辽宁省七校协作体2025-2026学年高二上学期12月联考数学试卷（含答案）

辽宁省七校协作体2025-2026学年高二上学期12月联考数学试卷一、单选题1．直线的倾斜角为（

）A． B．C．1 D．不存在2．若直线与直线平行，则实数a的值为（）A．0 B．1 C． D．3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的焦距为A． B． C． D．4．与圆：和圆：都相切的直线有（

）条A．1 B．2 C．3 D．45．已知底面边长为2的正四棱柱的体积为，则直线与所成角的余弦为（

）A． B． C． D．6．从抛物线上一点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，若是正三角形，则（

）A． B．1 C． D．27．若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（

）A．5 B．5 C． D．4二、多选题9．以下四个命题表述正确的是（

）A．直线恒过定点B．已知实数，满足，则的最小值为C．已知椭圆的左､右焦点分别为､，点在椭圆上，若，则的面积为D．已知，，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是或10．已知平面的一个法向量为，，，则（

）A．若与共线，则B．向量在向量上的投影向量为C．点到平面的距离为D．直线与平面所成角的余弦值为11．过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点在线段上，若，且为原点则下列说法正确的是（

）A．B．以为直径的圆与准线相切C．直线斜率为D．三、填空题12．若直线过直线和的交点，且在轴的截距是轴截距的2倍，则直线的方程是.13．已知，若四点共面，则.14．已知椭圆和双曲线焦点相同，是它们的公共焦点，是椭圆和双曲线的交点，椭圆和双曲线的离心率分别为和，若，则.四、解答题15．已知圆：，若直线：与圆相交于两点，且．(1)求圆的方程；(2)求过点且与圆相切的直线的方程．16．如图，正方形和直角梯形所在平面互相垂直，，，且，．(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值．17．已知双曲线的离心率为，实轴长为2.(1)求双曲线的标准方程；(2)是否存在过点的直线与双曲线交于两点，且满足（其中为坐标原点）若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由.18．如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，.

(1)求证：平面；(2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；(3)线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点满足直线AW与BW的斜率之积为．记W的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；(2)已知直线l与C交于M，N两点，与圆交于P，Q两点，若不重合的两条直线与分别平分线段MN，PQ．①求证：为定值；②已知直线与曲线C交于E，G两点，与曲线C交于D，F两点，，求四边形EFGH面积的最大值．

1．B根据倾斜角的概念即可求解.【详解】直线垂直于轴，故倾斜角为．故选：B2．B由题意得，解出来并检验即可.【详解】由题意得，，解得，当时，两直线均为（重合），经检验满足题意.故选：B.3．C【详解】由题意得，选C.4．C先判断两圆的位置关系，进而得出结果.【详解】因为圆的圆心坐标为，半径为2；圆的圆心坐标为，半径为3，所以，所以两圆相外切.所以与两圆都相切的直线有3条.故选：C.5．D根据异面直线所成角及余弦定理即可求解.【详解】如图，连接，则，正四棱柱的体积为，则，则，则为异面直线与所成角，则，，故.故选：D

6．D设，由，列出关系式求出，即可求出.【详解】设，，，因为是正三角形，所以，因为，所以即，又因为，解得或（舍），所以.故选：D.

7．D根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系，利用数形结合作出图象进行研究即可.【详解】因为，可知直线过定点，由曲线，两边平方得，则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点），当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点，此时，解得，当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点，圆心到直线的距离，解得，要使直线与曲线恰有两个交点，则直线夹在两条直线之间，因此，即实数的取值范围为.故选：D.8．B根据椭圆的定义可得，然后化简，要求的最大值，即求的最大值，当三点共线时，的最大值为，最后根据圆外一点到圆上一点距离的最大值即可得到结果.【详解】根据椭圆方程可得：，所以，故点为椭圆的焦点，设另一个焦点为，设圆的圆心为，其半径为，所以，所以，要求的最大值，即求的最大值，因为，所以当三点共线时，的值最大为，而的最大值为，所以的最大值为.故选：B.9．AC对于A，将直线化为求定点判断，对于B，根据题设确定的几何意义，进而数形结合求其最小值，对于C，由余弦定理及椭圆的定义可得，再应用三角形面积公式求面积判断，对于D，由两点式求线段与直线相交情况下直线的斜率范围，进而确定不相交对应的斜率范围判断.【详解】对于A：由题设，直线可化为，联立，则其恒过定点，所以A对；对于B：由的圆心为，半径为，而表示圆上点与原点所成直线的斜率，如下图示，由图知，的范围是以过原点的两条切线的斜率为上下界，即，故，所以最小值为，所以B错误；对于C：由题意，且，又，则，所以，则，即，所以的面积为，所以C正确；对于D：由题设，由图知，过点的直线与线段相交，则直线斜率，过点的直线与线段不相交，故，所以D错.故选：AC.10．AB利用法向量定义可求得，根据共线向量定义可构造方程组求得的值，知A正确；根据投影向量的求法可求得B正确；根据点面距离的向量求法可求得C错误；根据线面角的向量求法可求得D错误.【详解】因为平面，则，可得，解得，即.对于选项A：若与共线，则存在实数，使得，可得，解得：，所以，故A正确；对于选项B：在上的投影向量为，故B正确；对于选项C：点到平面的距离，故C错误；对于选项D：因为直线与平面所成角为，则，可得，所以直线与平面所成角的余弦值为，故D错误.故选：AB.11．ABD根据题意作图，利用抛物线的定义，结合直角三角形的性质以及圆与直线的位置关系，可得答案.【详解】由题意，不妨设在第一象限，分别过作垂直于准线，垂足分别为，作图如下：对于A，由图可知，，在中，由，则，易知，在中，，由，则为线段的中点，即在中，，所以，故A正确；对于B，由A易知，由，则，即，所以以为直径的圆的半径，在直角梯形中，中位线的长度为，则以为直径的圆的圆心到准线的距离，故B正确；对于C，由A可得，则直线的倾斜角为，即斜率为，当在第四象限时，同理可得斜率为，故C错误；对于D，，故D正确；故选：ABD.12．或先求出交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况，求出直线方程.【详解】联立，解得，故交点坐标为，当在轴的截距与在轴的截距为0时，设直线方程为，将代入得，解得，故直线的方程为；当在轴的截距与在轴的截距不为0时，设直线方程为，将代入得，解得，故直线方程为，即，所以直线的方程为或.故答案为：或13．/根据空间向量共面定理，可设，根据对应坐标相等求得【详解】由四点共面，可知存在实数m，n，使得，即，则有，解得故答案为：14．设椭圆相关参数为，双曲线相关参数为，，利用椭圆、双曲线定义可得，且，再应用余弦定理可得，进而求目标式的值.【详解】设椭圆相关参数为，双曲线相关参数为，，则，则，且，则，所以，且，又，则，所以，则，即，所以.故答案为：415．(1)(2)或（1）根据圆的弦长公式，得到，求得，即可求得圆的方程；（2）当直线斜率不存在时，的方程为，满足题意；直线斜率存在时，设的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，求得的值，即可求解.【详解】（1）解：设圆心到直线的距离为，则，即，又，所以，故圆的方程为．（2）解：当直线斜率不存在时，的方程为，恰好与圆相切，满足题意；直线斜率存在时，设的方程为，即，则圆心到直线的距离为，解得，此时直线的方程为，即，综上，直线的方程为或．16．(1)证明见解析；(2)（1）先由证得∥平面，同理证得∥平面，进而证得平面∥平面，即可证得平面；（2）先证得两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，由向量夹角余弦公式即可求解.【详解】（1）由正方形的性质知：，又平面，平面，∥平面，，平面，平面，∥平面，，平面，平面∥平面，平面，平面；（2）平面平面，平面平面，平面，则平面，又，则平面，又，则两两垂直，以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，由得：，则，设平面的法向量为，则，取得，又易得平面的一个法向量为，则，又二面角为锐角，则二面角的余弦值为.17．(1)(2)不存在，理由见解析（1）由椭圆的几何性质和离心率公式即可求解；（2）设直线方程为，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理即可求解.【详解】（1）由实轴长为2可得，得；再由离心率，得，所以，可得双曲线的标准方程为.（2）如下图所示：显然直线斜率存在，设直线方程为，设，联立，整理可得，显然，且，解得；可得，，所以，即，解得.不满足且，不合题意；因此不存在满足.18．(1)证明见解析(2)(3)存在，（1）由中位线和垂直关系得到，，从而得到线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值；（3）求出两平面的法向量，根据二面角的正弦值列出方程，求出，得到答案.【详解】（1）因为，分别为，的中点，所以.因为，所以，所以.又，，平面，所以平面.（2）因为，，，所以，，两两垂直.以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

依题意有，，，，，，则，，，.设平面的法向量，则有令，得，，所以是平面的一个法向量.因为，所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）假设存在，使二面角的正弦值为，即使二面角的余弦值为.由（2）得，，所以，，.易得平面的一个法向量为.设平面的法向量，，解得，令，得，则是平面的一个法向量.由图形可以看出二面角的夹角为锐角，且正弦值为，故二面角的余弦值为，则有，即，解得，.又因为，所以.故存在，使二面角的正弦值为19．(1)曲线C是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为(2)①证明见解析；②【详解】（1）直线AW的斜率为，直线BW的斜率为，由题意可知：，