随机事件与概率高中数学：第十章

§10.4随机事件与概率

【考试要求】1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概

率的区别2理解事件间的关系与运算3掌握占典概型及其计算公式，能计算占典概型中简单

随机事件的概率.

-落实主干知识

【知识梳理】

1.样本空间和随机事件

⑴样本点和有限样本空间

①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,常用山表示.

全体样本点的集合称为试验E的图逢圆，常用。表示.

②有限样本空间：如果一个随机试验有〃个可能结果0，/2,…，5,则称样本空间。={0,

①2，…，Q%}为有限样本空间.

（2）随机事件

①定义：将样本空间。的壬集称为随机事件，简称事件.

②表示：一般用大写字母A,B,C,…表示.

③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件.

2.两个事件的关系和运算

含义符号表示

包含关系若A发生，则6一定发生4一—

相等关系83A且A38A=B

并事件（和事件）A与B至少有一个发生AUB或4+8

交事件（积事件）A与B同时发生4nB或4B

互斥（互不相容）A与8不能同时发生4n8=0

互为对立A与3有且仅有一个发生♦04=0,且AU3=Q

3.古典概型的特征

⑴有限性：样本空间的样本点只有有职企；

（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

4.古典概型的概率公式

一般地，设试验£是古典概型，样本空间。包含〃个样本点，事件A包含其中的％个样本点,

则定义事件A的概率2田=)=鬻.

其中，〃(A)和〃(Q)分别表示事件A和样本空间0包含的样本点个数.

5.概率的性质

性质1：对任意的事件4,都有P(A)20：

性质2：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即汽。)=1,尸(0)=0；

性质3：如果事件4与事件8互斥，那么尸(AU8)=尸(A：+P(B)；

性质4：如果事件A与事件4互为对立事件，那么P(4)=1—P(A),24)=1—0仍);

性质5：如果4G8,那么P(A)WP(B),由该性质可得，对于任意事件A,因为0G4G。，所

以OWP(A)W1；

性质6：设48是一个随机试验中的两个事件，有AAJ8)=P(A)+P(BL0(4GB).

6.频率与概率

(1)频率的稳定性

一般地，随着试验次数〃的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)

会逐渐稳定工事件A发生的概率尸(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.

(2)频率稳定性的作用

可以用频率加A)估计概率P(A).

【常用结论】

1.当随机事件4,B互斥时，不一定对立；当随机事件A,B对立时，一定互斥，即两事件

互斥是对立的必要不充分条件.

2.若事件4,4,…，4两两互斥，则P(4IUA2U「・UA“)=P(A])+P(A2)+・・・+P(A〃).

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)事件发生的频率与概率是相同的.(X)

(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生.(7)

(3)从一3,-2,-10,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.(J)

(4)若4U8是必然事件，则A与8是对立事件.(X)

【教材改编题】

1.一个人打靶时连续射击两次，事件”至多有一次中靶”的互斥事件是()

A.至少有一次中靶

B.两次都中靶

C.只有一次中靶

D.两次都不中靶

答案B

解析射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”，与该事件不能同

时发生的是“两次都中靶”.

2.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2,该同学的身高

在［160,175］（单位：cm）内的概率为0.5,那么该同学的身高超过175cm的概率为（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.（）.8

答案B

解析由题意知该同学的身高小于160cm的概率、该同学的身高在［160,175］（单位：cm）内的

概率和该同学的身高超过175cm的概率和为1,故所求概率为1-0.2—0.5=0.3.

3.（2022•全国乙卷）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的

概率为.

答案

解析从甲、乙等5名同学中随机选3名，有Cg种情况，其中甲、乙都入选有CJ种情况，

Cl3

所以甲、Z,都入选的概率。=超=击

■探究核心题型

题型一随机事件

命题点I随机事件间关系的判断

例1（1）（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A=｛两弹都击

中飞机｝,事件B=｛两弹都没击中飞机｝,事件。=｛恰有一弹击中飞机｝,事件。=｛至少有

一弹击中飞机｝,则下列关系正确的是（）

A.Ano=0B.BQD=0

C.AUC=DD.AUB=BUD

答案BC

解析“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没D或第一枚没中、第二枚击中，“至

少有一弹击中飞机”包含两种情况，一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，故

AC。#。，8G£>=0,AUC=D,AUB^BUD.

（2）从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件的

是（）

A.至少有一个红球；至少有一个白球

B.恰有一个红球；都是白球

C.至少有一个红球：都是白球

D.至多有一个红球：都是红球

答案B

解析对于A,“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，”至少有一个白球”可能

为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B,“恰有一个

红球”，则另一个必是白球，与''都是白球”是互斥事件，而任取两球还可能都是红球，故

两事件不是对立事件；对于C,“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”

显然是对立事件；对于D,“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是

对立事件.

命题点2利用互斥、对立事件求概率

例2某商场进行有奖销售，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖

单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖

的事件分别为4,B，C,求：

(l)P(A),P(B),P(C)；

(2)1张奖券的中奖概率；

(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.

=-

解⑴?(A)=]0G0,P(B)=]000=而，00020

(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M,则M

=AUBUC.

•・•事件4,B,C两两互斥，

:.P(M)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)

_l+10+50_61

1000=1000,

故I张奖券的中奖概率为篇.

⑶设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件M则事件N与“1张奖券中特等奖或中

一等奖”为对立事件，

・・.P(N)=1-P(4U8)=1-(壶+土)=尚

98Q

故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为湍正

思维升华事件关系的运算策略

进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试脸可能出现的

全部结果，必要时可列出全部的试脸结果进行分析.当事件是由互斥事件组成时，运用互斥

事件的概率加法公式.

跟踪训练1(I)有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、

西、北四个方向前进，一个方向只能有一个人.事件"日向南”与事件“乙向南”是()

A.互斥但非对立事件

B.对立事件

C.相互独立事件

D.以上都不对

答案A

解析由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但

不是对立事件.

（2）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的

100位顾客的相关数据，如下表所示.

一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上

顾客数（人）X3025y10

结算时间

11.522.53

（分钟/人）

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

①确定x,y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值:

②估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.

解①由已知得25+），+10=55,x+30=45,所以x=15,），=20.则顾客一次购物的结算时

1X15+1.5X30+2X25+2.5X20+3X10

间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为

100

1.9（分钟）.

②记A为事件”一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，4,A2,4分别表示事伶''该

顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一

次购物的结算时间为2分钟”，则可估计概率约为

153303251

尸（4）=而=而，「（人2）=丽=而，°（43）=同=不

因为A=AiUA2UA3,且4,A2,A3两两互斥，

所以P(A)=P(AiU/hUA3)=尸(4)+尸(4)+P(A3)=而+市+不=而

故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率约为云7.

题型二古典概型

例3（1）（2023・榆林模拟）在2,357这四个数中任取三个数，将其组成无重兔数字的三位数,

则这个数是奇数的概率为（）

答案C

解析由题意,这个数可能为235,237,253,257,273,275,325,327,352,357,372,375,523,527,532,

537,572,573,723,725,732,735,752,753,共24种情况，

其中奇数共有18个，故所求概率2=皆=/

(2)在一次比赛中某队共有甲、乙、丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场顺序，则

乙、丙都不与甲相邻出场的概率是()

1123

A♦而BqCqD.布

答案D

解析在一次比赛中某队共有甲、乙、丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场顺序，

样本点总数〃=A?=I2O,“乙、丙都不与甲相邻出场”包含的样本点个数加=AWA3+A通讯4

=36,所以“乙、丙都不与甲相邻出场”的概率尸=彳=将=得.

思维升华利用公式法求解古典慨型问题的步骤

定型,根据事件的性质，确定事件类

型为古典概型

定量，确定试脸包含的样本点总数及

第二步所求事件包含的样本点个数

求值，代入古典概型的概率计算公式

第三步一

求解

跟踪训练2⑴(2022•全国甲卷)从分别写有123,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张,

则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()

解析从写有1,2,345,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，共有15种取法，它们分别是

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),

(5,6),其中卡片上的数字之积是4的倍数的是(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6),共6

种取法，所以所求概率是—条=之

(2)(2022・宜宾质检)2022年冬奥会在北京、延庆、张家口三个区域布置赛场，北京承办所有冰

上项目，延庆和张家口承办所有雪上项目.组委会招聘了包括甲在内的4名志愿者，准备分

配到上述3个赛场参与赛后维护服务工作，要求每个赛场至少分到•名志愿者，则志愿者甲

正好分到北京赛场的概率为.

答案5

解析依题意3个赛场分配的志愿者人数只有1,1,2这种情况，则共有〃=CiM=36(种)安排

方法，

志愿者甲被分配到北京赛场有/〃=AS+GA名=12(种)安排方法，

所以志愿者甲正好分到北京赛场的概率。=妥12=看1

JUJ

题型三概率与统计的综合问题

例4北京冬奥会顺利闭幕后，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活却结束

后随机抽取120名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为1：1,抽取的学

生中男生有40名对讲座活动满意，女生中有3()名对讲座活动不满意.

(1)完成下面2X2列联表，并依据小概率值a=0.10的独立性检验，能否推断对讲座活现是否

满意与性别有关？

满意不满意合计

男生

女生

合计120

(2)从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生，

再在这7名学生中抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中2名男生与1

名女生的概率.

参考数据：*=/'八,其中〃=a+/?+c+d.

A(a-rb)(c-ra)(a+c)(b+d)

a0.100.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910,828

Xa

解(1)2X2列联表如表所示.

满意不满意合计

男生402060

女生303060

合计7050120

零假设为为：对讲座活动是否满意与性别无关.

根据列联表中数据，

L、\仆,120X(40X30—20X30)224

红计拜付L60X60X70X50=亍杵3.429>2.706=超10,

根据小概率值。=0.10的独立性检验，我们推断为不成文，即认为对讲座活动是否满意与性

别有关.

（2）由（1）知，在样本中对讲座活动满意的学生有70人，从中抽取7人，其中

7

“男生满意”的有40X方=4（人），

7

“女生满意”的有30Xm=3（人），

记“恰好抽中2名男生与1名女生”为事件人

则户（加=等=芸，

所以恰好抽中2名男生与I名女生的概率为H

思维升华求解古典概型的综合问题的步腺

（1）聘■题目条件中的相关知识转化为事件；

（2）判断事件是否为古典榻型；

（3）选用合适的方法确定样本点个数；

（4）代入古典概型的概率公式求解.

跟踪训练3从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩（均为整数）整理后画出频率

分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题.

⑴成绩在［80,90）这一组的频数、频率分别是多少？

（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数：（不要求写过程）

（3）从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选2人，求他们在同一-分数段的概率.

解（1）根据题意，成绩在［50,60）这一组的频率为0.015X10=0.15,在［60,70）这一组的频率为

0.025X10=0.25,在［70,80）这一组的频率为0.035X10=0.35,在［90,100）这一组的频率为

0.005X10=0.05,则成绩在［80,90）这一组的频率为:乂［1一（0.15+0.25+0.35+0.05）］=01，其

频数为40X0.1=4.

（2）这次竞赛成绩的平均数约为45X0.1455X0.154-65X0.25+75X0.35+85X0.1+95X0.05

=68.5；

成绩在［70,80）这一组的频率最大，人数最多，则众数约为75；

70分左右两侧的频率均为0.5,则中位数约为70.

（3）记”选出的2人在同一分数段”为事件已成绩在［80.90）内的有40X0.1=4（人），设为a,

b,c,d；成绩在［90,100）内的有40X0.05=2（人），设为A,8.从这6人中选出2人，有⑷

b),(a,c),(a,d),(a,A),(a,8),(b,c),(b,d),(b,A),(b,B),(c,d),(c,A),(c,

B),(d,A),(d,B),(A,B),共15种选法，其中事件E包括(a,b),(a,c),(a,d),(b,

7

c),(瓦①,(c,①，(4,B),共7种选法，则尸(©=F

课时精练

q基础保分练

1.同时掷两枚硬币，”向上的面都是正面”为事件A,“向上的面至少有一枚是正面”为事

件B,则有()

A.AG8B.A^B

C.A=BD.A<B

答案A

解析事件8包含“有一枚硬币正面向上”与“两枚硬币都是正面向上”，故

2.杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图.现将三张分别印有

“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入盒子中.若

从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是()

答案C

解析记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为4,B,C,则样本点有(A,A),

(A,B),(A,C),(&A),(伉B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),共9个，

其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的样本点有(A,阴，仍，A),共2个，

2

所以所求的概率

3.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石,

验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()

A.134石B.169石

C.338石D.1365石

答案B

解析这批米内夹谷约为急XI534-169(石).

4.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为宁，从中取出2粒都

是白子的概率是H，则从中任意取出2粒恰好是同色的概率是()

A.；B.||C.1|D.1

答案C

解析设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,“从中取出2粒都是白子”为事件B,“从

中任意取出2粒恰好是同色”为事件C,则C=AU8,且事件A与事件8互斥.所以尸(C)

1I?1717

=P(A)+P(8)=升后=去，即从中任意取出2粒恰好是同色的概率为点.

5.(2022・运城模拟)现有A,B,C,D,E五人随意并排站成一排，那么A,8相邻且6在A

左边的概率为()

A.古B.|C.|D.f

答案B

解析现有A,B,C,。，E五人随意并排站成一排，

样本点总数〃=A?=120,

A,8相邻且8在A左边包含的样本点个数〃?=Aj=24,

；・A,B相邻且B在A左边的‘概率P=~=Y2Q=y

6.(多选)下列说法中正确的有()

A.若事件A与事件B是互斥事件，则P(AB)=0

B.若事件A与事件B是对立事件，则P(A+8)=1

C.某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对

立事件

D.把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不

是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件

答案ABC

解析事件A与事件B互斥,则A.3不可能同时发生.所以P(A8)=0.故A正确：

事件A与事件8是对立事件，则事件B即为事件不，所以P(4+8)=l,故B正确；

事件“至少有两次中靶”与“至多有一次中靶”不可能同时发生，且二者必有一个发生，所

以为对立事件，故C正确；

事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，即“丙分得的是红

牌”，所以不是互斥事件，故D错误.

7.通过手机验证码注册某APP时，收到的验证码由四位数字随机组成，如I某人收到的验证

码㈤，S，。3,出)满足0<6<。3<出，则称该验证码为递漕型验证码，某人收到一个验证码，

则它是首位为2的递增型验证码的概率为.

答案2000

解析•；。［=2,2<〃2<43<。4,

a2,。3,04从3,4,5,6,7,89中选,

选出3个数，让其按照从小到大的顺序有0?=35(种)排怯，

又四位验证码共有10XI0X10X10=10000(种),

・•・它是首位为2的递增型殓证码的概率为彳35扁=777而.

8.(2022•全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为

答案卷

解析从正方体的8个顶点中任选4个，取法有&=7()(种).

其中4个点共面有以下两种情况：

(1)所取的4个点为正方体同一个面上的4个顶点，如图1,有6种取法；

(2)所取的4个点为正方体同一个对角面上的4个顶点，如图2,也有6种取法.

故4个点在同一个平面共有6+6=12(种)情况.

所以所取的4个点在同一个平面的概率2=圣=9

IUJJ

9.经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下:

排队人数012345人及5人以上

概率0.10.160.30工0.10.04

求：(1)至多2人排队等候的概率；

(2)至少3人排队等候的概率.

解记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件从“2人排队等候”为事件C

“3人排队等候”为事件。，“4人排队等候”为事件£“5人及5人以上排队等候“为事

件尸，则事件A,B,C,D,E,尸彼此互斥.

(1)记“至多2人排队等候”为事件。,则G=A+8+C,所以P(G)=aA+3+C)=P(A)+P(B)

+P（Q=0.1+0.16+0.3=0.56.

（2）方法一记“至少3人排队等候”为事件H,则”=£>+£+£所以P（H）=P（D+E+F）

=P（0+P（E）+P（F）=0.3+0.1+0.04=0.44.

方法二记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P（H）=\-P（G）

=0.44.

10.某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计得到其元旦期间的网购金额（单

位：万元）的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.

046

1228

20

（1）根据茎叶图计算样本数据的平均数；

（2）若网购金额（单位：万元）不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网

点，根据茎叶图估计这90个服务网点中优秀服务网点的个数；

（3）从随机抽取的6个服务网点中任取2个做网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网

点的概率.

._,叫—4+6+12+12+18+20

解（1）由题意知，样本数据的平均数x=---------------------=12.

（2）样本中优秀服务网点有2个，频率为看=/由此估计这90个服务网点中优秀服务网点约

有90X：=30（个）.

（3）样本中优秀服务网点有2个，分别记为0,纵，非优秀服务网点有4个，分别记为⑦，岳,

力3,庆，

从随机抽取的6个服务网点中任取2个的可能情况有（m,6）,（m,bi）,（ai,岳），（a,bi）,

31,①），（。2，6），（。2，①），（42，加），（“2，54），01,历），Sl，力3），Sl，仇），（仇，仇），（岳，

仇），（加，%,共15种，

记“恰有1个网点是优秀服务网点”为事件M,则事件M包含的可能情况有（0，历）,（m,

历），31，⑸，31，（〃2,6），（02,历），（。2,历）,（。2,力4）,共8种，

Q

故所求概率P（A/）=—

q综合提升练

II.如果事件A,5互斥，记4,6分别为事件A,4的对立事件，那么（）

A.AU8是必然事件

B.TU石是必然事件

C.~与W一定互斥

D.A与8一定不互斥

答案B

解析如图①所示，4U3不是必然事件，加U石是必然事件，二屋与万不互斥;如图②所

示，4U3是必然事件，了U石是必然事件，工与石互斥.

图①图②

12.整数集就像一片浩瀚无边的海洋，充满了无尽的奥秘.古希腊数学家毕达哥拉斯发现220

和