《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第三课时)》教案

《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（第三课时）》教案教学目标教学目标：理解二次函数y=ax2+bx+c的图象与各项系数a，b，c符号之间的关系；教学重点：通过二次函数y=ax2+bx+c的图象与各项系数a，b，c的符号之间的关系来解决问题；教学难点：体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法，以及研究函数的一般思路，掌握通过赋值法解决特殊结构求值的问题.教学过程时间教学环节主要师生活动复习回顾巩固练习引入新知探究新知探究新知巩固落实巩固落实课堂小结布置作业一、复习回顾：二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质1.抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关？（a）2.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是什么？（）3.抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的坐标是什么？（）巩固落实：1.已知抛物线y=x2-4x+3．.（1）开口方向是，对称轴是；（2）顶点坐标是，当x=时，y有最值是；（3）当x时，y随x的增大而增大，当x时，y随x的增大而减小.2.若A(－4,y1)，B(－3,y2)，C(1,y3)为二次函数y=x2+４x－m的图象上的三个点．试比较y1、y2、y3的大小关系.归纳：解题时，如果能够结合函数图象来分析函数的基本性质，会更加直观简洁，计算量也要小许多．二、引入新知：思考：若二次函数y=ax2+bx+c图象如图所示，你可以判断出a，b，c的符号吗？请同学们思考：只给函数的图象，不求函数的解析式，我们能不能由此判断解析式中a，b，c的符号呢？三、探究新知：二次函数y=ax2+bx+c的图象与各项系数a，b，c符号之间的关系１.二次项系数a的作用．通过前面的学习我们知道，在二次函数y=ax2+bx+c中，二次项系数a不等于0，它的图象是抛物线.a决定了函数图象的开口方向——（１）当a＞0时，抛物线开口向上；（２）当a＜0时，抛物线开口向下．2.一次项系数b的作用．我们知道抛物线的对称轴是，所以b与a共同决定了对称轴的位置（1）当b与a同号，即时，抛物线的对称轴在y轴左侧；（2）当b与a异号，即时，抛物线对称轴在y轴的右侧；（3）当b=0，即时，抛物线的对称轴就是y轴．b的符号的判定：对称轴在y轴左边则a与b同号，在y轴的右侧则a与b异号．3.数项c的作用．ｃ决定了抛物线与y轴交点的位置（1）当c>0，抛物线与y轴正半轴相交；（2）当c<0，抛物线与y轴负半轴相交；（3）当c=0，抛物线经过原点.由此，我们得到了二次函数的图象与其系数a，b，c的符号之间的关系.巩固落实：接下来，我们尝试解决刚才的问题——例１.若二次函数y=ax2+bx+c图象如图所示，你可以判断出a，b，c的符号吗？解析：由抛物线开口向下可知a＜0；又抛物线与y轴正半轴相交，所以c>0；因为对称轴在y轴右侧且图象开口向下，所以ｂ>0．例2.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,下列说法中正确的是ac＞0a+b+c＜02a+b＞0归纳：前面两道题目我们解决的是通过函数图象来判定系数a，b，c的符号；下面我们再来看：如果已知各项系数的符号，能不能推断出函数图象的位置呢？例3.如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（）a<0，抛物线开口向下，排除选项D；c<0，抛物线与轴交于负半轴，排除选项A；a<0且b>0，对称轴在y轴右侧．所以选C．挑战.已知直线y=ax+b如图所示，则抛物线y=ax2+bx+３的图象可能是（）四、课堂小结：１．通过这节课的学习，我们探究了二次函数y=ax2+bx+c的图象的位置与其系数a，b，c的符号之间的关系：a决定了函数图象的开口方向；b与a共同决定了对称轴的位置；c决定了抛物线与y轴交点的位置．并能够依据结论来解决由二次函数图象判断含有a，b，c的式子的符号或是由二次函数各项系数符号判断图象的问题.２．在解题过程中，我们体会到了数形结合思想.函数图象是我们来比较函数值的大小、判定变化趋势的有力工具.3.同时，我们还感受到赋值法简化计算的妙处.结合抛物线可以直观体现相应二次函数图象的特征，选取恰当的特殊点的横坐标代入到函数解析式、或已知的对称轴中，经过适当变形之后就可得到关于a，b，c的一些代数结构（例如a+b+c，a-b+c，4a+2b+c、4a-2b+c或者是2a+b，2a-b等等）．五、布置作业1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，分别写出对应的a，b，c的符号.2.函数y=ax2－2x+1和y=ax－a在同一平面直角坐标系中的图象可能是下图中的()3.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么a，b，c，b2－4ac中值小于零的有个.知能演练提升一、能力提升1.二次函数y=ax2+x+1的图象必过点()A.(0,a) B.(-1,-a)C.(-1,a) D.(0,-a)2.已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则()A.y3<y2<y1 B.y3<y1<y2C.y2<y3<y1 D.y1<y3<y23.已知二次函数y=ax2-bx+c(a≠0)的图象经过第一象限的点(1,-b),则一次函数y=bx-ac的图象不经过()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4.如图,现要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的说法如下:甲:若b=5,则点P的个数为0;乙:若b=4,则点P的个数为1;丙:若b=3,则点P的个数为1.下列判断正确的是()A.乙错,丙对B.甲和乙都错C.乙对,丙错D.甲错,丙对5.某同学利用描点法画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时,列出的部分数据如下表:x01234y30-203经检查,发现表格中恰好有一组数据计算错误,请你根据上述信息写出该二次函数的解析式:.

6.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,1),且经过点B(1,0),则抛物线的函数解析式为.

7.已知实数x,y满足x2+3x+y-3=0,则x+y的最大值为.

8.已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图所示.(1)试求该二次函数的解析式和它的图象的顶点坐标;(2)观察图象回答,何时y的值随x值的增大而增大,何时y的值随x值的增大而减小?(3)如果将图中抛物线先向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度,试确定所得到的抛物线的解析式.★9.如图,四边形ABCD是菱形,点D的坐标是(0,3),以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好经过x轴上A,B两点,CE⊥AB于点E.(1)求A,B,C三点的坐标;(2)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过点D,求平移后抛物线的解析式,并指出平移了多少个单位长度?二、创新应用10.已知二次函数y=x2-2mx(m为常数),当-1≤x≤2时,函数值y的最小值为-2,则m的值是()A.32 B.2 C.32或2 ★11.在平面直角坐标系中,抛物线y=mx2-2mx+m-1(m>0)与x轴的交点为A,B.(1)求抛物线的顶点坐标.(2)把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.①当m=1时,求线段AB上整点的个数;②若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点,结合函数的图象,求m的取值范围.

知能演练·提升一、能力提升1.C2.B3.C4.C5.y=x2-4x+3由于表格中只有一组数据计算错误,根据抛物线的轴对称性及图象经过点(0,3),(4,3)可得抛物线的对称轴为直线x=2,而根据图象经过点(1,0),(3,0)亦可得抛物线的对称轴为直线x=2,所以抛物线的对称轴可确定为直线x=2,而且能断定这四组数据都不会错.所以从这四个点中任意选3个可求得其解析式.如设二次函数解析式为y=a(x-1)(x-3),把x=0,y=3代入得3=a(0-1)·(0-3),解得a=1,所以y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.6.y=-x2+4x-3设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1,将B(1,0)代入y=a(x-2)2+1,得a=-1.因此抛物线的函数解析式为y=-(x-2)2+1,即y=-x2+4x-3.7.4易知y=-x2-3x+3,则x+y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,所以x+y的最大值为4.8.解(1)由图象知,抛物线过点(1,0),(4,0),将坐标代入函数解析式,得a-5+故所求二次函数的解析式为y=x2-5x+4.又因为y=x2-5x+4=x-522-94,所以函数图象的顶点坐标为52(2)由(1)知,a=1>0,抛物线的对称轴为直线x=52,从图象知,当x>52时,y随x值的增大而增大;当x<52时,y随(3)由(1)知,y=x2-5x+4=x-522−94,将抛物线先向左平移3个单位长度,再向下平移4即y=x2+x-6.9.解(1)由抛物线的对称性可知AE=BE.在Rt△AOD和Rt△BEC中,∵OD=EC,AD=BC,∴Rt△AOD≌Rt△BEC(HL).∴OA=EB=EA.设菱形的边长为2m,在Rt△AOD中,m2+(3)2=(2m)2,解得m=1.∴DC=2,OA=1,OB=3.故A,B,C三点的坐标分别为(1,0),(3,0),(2,3).(2)设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3,代入点A的坐标(1,0),得a=-3,所以抛物线的解析式为y=-3(x-2)2+3.(3)设平移后抛物线的解析式为y=-3(x-2)2+k,代入点D的坐标(0,3),得k=53,所以平移后的抛物线的解析式为y=-3(x-2)2+53.所以平移了53−3=43二、创新应用10.Dy=x2-2mx=(x-m)2-m2,①若m<-1,则当x=-1时,y=1+2m=-2,解得m=-32,符合题意②若m>2,则当x=2时,y=4-4m=-2,解得m=32<2,不符合题意③若-1≤m≤2,则当x=m时,y=-m2=-2,解得m=2或m=-2<-1(不符合题意,舍),综上可知,m的值为-32或2.11.解(1)∵y=mx2-2mx+m-1=m(x-1)