《角的平分线的性质的综合运用》教案

《角的平分线的性质的综合运用》教案教学目标教学目标：综合运用角的平分线的性质的两个定理解决问题，并学习结合之前的知识（如全等三角形等）解决更为综合的问题．教学重点：识别基本图，分析推理，整合思路，规范书写，反思优化．教学难点：通过分析进行合理的推理和优化．教学过程时间教学环节主要师生活动2分钟8-10分钟4-5分钟6-8分钟2-3分钟复习定理回顾整合例题讲解小结与作业复习定理1．角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．符号表示：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．2．交换题设结论（注意附加条件）：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．符号表示：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上．我们上节课还留下了一个思考问题：为什么定理2会附加角的内部这个条件？我们先通过研究相关的一系列问题，来回答并帮助大家进行近期学习内容的复习．【问题】1．回顾之前的课上我们研究过这样一个书上的问题：（教材50页例题）如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．解题思路：过点P分别向三角形各边作垂直，标垂足．由角的平分线的性质得PD=PE及PE=PF．进而PD=PE=PF．于是问题得证．2．追问点P在∠BAC的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？∵PD＝PE＝PF（已证），又PD⊥AB，PF⊥AC，∴点P在∠BAC的平分线上（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）．由此可知：三角形的三条角平分线交于一点．我们之前用角的平分线的性质来验证三角形两条角的平分线的交点到三边距离相等，现在再通过定理2来判断这个交点也在第三条角平分线上．3．类比（教材50页练习第2题）如图，△ABC的∠ABC外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P．（1）求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．思路：过点P分别向三角形各边作垂直，标垂足．由角的平分线的性质得PF＝PG及PG＝PH．进而PF＝PG＝PH．于是问题得证．过点P作PF，PG，PH分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为F，G，H．∵BD为∠ABC外角的平分线，点P在BD上，∴PF＝PG．（角的平分线上的点到这个角两边的距离相等）同理PG＝PH．∴PF＝PG＝PH．即点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．（2）点P在∠BAC的平分线上吗？这说明三角形的相邻两个外角的平分线与第三个内角角平分线有什么关系？∵PM⊥AF，PN⊥BC，∴点P在∠BAC的平分线上（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）．由此可知：三角形的相邻两个外角的平分线与第三个角的角平分线交于一点．4．应用（教材P55复习题12第6题）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？我们借此抽象出这样一个数学问题：已知△ABC，在它的内部求作一个点O，使其到三角形三边都相等．大家可以从第1个定理入手，通过角的平分线上的点到角的两边的距离相等，发现使点到三条边距离相等的加油站，应该在角的平分线的交点上．交点即为建加油站的位置．也可以从定理2入手思考：先不想三边，而是考虑其中两边，再进行同理．角的内部到角两边距离相等的点在哪儿呢？在角平分线上．那就应该作三角形的两条角平分线，这样就找到符合要求的交点了．作图：分别作∠BAC和∠ABC的平分线，两线交于点O，即为所求位置．提醒：如果题目要求尺规作图，保留作图痕迹，请仿照我们在角的平分线的性质第1节课讲过的尺规作图步骤，逐条作出需要的角平分线．如果没有要求，那么只要说明作的是角平分线就行了，它是初中阶段的基本作图之一，可以直接使用．5．发展（对于定理2“在角的内部”这个限制条件的思考）如果我们去掉在三角形内部这个条件，结论会怎样？已知△ABC，求作一个点O，使其到三角形三边都相等．解：如图所示：（1）作出△ABC两内角的平分线，其交点为O1；（2）分别作出△ABC两外角平分线，其交点分别为O2，O3，O4．故满足条件的修建点有四处，即O1，O2，O3，O4．回答之前的思考问题：如果没有“角的内部”这个限制条件，那么三角形的外角平分线的点也应该符合要求．也就是说，如果不加限制，定理2是不对的，到角两边距离相等的点在三角形内角的平分线或者在外角的平分线上．思考问题要全面．例1．（改编教材51页习题12．3第4题）如图，在△ABC中，点D，E，F在边BC上，点P在线段AD上，若PE∥AB，PF∥AC，点D到PE和PF的距离相等．求证：点D到AB和AC的距离相等．分析：标图题目出现了两次“点到角两边的距离相等”，1．“点到角两边的距离相等”当已知，想定理2；当求证，想定理12．平行线用以转换角的位置整理思路：处理这个问题分3步走：先用定理2证等角；再用平行关系换角的位置；最后用定理1再证距离相等．证明：∵点D到PE和PF的距离相等，∴PD是∠EPF的平分线（定理2）．∴∠1＝∠2．∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4．∴△ABC中，AD平分∠BAC．∴点D到AB和AC的距离相等．点评：本题综合性较强，大家可以先通过分析结论，找到证明中使用到的的板块，再展开书写．我们会发现这个题使用了这部分内容学到的两个定理，解题的关键就是熟记和鉴别这两个定理．为了避免叙述角时发生混乱，可以引入序号编角，叙述距离时如果不是必须，可以省略作出垂直的图形？例2．（教材51页习题12．3第5题）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．F是OC上另一点，连接DF，EF．求证：DF＝EF．分析：已知可推？“角分双垂推相等”根据角平分线的性质可得PD＝PE，进而可能推出△ODP≌△OEP或△PDF≌△PEF．求证何来？可能来自全等．△ODF≌△OEF或△PDF≌△PEF．证明：法1分三步，先由角的平分线的性质由PD＝PE；再结合OP＝OP证出Rt△ODP≌Rt△OEP（HL），根据全等三角形的性质可得出OD＝OE；最后结合∠DOF＝∠EOF，OF＝OF可证出△ODF≌△OEF（SAS），再利用全等三角形的性质即可证出DF＝EF．∵点P在∠AOB的平分线上，∴∠DOP＝∠EOP．又PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE．在Rt△ODP≌Rt△OEP中∴Rt△ODP≌Rt△OEP（HL）．∴OD＝OE．在△ODF和△OEF中，∴△ODF≌△OEF（SAS）．∴DF＝EF．法2调整一下，既然由PD＝PE，可能推出△PDF≌△PEF，求证DF＝EF也可能来自△PDF≌△PEF，有没有可能只证明这一次全等呢？这就需要中间证明∠DPF＝∠EPF了，可以看到它们作为Rt△POD与Rt△POE的外角是可以推证相等的．也分三步，还是先由角的平分线的性质由PD＝PE；再推出作为Rt△POD和Rt△POE的外角，∠OPD＝∠OPE；最后证出△PDF≌△PEF（SAS），再利用全等三角形的性质即可证出DF＝EF．∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠ODP＝∠OEP＝90°．又点P在∠AOB的平分线上，∴∠DOP＝∠EOP，PD＝PE．∵∠DPF=∠ODP+∠DOP，∠EPF=∠OEP+∠EOP，∴∠DPF=∠EPF．在△PDF≌△PEF中∴△PDF≌△PEF（SAS）．∴DF＝EF．点评：决定题目的复杂性的，不仅仅是使用定理的多少，还有就是采用不同的定理可能会产生不同的证明步骤，有时候这种步骤的差别是很大的，会体现在书写耗时，便捷程度等各个方面．大家在处理问题的时候，最好能够在会做的基础上要求自己做对，在做对的基础上，还可以要求更高，要做得好．小结1．我们在这阶段学习了两个定理，需注意区分它们的条件和结论，以免发生混淆．2．有些几何问题的解决需要添加辅助线，目前常见的辅助线以补全基本图为主．3．一般的分析方法：已知可推什么？求证从哪里来？找常见基本图与基本说法等．可以先思考核心步骤再展开写以免干扰思路．4．有时候解决问题的方法不止一种，步骤难度可能差不多也可能有优劣．希望大家多尝试，多比较，多思考，多积累，逐步做到会-对-好．课后作业1．如图，△ABC的角平分线AP和外角平分线BP相交于点P，求证：点P也在∠BCD的平分线上．分析：作PF⊥AB于F，PG⊥BC于G，PH⊥AC于H，根据角平分线的性质定理和判定定理证明即可．证明：作PF⊥AB于F，PG⊥BC于G，PH⊥AC于H，∵BP是∠EBC的平分线，PF⊥AB，PG⊥BC，∴PF＝PG，∵AP是∠BAC的平分线，PH⊥AC，PF⊥AB，∴PH＝PF，∴PG＝PH，PG⊥BC，PH⊥AC，∴点P在∠BCD的平分线上．2．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF交AD于点G，AD与EF垂直吗？证明你的结论．分析：已知可推？除得到等角和直角外，还由角的平分线的性质得到DE＝DF．求证何来？可证AD与EF相交所成的四个角中，任意一个为直角．两者如何联系？可证△DEG≌△DFG（SAS）．解：AD垂直EF．理由如下：∵AD为△ABC的角平分线，①∴∠1＝∠2．∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，②∴∠AED＝∠AFD＝90°．∴Rt△AED与Rt△AFD中，∠3＝∠4．由①②，得DE＝DF．在△DEG与△DFG中，∴△DEG≌△DFG（SAS）．∴∠DGE＝∠DGF＝90°．∴AD垂直EF．知能演练提升一、能力提升1.如图,点D在BC上,若DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,则对于∠1和∠2的大小关系,下列说法正确的是()A.一定相等 B.一定不相等C.当BD=CD时相等 D.当DE=DF时相等2.一块三角形草坪如图所示,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在()A.△ABC的三条中线的交点处B.边BC的中点处C.△ABC三条角平分线的交点处D.△ABC三条高所在直线的交点处3.如图,三条公路两两相交,交点分别为A,B,C.现计划修一个油库,要求到这三条公路的距离相等,可供选择的地址有()A.一处 B.两处 C.三处 D.四处4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=8cm,AC=6cm,点O是△ABC三条角平分线的交点,OD⊥BC于点D,OE⊥AC于点E,OF⊥AB于点F,则点O到三边AB,AC,BC的距离分别是()A.2cm,2cm,2cm B.4cm,4cm,4cmC.5cm,5cm,5cm D.2cm,3cm,5cm5.如图,AB∥CD,点P到AB,BC,CD的距离相等,则∠P=.

6.如图,在△ABC中,BP,CP分别是△ABC的外角的平分线.求证:点P在∠BAC的平分线上.二、创新应用★7.小明发现了一种画角的平分线的方法:如图,在∠AOB的两边OA,OB上分别取OM=ON,OD=OE,DN和EM相交于点C.小明过点O,C画射线OC,就得到OC是∠AOB的平分线.请你证明这一结论的正确性.知能演练·提升一、能力提升1.D2.C3.D△ABC的两个内角平分线的交点,以及三个外角两两平分线的交点都满足要求.4.A如图,连接OA,OB,OC,则S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA.而S△ABC=12×6×S△OAB=12×10·OF,S△OBC=12×8·OD,S△OCA=12×6因为点O是△ABC三条角平分线的交点,所以OD=OE=OF.设OD=xcm,则10x+6x+8x=48,解得x=2.5.90°由题意可知点P是∠ABC和∠BCD的平分线的交点.又因为AB∥CD,所以∠ABC+∠BCD=180°.所以∠PBC+∠PCB=90°,即∠P=90°.6.证明如图,过点P作PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,PD⊥BC于点D.∵点P在∠EBC的平分线上,PE⊥AB,PD⊥BC,∴PE=PD.同理PD=PF,∴P