBF,可得弃=空，据此即可求解.

CrLb

18.【答案】(1)解：作EM1CD于M,交48于N,

可得，=BN=OM=1.5米，MN=BD=23米，EN=FB=2礼

：.ME=25米，AN=1米,

•:AN||CD,

：.△AEN*CEM,

.ANEN12

一"两'^Pr)CM=25

ACM=12.5米，

CD=CM+DM=14米，

答：大楼的高度CD为14米.

(2)0.5

【解析】【解答】(2)类似(1)可得AAEN-AGEM,

・AN_EN

♦•领=两’

;GO=11.5米，OM=1.5米，4N=1米，ME=25米，

:,GM=10米，

.1_EN

,•10=25,

：.EN=25米,

相对于第一次测量，标杆力B应该向大楼方向移动2.5—2=0.5(米),

答：相对于第一次测量，标杆4B应该向大楼方向移动0.5米.

【分析】(1)作EM1CO于M,交AB于N,证出△AENsZiCEM,得出CM=12.5米，代人求解即可;

(2)类似(1)可得AAENSAGEM,得出第=需，利用相似三角形的性质求解即可。

19.【答案】(1)解：△PDQCPRf理由如下，

•••DQ1PE,

...LDPQ+乙PDQ=90°,

•.•四边形PENF是矩形,

:.LEPF=90°,PF||EN,

•••LDPQ4-乙CPR=90°,

LPDQ=乙CPR,

vAD1/,AD||BC,

・••BR1PR,

:.LCRP=90°,

:.LPQD=乙CRP=90°,

•••△PDQCPR：

(2)解：①如图，延长8R交直线.I于点G,可知RG=PE=1.16米，BC=40=1米,

:.BG=BC+CR+RG=1+1.44+1.16=3.6米；

②设PR=x米，

•••DQ+PF=AB=4米，PF=PR+RF=(x+0.8)米,

DQ=4-PF=4-x-0.8=