《因式分解的综合运用》教案

《因式分解的综合运用》教案教学目标教学目标：1.掌握因式分解的思路，能够综合运用不同方法，进行多项式分解因式.2.进一步提升学生整式的恒等变形能力.教学重点：因式分解多种方法的综合运用.教学难点：选择恰当方法进行因式分解，并将多项式分解因式进行彻底.教学过程时间教学环节主要师生活动2分钟16分钟3分钟2分钟2分钟问题引入问题探究知识拓展归纳总结知识提升问题学习了哪些多项式分解因式方法？提公因式法，公式法问题学习了哪些多项式分解因式公式，它们有什么区别？平方差公式：;完全平方公式：.平方差公式适合解决两项的多项式分解因式，并且能够写成两项平方的差的形式；完全平方公式适合解决三项的多项式分解因式，并且能够写成两项平方的和，再加上或减去这两项乘积的2倍的形式.例1选择题(1)在下列各多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（D）.分析（1）审题:不能用平方差公式即，不可以写成两项平方的差判断符合；可以变形为，也符合；也可以变形为，符合；，不符合.故选择(2)下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是（C）分析(1)审题:能用完全平方公式(2)判断:从项数入手,排除;从符号入手,排除;从公式结构入手,排除,选择.(3)将多项式分解因式，结果正确的是（B）.分析:==.小结1:多项式分解因式时,首先关注公因式;再关注多项式剩余部分组成的因式；多项式一定要分解到不能再分为止.例2分解下列因式:(1);(2);(3);(4).分析(1)观察是否有公因式;提取公因式后的多项式是否可以再分解;可以使用什么方法分解(1)解:==;注;提取公因式，首先观察系数的最大公约数，再观察相同字母，及相同字母的最小指数.分析(2)提取公因式后，剩余因式可以再继续分解吗？如果可以分解，需要对此多项式再做什么变形？（2）解:====;注:多项式按某个字母的降幂排列时，若首项含有负号,应先提取负号,再进行因式分解.分析(3)多项式各项是否有公因式;这个三项多项式是否符合完全平方公式的形式，分解到何时结束；(3)解:注:因式分解的结果中,若有相同因式,应写成幂的形式.分析(4)此多项式各项是否有公因式;此多项式是否符合公式的形式.此多项式是否可以进行分解(4)解:===注:对于有的多项式,可以先使用整式乘法进行计算,化简后,再进行因式分解.练习.分解下列因式(1);(2);(3).(1)解：===;注:1)与互为“相反数”，仅相差一个负号；2）提取公因式时，公因式需完整，此题公因式为(2)解:==;注:多项式分解因式一定要分解彻底,进行到每个因式不能再分为止.(3)解：===;小结2多项式分解因式的一般步骤:提取公因式——有公因式先提取公因式;剩余多项式——进一步观察提取公因式后,多项式剩余部分所组成的因式是否可以继续分解;根据项数决定方法——继续分解因式时,若是两项多项式可以考虑是否使用平方差公式；若是三项多项式，可以考虑是否使用完全平方公式；分解彻底——多项式因式分解要进行到不能再分解为止.例3已知是完全平方式，则=.分析(1)多项式是完全平方式，其中含有哪两项平方的和?=(2)单项式可以看做什么?=;==;解:=;;.注(1)此题体现了灵活认识因式分解中的完全平方公式;(2)完全平方式能写成两数的平方和,加或减这两数乘积的2倍形式，因此+m不一定是正数,故此时.例4在实数范围内分解因式(1);(2).分析(1)此多项式能否写成两项平方的差;可以是哪两项平方的差(1)解:==;分析(2)此多项式有几项？它能怎样分解？(2)解:==.注:本章多数情况下,多项式因式分解,在有理数范围内,若在实数范围内分解因式,会特别说明.总结与回顾：多项式分解因式的一般方法与步骤多项式分解因式提取公因式平方差公式完全平方公式分解彻底多项式分解因式的结果的一般要求数字写在自母前;因式之间省略乘号;相同因式写成幂的形式;每个因式中能合并的同类项要合并.每一个因式分解到不能再分解为止.观察下列式子:;;;你得出了什么结论？你能证明这个结论吗？分析:(1)观察上述等式中第一个等号左侧的式子有什么特点?;;;(2)根据上述特点,第个式子可以写成什么?.(3)再观察上述等式中第二个等号右侧的式子有什么特点?;;;(4)根据上述特点,第个式子可以写成什么?.解:由已知,可得=证明:法一:;=；即左=右.法二:==课后作业分解下列因式：;;;;.综合训练一、选择题1.下列计算正确的是()A.(a3)2=a5 B.(-ab3)3=-ab6C.(a+2)2=a2+4 D.2x12÷x6=2x62.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是()A.a(x-y)=ax-ayB.x2+2x+1=x(x+2)+1C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3D.x3-x=x(x+1)(x-1)3.把多项式x2+ax+b分解因式,得(x+1)·(x-3),则a,b的值分别是()A.a=2,b=3 B.a=-2,b=-3C.a=-2,b=3 D.a=2,b=-34.(xn+1)2(x2)n-1=()A.x4n B.x4n+3 C.x4n+1 D.x4n-15.把多项式x3-2x2+x分解因式正确的是()A.x(x2-2x) B.x2(x-2)C.x(x+1)(x-1) D.x(x-1)26.计算(72x3y4-36x2y3+9xy2)÷(-9xy2)的结果为()A.-8x2y2+4xy-1 B.-8x2y2-4xy-1C.-8x2y2+4xy+1 D.-8x2y2+4xy7.如图①,一个长方形的长为2m,宽为2n(m>n),用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图②那样拼成一个正方形,则中间空白部分的面积是()A.2mn B.(m+n)2C.(m-n)2 D.m2-n28.如图,正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张,如果要拼一个长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形,则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为()A.2,3,7 B.3,7,2 C.2,5,3 D.2,5,7二、填空题9.若多项式x2+kx+16是一个完全平方式,则k的值是.10.设a=192×918,b=8882-302,c=10532-7472,则a,b,c按从小到大的顺序排列,结果是.

11.若a+3b-2=0,则3a·27b的值是.

12.将4个数a,b,c,d排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成abcd,定义abcd=ad-bc.若-三、解答题13.计算:(1)2a5·(-a)2-(-a2)3·(-7a);(2)(x-4y)·(2x+3y)-(x+2y)·(x-y).14.先化简再求值:(1)2x-23y-((2)(3x-y)2-(2x+y)2-5x(x-y),其中x=2,y=1.15.(14分)观察下列三个算式的特点:52-32=8×2,92-72=8×4,152-32=8×27.(1)请你再写两个具有同样规律的算式;(2)用文字写出反映上述算式的规律;(3)验证这个规律的正确性.综合训练一、选择题1.D2.D3.B∵(x+1)(x-3)=x2-2x-3,∴x2+ax+b=x2-2x-3.∴a=-2,b=-3.4.A5.D6.A7.C拼成的正方形的边长为(m+n),它的面积为(m+n)2=m2+2mn+n2.原长方形的面积为4mn,故中间空白部分的面积为m2+2mn+n2-4mn=m2-2mn+n2=(m-n)2.8.A长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形的面积为(a+3b)·(2a+b)=2a2+7ab+3b2.因为一张A类卡片的面积为a2,一张B类卡片的面积为b2,一张C类卡片的面积为ab,所以需要A类卡片2张,B类卡片3张,C类卡片7张.故选A.二、填空题9.±810.a<c<b因为a=192×918=361×918,b=8882-302=(888-30)(888+30)=858×918,c=10532-7472=(1053+747)(1053-747)=1800×306=600×918,所以a<c<b.11.912.-6由新定义知,-53x2+52x2-3=-5(x2-3)-2(3x2+5)=-5x2+15-因为-5所以-11x2+5=6.故11x2-5=-(-11x2+5)=-6.三、解答题13.解(1)原式=2a5·a2-7a6·a=2a7-7a7=-5a7.(2)原式=(2x2+3xy-8xy-12y2)-(x2-xy+2xy-2y2)=2x2-5xy-12y2-x2-xy+2y2=x2-6xy-10y2.14.解(1)原式=2x=x+=x2+19y2+23xy-=x2+19y2当x=1,y=9时,原式=12+19×92=1+9=10(2)原式=(3x-y+2x+y)(3x-y-2x-y)-5x2+5xy=5x·(x-2y)-5x2+5xy=5x2-10xy-5x2+5xy=-5xy.当x=2,y=1时,原式=-5×2×1=-10.15.解(1)答案不