思维拓展新高考压轴题中函数的新定义问题高考数学一轮复习高频考点归纳方教案

思维拓展新高考压轴题中函数的新定义问题高考数学一轮复习高频考点归纳方教案一、教学内容分析1.课程标准解读分析本课程内容紧扣《普通高中数学课程标准》的要求，旨在培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。在知识与技能维度，本课的核心概念包括函数的新定义、函数的性质及其应用等。关键技能包括对新定义函数的理解、分析、应用以及解决实际问题。认知水平从“了解”到“应用”逐级递进，通过思维导图构建知识网络，帮助学生形成完整的知识体系。在过程与方法维度，本课强调数学思维方法的培养，如归纳、演绎、类比等。通过具体的学习活动，如小组讨论、问题解决等，让学生在探索中发现规律，提高解决问题的能力。在情感·态度·价值观、核心素养维度，本课注重培养学生的数学素养，如逻辑思维、抽象思维、创新思维等。通过学习函数的新定义，让学生体会到数学的严谨性和应用性，激发学生对数学的兴趣。本课内容在单元乃至整个课程体系中具有重要地位。它不仅是对函数概念的一次拓展，也是对数学思维方法的一次深化。与前后的知识关联紧密，如与函数性质、导数等知识相衔接，为后续学习奠定基础。2.学情分析针对学情，本课程分析如下：学生已有的知识储备：学生对函数的基本概念、性质和图像有一定的了解，具备一定的数学思维能力。生活经验：学生在日常生活中接触到的许多现象都可以用函数来描述，有助于他们对函数概念的理解。技能水平：学生在解决实际问题时的能力参差不齐，部分学生可能对函数的新定义理解不够深入。认知特点：学生普遍对数学问题有较强的求知欲，但部分学生可能存在一定的焦虑情绪。兴趣倾向：学生对数学问题的解决方法、实际应用等方面表现出较高的兴趣。学习困难：部分学生可能对函数的新定义理解不够深入，容易混淆概念；部分学生可能对数学问题解决方法的选择感到困惑。基于以上分析，本课程将针对不同层次的学生设计相应的教学策略，确保教学目标的实现。二、教学目标1.知识目标本课程旨在帮助学生构建关于函数新定义的清晰认知结构。学生将能够识记并理解函数新定义的基本概念，如抽象函数、复合函数等，并能够描述其性质和特点。通过比较、归纳和概括，学生将能够识别不同类型函数之间的关系，并能在新情境中运用这些知识解决问题。例如，学生能够解释函数新定义的应用，并设计解决方案来解决实际问题。2.能力目标学生将通过本课程培养综合运用数学知识解决实际问题的能力。他们将能够独立并规范地完成函数图像的绘制和分析，同时训练批判性思维和创造性思维，如从多个角度评估证据的可靠性，并提出创新性问题解决方案。通过小组合作完成复杂任务，如调查研究报告，学生将学会综合运用多种能力，如信息处理、逻辑推理和实验探究。3.情感态度与价值观目标本课程将引导学生体会数学的严谨性和科学精神，培养学生的社会责任感和人文情怀。学生将通过了解科学家的探索历程，体会坚持不懈的科学精神，并在实验过程中养成如实记录数据的习惯。此外，学生将能够将课堂所学的知识应用于日常生活，并提出改进建议。4.科学思维目标学生将学习并应用数学特有的思维方式，如数学抽象、模型建构和系统分析。他们将能够识别问题本质，建立简化模型，并运用模型进行推演。通过鼓励质疑、求证和逻辑分析，学生将学会评估结论的依据，并能够运用设计思维的流程，针对实际问题提出原型解决方案。5.科学评价目标学生将发展元认知和自我监控能力，学会对学习过程、成果和信息进行有效评价。他们将能够运用反思策略对自己的学习效率进行复盘，并依据评价量规对同伴的实验报告给出具体、有依据的反馈意见。此外，学生将学会甄别信息来源和可靠性，运用多种方法交叉验证网络信息的可信度。三、教学重点、难点1.教学重点本课程的教学重点在于深入理解函数的新定义及其应用。重点内容包括函数新定义的概念、性质、图像以及如何将这些概念应用于解决实际问题。具体而言，重点是帮助学生掌握函数新定义的基本原理，能够识别和描述不同类型的函数，并能够运用这些知识来分析和解决实际问题，如优化问题、增长率问题等。2.教学难点教学的难点在于学生如何克服对抽象函数概念的认知障碍，特别是在理解复合函数和抽象函数的运算时。难点成因可能包括对函数概念的理解不够深入，以及缺乏将抽象概念与具体情境结合的能力。因此，难点在于如何帮助学生建立函数概念的直观模型，并通过实际问题来强化对函数运算的理解和应用。四、教学准备清单多媒体课件：包含函数新定义的动画演示、实例分析。教具：函数图像图表、抽象函数模型。实验器材：用于辅助函数概念理解的实物教具。音频视频资料：相关数学历史视频、函数应用案例。任务单：学生活动指导手册，包含预习问题、实践任务。评价表：学生表现评估工具。预习要求：学生预习教材内容，完成相关习题。学习用具：画笔、计算器等。教学环境：小组座位排列，黑板板书设计框架。五、教学过程第一、导入环节引入话题：生活中的函数现象教师首先向学生展示一系列生活中的场景，如电梯上升的高度、汽车行驶的速度、手机电池的电量等，引导学生思考这些现象与数学的关系。学生可能会联想到数学中的“量”和“变化”，教师顺势提出问题：“这些变化是否可以用数学的方式描述和量化？”认知冲突情境的创设接着，教师展示一个与传统函数图像不同的例子，例如一个不规则的图形，学生可能会感到困惑。教师提问：“这个图形能否用数学的方式描述？我们如何去量化它？”通过这个认知冲突，激发学生的好奇心和探究欲望。挑战性任务的设置教师进一步提出一个挑战性的任务：“设计一个数学模型，描述这个不规则图形的变化规律。”学生需要运用之前学过的知识，但同时也需要面对新的挑战。价值争议的短片展示为了加深学生的思考，教师播放一段关于环境保护的短片，其中涉及到资源的消耗和再生利用。教师提问：“如何用数学的方式去分析这个问题？我们该如何平衡环境保护和经济发展？”引出核心问题教师总结：“今天我们将要学习的主题是函数的新定义，我们将探讨如何用数学的方法来描述和量化生活中的复杂现象，以及如何运用这些知识来解决实际问题。”学习路线图的呈现教师清晰地展示学习路线图：“首先，我们将回顾旧知，理解函数的基本概念；然后，我们将学习函数的新定义，并探讨其应用；最后，我们将通过实际案例来运用所学知识。”同时，教师强调：“理解函数的新定义是解决新问题的基础，我们将逐步深入，确保每个人都能跟上进度。”旧知的回顾与链接在正式进入新内容之前，教师简要回顾函数的基本概念，强调新旧知识之间的联系，确保学生能够将新知识建立在坚实的旧知基础之上。总结与过渡最后，教师总结导入环节的内容，并过渡到新课的学习：“今天我们已经激发了学习的兴趣，明确了学习目标。接下来，让我们开始探索函数的新定义，并看看我们能够创造出怎样的数学模型。”第二、新授环节任务一：函数新定义的认知探索教学目标：知识目标：准确阐释函数新定义的内涵，理解函数的对应关系和变化规律。能力目标：掌握数据收集与分析方法，培养严谨求实的科学态度。情感态度价值观目标：培养探索精神和合作意识。教师活动：1.展示生活中的函数实例，如温度随时间变化、距离随速度变化等。2.引导学生观察这些实例，提出“这些现象是否可以用数学语言描述？”的问题。3.引导学生回顾函数的基本概念，如自变量、因变量、函数关系等。4.提出驱动性问题：“如何将生活中的函数现象抽象成数学模型？”5.分组讨论，引导学生提出不同的抽象方法。学生活动：1.观察并记录教师展示的函数实例。2.回顾并复述函数的基本概念。3.分组讨论，尝试将函数实例抽象成数学模型。4.与小组成员分享自己的想法，并听取其他组的观点。即时评价标准：1.学生能够正确描述函数实例中的变量关系。2.学生能够提出不同的抽象方法，并解释其合理性。3.学生能够积极参与讨论，并尊重他人的意见。任务二：函数新定义的应用实践教学目标：知识目标：掌握函数新定义的应用，能够解决实际问题。能力目标：提高问题解决能力，培养创新思维。情感态度价值观目标：培养实践能力和团队协作精神。教师活动：1.展示实际问题，如优化生产流程、设计电路图等。2.引导学生分析问题，提出“如何用函数解决这个实际问题？”的问题。3.分组讨论，引导学生设计解决方案。4.组织学生展示方案，并进行评价和改进。学生活动：1.分析教师展示的实际问题。2.分组讨论，设计解决方案。3.展示方案，并接受其他组的评价和反馈。4.根据评价和反馈改进方案。即时评价标准：1.学生能够正确分析问题，并提出合理的解决方案。2.学生能够运用函数新定义解决实际问题。3.学生能够与团队成员有效沟通，并共同改进方案。任务三：函数新定义的探究与创新教学目标：知识目标：深入理解函数新定义，能够进行函数。能力目标：提高创新能力和设计能力。情感态度价值观目标：培养探索精神和创新意识。教师活动：1.展示函数的实例，如新型材料设计、人工智能算法等。2.引导学生思考：“如何进行函数？”3.分组讨论，引导学生进行函数。4.组织学生展示设计，并进行评价和改进。学生活动：1.观察并分析函数的实例。2.分组讨论，进行函数。3.展示设计，并接受其他组的评价和反馈。4.根据评价和反馈改进设计。即时评价标准：1.学生能够提出具有创新性的函数设计方案。2.学生能够运用函数新定义进行。3.学生能够与团队成员有效沟通，并共同改进设计。任务四：函数新定义的拓展与深化教学目标：知识目标：拓展函数新定义的应用领域，深化对函数的理解。能力目标：提高拓展能力和深化能力。情感态度价值观目标：培养探索精神和深化意识。教师活动：1.展示函数新定义在不同领域的应用，如经济学、物理学等。2.引导学生思考：“函数新定义在哪些领域有应用？”3.分组讨论，引导学生探讨函数新定义在不同领域的应用。4.组织学生展示讨论成果，并进行评价和总结。学生活动：1.观察并分析函数新定义在不同领域的应用。2.分组讨论，探讨函数新定义在不同领域的应用。3.展示讨论成果，并接受其他组的评价和反馈。4.根据评价和反馈总结讨论成果。即时评价标准：1.学生能够了解函数新定义在不同领域的应用。2.学生能够探讨函数新定义在不同领域的应用。3.学生能够与团队成员有效沟通，并共同总结讨论成果。任务五：函数新定义的综合应用教学目标：知识目标：综合运用函数新定义解决实际问题。能力目标：提高综合应用能力和创新能力。情感态度价值观目标：培养综合应用能力和创新能力。教师活动：1.展示综合应用函数新定义的实例，如复杂工程问题、社会问题等。2.引导学生思考：“如何综合运用函数新定义解决这个实际问题？”3.分组讨论，引导学生综合运用函数新定义解决实际问题。4.组织学生展示方案，并进行评价和改进。学生活动：1.分析教师展示的实例。2.分组讨论，综合运用函数新定义解决实际问题。3.展示方案，并接受其他组的评价和反馈。4.根据评价和反馈改进方案。即时评价标准：1.学生能够综合运用函数新定义解决实际问题。2.学生能够提出具有创新性的解决方案。3.学生能够与团队成员有效沟通，并共同改进方案。第三、巩固训练基础巩固层练习一：完成以下函数新定义的相关填空题，确保学生掌握基本概念。函数是一种特殊的______关系，其中一个变量______另一个变量。函数的表示方法有______和______两种。练习二：根据函数的定义，判断以下说法是否正确，并说明理由。两个不同的函数可以具有相同的图像。如果一个函数的定义域是实数集，那么它的值域也一定是实数集。综合应用层练习三：分析以下实际情境，并运用函数新定义解决问题。一家商店的日销售额（y元）与销售员人数（x人）之间的关系可以表示为y=200x10x^2。当销售员人数为多少时，日销售额达到最大值？最大销售额是多少？练习四：结合之前学习的几何知识，探究函数新定义在几何中的应用。证明：如果一个点在直线y=kx+b上，那么它也满足函数关系y=kx+b。拓展挑战层练习五：设计一个函数，描述以下情境，并解释其合理性。一个物体的位移（s米）与时间（t秒）的关系。一个学生的成绩（G分）与学习时间（L小时）的关系。练习六：尝试将函数新定义与其他数学概念（如极限、导数）相结合，探索新的数学问题。分析函数f(x)=x^2在x=0附近的极限行为。即时反馈学生完成练习后，教师通过实物投影展示答案和解析。学生互评和教师点评，讨论解题思路和方法。展示优秀或典型错误样例，分析错误原因。第四、课堂小结知识体系建构引导学生使用思维导图或概念图，梳理函数新定义的相关知识点。要求学生总结函数的定义、性质、图像和应用。方法提炼与元认知培养回顾本节课解决问题的思维方法，如建模、归纳、证伪。提问：“这节课你最欣赏谁的思路？”悬念设置与作业布置提出开放性问题，如“函数在未来的数学研究中有哪些应用？”布置作业：必做：完成课后习题，巩固基础知识。选做：设计一个函数，描述你生活中的一个现象，并解释其合理性。小结展示与反思学生展示自己的知识网络图和核心思想。教师评估学生对课程内容整体把握的深度与系统性。六、作业设计基础性作业完成以下函数新定义的练习题，确保学生掌握基本概念和技能。1.填空题：函数是一种特殊的______关系，其中一个变量______另一个变量。2.判断题：如果一个函数的定义域是实数集，那么它的值域也一定是实数集。（）3.选择题：下列哪个图象表示一个函数？（）A.横轴上有两个不同的点对应同一个纵轴上的点B.纵轴上有两个不同的点对应同一个横轴上的点C.图象是一条连续的曲线D.图象是一条折线拓展性作业设计一个函数，描述以下情境，并解释其合理性。1.一个物体的位移（s米）与时间（t秒）的关系。2.一个学生的成绩（G分）与学习时间（L小时）的关系。分析以下实际情境，并运用函数新定义解决问题。1.一家商店的日销售额（y元）与销售员人数（x人）之间的关系可以表示为y=200x10x^2。2.当销售员人数为多少时，日销售额达到最大值？最大销售额是多少？探究性/创造性作业设计一个函数，描述你生活中的一个现象，并解释其合理性。尝试将函数新定义与其他数学概念（如极限、导数）相结合，探索新的数学问题。1.分析函数f(x)=x^2在x=0附近的极限行为。2.探讨函数在现实生活中的应用，如经济学、物理学等领域。七、本节知识清单及拓展1.函数新定义的概念：函数是一种特殊的关系，其中一个变量（自变量）的每一个值，都对应另一个变量（因变量）的唯一的值。理解函数新定义是学习函数性质和应用的基础。2.函数的表示方法：函数的表示方法包括列表法、解析式法和图象法。这三种方法各有特点，适用于不同的情境。3.函数的图像：函数的图像是函数关系的几何表示，通过图像可以直观地了解函数的性质，如单调性、奇偶性等。4.函数的性质：函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等。理解函数的性质有助于分析函数的变化规律。5.函数的应用：函数在物理学、经济学、生物学等领域有着广泛的应用。通过具体实例，了解函数在实际问题中的运用。6.函数新定义的应用：学习如何将现实世界中的问题转化为数学问题，并利用函数新定义进行解决。7.函数的极限：函数的极限是研究函数在某一变化过程中趋势的方法。理解极限的概念有助于深入理解函数的性质。8.导数：导数是函数在某一点处变化率的度量。学习导数有助于分析函数的变化趋势。9.函数的积分：积分是求函数在一定区间内的累积量。理解积分的概念有助于解决实际问题。10.函数的极值：函数的极值是函数在一定区间内的最大值或最小值。学习如何求函数的极值。11.复合函数：复合函数是由两个或多个函数复合而成的函数。理解复合函数的概念有助于分析复杂函数的性质。12.抽象函数：抽象函数是一种不依赖于具体数值的函数。学习抽象函数有助于提高数学抽象能力。13.函数的连续性：函数的连续性是指函数在某一区间内没有间断点。理解函数的连续性有助于分析函数的性质。14.函数的导数与积分的关系：导数和积分是互为逆运算的。学习这一关系有助于加深对函数的理解。15.函数在经济学中的应用：函数在经济学中用于描述经济变量之间的关系，如需求函数、供给函数等。16.函数在物理学中的应用：函数在物理学中用于描述物理量之间的关系，如位移函数、速度函数等。17.函数在生物学中的应用：函数在生物学中用于描述生物量之间的关系，如种群增长函数、遗传规律等。18.函数的离散化：在某些情况下，函数需要离散化处理，即将连续的函数转化为离散的函数。19.函数的数值解法：在无法得到函数解析解的情况下，需要使用数值解法来近似求解函数的值。20.函数的优化问题：在许多实际问题中，需要找到函数的最大值或最小值，这就是函数的优化问题。八、教学反思在本