第26章二次函数章末复习课件-华东师大版（2012）数学九年级下册

一、本章知识框架图（核心脉络）

二、核心概念清单（精准辨析）1.二次函数的定义与构成概念定义关键特性易错提醒二次函数形如\(y=ax^2+bx+c\)（\(a、b、c\)为常数，\(a\neq0\)）的函数最高次项为2次，图像是抛物线易忽略\(a\neq0\)的前提（\(a=0\)时为一次函数）一般式\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）包含二次项、一次项、常数项一次项系数\(b\)、常数项\(c\)可为0（如\(y=2x^2\)是特殊二次函数）顶点式\(y=a(x-h)^2+k\)（\(a\neq0\)）直接体现抛物线顶点\((h,k)\)括号内为\(x-h\)，当\(h<0\)时符号易出错（如\(y=2(x+3)^2\)的顶点横坐标为-3）交点式\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)（\(a\neq0\)）直接体现抛物线与x轴交点\((x_1,0)、(x_2,0)\)仅当抛物线与x轴有交点时存在，\(x_1、x_2\)是对应一元二次方程的根项与系数二次项\(ax^2\)（系数\(a\)）、一次项\(bx\)（系数\(b\)）、常数项\(c\)\(a\)决定开口方向与宽窄，\(b\)影响对称轴位置，\(c\)是抛物线与y轴交点纵坐标混淆“项”与“系数”（如“一次项”是\(bx\)，“一次项系数”是\(b\)）2.抛物线的核心特征开口方向：由\(a\)的符号决定——\(a>0\)开口向上，\(a<0\)开口向下；\(|a|\)越大，开口越窄；\(|a|\)越小，开口越宽。对称轴：一般式中为直线\(x=-\frac{b}{2a}\)，顶点式中为直线\(x=h\)，是抛物线的“铅直对称轴”，对称点横坐标到对称轴距离相等。顶点：抛物线的最高点（\(a<0\)）或最低点（\(a>0\)），坐标为\(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)\)（一般式推导）或\((h,k)\)（顶点式），是最值点。与坐标轴交点：与y轴交点：恒为\((0,c)\)（代入\(x=0\)求解）；与x轴交点：解方程\(ax^2+bx+c=0\)，判别式\(\Delta=b^2-4ac\)决定交点个数（\(\Delta>0\)有2个，\(\Delta=0\)有1个，\(\Delta<0\)无交点）。三、核心性质与方法体系（操作指南）1.二次函数的图像性质（以一般式\(y=ax^2+bx+c\)为例）性质维度\(a>0\)（开口向上）\(a<0\)（开口向下）关键结论开口方向向上向下\(a\)的符号决定开口方向增减性对称轴左侧（\(x<-\frac{b}{2a}\)）y随x增大而减小；右侧（\(x>-\frac{b}{2a}\)）y随x增大而增大对称轴左侧（\(x<-\frac{b}{2a}\)）y随x增大而增大；右侧（\(x>-\frac{b}{2a}\)）y随x增大而减小增减性以对称轴为界，“左减右增”或“左增右减”最值顶点为最小值点，\(y_{\text{最小}}=\frac{4ac-b^2}{4a}\)顶点为最大值点，\(y_{\text{最大}}=\frac{4ac-b^2}{4a}\)最值在顶点处取得，无另一个极端值对称性若\((x_1,y)、(x_2,y)\)在抛物线上，则\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)同左对称点纵坐标相等，横坐标和为对称轴横坐标的2倍2.二次函数表达式的转化与求解（1）三种表达式的转化转化方向操作步骤示例（将\(y=2x^2+4x-1\)转化）一般式→顶点式1.提取二次项系数：\(a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\)；2.配方：\(a\left[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}\right]+c\)；3.整理为\(a(x-h)^2+k\)1.\(2(x^2+2x)-1\)；2.\(2[(x+1)^2-1]-1\)；3.\(2(x+1)^2-3\)（顶点\((-1,-3)\)）一般式→交点式1.解方程\(ax^2+bx+c=0\)得根\(x_1、x_2\)；2.代入\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)解方程\(2x^2+4x-1=0\)得\(x_1=\frac{-2+\sqrt{6}}{2}\)，\(x_2=\frac{-2-\sqrt{6}}{2}\)，故\(y=2\left(x-\frac{-2+\sqrt{6}}{2}\right)\left(x-\frac{-2-\sqrt{6}}{2}\right)\)顶点式/交点式→一般式展开、合并同类项\(y=2(x+1)^2-3=2(x^2+2x+1)-3=2x^2+4x-1\)（2）待定系数法求表达式（根据已知条件选择形式）已知条件选择表达式形式求解步骤任意三点坐标一般式\(y=ax^2+bx+c\)代入三点得三元一次方程组，解出\(a、b、c\)顶点坐标\((h,k)\)+另一点坐标顶点式\(y=a(x-h)^2+k\)代入顶点得\(k\)，再代入另一点求\(a\)与x轴交点\((x_1,0)、(x_2,0)\)+另一点坐标交点式\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)代入交点得\(x_1、x_2\)，再代入另一点求\(a\)3.二次函数与一元二次方程的关系本质关联：二次函数\(y=ax^2+bx+c\)中，令\(y=0\)，即转化为一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)；图像体现：方程的根是抛物线与x轴交点的横坐标，判别式\(\Delta\)对应交点个数：\(\Delta>0\)：方程有两个不等实根，抛物线与x轴有两个不同交点；\(\Delta=0\)：方程有两个相等实根，抛物线与x轴有一个公共点（相切）；\(\Delta<0\)：方程无实根，抛物线与x轴无交点；应用场景：求抛物线与x轴交点、判断函数值正负区间（如\(y>0\)时x的取值范围）。四、易错点与易混点辨析（避坑指南）1.概念与性质易错点误区1：认为“二次函数一定有一次项和常数项”纠正：一次项系数\(b\)和常数项\(c\)可为0，如\(y=3x^2\)（\(b=0,c=0\)）、\(y=2x^2-5\)（\(b=0\)）均为二次函数。误区2：对称轴公式记错，写成\(x=\frac{b}{2a}\)纠正：正确公式为\(x=-\frac{b}{2a}\)，符号易遗漏，可通过顶点式推导验证（如\(y=a(x-h)^2+k\)展开后\(b=-2ah\)，故\(h=-\frac{b}{2a}\)）。误区3：判断增减性时忽略“以对称轴为界”纠正：增减性不能仅凭\(a\)的符号判断，需分“对称轴左侧”和“右侧”，如\(a>0\)时，并非y随x增大而一直增大，而是右侧增大、左侧减小。2.表达式转化与求解易错点配方时符号错误：反例：将\(y=-x^2+2x+3\)配方时，误写为\(y=-(x^2+2x)+3\)（应为\(-(x^2-2x)+3\)）。正解：提取负号时，括号内各项需变号，正确配方为\(y=-(x-1)^2+4\)。待定系数法漏条件：反例：已知顶点\((2,1)\)求表达式时，仅设\(y=(x-2)^2+1\)，忽略\(a\)的系数（需另一个条件求\(a\)）。正解：应设\(y=a(x-2)^2+1\)，再代入已知点求\(a\)。3.实际应用易错点自变量取值范围忽略实际意义：反例：用二次函数求“长方形面积最值”时，未考虑边长为正数，导致x的取值范围包含负数。正解：结合实际场景（如长度、时间、数量为正）确定自变量取值范围，最值需在该范围内求解。混淆“最大值”与“最小值”：反例：\(a<0\)时（开口向下），误求“最小值”；\(a>0\)时（开口向上），误求“最大值”。正解：开口方向决定最值类型，\(a>0\)有最小值，\(a<0\)有最大值，均在顶点处取得。五、实战题型与解析（能力提升）题型1：概念与性质辨析题例题：下列关于二次函数\(y=-2x^2+4x-1\)的说法正确的是（

）A.开口向上B.对称轴为直线\(x=1\)C.顶点坐标为\((1,1)\)D.当\(x>1\)时，y随x增大而增大解析：A错误：\(a=-2<0\)，开口向下；B正确：对称轴\(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-2)}=1\)；C正确：代入\(x=1\)得\(y=-2+4-1=1\)，顶点\((1,1)\)；D错误：\(a<0\)，\(x>1\)（对称轴右侧），y随x增大而减小；答案：BC题型2：待定系数法求表达式例题：已知二次函数图像过点\((0,3)\)、\((1,0)\)、\((3,0)\)，求其表达式。解析：已知与x轴交点\((1,0)、(3,0)\)，设交点式\(y=a(x-1)(x-3)\)；代入\((0,3)\)：\(3=a(0-1)(0-3)\)→\(3=3a\)→\(a=1\)；展开得一般式：\(y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3\)；答案：\(y=x^2-4x+3\)（或交点式\(y=(x-1)(x-3)\)）题型3：实际问题与最值例题：某商店销售某种商品，每件成本为40元，售价为x元（\(50\leqx\leq80\)），每天销售量为\(-2x+200\)件。求每天的最大利润。解析：利润公式：利润=（售价-成本）×

销售量，即\(y=(x-40)(-2x+200)\)；整理为一般式：\(y=-2x^2+280x-8000\)（\(a=-2<0\)，开口向下，有最大值）；求对称轴：\(x=-\frac{280}{2×(-2)}=70\)（在\(50\leqx\leq80\)范围内）；计算最大值：\(y=(70-40)(-2×70+200)=30×60=1800\)；答案：每天的最大利润为1800元。题型4：二次函数与方程综合例题：已知二次函数\(y=x^2-2x-3\)，求：（1）与x轴交点坐标；（2）当\(y>0\)时x的取值范围。解析：求与x轴交点：令\(y=0\)，解方程(x2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】授课教师：

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章末复习第26章

二次函数aiTujmiaNg1.二次函数的概念一般地，形如

(a，b，c是常数，

)的函数，叫做二次函数．y＝ax2＋bx＋ca≠0[注意](1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当

b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数．2.二次函数的图象二次函数的图象是一条

，它是

对称图形，其对称轴平行于_____轴.抛物线轴y

(1)一般式：____________________；3.二次函数的表达式y=ax2+bx+c(a≠0)(2)顶点式：____________________；y=a(x-

h)2+k(a≠0)(3)交点式：

.y=a(x-

x1)(x

-

x2)

(a≠0)4.二次函数的平移一般地，平移二次函数

y＝ax2的图象可得到二次函数

y＝a(x－h)2＋k的图象．y＝ax2上、下平移y＝ax2左、右平移左、右平移上、下平移上、下移且左、右移[注意]抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律：左加右减，上加下减．二次函数

y=a(x−h)2+ky=ax2

+bx

+c开口方向对称轴顶点坐标最值a＞0a＜0增减性a＞0a＜05.二次函数的图象与性质：a＞0时开口向上a＜0时开口向下x=h(h，k)y最小

=ky最大

=k在对称轴左边

x↗y↗，在对称轴右边

x↗y↘

在对称轴左边

x↗y↘，在对称轴右边x↗y↗y最小=y最大=6.二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系：b2-4ac的符号二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的图象一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的根不等式

ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集不等式

ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集x2x1xyOOx1=x2xyOyxb2-4ac＞0b2-4ac＝0b2-4ac＜0x1，x2x1=x2=没有实数根x＜x1或

x＞x2x≠x1全体实数x1＜x＜x2无解无解考点一求抛物线的顶点、对称轴、最值例1

抛物线

y＝x2－2x＋3的顶点坐标为_______．【解析】方法一：配方，得

y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，

则顶点坐标为(1，2)．方法二：代入公式

，

，

则顶点坐标为(1，2)．(1，2)

解决此类题目可以先把二次函数

y＝ax2＋bx＋c配方为顶点式

y＝a(x－h)2＋k的形式，得到其对称轴是直线

x＝h，顶点坐标为(h，k)，当自变量范围没有限制时，其最值为

y＝k；也可以直接利用公式求解.方法归纳1.对于

y＝2(x－3)2＋2的图象，下列叙述正确的是

(

)A.顶点坐标为

(－3，2)

B.对称轴为

y＝3C.当

x≥3时，y随

x的增大而增大D.当

x≥3时，y随

x的增大而减小C针对训练yx考点二二次函数的图象与性质及函数值的大小比较例2二次函数

y＝-x2＋bx＋c的图象如图所示，若点

A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且

x1＜x2＜1，则

y1与

y2

的大小关系是

(

)A.y1≤y2

B.y1＜y2

C.y1≤y2

D.y1＞y2【解析】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是

x＝1，当

x＜1时，y随

x的增大而增大.∵x1＜x2＜1，∴y1＜y2.B

当二次函数的表达式与已知点的坐标中含有未知字母时，可以用如下方法比较函数值的大小：(1)用含有未知字母的代数式表示各函数值，然后进行比较；(2)在相应的范围内取未知字母的特殊值，采用特殊值法求解；(3)根据二次函数的性质，结合函数图象比较.方法总结2.下列函数中，当

x＞0

时，y

值随

x

值增大而减小的是（）

A.y=x2B.y=x-

1C.D.y=-3x2D针对训练例3已知二次函数

y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.其中正确的个数是

(

)A．1

B．2

C．3

D．4yx考点三

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠

0)的图象与系数

a，b，c的关系①abc＞0解析：由图象开口向下可得

a＜0，由对称轴在

y轴左侧可得

b＜0，由图象与

y轴交于正半轴可得

c＞0，

则

abc＞0，故①正确.yx②2a－b＜0由对称轴

x＞－1可得2a－b＜0，故②正确.③4a－2b＋c＜0由图象上横坐标为x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确由图象上横坐标为

x＝1的点在第四象限得

a＋b＋c＜0，由图象上横坐标为

x＝－1的点在第二象限得a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，所以(a＋c)2＜b2，故④正确.故选D.yx④(a＋c)2＜b2方法总结1.可根据对称轴的位置确定

b的符号：b＝0⇔对称轴是

y轴；a、b同号⇔对称轴在

y轴左侧；

a、b异号⇔对称轴在

y轴右侧.

这个规律可简记为“左同右异”.2.当

x＝1时，函数值

y＝a＋b＋c，当图象上横坐标

x＝1的点在

x轴上方时，a＋b＋c＞0；当图象上横坐标

x＝1的点在

x轴上时，a＋b＋c＝0；当图象上横坐标

x＝1的点在

x轴下方时，a＋b＋c＜0.同理，可由图象上横坐标

x＝－1，±2的点判断

a－b＋c，4a±b＋c

的符号.针对训练解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为由题意知，当

x＞1

时，y

的值随

x

值的增大而减小，∴抛物线的对称轴应在直线

x

=

1

的左侧.

3.已知二次函数

y

=－x2＋2bx＋c，当

x＞1

时，y

的值随

x

值的增大而减小，则实数

b

的取值范围是()A.b≥－1

B.b≤－1

C.b≥1

D.b≤1DxyOb1∴

b≤1.如图所示.考点四抛物线的几何变换例4将抛物线

y＝x2－6x＋5

向上平移2

个单位长度，再向右平移

1

个单位长度后，得到的抛物线解析式是

(

)A．y＝(x－4)2－6B．y＝(x－4)2－2C．y＝(x－2)2－2D．y＝(x－1)2－5【解析】因为

y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的解析式为

y＝(x－3－1)2－4＋2，即

y＝(x－4)2－2.故选B.B4.若抛物线y=－7(x+4)2－1平移得到y=－7x2，则可以（）A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位B针对训练考点五二次函数表达式的确定例5已知关于

x的二次函数，当

x=-1时，函数值为10；当

x=1时，函数值为4；当

x=2时，函数值为7.求这个二次函数的表达式.待定系数法解：设所求的二次函数为

y=ax2+bx+c，由题意得解得a=2，b=-3，c=5.∴所求的二次函数表达式为

y=2x2

-

3x+5.方法总结1.若已知图象上的任意三个点，则设一般式求表达式；2.若已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最值时，则可设顶点式求表达式，最后化为一般式；3.若已知二次函数图象与

x轴的交点坐标为(x1，0)、(x2，0)时，可设交点式求表达式，最后化为一般式.5.已知抛物线

y=ax2

+bx+c

与抛物线

y=－x2－3x+7

的形状相同，顶点在直线

x=1上，且顶点到

x轴的距离为5，请写出满足此条