江苏省百校2026届高三上学期12月联考数学试卷（含答案）

江苏省2026届百校高三上学期12月联考数学试题一、单选题1．已知集合，则中元素的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若复数z满足（i是虚数单位），则（

）A． B． C． D．4．在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为（

）A．32 B．64 C． D．6．已知抛物线的焦点为是C上一点，对于x轴上一点，都有，则t的取值范围为（

）A． B． C． D．7．将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原来的图像重合，当时，，则（

）A． B．2 C． D．8．一个棱长为2的正方体内有一个内切球，若球与正方体的三个面和球相切，球与正方体的三个面和球相切，依次类推，球与正方体的三个面和球相切，设球的半径为，体积为，则下列结论不正确的是（

）A． B．数列为等比数列C． D．二、多选题9．记等差数列的前n项和为，公差为d，若，则（

）A． B．成等比数列C．没有最小值 D．10．已知双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与该双曲线交于两点，且点在第三象限，轴于点，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．的最小值为4C．D．若，则内切圆的周长为11．已知定义在复数集C上的函数，，其中为虚数单位，记的模为，则（

）A．B．C．的实部的最大值为D．三、填空题12．4人站成一排，其中甲不站在两边的排法种数为．13．已知圆台的上底面半径为2，母线与底面所成角的余弦值为，该圆台的体积为，则该圆台的母线长为．14．已知椭圆的上顶点和右焦点分别为，动点P在直线上，外接圆的半径为r，当r取得最小值时，的面积为．四、解答题15．已知的内角的对边分别为，且．(1)求A；(2)若，求b的大小．16．教育部办公厅要求中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动、家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素，了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力．某学校为了了解学生的身体健康与身体素质状况，随机抽取了50名同学的体测结果（“合格”或“优秀”），统计数据如下表：性别体测结果合计合格优秀男生22830女生61420合计84250(1)能否有的把握认为体测结果与性别有关？(2)用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从男、女生中抽取一个性别，然后再从选好的性别中随机抽取1名学生的体测结果，已知抽出的学生体测结果是“优秀”，求这名学生是男生的概率．附：，其中．0.10.010.0012.7066.63510.82817．在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，是的中点，点分别在线段与上（不含端点），且．(1)证明：平面．(2)求平面与平面的夹角大小．(3)若平面，求的最小值．18．已知函数．(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)若对任意恒成立，求a的取值范围；(3)证明：．19．已知曲线，两曲线的离心率均为，其中分别是的左、右顶点．(1)分别求的方程．(2)已知Q是上一点，分别交直线和于两点，以为直径的圆记为圆D．（i）判断圆D是否过定点．若过定点，求出定点的坐标；若不过，请说明理由．（ii）P是上一点，当圆D的面积最小时，过点P作圆D的两条切线，切点为，求面积的取值范围．

参考答案1．B【详解】由，则.故选：B.2．D【详解】由，则，当时，成立，故“”是“”的不充分条件；由当，显然，但，即不成立，故“”是“”的不必要条件.综上所述“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.3．A【详解】由得，所以，故选：A.4．C【详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设则，，所以，设，则，所以，所以，因为，所以，即的取值范围是，故选：C.5．A【详解】因为，所以，解得，设，则当时，，故选：A.6．B【详解】因为抛物线的焦点为，所以，解得，所以抛物线.设，则对，，整理得，所以因为，所以，所以，又，所以的取值范围为，故选：B.7．D【详解】由函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原来的图像重合，则是函数的一个周期，所以，化简可得，其中，由，则，可得，令，解得，其中，所以函数的对称中心为，其中，令，化简可得，则故函数在上的对称中心为，由，则，则函数在上单调递减，由，且，则，即，所以.故选：D.8．C【详解】因为正方体棱长为，所以内切球的半径（内切球直径等于正方体棱长）,对于球：球与正方体的三个面相切，故其球心坐标为；球与球相切，两球心距离为，该距离等于，由此得到递推关系：，整理得，所以是首项，公比的等比数列.对于A：，A正确；对于B：以上已证明，B正确；对于C：等比数列前项和，因为，所以，所以，C错误；对于D：球的体积，，因为是首项为，公比为的等比数列，所以所以，D正确；故选：C.9．ABD【详解】对于A，设等差数列的公差为，因为，可得，解得，所以A正确；对于B，数列的通项公式为，可得，则满足，所以成等比数列，所以B正确；对于C，由等差数列的前项和公式，可得，所以当时，取得最小值，所以C不正确；对于D，由等差数列的性质，可得，则，所以D正确.故选：ABD.10．BCD【详解】由题意可知，，则，所以，即，两点关于原点对称，且点在第三象限，设，则.选项A，因为两点关于原点对称，所以原点是的中点，若，则，所以，且，所以，得，，不可能，所以无法取到，所以A错误；选项B，由双曲线的定义可知，，所以，因为轴于点，则，且，当且仅当时取等，所以，所以B正确；选项C，因为，又渐近线的斜率为，所以，所以，所以C正确；选项D，已知，设内切圆的半径为，则三角形面积，又，，则，而，则，所以内切圆的周长为，所以D正确.故选：BCD.11．AD【详解】对于A，由，所以，所以A正确；对于B，由函数，代入，可得，可得因为为含有的虚数，而为实数，所以不能比较大小，所以B不正确；对于C，由的实部为，可得由函数在上为单调递增函数，当时，取得最大值，所以C错误；对于D，由，可得，所以，取，可得，因为，此时满足，即成立，所以D正确.故选：AD.12．【详解】由题意知，人站成一排，若甲不站在两边，则甲有种站法，其余人，有种站法，由分步乘法计数原理，共有种不同的站法.故答案为：.13．/【详解】如图，由题意可知，，则，过点作，垂足为，设，则在中，，圆台上底面面积，下底面面积，则圆台的体积，化简得，所以，则，，在中，，所以该圆台的母线长为.故答案为：.14．2【详解】由椭圆的方程，得，所以，，所以，，设，圆心，则圆的标准方程为，所以，整理得，所以，所以，所以由，，所以当时，最小，此时，所以，所以.故答案为：215．(1)(2)【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，即，即即，所以，又因为为三角形的内角，可得，所以，因为，所以，所以.（2）解：由（1）知，且，根据正弦定理知，可得，因为，所以，所以为直角三角形，所以.16．(1)能有的把握认为体测结果与性别有关(2)【详解】（1）由题意可得，则，故能有的把握认为体测结果与性别有关.（2）设{抽取的一人为优秀}，{抽取的一人为男生}，则{抽取的一人为合格}，{抽取的一人为女生}，可得，，，，所以，故.17．(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）取的中点，连接，因为分别为的中点，所以且，又且，则且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）因为点在线段上，则平面即为平面，因为平面，，则两两垂直，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，则，，，设平面的法向量为，则，令，则，，则，设平面的法向量为，则，令，则，，则，设平面与平面的夹角为，则，又，所以，所以平面与平面的夹角为，即平面与平面的夹角大小为.（3）设点，则，，由得，则，则，同理，由可得，则，设平面的法向量，因为，，所以，令，则，，则，由平面得，化简可得，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.18．(1)；(2)；(3)证明见解析.【详解】（1）当时，，，即切点坐标为，又可得，即切线斜率为，所以曲线在处的切线方程为，即；（2）当时，若单调递减，则满足条件，因此需在恒成立，即在恒成立，所以设，则当时，恒成立（当且仅当时取等号），所以在单调递增，所以，所以，得；当时，，，所以存在，，则当时，，单调递增，此时，不满足条件，综上可知，实数的取值范围为.（3）由（2）可知，当时，在单调递减，且时，，即，令，则，所以，即，所以.19．(1)曲线，曲线；(2)（i）圆过定点；（ii）【详解】（1）因为，则，可知曲线的焦点在轴上，曲线的焦点在轴上；对于曲线，，解得：；对于曲线，，解得：；即，所以曲线，曲线.（2）（i）