小学四年级数学平行四边形专项讲义

第一章平行四边形的初步认识第二章平行四边形的性质与判定第三章平行四边形的面积计算第四章平行四边形的对角线性质第五章平行四边形的实际应用第六章平行四边形的综合练习101第一章平行四边形的初步认识第1页平行四边形在哪里生活中的平行四边形窗户、门、风筝、交通标志牌等平行四边形的形状特征对边平行，对边相等，对角相等，相邻角互补平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形平行四边形的分类矩形、菱形、正方形平行四边形的实际应用建筑、交通、装饰、机械等领域3第2页平行四边形的定义与特征平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形平行四边形的特征对边平行、对边相等、对角相等、相邻角互补、对角线互相平分平行四边形的性质平行四边形的性质在几何证明和计算中非常重要平行四边形的分类矩形、菱形、正方形平行四边形的实际应用建筑、交通、装饰、机械等领域4第3页平行四边形的分类与实例平行四边形的分类矩形、菱形、正方形矩形的特征四个角都是直角的平行四边形菱形的特征四条边都相等的平行四边形正方形的特征既是矩形又是菱形的特殊平行四边形实例分析教室的窗户、书本封面、风筝的形状、某些标志牌5第4页平行四边形的实际应用建筑中的应用窗户、门、阳台的护栏等交通中的应用某些标志牌、交通护栏装饰中的应用壁纸图案、瓷砖设计、织物图案机械中的应用液压系统、机械臂、传动装置实际应用问题花坛、草坪、水槽的面积计算602第二章平行四边形的性质与判定第5页平行四边形的性质平行四边形的性质对边平行、对边相等、对角相等、相邻角互补、对角线互相平分、面积公式对边平行AB∥CD，BC∥DA对边相等AB=CD，BC=DA对角相等∠A=∠C，∠B=∠D相邻角互补∠A+∠B=180°8第6页平行四边形的判定方法平行四边形的判定方法定义法、边长法、角度法、对角线法定义法两组对边分别平行的四边形是平行四边形边长法两组对边分别相等的四边形是平行四边形角度法有一个角是直角且有一组对边相等的四边形是矩形对角线法对角线互相平分的四边形是平行四边形9第7页判定方法的实际应用判定方法的实际应用例1、例2例1：已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD=BC。求证：四边形ABCD是平行四边形。解答：因为AB∥CD，所以∠A=∠C（同位角相等）。又因为AD=BC，所以四边形ABCD是两组对边分别相等的四边形。根据边长法，四边形ABCD是平行四边形。例2：已知四边形ABCD中，∠A=90°，AB=CD。求证：四边形ABCD是矩形。解答：因为∠A=90°，所以有一个角是直角的四边形。又因为AB=CD，所以有一组对边相等的四边形。根据角度法，四边形ABCD是矩形。10第8页综合应用练习练习1、练习2练习1：已知平行四边形ABCD中，∠A=70°，求其他三个角的度数。解答：因为平行四边形的对角相等，所以∠C=70°。又因为相邻角互补，所以∠B=180°-70°=110°，∠D=110°。练习2：已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AO=6cm，BO=8cm，求AB的长度。解答：因为对角线互相平分，所以AO=OC=6cm，BO=OD=8cm。根据平行四边形的性质，AB=CD，BC=DA。所以AB的长度为8cm。综合应用练习1103第三章平行四边形的面积计算第9页面积计算的基本方法面积计算的基本方法S=底×高S=底×高，其中底可以是任意一条边，高是这条边到其对边的垂直距离假设平行四边形ABCD的底AB=10cm，高=6cm。根据公式，S=10cm×6cm=60cm²平行四边形的面积计算在实际生活中有许多应用，如花坛、草坪、水槽的面积计算基本公式实例演示实际应用13第10页不同底和高的选择不同底和高的选择已知一条边和对应的高、没有直接给出高、特殊的平行四边形直接使用公式S=底×高需要通过作图或计算来找到高矩形：S=长×宽，菱形：S=½×对角线1×对角线2，正方形：S=½×对角线1×对角线2已知一条边和对应的高没有直接给出高特殊的平行四边形14第11页实际应用问题实际应用问题例1、例2、例3解答：S=15m×8m=120m²解答：S=20m×12m=240m²，肥料总量=240m²×500g/m²=120000g=120kg解答：S=30cm×25cm=750cm²=0.075m²，水的体积=0.075m²×1kg/L=0.075L例1：一个平行四边形花坛的底是15m，高是8m，求花坛的面积。例2：一个平行四边形草坪的底是20m，高是12m，如果每平方米草坪需要肥料500g，求这个草坪需要多少肥料。例3：一个平行四边形水槽的底是30cm，高是25cm，如果每升水重1kg，求这个水槽能装多少升水。15第12页复杂图形的面积计算复杂图形的面积计算将复杂图形分解为多个平行四边形实例演示假设有一个五边形ABCDE，其中AB∥CD，AD=BC=BE=10cm，∠A=∠B=∠C=90°。我们可以将五边形分解为一个平行四边形ABCD和一个三角形CDE。平行四边形ABCD的面积：S=10cm×10cm=100cm²，三角形CDE的面积：S=½×10cm×10cm=50cm²，五边形ABCDE的总面积：S=100cm²+50cm²=150cm²分解方法通过作图或计算将复杂图形分解为多个平行四边形，分别计算每个平行四边形的面积，最后将它们相加得到复杂图形的总面积1604第四章平行四边形的对角线性质第13页对角线的基本性质对角线的基本性质对角线互相平分、对角线的长度可以用来计算平行四边形的面积AC和BD相交于点O，则AO=OC，BO=ODS=½×对角线1×对角线2×sin∠AOB假设平行四边形ABCD中，AC=10cm，BD=8cm，∠AOB=60°。根据公式，S=½×10cm×8cm×sin60°=½×10cm×8cm×√3/2=20√3cm²对角线互相平分对角线的长度可以用来计算平行四边形的面积实例演示18第14页对角线的长度计算使用余弦定理、使用正弦定理使用余弦定理对于对角线AC：AC²=AB²+BC²-2×AB×BC×cos∠B，对于对角线BD：BD²=AD²+CD²-2×AD×CD×cos∠A使用正弦定理对于对角线AC：AC=½×BD/sin∠B，对于对角线BD：BD=½×AC/sin∠A对角线的长度计算19第15页对角线性质的应用例1、例2、例3例1：已知平行四边形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，∠A=60°。求：平行四边形ABCD的面积、对角线AC和BD的长度、周长。解答：S=AB×BC×sin∠A=8cm×6cm×sin60°=48√3cm²，AC²=AB²+BC²-2×AB×BC×cos∠A=8²+6²-2×8×6×cos60°=52，BD²=AD²+CD²-2×AD×CD×cos∠B=6²+8²-2×6×8×cos120°=100，所以AC=√52cm，BD=10cm，周长=2×(AB+BC)=2×(8cm+6cm)=28cm例2：已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AO=6cm，BO=8cm，∠AOB=60°。求：平行四边形ABCD的面积、周长、边长。解答：S=½×AC×BD×sin∠AOB=½×6cm×8cm×sin60°=24√3cm²，因为对角线互相平分，所以AC=12cm，BD=16cm。根据余弦定理，AB²=AO²+BO²-2×AO×BO×cos∠AOB=6²+8²-2×6×8×cos60°=100，所以AB=10cm，周长=4×AB=4×10cm=40cm对角线性质的应用20第16页对角线与其他性质的关系对角线与其他性质的关系对角线互相平分的性质、对角线的长度、特殊的平行四边形可以用来证明平行四边形的对边相等可以用来计算平行四边形的面积矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线相等且互相垂直平分对角线互相平分的性质对角线的长度特殊的平行四边形2105第五章平行四边形的实际应用第17页建筑中的应用建筑中的应用窗户、门、阳台的护栏等实例演示假设有一个平行四边形的窗户，底是2m，高是1.5m，玻璃的厚度是0.005m。窗户的面积：S=2m×1.5m=3m²，玻璃的体积：V=3m²×0.005m=0.015m³，如果玻璃的价格是100元/m³，那么玻璃的总价格是0.015m³×100元/m³=1.5元应用问题窗户、门、阳台的护栏等23第18页交通中的应用交通中的应用某些标志牌、交通护栏实例演示假设有一个平行四边形的交通标志牌，底是1m，高是2m，牌子的厚度是0.005m。牌子的面积：S=1m×2m=2m²，牌子的体积：V=2m²×0.005m=0.01m³，如果牌子的材料价格是500元/m³，那么牌子的总价格是0.01m³×500元/m³=5元应用问题某些标志牌、交通护栏24第19页装饰中的应用装饰中的应用壁纸图案、瓷砖设计、织物图案实例演示假设有一块平行四边形的壁纸，底是0.5m，高是0.3m，墙面的面积是10m²。壁纸的面积：S=0.5m×0.3m=0.15m²，需要的壁纸数量：10m²/0.15m²=66.67，向上取整为67张，如果壁纸的价格是20元/张，那么壁纸的总价格是67张×20元/张=1340元应用问题壁纸图案、瓷砖设计、织物图案25第20页机械中的应用机械中的应用液压系统、机械臂、传动装置实例演示假设有一个平行四边形的液压系统，底是0.2m，高是0.1m，液压油的密度是1000kg/m³。系统的面积：S=0.2m×0.1m=0.02m²，液压油的作用力：500kPa×0.02m²=10kN，如果液压油的价格是100元/m³，那么液压油的价格是0.02m³×100元/m³=2元应用问题液压系统、机械臂、传动装置2606第六章平行四边形的综合练习第21页综合练习1综合练习1综合练习1的答案解答：S=AB×BC×sin∠A=8cm×6cm×sin60°=48√3cm²，AC²=AB²+BC²-2×AB×BC×cos∠A=8²+6²-2×8×6×cos60°=52，BD²=AD²+CD²-2×AD×CD×cos∠B=6²+8²-2×6×8×cos120°=100，所以AC=√52cm，BD=10cm，周长=2×(AB+BC)=2×(8cm+6cm)=28cm平行四边形ABCD的面积：48√3cm²，对角线AC和BD的长度：AC=√52cm，BD=10cm，周长：28cm28第22页综合练习2综合练习2综合练习2的答案解答：S=½×AC×BD×sin∠AOB=½×6cm×8cm×sin60°=24√3cm²，因为对角线互相平分，所以AC=12cm，BD=16cm。根据余弦定理，AB²=AO²+BO²-2×AO×BO×cos∠AOB=6²+8²-2×6×8×cos60°=100，所以AB=10cm，周长=4×AB=4×10cm=40cm平行四边形ABCD的面积：24√3cm²，对角线AC和BD的长度：AC=12cm，BD=16cm，周长：40cm29第23页综合练习3综合练习3综合练习3的答案解答：S=AB×BC×sin∠A=10cm×8cm×sin60°=40√3cm²，根据余弦定理，BD²=AD²+CD²-2×AD×CD×cos∠B=6²+8²-2×6×8×cos120°=100，所以BD=10cm，周长=2×(AB+BC)=2×(10cm+8cm)=36cm平行四边形ABCD的面积：40√3cm²，对角线BD的长度：10cm，周长：36cm30第24页综合练习4综合练习4综合练习4的答案解答：S=½×AC×BD×sin∠AOB=½×6cm×8cm×sin120°=24√3cm²，因为对角线互相平分，所以AC=12cm，BD=16cm。根据余弦定理，AB²=AO²+BO²-2×AO×BO×c