《全等三角形的性质与判定的综合运用(第三课时)》教案

《全等三角形的性质与判定的综合运用(第三课时)》教案教学目标教学目标：1.综合运用三角形全等的性质和判定解决实际问题；2.培养学生的应用意识，提高解决问题能力.教学重点:综合应用三角形全等知识解决实际问题.教学难点：分析实际问题，抽象出数学图形，解决问题.教学过程时间教学环节主要师生活动3min复习引入前面我们学习了三角形全等的知识，基本掌握了三角形全等的证明方法，这节课我们运用三角形全等知识解决实际问题.20min例题讲解例1.如图1，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）.在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测量哪些量？为什么？图1图1分析：要测量工件内槽宽AB，只需测量与AB相等的量.可以把卡钳抽象为两个对顶的三角形,△ABO和△CDO，已知条件可转化为AO=CO,BO=DO，问题转化为求与AB相等的线段.只需测量CD.∵点O是AC、BD的中点，∴OA=OC,OB=OD.在△AOB和△COD中，∴△AOB≌△COD(SAS).∴CD=AB.∴要测量槽内宽AB，只需测量CD.例2.如图2，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最合理的办法是拿()去配.图图2分析:要配一块完全一样的玻璃，可把三角形的玻璃抽象为一个三角形，问题转化为找与原三角形全等的三角形所需条件，①玻璃只有一个角，满足不了三角形全等的条件；②中没有即没有完整的边也没有完整的角，满足不了三角形全等的条件；③中有两个角和一条边都与原来的三形相等，满足三角形全等的条件；综上，最合理的办法是拿第③块玻璃去配.例3.如图3，从C地看A，B两地的视角，∠C是锐角，从C地到A，B两地的距离相等.A地到路段BC的距离AD与B地到路段AC的距离BE相等吗？为什么？图3图3分析：可把A地到路段BC的距离AD与B地到路段AC的距离BE是否相等的实际问题转化为线段AD是否与BE的相等的问题，所以只需证明△ABD与△BAE全等.A地到路段BC的距离AD与B地到路段AC的距离BE相等证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC,∴∠CDA=∠CEB=90°.在△ADC和△BEC中，∴△ADC≌△BEC（AAS）.∴AD=BE.即A地到路段BC的距离AD与B地到路段AC的距离BE相等.练习.如图4，两车从路段AB的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C，D两地.C，D两地到路段AB的距离相等吗？为什么？图4图4分析：实际问题可抽象为下图转化成数学问题，已知AC∥BD，AC=BD，∠AEC=∠BFD=90°，问CE与DF是否相等.那么只需证△AEC与△BFD全等.C，D两地到路段AB的距离相等.证明：∵CE⊥AB,DF⊥AB，∴∠AEC=∠BFD=90°.∵AC∥BD，∴∠A=∠D.在△AEC与△BFD中，∴△AEC≌△BFD（AAS）.∴CE=DF.即C，D两地到路段AB的距离相等.例4.如图5，AC和BD是两根旗杆，两根旗杆间相距12m，某人从点B沿BA走向A，一定时间他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线夹角为90°，且CM=DM，已知旗杆AC的高为3m，该人的运动速度为1m/s，求这个人运动了多长时间？图5图5分析：要求这个人运动时间，已知速度，需求BM的长.∵∠CMD=90°,∴∠CMA+∠DMB=90°.又∵∠CAM=90°，∴∠CMA+∠ACM=90°.∴∠ACM=∠BMD.在△AMC与△BDM中，∴△AEC≌△BFD（AAS）.∴AC=BM=3m.3÷1=3s∴他到达点M时，运动时间为3s.例5.小春在做数学作业时，遇到这样一个问题：如图6，AB=CD，BC=AD，请说明∠A=∠C.小春动手测量了一下，发现∠A确实等于∠C，但她不能说明其中的道理，你能帮助她吗？图6图6分析：要帮小春解决的问题是证明∠A=∠C.我们知道三角形全等是证明两个角相等的重要方法，所以需证△ABO≌△CDO.已知AB=CD，隐藏条件∠AOB=∠COD,还缺少一个条件.再来看已知，AB=CD，BC=AD，如果连接AC，SSS可证明△ABC≌△CDA，可得∠B=∠D，△ABO≌△CDO缺少的条件找到，问题得以解决.连接AC.在△ABC和△CDA中，∴△ABC≌△CDA（SSS）.∴∠B=∠D.在△ABO和△CDO中，∴△AOB≌△COD（AAS）.∴∠BAO=∠DCB.即∠A=∠C.小明说还有更简单的办法，具体如下.连接BD在△ABD和△CDB中，∴△ABD≌△CDB（SSS）.即∠A=∠C.2min课堂小结抽象抽象数学模型实际问题数学模型实际问题回归转回归转化数学结论数学问题数学结论数学问题求解求解作业如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DEF的大小有什么关系？为什么？

2.如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，此时，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E与路段AB的距离相等吗？为什么？综合训练一、选择题1.下列说法正确的是()A.有三个角对应相等的两个三角形全等B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等C.有两个角与其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等D.有两个角对应相等,还有一条边也相等的两个三角形全等2.如图,△ABC≌△AEF,AC与AF是对应边,则∠EAC等于()A.∠ACBB.∠CAFC.∠BAFD.∠BAC3.如图,给出下列四组条件:①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有()A.1组 B.2组 C.3组 D.4组4.如图,将两根钢条AA',BB'的中点O连在一起,使AA',BB'能绕着点O自由转动,就做成了一个测量工具,则A'B'的长等于内槽宽AB,其中判定△OAB≌△OA'B'的理由是()A.SAS B.ASA C.SSS D.HL5.如图,AC=BD,AB=CD,图中全等的三角形共有()A.2对 B.3对 C.4对 D.5对6.如图,AB∥CF,DE=EF,AB=10,CF=6,则DB等于()A.3 B.4 C.5 D.67.要测量河两岸相对的两点A,B间的距离,先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使A,C,E在一条直线上,如图,可以证明△EDC≌△ABC,得到DE=AB,因此测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是()A.SAS B.ASA C.SSS D.HL8.如图,在△ABC中,已知AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为点D,E,AD,CE交于点H.若EH=EB=3,AE=4,则CH的长是()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题9.如图,已知△ABC≌△A'B'C,点B'在边AB上,若∠A=40°,∠B=60°,则∠A'CB的度数为.

10.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当的条件:,使△AEH≌△CEB.

11.雨伞开闭过程中某时刻的截面图如图所示,伞骨AB=AC,支撑杆OE=OF,AE=13AB,AF=13AC.当O沿AD滑动时,雨伞开闭.雨伞开闭过程中,∠BAD与∠CAD12.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一条线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动,则当AP=cm时,才能使△ABC和△QPA全等.

三、解答题13.如图,C为线段AB上一点,AD∥EB,AC=BE,AD=BC.求证:△ACD≌△BEC.14.如图,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=6,BC=8,若S△ABC=28,求DE的长.15.已知△ABN和△ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.求证:(1)BD=CE;(2)∠M=∠N.16.如图,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交于点F,连接CD,EB.(1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举;(2)求证:CF=EF.综合训练一、选择题1.C2.C3.C4.A5.B根据全等三角形的判定可得图中全等的三角形有:△ADB和△DAC;△ABC和△DCB;△ABO和△DCO.6.B7.B8.A二、填空题9.140°∵△ABC≌△A'B'C,∴∠A'=∠A=40°,∠A'B'C=∠B=60°,CB=CB',∠A'CB'=80°,∴∠BB'C=∠B=60°,∴∠BCB'=180°-60°-60°=60°,∴∠A'CB=∠A'CB'+∠BCB'=140°.10.AH=CB(或EH=EB或AE=CE)根据“AAS”需要添加AH=CB或EH=EB;根据“ASA”需要添加AE=CE.11.相等∵AE=13AB,AF=13AC,∴AE=AF.又OE=OF,OA=OA,∴△AOE≌△AOF(SSS).∴∠BAD=∠CAD.12.5或10三、解答题13.证明∵AD∥BE,∴∠A=∠B.在△ACD和△BEC中,∵AC∴△ACD≌△BEC.14.解∵BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF.∵S△ABC=28,AB=6,BC=8,∴12×6×DE+12×8×∴DE=DF=4.15.证明(1)在△ABD和△ACE中,AB∴△ABD≌△ACE(SAS).∴BD=CE.(2)∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE,即∠BAN=∠CAM.由(1),得△ABD≌△ACE,∴∠B=∠C.在△ACM和△ABN中,∠∴△ACM≌△ABN(ASA),∴∠M=∠N.16.(1)解2对,分别为△ADC≌△ABE,△CDF≌△EBF.(2)证法一∵Rt△ABC≌Rt△ADE,∴AC=AE,AD=AB,∠CAB=∠EAD,∴