南洋中学高一年级数学学科12月学习能力诊断测试题（答案版）

南洋中学高一年级数学学科12月学习能力诊断测试题（满分120分，考试时间100分钟）一、填空题（本大题共有12题，满分48分）考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1.已知全集，集合，则______.【答案】A=[−3,+∞)2.已知，则“xy=0”是“”的______条件.【答案】必要不充分.3.函数的严格递减区间是______.【答案】(−∞,0)和(0,+∞).4.已知，则______时，的值最小.【答案】.5.函数的零点为______.【答案】2.6.幂函数的图像与轴、轴均无公共点，则实数的取值范围是______.【答案】.7.方程的解集为______.【答案】或，所以解集为.8.已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围为______.【答案】.9.关于的不等式的解集为，则关于不等式的解集为______.【答案】且，于是有.10.已知函数，若，则实数的取值范围是______.【答案】在上是严格增函数，于是，解答.11.设函数()的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则实数______.【答案】的定义域和值域的“长度”相同，即，.12.设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数.如果定义域为的函数是奇函数，当时，，且为上的4高调函数，那么实数的取值范围是______.【答案】二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题卷的相应编号上，将代表正确选项的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分.13.如果，那么下列不等式中成立的是（）. A. B. C. D.【答案】，故选A14.下列函数中，在区间上是严格减函数的为（）. A. B. C. D.【答案】B15.向高为的水瓶中注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系如图所示，那么水瓶的形状是（）.【答案】随着水深的增加，体积增加得越来越少，故选B16.已知函数，记集合，集合，若，且A，B都不是空集，则的取值范围是（）. A. B. C. D.【答案】，故，，当时，满足，成立；当时，由于都不是方程的根，故，因此，故选A三、解答题（本大题共有5题，满分56分）解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分）设集合，.（1）写出集合的所有子集；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），子集有（2），若，即，此时，满足题意；若，即，此时，满足题意；若，即，此时应有所以或.18.（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分）共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用.据市场分析，每辆单车的营运累计利润（单位：元）与营运天数满足.（1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围；（2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润最大？【答案】（1）令，所以营运天数的取值范围是40天至80天.（2），等号当且仅当，即时成立，所以每辆单车营运40天，能使每天的平均营运利润最大.19.（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分）已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围.【答案】（1），所以所求解集为.（2）只有一个正根，若，满足题意；当时，若，此时方程的解为，满足题意；若Δ>0，即a>−18，综上，或20.（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）若集合存在正实数，使得定义域内任意都有.（1）若，证明：；（2）若，且，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）对任意的，有，.21.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分）设函数（为正整数，b，c为实数）.（1）当，求函数在区间上的零点；（2）设，求证：函数在区间上有且只有一个零点；（3）设，若对任意，都有，求的取值范围.【答案