温州市2025-2026学年上学期高二期末模拟试卷（B）数学解析卷

第=page11页，共=sectionpages11页温州市2025-2026学年上学期高二期末模拟试卷（B）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册全部内容+选择性必修第二册第四章数列。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线3x−3y+m=0的倾斜角为A.30∘ B.60∘ C.120∘【答案】B

【解析】解：设直线3x−3y+m=0的倾斜角为α则tanα=3故选：B2.已知向量a，b是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则“c⋅a=0，且c⋅b=0A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B

【解析】【分析】本题考查空间向量的数量积与垂直的关系，线面垂直的判定与性质，以及充分、必要条件的判断，属基础题．根据定义判断即可．【解答】

解：若l⊥平面α，则c⊥a，c⋅a=0，c⊥b，c⋅b=0;

反之，若a/​/b3.党的十八大报告指出，鼓励共同奋斗创造美好生活，不断实现人民对美好生活的向往。为响应中央号召，某社区决定在现有的休闲广场内修建一个半径为4m的圆形水池来规划喷泉景观.设计如下：在水池中心竖直安装一根高出水面为2m的喷水管(水管半径忽略不计)，它喷出的水柱呈抛物线型，要求水柱在与水池中心水平距离为32m处达到最高，且水柱刚好落在池内，则水柱的最大高度为(

)A.83m B.94m C.【答案】C

【解析】【分析】本题考查抛物线方程的应用，属中档题．【解答】解：取一截面建系如图，设抛物线方程为x2=−2py(p>0)，记最大高度为h，如图：A(−1.5,2−h)，B(2.5,−h)在抛物线上，故94=−2p(2−h),254=−2p(−h),4.已知双曲线C:x22−y26=1的一条渐近线l与椭圆E:x2a2+yA.3−1 B.3+1 C.【答案】A

【解析】解：易知双曲线C的渐近线方程为y=±3x，不妨设如图，由|AB|=F1F2=2c代入椭圆方程，得c24a故e24+3e24(1−故选：A．5.已知数列1，−3，5，−7，9，⋯，则该数列的第100项为(

)A.99 B.−199 C.−111 D.111【答案】B

【解析】【分析】本题考查了就数列的通项公式，求数列的项，属于基础题．【解答】

解：该数列的通项公式为an=(−1)6.在1和7之间插入m个数，使得这m+2个数成等差数列.若这m个数中第1个为x，第m个为y，则1x+25yA.92 B.4 C.3 D.【答案】A

【解析】解：由等差数列的性质得x+y=1+7=8，且1<x<y<7，则1x+25当且仅当x+y=85x=y，即x=43y=20故选：A．7.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”.如图，在“阳马”P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD=2AB=PA，则直线PC与面PBD所成角的正弦值为A.69 B.759 C.【答案】A

【解析】【分析】本题考查直线与平面所成角的向量求法。

建立空间直角坐标系，求出面PBD的法向量，再求直线PC与面PBD所成角的正弦值．【解答】解：

因为PA⊥平面ABCD，AB,AD⊂面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直，设AB=1,AD=AP=2，以AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图，则B所以BD=设平面PBD的法向量为n=所以n⋅BD=−x+2y=0n⋅BP=−x+2z=0直线PC与面PBD所成角的正弦值为cosn故选：A8.已知A(−2,0)，B(2,0)，若圆(x−a−1)2+(y−3a+2)2=4上存在点P满足PAA.[−1,2] B.[−2,1] C.[−2,3] D.[−3,2]【答案】A

【解析】【分析】本题考查与圆相关的轨迹问题，圆与圆的位置关系，向量数量积的坐标运算，属于中档题．

设P的坐标为(x,y)，根据PA⋅PB=5列式算出P的轨迹方程为x2+【解答】

解：根据题意，圆(x−a−1)2+(y−3a+2)2=4是以C(a+1,3a−2)为圆心，半径r1=2的圆，

设P(x,y)，则PA=(−x−2,−y)，PB=(−x+2,−y)，

所以PA⋅PB=(−x−2)(−x+2)+y2=5，整理得x2+y2=9，

因此，点P的轨迹方程为x2+y2=9，是以O(0,0)为圆心，半径为二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N∗)，公差d≠0，S6=90A.a1=22 B.d=−2

C.当且仅当n=9时，Sn取得最大值 D.当Sn【答案】BD

【解析】【分析】本题考查等差数列与等比数列的综合，熟练掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，等比中项的性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

根据等差数列的通项公式与前n项和公式，等比中项的性质可求得a1=20，d=−2，判断AB；求得数列{an}的通项公式后，解不等式an≥0，即可判断C【解答】

解：因为S6=90，所以6a1+6×52⋅d=90，即2a1+5d=30①，

又a7是a3与a9的等比中项，

所以a72=a3a9，即(a1+6d)2=(a1+2d)(a1+8d)，所以a1d+10d2=0，

因为d≠0，所以a1+10d=0②，

由①②解得a1=20，d=−2，即选项A10.如图，四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，SA=AB，O，P分别是AC，SC的中点，M是棱SD上的动点，则(

)

A.OM⊥AP

B.存在点M，使OM/​/平面SBC

C.存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°

D.点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值

【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．

以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法判断A、C、D，根据线面平行的判定定理判断B．【解答】

解：四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，

SA=AB，O，P分别是AC，SC的中点，M是棱SD上的动点，

以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

设SA=AB=2，则A(0,0,0)，C(2,2,0)，B(2,0,0)，P(1,1,1)，

D(0,2,0)，S(0,0,2)，O(1,1,0)，

由M是棱SD上的动点，设M(0,λ,2−λ)，(0≤λ≤2)，

∵AP=(1,1,1)，OM=(−1,λ−1,2−λ)，

∴AP⋅OM=−1+λ−1+2−λ=0，∴OM⊥AP，故A正确；

当M为SD中点时，OM是△SBD的中位线，∴OM//SB，

∵OM⊄平面SBC，SB⊂平面SBC，∴OM/​/平面SBC，故B正确；

AB=(2,0,0)，OM=(−1,λ−1,2−λ)，

若存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°，

则cos30°=|AB⋅OM||AB|⋅|OB|=11+(λ−1)2+(2−λ)2=32，

化简，得3λ2−9λ+7=0，无解，故C错误；

点M到平面11.已知双曲线C：x28−y24=1的左、右顶点分别为A，BA.若直线y=kx与双曲线C无交点，则|k|>22

B.焦点到渐近线的距离为2

C.点P到两条渐近线的距离之积为83

D.当P与A，B不重合时，直线PA【答案】BC

【解析】【分析】本题考查双曲线的性质，考查直线与双曲线的位置关系，属于基础题．

由双曲线的方程可得渐近线及焦点的坐标，进而可判断A；求出焦点到渐近线的距离d，可判断B；求出P到渐近线的距离之积，将双曲线的方程整理代入可判断C；求出直线PA，PB的斜率之积，可判断D．【解答】

解：A中，由双曲线的方程可得渐近线的方程为y=±22x，

所以y=kx与双曲线无交点，则|k|≥22，所以A不正确；

B中，由A知渐近线的方程为2x±2y=0，焦点(±23,0)，

所以焦点到渐近线的距离为d=|2×23|(2)2+22=2，所以B正确；

C中，设P(x,y)，因为P在双曲线上，所以三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知l：(2+m)x+(1−2m)y+4−3m=0 (m∈R)过定点A，则点A到直线n：x+y=1的距离是

．【答案】2【解析】【分析】本题主要考查直线经过定点问题，点到直线的距离公式的应用，属于简单题．

把直线的方程变形，得关于x、y的方程组，可得定点A的坐标，再利用点到直线的距离公式即可求解．【解答】

解：由直线方程(2+m)x+(1−2m)y+4−3m=0变形为：m(x−2y−3)+(2x+y+4)=0，

令x−2y−3=0，2x+y+4=0，

求得x=−1，y=−2，

可得直线(2+m)x+(1−2m)y+4−3m=0恒经过定点A(−1,−2)，

故点A到直线n：x+y=1的距离是d=|−1−2−1|2=213.设两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn【答案】57【解析】【分析】本题考查等差数列的前n项和及等差数列的性质，属于中档题；

运用等差数列前n项和公式，结合等差数列性质求解即可．【解答】

解：由题意可得a314.若关于x的方程x+4−x2−2m=0有解，则m【答案】[−1,【解析】【分析】本题考查方程根的个数的判断，直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．

分析可知，直线y=−x+2m与曲线y=4−x2有公共点，求出当直线y=−x+2m与圆x2+y2=4【解答】

解：由4−x2≥0，可得−2≤x≤2，由题意可得4−x2=−x+2m，

则关于x的方程x+4−x2−2m=0有解，

即直线y=−x+2m与曲线y=4−x2有交点，

又因为曲线y=4−x2表示以原点为圆心，2为半径且位于x轴上及上方的半圆，如图所示：

当直线y=−x+2m过(−2,0)时，即m=−1，此时直线y=−x+2m与半圆有一个交点，

当直线过点(2,0)时，即m=1，此时直线y=−x+2m与半圆有两个交点，

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知直线l经过点P(−2,5)，且斜率为−3(1)求直线l的方程;(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．【答案】解：(1)由直线方程的点斜式，得y−5=−34(x+2)，

(2)由直线m与直线l平行，可

设直线m的方程为3x+4y+C=0，

由点到直线的距离公式得|3×(−2)+4×5+C|32+42=3，即|14+C|故所求直线方程为3x+4y+1=0或3x+4y−29=0．

【解析】本题考查了直线方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

(1)利用点斜式即可得出．

(2)设m的方程为3x+4y+C=0，则由点到直线的距离公式得，|C+14|5=3，解出16.(本小题15分)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为(1)求{a(2)若a1=1，求数列{nan【答案】解：(1)设等比数列{an}由题意知：2a1=所以q2+q−2=0，解得q=−2(q=1舍去(2)若a1=1，则所以数列{nan}的前n则−2T两式相减得3=1−所以Tn【解析】本题考查等差数列、等比数列的综合应用，错位相减法的应用，属于中档题．(1)

设出等比数列的公比，由等差中项的性质，列方程求解即可；(2)

由题意写出数列{an}的通项公式，从而可根据错位相减法求出数列{n17.(本小题15分)已知A(1,2)、B(3,6)，动点P满足PA⋅PB=−4，设动点P(1)求曲线C的标准方程;(2)求过点A(1,2)且与曲线C相切的直线的方程．【答案】解：(1)设P(x,y)，则

PA=(1−x,2−y)

，

PB=(3−x,6−y)

，

由

PA⋅PB=(1−x)(3−x)+(2−y)(6−y)=−4

，

所以曲线

C

的标准方程为

(x−2)2+(2)曲线

C

是以

2,4

为圆心，1为半径的圆，过点

A(1,2)

的直线若斜率不存在，直线方程为

x=1

，满足与圆

C

相切；过点

A(1,2)

的切线若斜率存在，设切线方程为

y−2=kx−1

，即

kx−y+2−k=0

由圆心到直线距离

d=2k−4+2−kk2+1=1则方程为

3x−4y+5=0

．过点

A(1,2)

且与曲线

C

相切的直线的方程为

x=1

或

3x−4y+5=0

．

【解析】本题主要考查轨迹方程的求法，圆的切线方程的求法，属于中档题．

(1)设出点P坐标，根据题意列出关系式，整理即可得到曲线方程．

(2)考虑过点A(1,2)的直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，结合圆心到直线的距离等于半径列出方程，求出直线方程．18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且PFPC=13，设点

(1)求证：CD⊥平面PAD；

(2)若PGPB=23.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．

(3)设CG与平面AEF所成角为θ【答案】解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，

又因为AD⊥CD，PA、AD是平面PAD内相交直线，故CD⊥平面PAD;

(2)以A为原点，过点A作CD的平行线为x轴，以AD、AP所在直线分别为y，z轴，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(2,−1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，F(23,23,43)，G(43,−23,23)，

所以A