《线段的垂直平分线的性质(第三课时)》教案

《线段的垂直平分线的性质（第三课时）》教案教学目标教学目标：会用尺规作图作一条线段的垂直平分线，及过一点作一条直线的垂线；能用线段的垂直平分线的尺规作图方法解决简单的作图问题．教学重点：线段的垂直平分线的尺规作图方法．教学难点：如何用线段的垂直平分线的尺规作图方法解决简单的作图问题．教学过程时间教学环节主要师生活动12min复习回顾引入新知回顾作业：下面小东设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程.已知：已知：△ABC.求作：△ABC的边BC上的高AD. 作法：如图，（1）分别以点B和点C为圆心，BA,CA为半径作弧，两弧相交于点E；（2）作直线AE交BC边于点D.所以线段AD就是所求作的高. 根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵BE，CE，∴点B,C都在线段AE的垂直平分线上（与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）（填推理的依据）．∴直线BC是线段AE的垂直平分线（两点确定一条直线）（填推理的依据）．∴AD⊥BC，即AD是△ABC的边BC上的高．例已知：如图，线段AB．求作：线段AB的垂直平分线MN．ABAB分析：要找到两个点M,N，满足到点A,B的距离相等，为了方便起见，可以取MA=MB=NA=NB．作法：如图，（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧相交于点M,N；（2）作直线MN.直线MN即为所求.小结：这是尺规作图的基本作图之一，也是取线段中点的作图方法．经过已知直线外一点作这条直线的垂线．已知：直线AB和AB外一点P，BAP求作：AB的垂线，使它经过点PBAP分析：在直线AB上构造线段DE，使得点P在线段DE的垂直平分线上，则需满足PD=PE．作法：（1）任意取一点K，使点K和点P在AB的两旁．（2）以点P为圆心，PK长为半径作弧，交AB于点D和E．（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．（4）作直线PF．直线PF就是所求作的垂线．过直线上一点作这条直线的垂线该如何作呢？实际上就是以此点为中点构造线段，再作其垂直平分线．已知：直线AB和AB上一点P，BAP求作：AB的垂线，使它经过点PBAP分析：在直线AB上构造线段DE，使得点P在线段DE的垂直平分线上，则需满足PD=PE．【小结】尺规作图的5种基本作图①作一条线段等于已知线段；②作已知线段的垂直平分线（中点）；③作已知角的角平分线；④作一个角等于已知角；⑤过一点作已知直线的垂线．之后都是利用基本作图来作图，不要求写作法．12min知识运用巩固提升有时我们感觉一个平面图形是轴对称图形，如何验证呢？不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？例作出下列图形的一条对称轴．（1）（2）分析：找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这个图形的对称轴．解：（1）找到一对对称点A，B，连接AB，作出线段AB的垂直平分线l，则l就是这个五角星的对称轴．ABlABl类似地，你能作出这个五角星的其他对称轴吗？答案如右图．ABlABABlABl答案如下：例如图，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所学校P，要使学校P到三个村庄的距离相等，请你利用尺规作图确定学校的位置．分析：点P到点A,B的距离相等，即PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上；点P到点A,C的距离相等，即PA=PC，则点P在线段AC的垂直平分线上．作法：分别作线段AB和AC的垂直平分线，两条直线相交于点P，∴点P即为所求．例如图，电信部门要在C处修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路l1和l2的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）分析：发射塔C到两个城镇A，B的距离必须相等，说明点C在AB的垂直平分线上，先作线段AB的垂直平分线；又因为发射塔C到两条高速公路l1和l2的距离也必须相等，说明点C在l1和l2所形成的角的平分线上，但是容易忽略钝角的角平分线，这是此题的易错点．解：如图所示，点C1，C2即为所求．1min反思回顾总结提升本节课学习了尺规作图的两种基本作图，并利用它来解决简单的作图问题．作业1.如图所示的虚线中，哪些是图形的对称轴？ABl2.如图，某地由于居民增多，要在公路l上增加一个公共汽车站，A，ABl知能演练提升一、能力提升1.如图,DE是线段AB的垂直平分线,下列结论一定成立的是()A.ED=CD B.∠DAC=∠BC.∠C>2∠B D.∠B+∠ADE=90°2.在如图(示意图)所示的仪器中,OD=OE,CD=CE.小州把这个仪器往直线l上一放,使点D,E落在直线l上,作直线OC,则OC⊥l,他这样判断的理由是()A.到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等C.到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等3.如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,以大于12AB的长度为半径画弧,两弧交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC的周长为(A.7 B.14 C.17 D.204.观察下面两个图形,解答下列问题:(1)其中是轴对称图形的为;(只填图号)

(2)用尺规作图的方法画出其中轴对称图形的对称轴(要求:只保留作图痕迹,不写作法).5.如图,在△ABC中,BC=2,∠BAC>90°,AB的垂直平分线分别交BC,AB于点E,G,AC的垂直平分线分别交BC,AC于点F,D,求△AEF的周长.6.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,EF垂直平分AD交BC的延长线于点F,交AD于点E,连接AF.求证:∠B=∠CAF.7.如图,在△ABC中,∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D,过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC,交AC的延长线于点N.求证:BM=CN.二、创新应用★8.如图,在19×16的点阵图上画出“中国结”,点阵的每行及每列之间的距离都是1,请你画出“中国结”的对称轴,并直接写出阴影部分的面积.知能演练·提升一、能力提升1.D2.C∵OD=OE,∴点O在线段DE的垂直平分线上.∵CD=CE,∴点C在线段DE的垂直平分线上,∴CO是线段DE的垂直平分线,∴OC⊥l.故选C.3.C由题意可知MN是AB的垂直平分线,AD=BD.因为△ADC的周长为10,所以AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10.又由AB=7,所以△ABC的周长为AC+BC+AB=10+7=17.4.解(1)②(2)作法不唯一,如图所示,选一个作答即可.5.解∵EG垂直平分AB,∴AE=BE.∵DF垂直平分AC,∴AF=FC.∴AE+AF+EF=BE+EF+FC=BC=2,即△AEF的周长为2.6.证明∵EF为AD的垂直平分线,∴FA=FD.∵EF=EF,∴Rt△AFE≌Rt△DFE.∴∠FAD=∠FDA.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.又∠FAD=∠CAD+∠CAF,∴∠FAD=∠BAD+∠CAF.∵∠FDA=∠