高二物理（人教版）教案 选择性必修一 第二章　机械振动

44/81第二章机械振动第1节简谐运动(强基课逐点理清物理观念)课标要求学习目标1.通过实验,认识简谐运动的特征。2.能用图像描述简谐运动。1.了解机械振动的概念,知道弹簧振子是一种理想化模型,理解弹簧振子的平衡位置。2.理解简谐运动的概念和特点,知道简谐运动的图像特征。3.会利用简谐运动的图像分析振子的位移和速度的变化情况。逐点清(一)弹簧振子[多维度理解]1.机械振动:物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动,简称振动。2.平衡位置:小球所受合力为0的位置。3.对平衡位置的理解(1)弹簧振子的平衡位置是振子不振动时小球静止的位置。(2)弹簧振子的平衡位置是振动过程中小球的速度最大的位置。4.弹簧振子:小球和弹簧组成的系统,它是一个理想化模型。[全方位练明]1.判断下列说法是否正确。(1)乒乓球在地面上的上下运动是一种机械振动。(×)(2)弹奏吉他时琴弦的运动是机械振动。(√)(3)机械振动是匀变速直线运动。(×)(4)平衡位置是速度为零的位置。(×)2.(多选)弹簧上端固定在O点,下端连接一小球,组成一个振动系统,如图所示。用手竖直向下拉一小段距离后释放小球,小球便上下振动起来,关于小球的平衡位置,下列说法正确的是()A.在小球运动的最低点B.在弹簧处于原长的位置C.在小球速度最大的位置D.在小球原来静止的位置解析:选CD平衡位置是振动系统不振动、小球处于平衡状态时所处的位置,可知在该位置小球所受的重力大小与弹簧的弹力大小相等,则小球原来静止的位置是小球的平衡位置,故D正确,A、B错误;当小球在振动过程中经过平衡位置时,其加速度为零,速度最大,C正确。3.小球和弹簧作如下连接,下列说法正确的是()A.只有甲可以被看成弹簧振子B.甲、乙都可以看成弹簧振子,丙、丁不可以C.甲在任何情况下都可以看成弹簧振子D.在一定条件下甲、乙、丙、丁都可以看成弹簧振子解析:选D只要满足弹簧振子的振动规律的小球和弹簧的组合都可以看成弹簧振子,弹簧振子可以是水平的、竖直的、倾斜的,也可以是多个弹簧和小球的组合体,如题图丁所示,故A、B、C错误,D正确。逐点清(二)弹簧振子的位移—时间图像简谐运动[多维度理解]1.弹簧振子的位移—时间图像(1)建立坐标系:以小球的平衡位置为坐标原点,用横坐标表示振子运动的时间,纵坐标表示振子离开平衡位置的位移,建立坐标系,描绘出位移随时间变化的图像,即x⁃t图像。(2)位移x的含义:振子的位移x是从平衡位置指向某时刻所在位置的有向线段。在x⁃t图像中,振子位置在t轴上方,表示位移为正,在t轴下方,表示位移为负。2.由位移—时间图像分析振子位移及其变化(1)确定某一时刻的位移如图所示,质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和-x2。(2)质点位移的变化情况:靠近平衡位置的过程中,位移减小,平衡位置处位移最小(为零);远离平衡位置的过程中,位移增大,最远点位移最大。3.由位移—时间图像分析振子速度及其变化(1)运动方向的确定:根据下一时刻质点的位移确定运动方向,如图中的a点,下一时刻质点离平衡位置更远,故a点对应时刻质点向正方向远离平衡位置运动。(2)质点速度大小的变化情况①根据下一时刻质点的位移,判断是远离还是靠近平衡位置。若远离平衡位置,则速度越来越小,位移越来越大;若靠近平衡位置,则速度越来越大,位移越来越小。②根据x⁃t图像的斜率判断速度的大小和方向。斜率越大,则速度越大,斜率越小,则速度越小;斜率为正,则速度沿所选的正方向,斜率为负,则速度沿负方向。4.简谐运动(1)定义:如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律,即它的振动图像(x⁃t图像)是一条正弦曲线,这样的振动是一种简谐运动。(2)意义:简谐运动是最基本的振动,弹簧振子中小球的运动就是简谐运动。[典例](多选)如图甲所示,弹簧振子以O点为平衡位置,在A、B两点之间做往复运动,取向右为正方向,振子的位移x随时间t的变化如图乙所示,下列说法正确的是()A.t=0.2s时,振子在O点右侧6cm处B.t=0.6s和t=1.4s时,振子的速度相同C.t=0.4s到t=0.8s的时间内,振子的位移逐渐减小D.t=0.4s到t=0.8s的时间内,振子的速度逐渐增大[解析]在0~0.4s内,振子从O点减速运动到B点,所以t=0.2s时,振子在O点右侧,与O点的距离大于6cm,A错误;t=0.6s时,振子从B点向O点运动,速度方向向左,t=1.4s时,振子从A点向O点运动,速度方向向右,振子的速度不相同,B错误;t=0.4s到t=0.8s的时间内,振子从B点向O点运动,振子的位移逐渐减小,速度逐渐增大,C、D正确。[答案]CD[全方位练明]1.如图所示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图像,下列有关该图像的说法不正确的是()A.该图像的坐标原点建立在弹簧振子小球的平衡位置B.从图像可以看出小球在振动过程中是沿t轴方向移动的C.为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移,让底片沿垂直x轴方向匀速运动D.图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同解析:选B从题图中能看出坐标原点在平衡位置,A正确;横轴虽然是由底片沿垂直x轴方向匀速运动得到的,但已经转化为时间轴,小球只沿x轴方向振动,B错误,C正确;因题图中相邻小球之间时间相同,密处说明小球的位置变化慢,D正确。2.在水平方向上做简谐运动的弹簧振子在某段时间内速度越来越大,则这段时间内()A.小球的位移越来越大B.小球正在离开平衡位置C.小球的加速度越来越大D.小球的速度方向与位移方向一定相反解析:选D由小球的速度越来越大可知,小球正向平衡位置运动,小球的位移越来越小,弹簧弹力越来越小,加速度越来越小,故A、B、C错误;若位移为正值,速度则为负值,若位移为负值,速度则为正值,这段时间内速度方向和位移方向一定相反,D正确。3.(2025·山东聊城期中)如图所示为质点P在0~4s内的振动图像,下列叙述正确的是()A.再过1s,该质点的位移是正方向最大B.再过1s,该质点的速度方向为正方向C.再过1s,该质点的速度方向为负方向D.再过1s,该质点的速度最大解析:选A由题图可知,再过1s即第5s时,质点在正方向最大位移处,速度为零。故选A。[课时跟踪检测]1.下列运动中属于机械振动的是()A.自由落体运动B.篮球运动员抛出的篮球在空中的曲线运动C.人造地球卫星绕地球的运动D.钓鱼时浮标在水中的上下浮动解析:选D机械振动是物体在平衡位置附近的往复运动,显然选项A、B、C中涉及的物体的运动不符合这一定义,选项D中涉及的物体的运动符合这一定义,选项D正确。2.质点运动的位移x与时间t的关系如图所示,其中不属于机械振动的是()解析:选C根据机械振动的定义可知,A、B、D中的质点均在某一平衡位置附近做往复振动,故A、B、D均为机械振动;而C中的质点没有往复振动过程,故C不是机械振动。本题要求选择不属于机械振动的,故选C。3.关于简谐运动,下列说法正确的是()A.位移的方向总是指向平衡位置B.速度的方向总是跟位移的方向相反C.速度的方向总是跟位移的方向相同D.位移的方向总是背离平衡位置解析:选D简谐运动的位移的方向是由平衡位置指向某点,所以位移的方向总是背离平衡位置,A错误,D正确;简谐运动的速度的方向是物体运动的方向,与位移的方向可能相同也可能相反,B、C错误。4.以弹簧振子为例,振子做简谐运动的过程中,有两点A、A'关于平衡位置对称,则振子()A.在A点和A'点的位移相同B.在A点和A'点的位移大小相等C.在两点处的速度不可能相同D.在两点处的速度一定相同解析:选B由于A、A'两点关于平衡位置对称,所以振子在A、A'点时位移大小相等、方向相反,速率一定相等,但速度方向可能相同也可能相反,故选项B正确。5.如图所示,一个弹簧振子在A、B间做简谐运动,O是平衡位置,把向右选为正方向,以某时刻作为计时零点(t=0),此时振子正向负方向运动,加速度为零。那么下列四个振动图像能正确反映振子振动情况的是()解析:选D在计时零点,振子加速度为零,对应振子在平衡位置,B、C错误;振子向负方向运动,负向位移应逐渐增大,A错误,D正确。6.如图所示的弹簧振子,O点为它的平衡位置,当振子m离开O点,再从A点运动到C点时,振子离开平衡位置的位移是()A.大小为OC,方向向左B.大小为OC,方向向右C.大小为AC,方向向左D.大小为AC,方向向右解析:选B振子离开平衡位置,以O点为起点,C点为终点,位移大小为OC,方向向右。B正确。7.(2025·四川绵阳阶段练习)某弹簧振子的简谐运动图像如图所示,下列描述正确的是()

A.t=1s时,振子的速度为零B.t=2s时,振子的加速度最大C.t=3s时,振子的加速度为零D.t=4s时,振子的速度为零解析:选At=1s时,振子处于正向最大位移处,速度为零,故A正确;t=2s时,振子处于平衡位置,其加速度为零,故B错误;t=3s时,振子处于负向最大位移处,加速度最大,故C错误;t=4s时,振子处于平衡位置,速度最大,故D错误。8.(2025·山东烟台阶段检测)(多选)如图所示为一弹簧振子,O为平衡位置,设向右为正方向,振子在B、C之间振动时()A.B→O位移为负,速度为正B.O→C位移为正,加速度为负C.C→O位移为负,加速度为正D.O→B位移为负,速度为负解析:选ABDB→O过程,振子在O点的左侧向右运动,其位移是负值,速度是正值,故A正确;O→C过程,振子在O点的右侧向右运动,其位移和速度都是正值,而加速度指向左侧,是负值,故B正确;C→O过程,振子在O点的右侧向左运动,其位移是正值,加速度指向左侧,是负值,故C错误;O→B过程,振子在O点的左侧向左运动,其位移是负值,速度是负值,故D正确。9.(选自鲁科版教材课后练习)如图所示,装有砂粒的试管竖直静浮于水中。将试管竖直提起少许,然后由静止释放并开始计时,在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动。若取竖直向上为正方向,下列描述试管振动的图像可能正确的是()解析:选D试管在竖直方向近似做简谐运动,平衡位置是重力与浮力大小相等的位置,开始时向上提起的距离就是其偏离平衡位置的正向最大位移。故D正确。10.如图所示,在光滑的水平桌面上有一弹簧振子,弹簧的劲度系数为k。开始时,振子被拉到平衡位置O的右侧A处,此时拉力的大小为F,然后释放振子,振子从初速度为0的状态开始向左运动,经过时间t第一次到达平衡位置O处,此时振子的速度为v,则在这一过程中振子的平均速度()A.等于vB.等于FC.小于vD.等于不为0的某值,但根据题设条件无法求出解析:选B时间t内的位移大小x=Fk,则平均速度v=xt=Fkt,故B正确,D错误;由A到O运动过程中,加速度逐渐减小,由运动学规律可知v>v2,故11.如图甲所示,质点在a、b两点之间做简谐运动,质点做简谐运动的图像如图乙所示。若t=0时,质点正经过O点向b运动,则下列说法正确的是()A.质点在0.7s时,正在远离平衡位置B.质点在1.5s时的位移最大C.1.2~1.4s时间内,质点的位移在减小D.1.6~1.8s时间内,质点的位移在增大解析:选B由于简谐运动的位移是指由平衡位置指向质点所在位置的有向线段,故质点在0.7s时的位移方向向右,且正在向平衡位置运动,故A项错误;质点在1.5s时的位移最大,故B项正确;1.2~1.4s时间内,质点正在远离平衡位置,所以其位移在增大,故C项错误;1.6~1.8s时间内,质点正在向平衡位置运动,所以其位移在减小,故D项错误。12.(2025·江苏南通阶段练习)图甲中,一只小鸟站在树枝上与树枝一起上下振动,小鸟振动的v⁃t图像如图乙所示,速度向下为正。下列说法正确的是()A.t=0时刻,小鸟的速度方向向上B.t1时刻,树枝对小鸟的弹力最大C.t2时刻,小鸟的加速度最大D.t3时刻,小鸟处在最低点解析:选C根据题图乙可知,t=0时刻,小鸟的速度为正,由于速度向下为正方向,所以此时小鸟的速度方向向下,故A错误;t1时刻,小鸟的速度最大,此时小鸟受力平衡,即所受弹力等于重力,此后小鸟向下做减速运动,树枝对其的弹力逐渐增大,故t1时刻,树枝对其的弹力未达到最大,故B错误;t2时刻,小鸟的速度为0,这一瞬间停止了向下的运动,即将向上运动,根据简谐运动的特征可知,此时加速度方向向上,达到最大值,故C正确;t3时刻小鸟向上运动达到最大速度,此后小鸟将向上做减速运动,故此时小鸟处在平衡位置,不是最低点,故D错误。13.(10分)(2024·山东济南检测)如图所示是某质点做简谐运动的振动图像,根据图像中的信息,回答下列问题:(1)质点离平衡位置的最大距离有多大?(3分)(2)在1.5s和2.5s两个时刻,质点向哪个方向运动?(4分)(3)质点在2s末的位移是多少?(3分)解析:(1)由题图知,质点离平衡位置的最大距离为10cm。(2)在1.5s以后的一小段时间内质点位移减小,因此质点向平衡位置运动;在2.5s以后的一小段时间内质点位移增大,因此质点背离平衡位置运动。(3)2s末质点在平衡位置,因此位移为零。答案:(1)10cm(2)1.5s时质点向平衡位置运动2.5s时质点背离平衡位置运动(3)0

第2节简谐运动的描述(赋能课精细培优科学思维)课标要求学习目标能用公式和图像描述简谐运动。1.知道振幅、周期和频率的概念,知道全振动的含义。2.了解初相位和相位差的概念以及相位的物理意义。3.知道简谐运动的表达式及各物理量的物理意义。4.能依据简谐运动的表达式描绘振动图像,会根据简谐运动图像写出其表达式。一、振幅周期和频率1.振幅(1)定义:振动物体离开平衡位置的最大距离。(2)符号和单位:振幅是表示振动幅度大小的物理量,常用字母A表示,单位为米。(3)振动物体的运动范围:振幅的两倍。2.周期和频率周期(T)频率(f)定义做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间物体完成全振动的次数与所用时间之比单位秒(s)赫兹(Hz)物理含义表示物体振动快慢的物理量关系式f=1[微点拨](1)振幅是标量,没有负值,也无方向,它等于振子最大位移的大小。(2)圆频率:ω=2πT=2πf,[质疑辨析]判断下列说法是否正确。(1)振幅就是指振子的位移。(×)(2)振幅就是指振子的路程。(×)(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程。(×)(4)振子完成一次全振动的路程等于振幅的4倍。(√)二、相位简谐运动的表达式1.简谐运动的数学表达式:x=Asin(ωt+φ)。2.表达式中各量的物理意义(1)A表示简谐运动的振幅。(2)ω表示简谐运动的圆频率。(3)ωt+φ叫作相位。(4)φ叫作初相位或初相。(5)相位差:两个具有相同频率的简谐运动的相位之差。[质疑辨析]判断下列说法是否正确。(1)简谐运动表达式x=Asin(ωt+φ)中,ωt是相位,φ是初相位。(×)(2)简谐运动表达式x=Asin(ωt+φ)中,ω表示振动的快慢,ω越大,振动的周期越小。(√)(3)简谐运动xa=Asin(ωt)和简谐运动xb=Asin(ωt+π2)的相位差是π2。强化点(一)描述简谐运动的物理量任务驱动如图所示为理想弹簧振子,O为它的平衡位置,将振子拉到A点由静止释放,观察振子的振动;然后将振子拉到B点由静止释放,再观察振子的振动。(1)两次振动有什么差别?用什么物理量来描述这种差别?(2)用秒表分别记录完成50次往复运动所用的时间,两种情况下是否相同?每完成一次往复运动所用时间是否相同?这个时间有什么物理意义?提示:(1)第二次振动的幅度比第一次振动的幅度大,用振幅来描述振动幅度的大小。(2)两种情况下所用的时间是相同的。每完成一次往复运动所用的时间是相同的。这个时间表示振动的快慢。[要点释解明]1.对全振动的理解正确理解全振动的概念,应注意把握全振动的五种特征:振动特征一个完整的振动过程物理量特征位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同时间特征历时一个周期路程特征振幅的4倍相位特征增加2π2.简谐运动中振幅和几个常见量的关系(1)振幅和振动系统能量的关系:对一个确定的振动系统来说,系统能量仅由振幅决定,振幅越大,振动系统能量越大。(2)振幅与位移的关系①在同一简谐运动中振幅是不变的,而位移却时刻变化。②振幅是标量,位移是矢量,位移的方向是由平衡位置指向振动物体所在位置。③振幅在数值上等于位移的最大值。(3)振幅与路程的关系:振动中的路程是标量,随时间不断增大。其中常用的定量关系是:一个周期内的路程为4倍的振幅,半个周期内的路程为2倍的振幅。(4)振幅与周期的关系:在简谐运动中,一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的,与振幅无关。[典例]弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C两点之间做简谐运动,B、C相距20cm。某时刻振子处于O点正向右运动。经过0.5s,振子首次到达B点,取向右为正方向,求:(1)振动的频率f和振幅A;(2)振子在5.5s内通过的路程及位移。[解析](1)由题意可知BC=2A=20cm,所以A=10cm振子从O到B所用时间t=0.5s,为周期T的14所以T=2.0s,f=1T=0.5Hz。(2)振子从平衡位置开始运动,在1个周期内通过的路程为4A,故在t'=5.5s=114Ts=114×4A=1105.5s内振子振动了114个周期,所以5.5s末振子到达C点,位移为-10cm[答案](1)0.5Hz10cm(2)110cm-10cm[思维建模]振动物体路程的计算方法(1)振动物体在一个周期内通过的路程一定为四倍振幅,则在n个周期内通过的路程必为n·4A。(2)振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅。(3)振动物体在T4内通过的路程可能等于振幅,还可能大于或小于振幅,只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时,T[题点全练清]1.(2025·上海阶段练习)关于机械振动的周期、频率和振幅,下列说法正确的是()A.振幅是矢量,方向是从平衡位置指向最大位移处B.周期和频率的乘积可以变化C.振幅增大,周期也必然增大,而频率减小D.做简谐运动的物体其周期和频率是一定的,与振幅无关解析:选D振幅是标量,故A错误;由于周期与频率互成倒数,则周期和频率的乘积为1保持不变,故B错误;做简谐运动的物体其周期和频率是一定的,与振幅无关,所以振幅增大,周期和频率保持不变,故C错误,D正确。2.关于描述简谐运动的物理量,下列说法正确的是()A.振幅等于振动物体在四分之一个周期内通过的路程B.周期是指振动物体从任一位置出发又回到这个位置所用的时间C.一个全振动过程中,振子的位移大小等于振幅的四倍D.频率是50Hz时,1s内振动物体速度方向改变100次解析:选D振动物体只有从平衡位置或最大位移处开始四分之一个周期内通过的路程才等于振幅,从其他位置四分之一个周期内通过的路程不等于振幅,A错误;周期指发生一次全振动所用的时间,B错误;一个全振动过程中,振子位移为0,C错误;振动物体在一个周期内速度方向改变2次,频率为50Hz时,1s内振动物体速度方向改变100次,D正确。3.(2025·河北邯郸阶段练习)一质点做简谐运动的图像如图所示,下列说法正确的是()A.质点的振幅是4cmB.0~10s内,质点经过的路程是20cmC.在t=4s时,质点的速度为0D.在t=1s和t=3s两时刻,质点的位移相同解析:选B由题图可知,质点的振幅是2cm,故A错误;由题图可知,质点的周期为T=4s,每个周期质点经过的路程为4A,可知0~10s内,质点经过的路程是s=10sT×4A=20cm,故B正确;在t=4s时,质点位于平衡位置,速度最大,故C错误;在t=1s和t=3s两时刻,质点的位移大小相等、方向相反,即位移不相同,故D强化点(二)描述简谐运动的表达式[要点释解明]1.简谐运动的表达式:x=Asin(ωt+φ)式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移;t表示振动的时间;A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离,即振幅。2.简谐运动的两种描述方法(1)图像描述法:简谐运动图像即x⁃t图像是直观表示质点振动情况的一种手段,直观表示了质点的位移x随时间t变化的规律。(2)表达式描述法:x=Asin(ωt+φ)是用函数表达式的形式反映质点的振动情况。两者对同一个简谐运动的描述应该是一致的。我们要能够做到两个方面:一是根据振动方程作出振动图像,二是根据振动图像读出振幅、周期、初相,进而写出位移的函数表达式。[典例](2025·天津西青期末)如图甲所示,一个轻质弹簧下端挂一小球,小球静止。现将小球向下拉动距离A由静止释放并开始计时,小球在竖直方向做简谐运动,周期为T,振动图像如图乙所示。下列说法正确的是()A.该弹簧振子的振幅为2AB.经T8时间,小球向上运动的距离等于C.T4D.如果A少量增大,周期T也将增大[解析]由题图乙可知,该弹簧振子的振幅为A,故A错误;0~T8时间内小球的平均速度小于T8~T4时间内的平均速度,故经T8时间小球向上运动的距离小于A2,故B错误;T4时刻,小球位于平衡位置,速度最大,动能最大,故C正确;弹簧振子的周期与振幅无关,所以如果A少量增大,周期[答案]C[变式拓展](多选)对应[典例]的情境,下列说法正确的是()A.振动方程为y=Asin2πB.振动方程为y=Asin2πC.初相为πD.初相为3π[解析]t=0时,小球的位移为-A,则由Asinφ=-A,解得φ=3π2,振动方程为y=Asin2πTt+3π2,初相为3π[答案]BD[题点全练清]1.某质点做简谐运动,其位移随时间变化的关系式为x=3sin2π3t+A.质点的振幅为3mB.质点的振动周期为23C.t=0.75s时,质点到达距平衡位置最远处D.质点前2s内的位移为-4.5cm解析:选D根据位移随时间变化的关系式x=3sin2π3t+π2cm,可知质点的振幅为A=3cm,质点的振动周期为T=2πω=2π23πs=3s,故A、B错误;t=0.75s时,质点的位移为x=3sin2π3×0.75+π2cm=0,可知此时质点刚好到达平衡位置,故C错误;t=0时,质点的位移为x0=3sin2π3×0+π2cm=3cm,t=2s时,质点的位移为x2=3sin2π3×2+π2cm=-1.52.(2025·江苏徐州开学考试)一水平弹簧振子以O点为平衡位置,在A、B两点之间做简谐运动,如图所示为该弹簧振子的振动图像,求:(1)该振子振动的周期和振幅;(2)该振子做简谐运动的表达式;(3)该振子在100s内通过的路程。解析:(1)由题图可知,该振子振动的周期和振幅分别为T=4s,A=5cm。(2)圆频率为ω=2πT=0.5πrad/s,t=0时,该振子从平衡位置开始振动,初相位为零,则该振子做简谐运动的表达式为x=5sin(0.5πt)cm(3)t=100s=25T,该振子在100s内通过的路程是s=25×4A=500cm。答案:(1)4s5cm(2)x=5sin(0.5πt)cm(3)500cm强化点(三)简谐运动的周期性与对称性[典例](2025·贵阳阶段练习)(多选)一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动,若从O点开始计时,经过3s质点第一次经过M点,再继续运动,又经过2s它第二次经过M点,质点的振动周期可能是()A.163s C.8s D.16s[解析]若质点的运动路线如图1所示,则有3s+12×2s=34T,解得周期为T=163s;若质点的运动路线如图2所示,则有3s+12×2s=14T,解得周期为T=16s[答案]AD[思维建模型]简谐运动是一种周期性的运动,简谐运动的物理量随时间周期性变化,如图所示,物体在A、B两点间做简谐运动,O点为平衡位置,OC=OD。(1)时间的对称①物体来回通过相同两点间的时间相等,即tDB=tBD。②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段路程的时间相等,图中tDB=tBD=tCA=tAC,tOD=tDO=tOC=tCO。(2)速度的对称①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等、方向相反。②物体经过关于平衡位置对称的两点(如C点与D点)时,速度大小相等,方向可能相同,也可能相反。(3)位移的对称①物体经过同一点(如C点)时,位移相同。②物体经过关于平衡位置对称的两点(如C点与D点)时,位移大小相等、方向相反。[题点全练清]1.(2025·江苏徐州阶段练习)一位游客在风景秀丽的湖边欲乘坐游船,由于有些风浪,游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动,振幅为20cm,周期为6.0s。当船上升到平衡位置时,甲板刚好与码头地面平齐。甲板在地面上下浮动不超过10cm时,游客能舒服地登船。则在一个周期内,游客能舒服登船的时间是()A.0.5s B.0.75sC.1.0s D.2.0s解析:选D把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动,当游船上升到最高点时开始计时,其振动方程为y=Acos2πTt,代入数据得y=20cosπ3tcm,当y=±10cm时,解得t1=1.0s、t2=2.0s,故在一个周期内,游客能舒服登船的时间是t'=2t2−t12.如图所示,沿水平方向做简谐运动的质点,振幅为0.1m,依次通过相距0.2m的A、B两点。质点经过A点时开始计时,t1=1s时经过B点,t2=3s时也刚好经过B点,则该振动的周期可能是()A.1.8s B.1sC.0.4s D.57解析:选C由题意可知,A、B两点均是最大位移位置,设振动周期为T1,在0~t1时间内,根据简谐运动的周期性有T12+nT1=1s(n=0,1,2,…),在t1~t2时间内根据简谐运动的周期性有n'T1=2s(n'=1,2,…),解得T1=22n+1s(n=0,1,2,…),当n=2时,T1=0.4[课时跟踪检测]1.如图,小球通过弹簧悬挂于天花板上,平衡时,小球停在O点。P点位于O点正下方,OP=5cm。现将小球拉至P点并由静止释放,经0.5s运动到O点,此后以O点为对称中心,小球在竖直方向上做简谐运动,则小球的振动周期T和振幅A分别为()A.T=1s,A=5cm B.T=1s,A=10cmC.T=2s,A=5cm D.T=2s,A=10cm解析:选C将小球拉至P点并由静止释放,小球离开平衡位置O的最大距离即为振幅,则振幅A=OP=5cm,从最大距离处到平衡位置的时间为14T=0.5s,所以周期为2s,A、B、D错误,C2.(多选)如图所示,弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C间振动,不计一切阻力,则()A.从B→O→C→O→B为一次全振动B.从O→B→O→C→B为一次全振动C.从C→O→B→O→C为一次全振动D.OB不一定等于OC解析:选ACO点为平衡位置,B、C为两侧最远点,则从B→O→C→O→B的路程为振幅的4倍,为一次全振动,A正确;从O→B→O→C→B的路程为振幅的5倍,超过一次全振动,B错误;从C→O→B→O→C的路程为振幅的4倍,为一次全振动,C正确;因弹簧振子的阻力不考虑,所以它的振幅不变,OB一定等于OC,D错误。3.一个质点做简谐运动,振幅为4cm,频率为2.5Hz,该质点从平衡位置起向正方向运动,经过2.5s,质点的位移和路程分别是()A.4cm24cm B.-4cm100cmC.0100cm D.4cm100cm解析:选D周期T=1f=0.4s,经过t=2.5s=6.25T,质点的位移为4cm,路程s=6.25×4A=6.25×4×4cm=100cm,故选D4.(2025·江苏南通阶段练习)如图甲所示的心电图仪通过一系列的传感手段,可将与人心跳对应的生物电流情况记录在匀速运动的坐标纸上。一台心电图仪测得待检者心电图如图乙所示。医生测量时记下被检者的心率为60次/min,则这台心电图仪输出坐标纸的走纸速度大小为()A.20mm/s B.25mm/sC.30mm/s D.60mm/s解析:选B心脏每次跳动的时间间隔为T=6060s=1s,所以这台心电图仪输出坐标纸的走纸速度大小为v=xT=25mm1s=25mm/s,5.扬声器是语音和音乐的播放装置,在生活中无处不在。如图所示是扬声器纸盆中心做简谐运动的振动图像,下列判断正确的是()A.t=3×10-3s时刻,纸盆中心的位移最小B.t=2×10-3s时刻,纸盆中心的加速度最大C.在0~2×10-3s之间纸盆中心的速度方向不变D.纸盆中心做简谐运动的方程为x=1.0×10-4sin(500πt)m解析:选D根据题图可知,t=3×10-3s时刻,纸盆中心的位移最大,故A错误;t=2×10-3s时刻,纸盆中心位于平衡位置,加速度为零,故B错误;在0~2×10-3s之间纸盆中心的速度方向先沿x轴正方向再沿x轴负方向,故C错误;根据题图可得纸盆中心做简谐运动的周期为T=4×10-3s,振幅A=1×10-4m,可得纸盆中心做简谐运动的方程为x=Asin2πtT=1.0×10-4sin(500πt)m,故6.(2025·江苏徐州阶段练习)如图甲所示,悬挂在竖直方向上的弹簧振子,在C、D两点之间做简谐运动,O点为平衡位置。振子到达D点开始计时。以竖直向上为正方向,在一个周期内的振动图像如图乙所示,下列说法正确的是()A.振子在O点受到的弹簧弹力等于零B.振子做简谐运动的表达式为x=10sinπtC.0.5~1.0s的时间内,振子通过的路程为5cmD.t=0.25s和t=0.75s时,振子的速度不同,但加速度大小相等解析:选C振子在O点受力平衡,此时弹簧弹力大小等于振子自身重力大小,故A错误;由题图乙可得,振子的振幅A=5cm,初相位φ0=-π2,周期T=2.0s,则圆频率ω=2πT=πrad/s,所以振子做简谐运动的表达式为x=5sinπt−π2cm,故B错误;由题图乙可知,t=0.5s时刻振子在平衡位置,t=1.0s时刻振子到达最大位移处,所以在0.5~1.0s的时间内,振子通过的路程为5cm,故C正确;根据简谐运动的对称性可知,t=0.25s和t=0.75s时,振子的速度相同7.某弹簧振子在水平方向上做简谐运动,周期T=1.8s,它的振动图像如图所示,图线上的P点对应的时刻为tP,下列说法正确的是()A.tP时刻振子的运动方向沿x轴负方向B.tP=3.3sC.0~tP时间内,振子所经过的路程为21cmD.0~tP时间内,振子运动的位移为3cm解析:选B由题图可知,tP时刻振子的运动方向沿x轴正方向,故A错误;由题图可知xP=6cos2πTtPcm=3cm,又74T<tP<2T,联立解得tP=116T=116×1.8s=3.3s,故B正确;由题图可知,0~tP时间内,振子所经过的路程为s=7×6cm+3cm=45cm,故C错误;0~tP时间内,振子运动的位移为Δx=3cm-68.物体做简谐运动,从最大位移处开始,通过A点时的速度为v,经过4s后物体第一次以相同的速度通过B点,再经过2s后物体第二次通过B点,已知物体在6s内经过的路程为6cm。则物体运动的周期和振幅分别为()A.12s,2cm B.12s,3cmC.8s,2cm D.8s,3cm解析:选B由简谐运动的对称性可知,物体通过A、B两点速度相同,则A、B两点一定关于平衡位置O对称,从O点到B点的时间为2s,从B点到位移最大处的时间为1s,故物体运动的周期为T=4×(2+1)s=12s;物体在6s内经历了半个周期,其路程为6cm,则2A=6cm,物体运动的振幅为A=3cm,故选B。9.(2025·贵州贵阳阶段练习)(多选)一个质点经过平衡位置O,在A、B间做简谐运动,如图甲所示,它的振动图像如图乙所示,设向右为正方向,下列说法正确的是()A.t=0时质点的加速度最大B.第0.4s末质点的加速度方向是B→OC.第0.7s末质点距离O点小于2.5cmD.从0.1s到0.3s,质点运动的路程大于5cm解析:选AD由题图乙可知,t=0时质点处于正向最大位移处,则加速度为负向最大,故A正确;第0.4s末质点处于负向最大位移处,则加速度正向最大,方向是O→B,故B错误;由题图乙可知,该质点做简谐运动的振动方程为x=5cos2πTtcm=5cos52πtcm,则第0.7s末质点距离O点x=522cm>2.5cm,故C错误;由以上分析可知,t=0.1s时质点在距离O点522cm处,t=0.3s时质点在距离O点-522cm处,所以从0.1s到0.3s,质点运动的路程为s=5210.(2025·湖南长沙阶段练习)(多选)P、Q两个质点做简谐运动的振动图像如图所示,下列说法中正确的是()A.P、Q的振幅之比是2∶1B.P、Q的振动周期之比是2∶1C.P、Q在0~1.2s内经过的路程之比是1∶1D.t=0.45s时刻,P、Q的位移大小之比是1∶1解析:选ABC由题图可知,P的振幅为10cm,Q的振幅为5cm,则P、Q的振幅之比是2∶1,故A正确;由题图可知,P的振动周期为1.2s,Q的振动周期为0.6s,则P、Q的振动周期之比是2∶1,故B正确;在0~1.2s内,P完成一个周期的振动,则路程为40cm,Q完成两个周期的振动,则路程也为40cm,故路程之比是1∶1,故C正确;P和Q两质点做简谐运动的振动方程分别为xP=0.1sin5π3tm,xQ=0.05sin10π3tm,则在t=0.45s时刻,P、Q的位移分别为xP=0.052m,xQ=-0.05m,则P、Q的位移大小之比是2∶11.(12分)如图甲所示,水平杆上的弹簧振子在AB范围内做简谐运动,已知AB间的距离为16cm,振子从A开始运动到第二次经过O的时间为3s,不计振子与杆间的摩擦,取向右为正方向,求:(1)弹簧振子在6s内通过的路程是多少?(4分)(2)若从弹簧振子在A处开始计时,弹簧振子在8s时的位移是多少?(4分)(3)若从弹簧振子在A处开始计时,请在图乙中作出该振子做简谐运动的x⁃t图像。(4分)解析:(1)由振子从A开始运动到第二次经过O的时间为3s,可知34T=3s,解得T=4由于t=6s=1.5T,则弹簧振子在6s内通过的路程是s=1.5×4A=6×162cm=48cm(2)由于8s=2T则弹簧振子在8s时仍处于A点,此时位移为-8cm。(3)由以上分析可知,该弹簧振子的振动周期为4s,振幅为8cm,作出x⁃t图像如图所示。答案:(1)48cm(2)-8cm(3)见解析图12.(14分)如图(a)所示,弹簧振子的平衡位置为O点,在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距0.2m。小球经过B点时开始计时,在第一个周期内的位移x随时间t变化的图像如图(b)所示。(1)求小球振动的周期和振幅;(4分)(2)求小球振动的初相位φ0,并根据上述信息写出小球的位移x随时间t变化的函数表达式;(5分)(3)求4.5s内小球通过的路程及4.5s末小球的位移。(5分)解析:(1)由题图(b)可知,周期T=1.00s,振幅A=0.1m。(2)设小球的振动方程为x=Asin2π由题图(b)可得φ0=π则小球的位移随时间变化的函数表达式为x=0.1sin2πt+(3)t=4.5s=4.5T,则4.5s内小球通过的路程s=4.5×4A=1.8m4.5s末小球位于C点,其位移为x=-0.1m。答案:(1)1.00s0.1m(2)π2x=0.1sin2π(3)1.8m-0.1m

第3节简谐运动的回复力和能量(强基课逐点理清物理观念)课标要求学习目标认识简谐运动的特征。1.理解回复力的概念,知道回复力在简谐运动中的特征。2.会用动力学方法分析简谐运动中位移、回复力、速度、加速度的变化规律。3.会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子在振动过程中动能、势能、总能量的变化规律。逐点清(一)简谐运动的回复力[多维度理解]1.回复力(1)定义:使振动物体回到平衡位置的力。(2)表达式:F=-kx,“-”号表示F与x反向。(3)方向:总是指向平衡位置。(4)作用效果:使振动物体回到平衡位置。(5)来源:回复力可能由某一个力提供,也可能由几个力的合力提供,还可能由某一个力的分力提供。归纳起来,回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。(6)对回复力的进一步理解:①表达式F=-kx中的k指的是由振动系统本身决定的比例系数,而不一定是弹簧的劲度系数。②简谐运动的加速度的特点:根据牛顿第二定律得a=Fm=-km③简谐运动的回复力与时间的关系:因x=Asin(ωt+φ),故回复力F=-kx=-kAsin(ωt+φ),可见回复力随时间按正弦规律变化。2.简谐运动:如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比,并且总是指向平衡位置,物体的运动就是简谐运动。[典例](选自鲁科版教材“拓展一步”)如图所示,在弹簧下端挂一重物,上端固定在支架上,这就构成了竖直方向的弹簧振子。重物在竖直方向受到弹力和重力作用,这两个力的合力充当弹簧振子的回复力。当重物处于点O时,重力和弹力相互平衡,因此点O是弹簧振子的平衡位置。将重物向下拉一段距离,然后松手,重物便沿竖直方向振动起来。该振动是否为简谐运动?[解析]假设重物所受的重力为G,弹簧的劲度系数为k,重物处于平衡位置时弹簧的伸长量为x1,则G=kx1设重物向下偏离平衡位置的位移为x时,弹簧的伸长量为x2,则x=x2-x1取竖直向下为正方向,则此时弹簧振子的回复力F=G-kx2=kx1-kx2=-kx所以,竖直方向的弹簧振子的运动是简谐运动。[答案]见解析[思维建模]判断是否为简谐运动的方法根据简谐运动的特征进行判断,由此可总结为:(1)通过对位移的分析,列出位移—时间表达式或利用位移—时间图像是否满足正弦规律来判断。(2)对物体进行受力分析,求解物体所受力在振动方向上的合力,利用物体所受到的回复力是否满足F=-kx进行判断。(3)根据运动学知识,分析求解振动物体的加速度,利用简谐运动的运动学特征a=-kmx[全方位练明]1.(2025·广东佛山期中)(多选)如图所示为钓鱼时鱼漂静浮于水面的示意图。鱼将鱼漂往下拉一小段距离后松口,鱼漂上下振动,可视为简谐运动,取竖直向上为正方向,以鱼松口释放鱼漂为计时起点,用t、x、a分别表示鱼漂运动的时间、位移和加速度,下列图像可能正确的是()解析:选BC依题意,取竖直向上为正方向,以鱼松口释放鱼漂为计时起点,则鱼漂的振动方程为x=Asinωt−π2,故C正确,D错误;根据a=Fm=-kmx可知,加速度与位移大小成正比,方向相反,2.(2025·陕西渭南期中)关于简谐运动的理解,下列说法中正确的是()A.简谐运动是匀变速运动B.周期越大,说明物体做简谐运动越快C.位移减小时,加速度减小,速度增大D.位移的方向总跟加速度的方向相反,跟速度的方向相同解析:选C做简谐运动的物体受到的回复力是变力,加速度变化,所以简谐运动不是匀变速运动,A错误;周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量,周期越大,说明物体做简谐运动越慢,B错误;当位移减小时,回复力减小,则加速度减小,物体向平衡位置运动,速度增大,C正确;根据a=−kxm可知,加速度和位移方向相反,但速度与位移方向可能相同,也可能相反3.(2025·四川达州期中)如图所示,下列四种场景中的运动一定不是简谐运动的是()解析:选C物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比,并且总是指向平衡位置,物体的运动就是简谐运动。C选项图中,物体在两侧斜面上受到的力均为恒力,不与位移的大小成正比,所以一定不是简谐运动,故选C。逐点清(二)简谐运动的能量[多维度理解]1.水平弹簧振子的状态与能量的对应关系弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。(1)在最大位移处,势能最大,动能为零。(2)在平衡位置处,动能最大,势能为零。(3)在振动的一个周期内,动能和势能完成两次周期性变化。物体的位移减小,势能转化为动能;位移增大,动能转化为势能。2.简谐运动的能量特点(1)在弹簧振子运动的任意位置,系统的动能与势能之和都是一定的,遵守机械能守恒定律。(2)实际的运动有一定的能量损耗,所以简谐运动是一种理想化的模型。(3)对于弹簧劲度系数和小球质量都一定的系统,振幅越大,机械能越大。[全方位练明]1.判断下列说法是否正确。(1)在简谐运动中,振动系统的机械能是守恒的。(√)(2)对于水平弹簧振子,运动到平衡位置时,回复力为零,系统能量也为零。(×)(3)对于水平弹簧振子,运动到平衡位置时,回复力为零,弹簧的弹力也为零。(×)(4)振幅越大的弹簧振子,系统机械能也一定越大。(×)2.(2025·陕西宝鸡期末)如图所示,一根轻弹簧上端固定,下端悬挂一个物体。将物体从平衡位置竖直拉下一段距离后由静止释放,物体在竖直方向做简谐运动。设向下为正方向,以下说法中正确的是()A.弹簧对物体的弹力变小时,物体所受回复力可能变大B.物体从最高处向最低处运动过程中,振幅先减小后增大C.物体位移为正时,速度一定也为正,加速度一定为负D.物体从最低处向最高处运动过程中,物体的动能与弹簧的弹性势能之和一直增大解析:选A弹簧对物体的弹力变小时,物体所受回复力可能变大,例如物体从平衡位置向弹簧原长位置运动时,弹力变小,物体所受回复力变大,A正确;物体从最高处向最低处运动过程中,位移先减小后增大,振幅不变,B错误;物体从最低处向平衡位置运动时,位移为正,速度为负,加速度为负,C错误;根据机械能守恒定律,物体从最低处向最高处运动过程中,因为重力势能一直变大,则物体的动能与弹簧的弹性势能之和一直减小,D错误。3.如图所示是一个弹簧振子在0~0.4s时间内做简谐运动的图像,由图像可知()A.在0.25~0.3s时间内,振子受到的回复力越来越小B.t=0.7s时,振子的速度最大C.振子的动能和势能相互转化的周期为0.4sD.振子的动能和势能相互转化的周期为0.2s解析:选D在0.25~0.3s时间内,振子的位移增大,受到的回复力越来越大,故A错误;由题图可知,该振子的周期为0.4s,且t=0.3s时振子位移最大,可知t=0.7s时,振子的位移也是最大,速度为零,故B错误;动能与势能都是标量,它们变化的周期等于简谐运动周期的一半,所以振子的动能和势能相互转化的周期为0.2s,故C错误,D正确。逐点清(三)简谐运动中各物理量的变化规律[多维度理解]1.如图所示为水平的弹簧振子示意图。(1)在小球远离平衡位置过程中,位移增大,回复力、加速度和势能增大,速度和动能减小;在小球靠近平衡位置过程中,位移减小,回复力、加速度和势能减小,速度和动能增大。(2)当小球位于A'到O点之间时,位移方向向左,回复力和加速度方向均向右;当小球位于O到A点之间时,位移方向向右,回复力和加速度方向均向左;A'→O→A过程中,速度方向向右;A→O→A'过程中,速度方向向左。2.说明:(1)简谐运动中各个物理量对应关系不同。位置不同,则位移不同,加速度、回复力不同,但是速度、动能、势能可能相同,也可能不相同。(2)在简谐运动中的最大位移处,F、a、Ep最大,Ek=0;在平衡位置处,F=0,a=0,Ep最小,Ek最大。[典例](2024·北京高考)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况,以向上为正方向,得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线,如图乙所示。下列说法正确的是()A.t=0时,弹簧弹力为0B.t=0.2s时,手机位于平衡位置上方C.从t=0至t=0.2s,手机的动能增大D.a随t变化的关系式为a=4sin(2.5πt)m/s2[解析]由题图乙知,t=0时,手机加速度为0,手机位于平衡位置,由平衡条件得弹簧弹力大小等于手机重力大小,A错误;由题图乙知,t=0.2s时,手机的加速度为正值,则手机受到的合力向上,手机位于平衡位置下方,B错误;由题图乙知,从t=0至t=0.2s,手机的加速度增大,手机从平衡位置向最大位移处运动,速度减小,动能减小,C错误;由题图乙知,装置振动的周期T=0.8s,则圆频率ω=2πT=2.5πrad/s,则a随t变化的关系式为a=4sin(2.5πt)m/s2,D[答案]D[思维建模]分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧(1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时,一定要以位移为桥梁,位移增大时,回复力、加速度、势能均增大,速度、动能均减小;反之,则产生相反的变化。另外,各矢量均在其值为零时改变方向。(2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时,回复力、加速度、动能、势能可以确定,但速度可能有两个方向,由于周期性,运动时间也不确定。[全方位练明]1.如图所示,弹簧振子在B、C两点间做无摩擦的往复运动,O是振子的平衡位置,细杆水平。则振子()A.从B向O运动过程中动能一直变小B.从O向C运动过程中加速度一直变小C.从B经过O向C运动过程中速度一直变大D.从C经过O向B运动过程中弹性势能先减小后增大解析:选D因O点是平衡位置,则从B向O运动过程中速度一直变大,动能一直变大,A错误;从O向C运动过程中,离开平衡位置的位移变大,回复力变大,则加速度变大,B错误;在平衡位置O时速度最大,则从B经过O向C运动过程中速度先增大后减小,C错误;在平衡位置O时弹性势能为零,则从C经过O向B运动过程中弹性势能先减小后增大,D正确。2.一质点做简谐运动,其振动图像如图所示,在t1和t2时刻的位移为x1=x2=7cm,在t3时刻的位移为x3=-5cm,以v1、v2、v3和a1、a2、a3分别表示t1、t2、t3时刻质点振动速度大小和加速度大小,则以下关系正确的是()A.v1=v2>v3a1=a2>a3B.v1=v2<v3a1=a2<a3C.v1=v2>v3a1=a2<a3D.v1=v2<v3a1=a2>a3解析:选D由题图可知,t1和t2时刻的位移大小相等且大于t3时刻的位移大小,所以t1、t2、t3时刻的势能关系为Ep1=Ep2>Ep3,根据机械能守恒定律可知,三个时刻的动能关系为Ek1=Ek2<Ek3,则v1=v2<v3;加速度大小与质点的位移大小成正比,可知a1=a2>a3,故选D。[课时跟踪检测]1.关于简谐运动所受的回复力,下列说法正确的是()A.回复力一定是弹力B.回复力大小一定与位移大小成正比,且两者方向相同C.回复力一定是物体所受的合力,大小与位移成正比,方向与位移方向相反D.回复力的方向一定指向平衡位置解析:选D回复力不一定是弹力,也不一定是物体所受的合力,故A、C错误;回复力大小与位移大小成正比,方向与位移方向相反,一定指向平衡位置,故B错误,D正确。2.做简谐运动的弹簧振子,当振子的位移为负值时,下列说法中可能正确的是()A.速度一定为正值,加速度一定为负值B.速度为零时,加速度最大C.速度一定为负值,加速度一定为正值D.速度最大时,加速度为零解析:选B当振子的位移为负值时,加速度一定为正值,而速度可能为正值,也可能为负值,故A、C错误;当振子到达负向最大位移处时,速度为零,加速度最大,故B正确;当振子的位移为负值时,振子不可能通过平衡位置,速度不可能最大,加速度不可能为零,故D错误。3.(2025·山东泰安阶段练习)弹簧振子做简谐运动,振子的位移x随时间t的变化如图所示,下列说法正确的是()A.弹簧振子的周期为1.6s,振幅为24cmB.t=0.2s时,振子的回复力方向沿x轴正方向C.t=0.4s到t=0.8s的时间内,振子的速度逐渐增大D.t=0.8s到t=1.2s的时间内,振子的动能逐渐增大解析:选C根据题图可得弹簧振子的周期为1.6s,振幅为12cm,故A错误;t=0.2s时,振子的位移为正值,由F=-kx可知回复力方向沿x轴负方向,故B错误;振子在位移最大时速度为0,在平衡位置时速度最大,t=0.4s到t=0.8s的时间内,振子逐渐靠近平衡位置,则振子的速度逐渐增大,故C正确;t=0.8s到t=1.2s的时间内,振子逐渐远离平衡位置,其速度逐渐减小,故振子的动能逐渐减小,故D错误。4.(2025·河北邢台期末)如图所示,在上、下两个相同轻弹簧的共同作用下,振子在竖直方向做简谐运动,已知振子的质量为m,振子在最高点时上方弹簧处于原长,振子经过平衡位置时下方弹簧处于原长,重力加速度大小为g,下列说法正确的是()A.下方弹簧的最大弹力为mgB.下方弹簧的最大弹力为mgC.上方弹簧的最大弹力为3D.上方弹簧的最大弹力为3mg解析:选B两个轻弹簧完全相同,设劲度系数为k,振子经过平衡位置时下方弹簧处于原长,振子在最高点时上方弹簧处于原长,则振子的振幅为A=mgk,根据对称性可知,下方弹簧的最大弹力为kA=mg,故A错误,B正确;当振子运动到最低点时,上方弹簧的最大弹力为k·2A=2mg,故C、D5.(多选)如图甲所示为以O点为平衡位置、在A点与B点间做简谐运动的弹簧振子,图乙为这个弹簧振子的振动图像,下列说法中正确的是()A.在t=0.2s时,弹簧振子的位移为正向最大B.在t=0.4s时,弹簧振子的速度为正向最大C.从t=0到t=0.2s时间内,弹簧振子做加速度增大的减速运动D.在t=0.3s与t=0.5s两个时刻,弹簧振子的速度相同,加速度也相同解析:选AC在t=0.2s时,弹簧振子的位移为正向最大,A正确;在t=0.4s时,弹簧振子的速度为负向最大,B错误;从t=0到t=0.2s时间内,弹簧振子做加速度增大的减速运动,C正确;在t=0.3s与t=0.5s两个时刻,弹簧振子的速度相同,加速度的大小相等、方向相反,D错误。6.如图所示,放在光滑水平面上的弹簧振子,振子质量为m,振子以O为平衡位置,在B和C之间振动,设振子经过平衡位置时的速度为v,则它在由O→B→O→C的整个运动过程中,弹簧弹力对振子所做的功为()A.2mv2 B.-12mvC.3mv2 D.32mv解析:选B由于水平面是光滑的,在整个过程中只有动能和势能的相互转化,振子在O点的初动能为12mv2,在C点的末动能为0,根据动能定理可知弹簧弹力对振子所做的功为-12mv2。故选7.(2025·重庆期末)智能手机集成了很多传感器,结合相应APP可应用于物理实验。如图甲所示,轻质弹簧上端固定,下端挂有钩码,钩码下表面吸附一个小磁铁。钩码在竖直方向做简谐运动时,某段时间内,小磁铁正下方的智能手机中的磁传感器采集到磁感应强度随时间变化的图像如图乙所示。不计空气阻力,下列判断正确的是()A.钩码做简谐运动的周期为t3-t1B.在t1和t5时刻,钩码的重力势能最大C.在t2和t4时刻,钩码的动能最大D.在t2到t4时间内,钩码所受合外力的冲量为零解析:选C磁铁距离手机最近时,采集到的磁感应强度最大,磁铁距离手机最远时,采集到的磁感应强度最小,根据题图乙可知,钩码做简谐运动的周期为T=2t3−t1,故A错误;在t1和t5时刻,采集到的磁感应强度最大,表明磁铁距离手机最近,可知在t1和t5时刻,钩码的重力势能最小,故B错误;根据题图乙可知,磁感应强度最大与最小的位置关于t2和t4时刻的位置对称,结合简谐运动的对称性,可知在t2和t4时刻,钩码处于平衡位置,则在t2和t4时刻,钩码的动能最大,故C正确;结合上述分析可知,在t2到t4时间内,钩码先由平衡位置向上运动至最高点,后由最高点向下运动至平衡位置,始末速度方向相反,即始末动量方向相反,根据动量定理可知,钩码所受合外力的冲量不为零8.一弹簧振子的振幅为A,从最大位移处经过时间t0第一次到达平衡位置,若振子从最大位移处经过t03时的加速度大小和动能分别为a1和E1,若振子从最大位移处经过路程为A3时的加速度大小和动能分别为a2和E2,则a1、a2和E1、E2A.a1>a2,E1>E2 B.a1<a2,E1>E2C.a1<a2,E1<E2 D.a1>a2,E1<E2解析:选D弹簧振子从最大位移处往平衡位置运动,速度增大,加速度减小,故t03时间内运动的路程小于A3,即其到平衡位置的距离大于23A,距离平衡位置越远,加速度越大,速度越小,因此a1>a2,E1<E29.(多选)如图所示,一弹簧振子在A、B间做简谐运动,平衡位置为O,已知振子的质量为M,若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到振子的上面,物体和振子无相对滑动而一起运动,下列说法正确的是()A.振幅不变B.物体放在振子上面的过程有机械能损失C.最大速度不变D.最大速度减小解析:选AD振子运动到B处时将一质量为m的物体放到振子的上面,物体和振子无相对运动而一起运动,离开平衡位置的最大位移不变,所以振幅不变,A正确;物体放在振子上面的过程弹簧伸长量不变,弹性势能不变,动能为零不变,故该过程中机械能不变,振子在平衡位置时速度最大,根据能量守恒定律可知,从最大位移处到平衡位置,弹性势能转化为振子的动能,弹性势能与以前比较未变,但振子的质量变大,所以最大速度变小,D正确,B、C错误。10.如图所示,与地面夹角为θ的光滑斜面顶端固定一垂直斜面的挡板,劲度系数为k的轻弹簧一端固定一个质量为m的小物体,另一端固定在挡板上。物体在平行斜面方向上的A、B两点间做简谐运动,当物体振动到最高点A时,弹簧正好为原长。则物体在向下振动过程中()A.物体的动能不断增大B.物体在B点时受的弹力大小为2mgsinθC.物体在A、B两点的加速度相同D.平衡位置处,弹簧的弹性势能和物体的重力势能总和最大解析:选B物体运动到平衡位置时,动能最大,运动到位置B时,速度为0,动能为0,所以物体在向下振动过程中,物体的动能先增大后减小,故A错误;物体在最高点,有F回=mgsinθ,在最低点时,受力分析可得F-mgsinθ=F回,联立可得F=2mgsinθ,故B正确;物体在A、B两点的加速度等大反向,故C错误;平衡位置处,动能最大,根据能量守恒定律,弹簧的弹性势能和物体的重力势能总和最小,故D错误。11.(12分)如图所示,竖直悬挂的轻弹簧下端系着A、B两物体,mA=0.1kg,mB=0.1kg,弹簧的劲度系数为k=40N/m。剪断A、B间的细绳后,A做简谐运动,不计空气阻力,弹簧始终没有超过弹性限度,g取10m/s2。求:(1)剪断细绳瞬间的回复力大小;(3分)(2)A做简谐运动的振幅;(6分)(3)A在最高点时的弹簧弹力大小。(3分)解析:(1)剪断细绳前,弹簧弹力大小为F弹=mAg+mBg剪断细绳的瞬间,A做简谐运动的回复力大小为F回=F弹-mAg=mBg=0.1×10N=1N。(2)由题意可得,剪断细绳瞬间弹簧的形变量为x1=F1k=mAg+mA处于平衡位置时,弹簧的形变量为x2=F2k=mAgk=0.1×1040根据简谐运动的特点,则A做简谐运动的振幅为A=x1-x2=0.025m。(3)根据对称性可知,A在最高点时回复力大小等于在最低点时回复力大小,设A在最高点时的弹簧弹力大小为F弹',则有F弹'+mAg=1N,解得F弹'=0。答案:(1)1N(2)0.025m(3)012.(14分)(2025·贵州贵阳阶段练习)如图所示,弹簧振子在竖直方向的B、C两点之间做简谐运动。小球位于B点时开始计时,经过1s首次到达C点。若以小球的平衡位置为坐标原点O,以竖直向下为正方向建立坐标轴Ox,用x表示小球相对于平衡位置的位移。已知B、C两点相距40cm,弹簧劲度系数k=20N/m,小球质量m=0.5kg,取重力加速度g=10m/s2。(1)请写出小球位移x随时间t变化的关系式;(6分)(2)求7s内小球通过的路程及7s末小球位移的大小;(4分)(3)求小球运动至C点时,其所受回复力的大小。(4分)解析:(1)根据已知条件,可知小球做简谐运动的振幅为A=20cm,振动周期T=2s根据ω=2πT,可得ω=π小球经过B点开始计时,以竖直向下为正方向,则当t=0时,x=A,故φ0=π2,可得x=20sinπt(2)从小球经过B点开始计时,t=7s=3.5T内通过的路程s=3.5×4A=280cm小球在7s内运动3.5个周期,故7s末位于C点,所以7s末小球的位移大小为20cm。(3)小球在竖直面内做简谐运动,设其在平衡位置时弹簧的形变量为x0,则有kx0=mg当小球位于C点时,小球受到重力以及弹簧的弹力,可得F回=mg-kx0−A=kA=20×0.2N=4答案:(1)x=20sinπt

第4节单摆(赋能课精细培优科学思维)课标要求学习目标1.知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系。2.会用单摆测量重力加速度的大小。1.理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件,知道单摆振动时回复力的来源。2.理解影响单摆周期的因素,能熟练应用单摆周期公式解决问题。一、单摆的回复力1.单摆:由细线和小球组成,其中,细线的长度不可改变,细线的质量与小球相比可以忽略,小球的直径与细线的长度相比也可以忽略。2.单摆的回复力(1)来源:摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。(2)特点:在摆角很小时,摆球的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比,方向总指向平衡位置,即F=-kx。可见,单摆在摆角很小的情况下做简谐运动。[微点拨]实际做成的单摆,摆线的伸缩量越小,摆球的质量越大、体积越小,则越接近理想化的单摆。[情境思考]图例能否视为单摆不能不能不能不能能二、单摆的周期1.定性探究影响单摆周期的因素(1)探究方法:控制变量法。(2)实验结论(在小摆角下):①单摆的周期与振幅无关。②单摆的周期与摆球质量无关。③摆长越长,周期越大;摆长越短,周期越小。2.定量探究单摆的周期与摆长之间的关系(1)荷兰物理学家惠更斯研究发现,单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成正比,与重力加速度g的二次方根成反比,与振幅、摆球质量无关。(2)周期公式:T=2πlg[质疑辨析]判断下列说法是否正确。(1)单摆摆球受到的回复力最大时,向心力最大;回复力为0时,向心力为0。(×)(2)单摆的回复力就是摆球的向心力。(×)(3)单摆摆球的质量越大,周期越小。(×)(4)单摆的摆线越长,周期越大。 (√)强化点(一)单摆的回复力及其运动规律任务驱动如图甲所示为家庭用的摆钟,其摆锤的振动可以简化为如图乙所示,一根细线上端固定,下端连接一个金属小球,用手使小球偏离竖直方向一个夹角,然后由静止释放,请思考:(1)小球在振动过程中受到哪些力的作用?(2)小球振动的回复力由什么力提供?提示:(1)小球受重力和细线的拉力作用。(2)回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供。[要点释解明]1.单摆的回复力(1)单摆受力:如图所示,受细线拉力和重力作用。(2)向心力来源:细线拉力和重力沿径向分力的合力,F向=FT-mgcosθ。(3)回复力来源:重力沿圆弧切线方向的分力,F=mgsinθ。2.单摆做简谐运动的推证如上图所示,单摆的回复力F=G1=mgsinθ,在摆角很小时,sinθ≈xl,所以单摆的回复力为F=-mglx(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移,l表示单摆的摆长,负号表示回复力F与位移x的方向相反),由此知回复力符合F=-3.单摆做简谐运动的规律(1)单摆做简谐运动的位移随时间变化的图像是一条正弦(或余弦)曲线。(2)单摆振动过程中各量的变化特点:位置或过程位移、回复力速度、动能重力势能最高点最大零最大最低点零最大最小远离平衡位置运动越来越大越来越小越来越大靠近平衡位置运动越来越小越来越大越来越小[典例](多选)如图所示为一单摆的振动图像,则()A.t1和t3时刻摆线的拉力相等B.t2和t3时刻摆球的速度相等C.t3时刻摆球的速度正在减小D.t4时刻摆线的拉力正在减小[解析]由题图可知,t1和t3时刻摆球的位移相同,根据对称性可知单摆振动的速度大小相等,故摆线的拉力大小相等,故A正确;t2时刻摆球在负向最大位移处,速度为零,t3时刻摆球向平衡位置运动,所以t2和t3时刻摆球的速度不相等,故B错误;t3时刻摆球正靠近平衡位置,速度正在增大,故C错误;t4时刻摆球正远离平衡位置,速度正在减小,摆线的拉力也正在减小,故D正确。[答案]AD[题点全练清]1.(2025·广东清远期末)(多选)振动是自然界中普遍存在的运动形式,简谐运动是最简单、最基本的振动。关于简谐运动,甲、乙图对应的说法正确的是()A.图甲是研究弹簧振子的运动的实验图,弹簧振子在弹簧弹力作用下做匀变速直线运动B.图甲是研究弹簧振子的运动的实验图,弹簧振子偏离平衡位置时的加速度方向永远指向平衡位置O点C.图乙是研究单摆的回复力的实验图,单摆的回复力是摆球重力和细线拉力的合力D.图乙中单摆的摆球运动到O点时速度最大,回复力最小解析:选BD题图甲是研究弹簧振子的运动的实验图,弹簧振子在弹簧弹力作用下做简谐运动,加速度不断变化,故A项错误;弹簧振子的加速度方向永远指向平衡位置,故B项正确;题图乙是研究单摆的回复力的实验图,单摆的回复力是由摆球重力沿圆弧切线方向的分力提供的,故C项错误;题图乙中O点为单摆的平衡位置,在该位置单摆的回复力最小,速度最大,故D项正确。2.图中O点为单摆的固定悬点,现将摆球(可视为质点)拉至A点,此时细线处于张紧状态,由静止释放摆球,摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动,B点为运动中的最低位置,则在摆动过程中()A.摆球在A点和C点处,速度为0,合力也为0B.摆球在A点和C点处,速度为0,回复力也为0C.摆球在B点处,速度最大,回复力也最大D.摆球在B点处,速度最大,细线拉力也最大解析:选D摆球摆动过程中,在最高点A、C处速度为0,回复力最大,合力不为0;在最低点B处,速度最大,回复力为0,细线的拉力最大,故D正确,A、B、C错误。强化点(二)单摆周期公式的理解与应用[要点释解明]1.周期公式的成立条件当单摆做摆角很小的振动时,才有T=2πlg,与单摆的振幅及摆球的质量无关,只与摆长l及单摆所在处的重力加速度g2.对摆长的理解对于不规则的摆动物体或复合物体,摆长是指摆动轨迹圆弧的圆心到摆动物体重心的长度。图(a)中,摆球半径为r,甲、乙两摆在垂直纸面方向摆起来效果是相同的,所以甲摆的摆长为lsinα+r。图(b)中,乙在垂直纸面方向小角度摆动时,与甲摆等效;乙在纸面内小角度摆动时,与丙摆等效。3.重力加速度g的变化(1)公式中的g由单摆所在空间位置决定由GMR2=g知,g在地球表面不同位置、不同高度是不同的,在不同星球上也不相同,因此应求出单摆所在处的等效值g'代入公式,即g不一定等于9.8m/s(2)g还由单摆系统的运动状态决定如单摆处在向上加速运动的物体内,设加速度大小为a,此时摆球处于超重状态,沿圆弧切线方向的回复力变大,摆球质量不变,则重力加速度的等效值g'=g+a。[典例](2025·天津西青期末)如图甲所示,一单摆做小角度摆动,从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时,相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力,对于这个单摆的振动过程,下列说法正确的是()A.若仅将摆球质量变大,单摆周期变大B.单摆的位移x随时间t变化的关系式为x=6sinπtC.从t=0.5s到t=1.0s的过程中,摆球的重力势能逐渐增大D.从t=1.0s到t=1.5s的过程中,摆球所受回复力逐渐减小[解析]根据单摆周期公式T=2πLg,可知仅将摆球质量变大,单摆周期不变,故A错误;由题图乙可知单摆的位移x随时间t变化的关系式为x=Asin2πTt=6sin(πt)cm,故B正确;由题图乙可知,从t=0.5s到t=1.0s的过程中,摆球从最高点摆动到最低点,摆球的重力势能逐渐减小,故C错误;由题图乙可知,从t=1.0s到t=1.5s的过程中,摆球的位移大小逐渐增大,摆球所受回复力逐渐增大,[答案]B[思维建模]涉及单摆周期问题的三点注意(1)单摆的周期公式T=2πlg中共涉及三个物理量——周期T、摆长l和当地重力加速度g,只要已知两个量,(2)改变单摆振动周期的途径①改变单摆的摆长;②改变单摆的重力加速度(如改变单摆