《三角形的内角(第二课时)》教案

《三角形的内角（第二课时）》教案教学目标教学目标：应用三角形内角和定理解决简单的计算与证明问题.探索并掌握直角三角形的两个锐角互余，有两个角互余的三角形是直角三角形．经历应用三角形内角和定理解决实际问题的过程，提高发现问题和解决问题的能力.在解决问题的过程中，发展运算能力、几何直观和逻辑推理.教学重点：三角形内角和定理的应用.教学难点：三角形内角和定理的应用.教学过程时间教学环节主要师生活动复习回顾三角形内角和定理的具体内容是什么？三角形三个内角的和等于180°．上节课我们在小学的试验基础上，发现了证明三角形内角和定理的方法，你还记得吗？通过添加辅助线，利用平行线的性质和平角的定义进行证明．这节课具体来看能应用三角形内角和定理解决哪些问题．求出下列图形中的x的值：（1）（2）（3）（4）实际应用例1下图是A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？分析：A,B,C三岛的连线构成△ABC,所求的∠ABC，∠ACB是△ABC的内角.由条件可求出∠CAB，如果能求出∠ABC,就能求出∠ACB.解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.由AD∥BE，∠BAD+∠ABE=180°.所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°，∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°.答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.你还能想出其他解法吗？这道题还可以添加辅助线.分析：过点C作CF∥AD，则CF∥BE.可得∠ACF=∠DAC=50°，∠BCF=∠CBE=40°，所以∠ACB=∠ACF+∠BCF=90°.练习1如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45°．从C处观测A，B两处的视角∠ACB是多少？分析：∠ACB是△ABC的一个内角，在△ABC中，∠CAD=30°，如果能得到∠ABC的度数，就能求出∠ACB的度数．由∠CBD=45°，∠ABC是∠CBD的邻补角，很容易得到∠ABC=180°-∠CBD=135°．再根据三角形内角和定理，∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=15°．探索新知在练习1中，你能直接知道∠ACD的度数吗？问题1在△ABC中，若∠C=90°，你能求出∠A，∠B的度数吗？为什么？你能求出∠A+∠B的度数吗？你能得出什么结论？在直角三角形ABC中，∠C=90°,由三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°,即∠A+∠B+90°=180°,所以∠A+∠B=90°.也就是说，直角三角形的两个锐角互余.直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.定理符号语言表达：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．例2如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？分析：两个角的关系是什么？这两个角分别在什么三角形中？你如何验证自己的想法？解：在Rt△AEC中，∵∠C=90°，∴∠CAE=90°-∠AEC．在Rt△BDE中，∵∠D=90°，∴∠DBE=90°-∠BED．∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE．问题2我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，你能得出什么结论？这个结论成立吗？如何验证你的想法？利用三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形．定理符号语言表达：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形．练习2如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？变式1若∠ACD=∠B，∠ACB=90°，则CD是△ACB的高吗？为什么？变式2若∠ACD=∠B，CD⊥AB，△ACB为直角三角形吗？为什么？变式3如图，若∠C=90°，∠BED=∠A，△BDE是直角三角形吗？为什么？课堂小结1、本节课学习了哪些主要内容？2、你是如何探索直角三角形的性质与判定的？它们是怎么叙述的？它们有什么区别与联系？3、利用直角三角形的性质与判定分别可以解决哪些问题？布置作业教科书习题11.2第16页第4题，第17页第7题．知能演练提升一、能力提升1.在△ABC中,∠A=55°,∠B比∠C大25°,则∠B的度数为()A.50° B.75° C.100° D.125°2.如图,CD∥AB,∠1=120°,∠2=80°,则∠E等于()A.40° B.60°C.80° D.120°3.如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,CD平分∠ACB,则∠ADC的度数是()A.80° B.90° C.100° D.110°4.在△ABC中,若∠A=∠B+∠C,则∠A的度数是.

5.如图,点B,C,D在同一条直线上,CE∥AB,∠ACB=90°.如果∠ECD=36°,那么∠A的度数是.

6.如图,一个直角三角形纸片,剪去直角后,得到一个四边形,则∠1+∠2的度数是.7.在△ABC中,若最大角∠A等于最小角∠C的两倍,最大角又比另一个角大20°,则△ABC的三个角的度数分别是多少?8.如图,E是△ABC中边AC上的一点,过点E作ED⊥AB,垂足为D.若∠1=∠2,则△ABC是直角三角形吗?为什么?9.如图,在△ABC中,D是BC上一点,F是BA延长线上一点,连接DF交AC于点E,且∠B=42°,∠C=59°,∠DEC=47°,求∠F的度数.二、创新应用★10.如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点D.(1)若∠ABC+∠ACB=110°,则∠BDC=;

(2)若∠A=100°,则∠BDC=;

(3)若∠A=n°,求∠BDC的度数.

知能演练·提升一、能力提升1.B设∠C的度数为x°,则∠B的度数为x°+25°,则55°+x°+x°+25°=180°,解得x=50,则∠B=75°.2.A∵CD∥AB,∠1=120°,∴∠CDB=∠1=120°,∴∠EDC=60°.∵∠2=80°,∴∠E=180°-80°-60°=40°.3.C∵∠A=30°,∠B=50°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=100°.又CD平分∠ACB,∴∠ACD=12∠ACB=50°∴∠ADC=180°-∠A-∠ACD=100°.4.90°5.54°6.270°由三角形三内角之间的关系,得∠3+∠4=90°,所以∠1+∠2=(180°-∠3)+(180°-∠4)=2×180°-(∠3+∠4)=360°-90°=270°.7.解设∠C=x°,则∠A=2x°,∠B=2x°-20°,根据三角形的内角和定理,有2x+(2x-20)+x=180,解得x=40,即∠C=40°.所以2x=80,∠A=80°,2x-20=60,∠B=60°.故△ABC的三个角的度数分别为∠A=80°,∠B=60°,∠C=40°.8.解△ABC是直角三角形.理由如下:∵ED⊥AB,∴∠ADE=90°,∴∠1+∠A=90°.又∠1=∠2,∴∠2+∠A=90°.∴△ABC是直角三角形.9.解在△EDC中,∠EDC=180°-(∠C+∠DEC)=180°-(59°+47°)=74°.∴∠FDB=180°-∠EDC=180°-74°=106°.在△BDF中,∠F=180°-(∠B+∠FDB)=180°-