《最短路径问题(第二课时)》教案

《最短路径问题（第二课时）》教案教学目标教学目标：（1）利用平移、轴对称解决最短路径的问题，进一步感悟化归思想．（2）培养培养用符号语言和图形语言表达数学问题的能力．教学重点：利用平移、轴对称解决最短路径的问题教学难点：体会图形的变化在解决最短路径问题中的作用，感悟化归思想教学过程时间教学环节主要师生活动3分钟复习引入上节课我们研究了两类最短路径问题：1.A，B在直线l异侧时：如图，在直线l上求作一点C，使得CA+CB最短．思考：（1）作图方法：连接AB，交直线l于点C，点C即为所求．（2）依据：“两点之间，线段最短”，2.当A、B在直线l同侧时（牧马人饮马问题）（2）作法：通过轴对称转移线段，转化为研究过的A、B两点在直线异侧的问题．利用“两点之间，线段最短”，找到满足条件的点C．同时，我们通过几何推理，证明了这个作法的正确性．12分钟探索新知本节课我们继续研究“最短路径”问题．例：造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？BABA思考：（1）实际问题，首先做什么？将实际问题抽象为数学问题，用文、图、示的语言表达．图形语言：A、B两点看作两个定点，河的两岸看成两条平行线a和b．N为直线b上的一个动点．先画一个一般的点N．桥垂直于河的两岸，即MN垂直于直线b，交直线a于M．文字/符号语言：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小．（几何画板演示）（2）问题是否可以简化？由于河的宽度是固定的，当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小．所以问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小．（3）能否通过图形的变化（轴对称、平移等），将问题转化为我们研究过的问题呢？将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到A’，则AA'=MN，AM+NB=A’N所以问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A’N+NB最小．（4）这是我们上节课讲的哪种类型？两点在直线异侧，连接A’，B两点，与直线b的交点即为N．依据：两点之间，线段最短．（5）结论在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的．（6）用文字和符号语言整理一下作法总结：①实际问题可以抽象为数学问题，用文、图、示的语言表达．②利用平移，实现线段的转移．平移：沿直线方向移动．轴对称：绕某一点旋转．③把已知问题转化为容易解决的问题，体会化归思想．思考（6）如何证明这条路径最短？在直线b上任取一点N′，过N′作N′M′⊥a连接AM′，A′N′，N′B由平移性质可知，AM=A′N，AM′=A′N′.AM+NB=A′N+NB=A′BAM′+N′B=A′N′+N′B.由两点之间，线段最短可知：A′B<A′N′+N′B即AM+NB<AM′+N′B即AM+MN+NB<AM′+M′N′+N′B.总结④学会用符号语言进行推理和表达6分钟能力提升练习：已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上求作两点P、Q（点P在点Q的左侧）且PQ＝a，使得四边形APQB的周长最小．思考（1）哪些点是定点，哪些是动点？A，B为定点，P，Q为直线l上的动点，且PQ=a，距离不变．先从一般的点P和相应的点Q出发，画图观察．（2）问题是否可以简化？由于AB、PQ的长度是固定的．当AP+QB最小时，四边形APQB的周长最小．（3）如何通过平移、轴对称等方式转移线段，从而转化为我们研究过的问题？将AP沿直线l的方向平移，点P移动到点Q，点A移动到A’，则AA'=PQ，AP+QB=A’所以问题转化为：当点Q在直线l的什么位置时，A’Q+QB最小．（4）这是我们研究过的哪种类型？两点在直线异侧，连接A’，B两点，与直线l的交点即为Q．依据：两点之间，线段最短．（5）如何证明这条路径最短？总结：将复杂的问题转化为简单的问题，将未知的问题转化为已知（已解决）的问题．2分钟课堂小结课堂小结：比较本节课研究的两个问题（1）最短路径的依据：两点直线，线段最短（2）方法：利用轴对称、平移等变化，将已知问题转化为容易解决的问题。（3）思想：化归思想。课后作业如图，点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上，求作一点P，使得四边形APBC的周长最小；知能演练提升一、能力提升1.如图,OA,OB分别是线段MC,MD的垂直平分线,MD=5cm,MC=7cm,CD=10cm,一只小蚂蚁从点M出发爬到OA边上任意一点E,再爬到OB边上任意一点F,然后爬回点M处,则小蚂蚁爬行的路径最短可为()A.12cm B.10cm C.7cm D.5cm2.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分别找一点M,N,使△AMN的周长最小,则∠AMN+∠ANM的度数为()A.60° B.120° C.90° D.45°3.如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A,B到河岸的距离分别为AC和BD,且AC=BD.若点A到河岸CD的中点的距离为500m,则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家,所走的最短路程是m.

4.如图,某公路(视为x轴)的同一侧有A,B,C三个村庄,要在公路边建一货栈(即在x轴上找一点)D,向A,B,C三个村庄运送农用物资,路线是:D→A→B→C→D(或D→C→B→A→D).试问在公路上是否存在点D使送货路程之和最短?若存在,请在图中画出点D所在的位置;若不存在,请说明理由.5.如图,单位A与B分别位于一条封闭式街道的两旁,现在准备合作修建一条过街天桥(桥必须与街道垂直).在图中画出桥,使由A到B的路程最短.二、创新应用★6.某中学八(2)班举行文艺晚会,桌子摆成如图所示的两直排(图中的AO,BO),AO桌面上摆满了橘子,BO桌面上摆满了糖果,站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短.

知能演练·提升一、能力提升1.B设CD与OA的交点为E,与OB的交点为F.因为OA,OB分别是线段MC,MD的垂直平分线,所以ME=CE,MF=DF,所以小蚂蚁爬行的路径最短为CD=10cm,故选B.2.B如图,作点A关于BC和CD的对称点A',A″,连接A'A″,交BC于点M,交CD于点N,则A'A″即为△AMN的周长的最小值.∵∠DAB=120°,∴∠A'+∠A″=180°-120°=60°.∵∠A'=∠MAA',∠NAD=∠A″,且∠A'+∠MAA'=∠AMN,∠NAD+∠A″=∠ANM,∴∠AMN+∠ANM=∠A'+∠MAA'+∠NAD+∠A″=2(∠A'+∠A″)=2×60°=120°,故选B.3.10004.解存在点D使所走路线D→A→B→C→D的路程之和最短.作法:(1)作点A关于x轴的对称点A';(2)连接A'C,交x轴于点D.如图.则点D(3,0)就是要建货栈的位置.5.解设桥为CD,则这个问题中的路程为AD,CD,CB三条线段之和,其中线段CD是定值,因此只需要考虑使AD+CB最短.它们