高中数学（文）课时作业选修4－5不等式选讲62

课时作业62不等式的证明1．(2018·云南大理一模)已知函数f(x)＝|x|＋|x－3|.(1)解关于x的不等式f(x)－5≥x；(2)设m，n∈{y|y＝f(x)}，试比较mn＋4与2(m＋n)的大小解析：(1)f(x)＝|x|＋|x－3|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2x，x<0，,3，0≤x≤3，,2x－3，x>3.))f(x)－5≥x，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,3－2x≥x＋5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤3，,3≥x＋5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>3，,2x－3≥x＋5，))解得x≤－eq\f(2,3)或x∈∅或x≥8，所以不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))∪[8，＋∞)．(2)由(1)易知f(x)≥3，所以m≥3，n≥3.由于2(m＋n)－(mn＋4)＝2m－mn＋2n－4＝(m－2)(2－n)且m≥3，n≥3，所以m－2>0,2－n<0，即(m－2)(2－n)<0，所以2(m＋n)<mn＋4.2．(2018·南京二模)设a≠b，求证：a4＋6a2b2＋b4>4ab(a2＋b2证明：因为a4＋6a2b2＋b2－4ab(a2＋b2)＝(a2＋b2)2－4ab(a2＋b2)＋4a2b2＝(a2＋b2－2ab)2＝(a－b)4.又a≠b，所以(a－b)4>0，所以a4＋6a2b2＋b4>4ab(a2＋b2)．3．(2018·武汉调研)(1)求不等式|x－5|－|2x＋3|≥1的解集；(2)若正实数a，b满足a＋b＝eq\f(1,2)，求证：eq\r(a)＋eq\r(b)≤1.解析：(1)当x≤－eq\f(3,2)时，－x＋5＋2x＋3≥1，解得x≥－7，∴－7≤x≤－eq\f(3,2)；当－eq\f(3,2)<x<5时，－x＋5－2x－3≥1，解得x≤eq\f(1,3)，∴－eq\f(3,2)<x≤eq\f(1,3)；当x≥5时，x－5－(2x＋3)≥1，解得x≤－9，舍去．综上，－7≤x≤eq\f(1,3).故原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－7≤x≤\f(1,3))))).(2)证明：要证eq\r(a)＋eq\r(b)≤1，只需证a＋b＋2eq\r(ab)≤1，即证2eq\r(ab)≤eq\f(1,2)，即证eq\r(ab)≤eq\f(1,4).而a＋b＝eq\f(1,2)≥2eq\r(ab)，∴eq\r(ab)≤eq\f(1,4)成立．∴原不等式成立．4．(2018·河北质检)设函数f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))＋|x－a|(a>0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)<5，求a的取值范围．解析：(1)证明：由a>0，有f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))＋|x－a|≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)－x－a))＝eq\f(1,a)＋a≥2.所以f(x)≥2.(2)f(3)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,a)))＋|3－a|.当a>3时，f(3)＝a＋eq\f(1,a)，由f(3)<5得3<a<eq\f(5＋\r(21),2).当0<a≤3时，f(3)＝6－a＋eq\f(1,a)，由f(3)<5得eq\f(1＋\r(5),2)<a≤3.综上，a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(5),2)，\f(5＋\r(21),2))).5．(2018·贵州省适应性考试)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－5|，g(x)＝eq\r(1＋x2).(1)求f(x)的最小值；(2)记f(x)的最小值为m，已知实数a，b满足a2＋b2＝6，求证：g(a)＋g(b)≤m.解析：(1)∵f(x)＝|x－1|＋|x－5|，∴f(x)＝|x－1|＋|x－5|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－6x≥5,41<x<5，,6－2xx≤1))，∴f(x)min＝4.(2)证明：由(1)知m＝4.由柯西不等式得[1×g(a)＋1×g(b)]2≤(12＋12)[g2(a)＋g2(b)]，即[g(a)＋g(b)]2≤2(a2＋b2＋2)，又g(x)＝eq\r(x2＋1)>0，a2＋b2＝6，∴g(a)＋g(b)≤4(当且仅当a＝b＝eq\r(3)时取等号)．即g(a)＋g(b)≤m.[能力挑战]6．(2018·武汉市武昌调研考试)设函数f(x)＝|x－2|＋2x－3，记f(x)≤－1的解集为M.(1)求M；(2)求x∈M时，证明：x[f(x)]2－x2f(x)≤解析：(1)由已知，得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x≤2,3x－5，x>2)).当x≤2时，由f(x)＝x－1≤－1，解得x≤0，此时x≤0；当x>2时，由f(x)＝3x－5≤－1，解得x≤eq\f(4,3)，显然不成立．故f(x)≤－1的解集为M＝{x|x≤0}．(2)证明：当x∈M时，f(x)＝x－1，于是x[f(x)]2－x2f(x)＝x(x－1)2－x2(x－1)＝－x2＋x＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))