《角平分线》数学课件

第一章

三角形的证明角平分线第2课时知识回顾角的平分线的性质角的平分线的判定

图形

已知条件

结论PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOB获取新知思考

分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？三角形的三条角平分线交于三角形内部一点例题讲解例1

求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC，的垂线，垂足分别为D，E，F.求证：∠A的平分线经过点P，且PD＝PE＝PF.D

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cD

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AP是∠BAC的平分线BP是∠ABC的平分线PI=PHPG=PIPH=PG点P在∠BCA的平分线上证明三者的结论，通常假设两者已经成立，问题转化为第三者也成立证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，且PD丄AB，PE丄BC，垂足分别为D，E，∴PD＝PE(角平分线的性质).同理，PE＝PF．∴PD＝PE＝PF.∴点P在∠A的平分线上(角平分线的判定)，

即 ∠A的平分线经过点P.D

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例2

如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE丄AB垂足为E,(1)已知CD＝4cm，求AC的长；(2)求证：AB＝AC＋CD.EDABC解：∵AD是△ABC的角平分线，DC丄AC，DE丄AB垂足为E，∴DE＝CD＝4cm(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC，(等边对等角).∵∠C＝90°，∴∠BDE＝90°－45°＝45°.∴BE＝DE(等角对等边).在等腰直角三角形BDE中，∴AC＝BC＝CD＋BD＝EDABC(2)证明：由(1)的求解过程易知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴

AC＝AE(全等三角形的对应边相等)∵

BE＝DE＝CD，∴

AB＝AE＋BE＝AC＋CD.随堂演练1.三角形中,到三边距离相等的点是 (

)A.三条高线所在直线的交点B.三条中线的交点C.三条角平分线的交点D.三边的垂直平分线的交点C2.已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB.下列确定P点的方法正确的是(

)A．P为∠A与∠B的平分线的交点B．P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点C．P为AC，AB两边上的高的交点D．P为AC，AB两边的垂直平分线的交点B3.如图，在△ABC中，∠A＝100°，若∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC＝______．140°4.如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝_______.4:5:65.如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M,N.求证:PM=PN.证明:∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠CBD.在△ABD和△CBD中,∵AB=CB,∠ABD=∠CBD,BD=BD,∴△ABD≌△CBD,∴∠ADB=∠CDB.∵点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN.6.如图,直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的