《整式的乘法与因式分解全章复习(第一课时)》教案

《整式的乘法与因式分解全章复习(第一课时)》教案教学目标教学目标：1.巩固整式的乘法法则，并利用整式的乘法解决有关问题；2.通过整式的乘法运算，加深对知识的理解，建立比较清晰的知识体系.教学重点：熟练地运用整式的乘法法则进行运算.教学难点：灵活运用整式的乘法法则解决有关问题.教学过程时间教学环节主要师生活动2分钟一、本章知识结构本章我们类比数的乘法学习了整式的乘法.整式的乘法主要包括幂的运算性质、单项式的乘法、多项式的乘法，还学习了特殊形式，乘法公式等.利用“除法是乘法的逆运算”，学习了简单的除法，掌握了因式分解这种与整式的乘法方向相反的变形.这是本章的知识结构图.我们这节课主要复习整式的乘法，因式分解的具体内容下节课再复习.22分钟二、典例选讲在整式的运算中，幂的运算是基础，有着至关重要的作用,下面我们通过具体的例题来看一下.【例1】判断下面的计算对不对？如果不对，应该怎样改正？（1）a2·a3=a6；（2）(b4)3=b7；（3）a10÷a2=a5；（4）(-2ab2)3=-8a3b6.【分析】（1）明确运算法则；（2）法则具体内容.【答案】解：（1）a2·a3=a6，×，改正：a2·a3=a5；（2）(b4)3=b7，×，改正：(b4)3=b12；（3）a10÷a2=a5，×，改正：a10÷a2=a8；（4）(-2ab2)3=-8a3b6，√，(-2ab2)3=(-2)3a3(b2)3=-8a3b6.【小结】1.幂的运算法则：（1）am·an=am+n(m,n都是正整数)；（2）(am)n=amn(m,n都是正整数)；（3）am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数,并且m＞n)；（4）(ab)n=anbn(n都是正整数).2.使用法则时，要明确法则和具体内容.【例2】已知10m=5，10n=3，求102m+3n的值.【分析】要想求102m+3n的值，可以先求m，n的值，10的多少次方等于5呢？10的多少次方等于3呢？就我们现在来说是求不出来的.观察题目中已知条件与所求值的代数式的特点，都是幂的形式，并且底数相同都是10，指数不同，用10m，10n如何表示102m+3n呢，102m+3n是指数相加的形式，我们不难想到同底数幂相乘，逆用就得到am+n=am·an，所以102m+3n=102m·103n，而102m与103n是指数相乘的形式，我们想到幂的乘方，逆用得到amn=(am)n=(an)m，102m=(10m)2，103n=(10n)3，这道题就可以解决了.【答案】解：102m+3n=102m·103n=(10m)2·(10n)3.将10m=5，10n=3代入，原式=52×33=675.【巩固练习】计算：【分析】运算中有乘、乘方，按照运算顺序，先算乘方，但是计算比较复杂，观察式子的特点，底数虽然不同，但是0.125与-8乘积等于-1，逆用anbn=(ab)n，但是指数需要相同，所以逆用am+n=am·an后就解决问题.【答案】解：原式【小结】幂的运算算法则不仅可以正用，也可以逆用.（1）am+n=am·an(m,n都是正整数)；（2）amn=(am)n(m,n都是正整数)；（3）am-n=am÷an(a≠0,m,n都是正整数,并且m＞n)；（4）anbn=(ab)n(n都是正整数).在复习了幂的运算的基础上，我们来看一道例题.【例3】若定义一种新运算，a*b=2ab-b2，求x*(x+2y).【分析】这道题定义了一种新运算，两数*运算，它的法则是什么？=2ab-b2，也就是这两数乘积的2倍与后一个数的平方的差，转化为我们已经学过的整式的运算,关键是确定这两数.【答案】解：（1）∵a*b=2ab-b2，法一：∴x*(x+2y)=2x(x+2y)-(x+2y)2（单×多）（完全平方公式）=2x2+4xy-(x2+4xy+4y2)=2x2+4xy-x2-4xy-4y2=x2-4y2；此题是化简，结果应为一个整式，注意和因式分解结果的区别.同学们，这道题还有其他的方法化简吗？法二：∴x*(x+2y)=2x(x+2y)-(x+2y)2=(x+2y)[2x-(x+2y)]=(x+2y)(2x-x-2y)=(x+2y)(x-2y)（平方差公式）=x2-4y2；我们不仅可以利用整式乘法化简，也可以利用分解因式达到化简的目的.【巩固练习】先化简再求值：(ab+2)(ab-2)-(a2b2-4ab)÷ab，其中a=-3，b=.分析：明确运算顺序，运算法则.按照要求对代数式先化简，运算有加、减、乘、除，按照运算顺序，先算乘除，后算加减.解：原式=a2b2-4-(ab-4)（平方差公式）（多÷单）=a2b2-4-ab+4=a2b2-ab将a=-3，b=代入，原式=(ab)2-ab=.【小结】1.明确运算顺序：（1）有括号要先算括号里的；（2）先乘方，再乘除，最后加减.2.明确运算法则：（1）整式的运算法则，单项式的乘除法是关键；（2）新定义的运算法则，一般转化为学过的运算法则.3.运算中正确使用乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.4babbaabba图2a【例4】a图1bbaabba图2a如图1是一个长为4b、宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）.

(1)观察图2，请写出(a+b)2，(a-b)4babbaabba图2aa图1bbaabba图2a【分析】(1)结合图2，(a+b)2表示的是大正方形的面积，ab是一个小长方形的面积，而(a-b)2呢？观察图2发现，中间阴影部分的图形是正方形，边长是a-b，所以(a-b)2是中间阴影小正方形的面积.由图2发现，大正方形的面积=小正方形的面积+4个长方形的面积；(2)由(1)得到，a+b，a-b，ab的关系，整体代入，可以解决.【答案】解：(1)(a+b)2=(a-b)2+4ab；(2)由(1)得：(a+b)2=(a-b)2+4ab，∵x+y=5，，∴52=(x-y)2+4×.∴(x-y)2=16.对于(a+b)2=(a-b)2+4ab这个关系，我们不仅可以通过图形之间的面积关系得到，也可以通过完全平方公式变形得到.【小结】完全平方公式既可以直接使用，也可以变形使用，通过这些关系式，a+b，a-b，ab，a2+b2，知二求二.【巩固练习】已知长方形ABCD的周长为20，面积为28，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？【分析】我们一起画一下示意图，为了使条件更加直观，设长为x，宽为y，则2(x+y)=20，xy=28，要求的是x2+y2的值.直接求x，y的值，就现在的知识还不能解决，那么x2+y2，x+y，xy之间有什么关系呢？利用完全平方公式的变形，解决问题.ABCDxy【答案】ABCDxy，.∴x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×28=44.∴分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是44.1分钟三、归纳总结这节课复习了整式的乘法，并灵活运用，相信同学们对这一章有了比较清晰的认识.对于运算问题：明确法则，理清顺序；使用运算法则：既可以正用，也可以逆用；既可以直接用，也可以变形用.四、课后练习1.计算：（1）(2a)3·b4÷12a3b2；（2）(2a+3b)(2a-b)；（3）3(y-z)2-(2y+z)(-z+2y)；（4）[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷3x2y.2.求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.综合训练一、选择题1.下列计算正确的是()A.(a3)2=a5 B.(-ab3)3=-ab6C.(a+2)2=a2+4 D.2x12÷x6=2x62.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是()A.a(x-y)=ax-ayB.x2+2x+1=x(x+2)+1C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3D.x3-x=x(x+1)(x-1)3.把多项式x2+ax+b分解因式,得(x+1)·(x-3),则a,b的值分别是()A.a=2,b=3 B.a=-2,b=-3C.a=-2,b=3 D.a=2,b=-34.(xn+1)2(x2)n-1=()A.x4n B.x4n+3 C.x4n+1 D.x4n-15.把多项式x3-2x2+x分解因式正确的是()A.x(x2-2x) B.x2(x-2)C.x(x+1)(x-1) D.x(x-1)26.计算(72x3y4-36x2y3+9xy2)÷(-9xy2)的结果为()A.-8x2y2+4xy-1 B.-8x2y2-4xy-1C.-8x2y2+4xy+1 D.-8x2y2+4xy7.如图①,一个长方形的长为2m,宽为2n(m>n),用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图②那样拼成一个正方形,则中间空白部分的面积是()A.2mn B.(m+n)2C.(m-n)2 D.m2-n28.如图,正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张,如果要拼一个长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形,则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为()A.2,3,7 B.3,7,2 C.2,5,3 D.2,5,7二、填空题9.若多项式x2+kx+16是一个完全平方式,则k的值是.10.设a=192×918,b=8882-302,c=10532-7472,则a,b,c按从小到大的顺序排列,结果是.

11.若a+3b-2=0,则3a·27b的值是.

12.将4个数a,b,c,d排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成abcd,定义abcd=ad-bc.若-三、解答题13.计算:(1)2a5·(-a)2-(-a2)3·(-7a);(2)(x-4y)·(2x+3y)-(x+2y)·(x-y).14.先化简再求值:(1)2x-23y-((2)(3x-y)2-(2x+y)2-5x(x-y),其中x=2,y=1.15.(14分)观察下列三个算式的特点:52-32=8×2,92-72=8×4,152-32=8×27.(1)请你再写两个具有同样规律的算式;(2)用文字写出反映上述算式的规律;(3)验证这个规律的正确性.综合训练一、选择题1.D2.D3.B∵(x+1)(x-3)=x2-2x-3,∴x2+ax+b=x2-2x-3.∴a=-2,b=-3.4.A5.D6.A7.C拼成的正方形的边长为(m+n),它的面积为(m+n)2=m2+2mn+n2.原长方形的面积为4mn,故中间空白部分的面积为m2+2mn+n2-4mn=m2-2mn+n2=(m-n)2.8.A长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形的面积为(a+3b)·(2a+b)=2a2+7ab+3b2.因为一张A类卡片的面积为a2,一张B类卡片的面积为b2,一张C类卡片的面积为ab,所以需要A类卡片2张,B类卡片3张,C类卡片7张.故选A.二、填空题9.±810.a<c<b因为a=192×918=361×918,b=8882-302=(888-30)(888+30)=858×918,c=10532-7472=(1053+747)(1053-747)=1800×306=600×918,所以a<c<b.11.912.-6由新定义知,-53x2+52x2-3=-5(x2-3)-2(3x2+5)=-5x2+15-因为-5所以-11x2+5=6.故11x2-5=-(-11x2+5)=-6.三、解答题13.解(1)原式=2a5·a2-7a6·a=2a7-7a7=-5a7.(2)原式=(2x2+3xy-8xy-12y2)-(x2-xy+2xy-2y2)=2x2-5xy-12y2-x2-xy+2y2=x2-6xy-10y2.14.解(1)原式=2x=x+=x2+19y2+23xy-=x2+19y2当x=1,y=9时,原式=12+19×92=1+9=10(2)原式=(3x-y+2x+y)(3x-y-2x-y)-5x2+5xy=5x·(x-2y)-5x2+5xy=