吉林省白城市实验高级中学2024-2025学年高二上学期12月期末数学试题（含答案）

第第页吉林省白城市实验高级中学2024-2025学年高二上学期12月期末数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．直线xa−yA．b B．−b C．b D．±b2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于（）A．120° B．30° C．60° D．60°或30°3．产品质检实验室有5件样品，其中只有2件检测过某成分含量.若从这5件样品中随机取出3件，则恰有2件检测过该成分含量的概率为（）A．35 B．310 C．254．某银行为客户定制了A，B，C，D，E共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如下的统计图：用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（）A．44~56周岁人群理财人数最多B．18~30周岁人群理财总费用最少C．B理财产品更受理财人青睐D．年龄越大的年龄段的人均理财费用越高5．已知直线l经过点P(−1，2)，且倾斜角为135°A．x+y−3=0 B．x+y−1=0 C．x−y+1=0 D．x−y+3=06．下列选项中的曲线与x2A．x224−yC．y226−x27．已知直线5x+12y−3=0与直线10x+my+20=0平行，则它们之间的距离是（）A．1 B．2 C．12 8．设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为A．1,76 B．102,+∞ 二、多项选择题（本大题共4小题．每题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9．下列说法正确的有（）A．直线x−y−2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2B．直线y=x+1在x轴上的截距为1C．过x1,D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为−10．在正方体ABCD−A1B1C1DA．m=12 B．m=−12 C．11．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1−α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1−β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为(1−α)B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为βC．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为βD．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率12．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A．两条不重合直线l1,l2B．直线l的方向向量a=(1,−1,2)，平面α的法向量是u=(6,4,−1)C．两个不同的平面α，β的法向量分别是u=(2,2,−1),vD．直线l的方向向量a=(0,3,0)，平面α的法向量是u=(0,−5,0)三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．两直线2x-3y-12=0和x+y-1=0的交点为，经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为或．14．甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5：4：6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%15．已知直线l：m+1x+1−my−2=0被动圆C：x−n16．已知椭圆C：x24+y29=1四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线（1）求椭圆C的方程；（2）不过点F2的直线l：y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A，B两点.①若k2=12，且S△AOB=2②若x轴上任意一点到直线AF2与BF2距离相等，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.18．一名大学生尝试开家“网店”销售一种学习用品，经测算每售出1盒该产品可获利30元，未售出的商品每盒亏损10元.根据统计资料，得到该商品的月需求量的频率分布直方图如图所示，该同学为此购进180盒该产品，以x(单位：盒，100≤x≤200)表示一个月内的市场需求量，y(单位：元)表示一个月内经销该产品的利润.（1）根据直方图估计这个月内市场需求量x的平均数；（2）将y表示为x的函数；（3）根据直方图估计这个月利润不少于3800元的概率(用频率近似概率).19．在路边安装路灯，路宽23m，灯杆长2.5m，且与灯柱成120°角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，当灯柱高h约为多少米时，灯罩轴线正好与道路路面的中心线相交？（精确到0.01m）20．已知以点Ct,2tt>0为圆心的圆经过原点O，且与x轴交于点A，与（1）求证：△AOB的面积为定值．（2）设直线2x+y−4=0与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆（3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点21．已知点(2,3)在双曲线C:x（1）双曲线上动点Q处的切线交C的两条渐近线于A,B两点，其中O为坐标原点，求证：△AOB的面积S是定值；（2）已知点P(12,1)，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M､N，在线段MN上取异于点M､N的点H，满足PM22．设椭圆E的方程为x2a2(0  ，    b（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为(0  ，

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：直线xa−yb=1化为xa+故答案为：B．【分析】将直线方程化为截距式判断即可.2．【答案】B【解析】【解答】设直线l与平面α所成的角为θ，则θ=120°−90°=30°，故答案为：B．【分析】因直线方向向量与平面的法向量的夹角为120°，所以线面角为30°．3．【答案】B【解析】【解答】解：设5件样品为A1,A从5件样品抽取3件样品的所有可能为：A1A2A其中满足题意的可能有：A1故满足题意的概率P=3故答案为：B.【分析】设5件样品为A1,A4．【答案】B【解析】【解答】解：A、由扇形统计图可知：44~56周岁人群理财人数所占比例是37%，

是最多的，故A正确；B、设总人数为a，则18~30周岁人群的人均理财费用约为0.28a×3500=980a，31~43周岁人群的人均理财费用约为0.3a×4500=1350a，44~56周岁人群的人均理财费用约为0.37a×5500=2035a，57周岁人群的人均理财费用约为0.05a×6200=310a，所以57周岁及以上人群的人均理财费用最少，故B错误；C、由条形图可知：B理财产品更受理财人青睐，故C正确；D、由折线图知：年龄越大的年龄段的人均理财费用越高，故D正确.故答案为：B.【分析】根据扇形图即可判断A；设总人数为a，按照扇形图得到各段人数，再由折线图求解即可判断B；利用条形图即可判断C；利用折线图即可判断D.5．【答案】B【解析】【解答】直线l倾斜角为135°，则斜率为-1，且经过点P(直线l方程为y−2=−(x+1)，即x+y−1=0.故答案为：B【分析】由倾斜角求出斜率，写出直线方程的点斜式，化成一般式即可.6．【答案】D【解析】【解答】解：易知双曲线x212−A、方程x224−y2B、y224−x212=1D、x210−故答案为：D.【分析】判断双曲线的焦点位置以及c27．【答案】A【解析】【解答】解：直线5x+12y−3=0与直线10x+my+20=0平行，则510=12则直线10x+24y+20=0，即5x+12y+10=0，即两条平行线间的距离公式得d=−3−10故答案为：A.【分析】根据两直线平行求出m的值，再利用平行间的距离公式求解即可.8．【答案】A【解析】【解答】解：令x=c代入双曲线的方程可得y=±b⋅c2a因为F2Q>F2A，所以3a又|PF1|+|PQ|>由双曲线的定义，可得PF1=2a+PF2，由F2,P,Q共线时，PF2+即有e=ca<76②，由e>1，结合故答案为：A.【分析】由题意，将x=c代入双曲线方程，求得点A的纵坐标，由F2Q>F2A，结合a,b,c和离心率公式可得e的范围，再由双曲线的定义，讨论F2,P,Q共线时，9．【答案】A,D【解析】【解答】解：对于A中，由直线x−y−2=0与两坐标轴交于点(2,0),(0,−2)，

故与两坐标轴围成的三角形的面积是2，故A正确，对于B中，由直线y=x+1过(−1,0)，在x轴上的截距为−1，故B错误，对于C中，当x1=x对于D中，由题意得直线的方向向量为(−3,2)，故直线的斜率为−2故选：AD.【分析】本题主要考查了直线方程的概念及应用，由直线与坐标轴的交点，结合三角形的面积公式，可判定A正确；由直线y=x+1过(−1,0)，可判定B错误，由直线的两点式方程的概念，可判定C错误；由直线的方向向量为(−3,2)，结合直线的斜率，可判定D正确.10．【答案】A,D【解析】【解答】解：在正方体ABCD−A1B1C所以AF=所以m=12，−n=1故选：AD.【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到AF⃗=AD⃗+11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：对于A，依次发送1，0，1，

则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，因为它们相互独立，所以所求概率为(1−β)(1−α)(1−β)=(1−α)(1−β)对于B，因为三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，

则依次收到l，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，因为它们相互独立，则所求概率为(1−β)⋅β⋅(1−β)=β(1−β)对于C，因为三次传输，发送1，

则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，又因为它们互斥，由选项B可知，

则所求的概率为C3对于D，由选项C可知，三次传输，发送0，

则译码为0的概率P=(1−α)2(1+2α)，单次传输发送0，

则译码为0的概率P因此P−P'=故答案为：ABD.【分析】利用相互独立事件乘法求概率公式计算，则判断选项A和选项B；利用相互独立事件和互斥事件求概率公式，从而计算判断出选项C；求出两种传输方案的概率并作差比较，则判断选项D，从而找出正确的选项.12．【答案】A,C【解析】【解答】解：对于A中，由a=(2,3,−1),b=(−2,−3,1)，得a=−b，所以a对于B中，假设a//u，则存在唯一得实数λ，使得a=λu，即(1,−1,2)=(6λ,4λ,−λ)，

所以对于C中，因为u⋅v=−6+8−2=0，所以u对于D中，因为a⋅u=−15故选：AC．【分析】由a=−b，得到a//b，可判定A正确；由a=λu，列出方程组，根据方程组的解，可判定B错误；由13．【答案】（3，-2）；2x+3y=0；x+y-1=0【解析】【解答】解：联立2x−3y−12=0x+y−1=0，解得x=3则两直线2x−3y−12=0和x+y−1=0的交点为3,−2；当直线l过原点时，直线方程为y=−23，即当直线l不过原点时，设直线方程为x+y=a，则3−2=a，即a=1，则直线方程为x+y−1=0，故经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为2x+3y=0或x+y−1=0.故答案为3,−2；2x+3y=0；x+y−1=0.【分析】联立两直线方程求交点坐标即可；分类讨论直线过原点与不过原点的情况，求解直线方程即可.14．【答案】120；【解析】【解答】第一空：由分步乘法原理得三个球都是黑球的概率为：40%×25%×50%=120；

第二空：由三个盒子总数之比为5：4：6，可设三个盒子中球的数量分别为5x，4x，6x，则总球数为：15x；

黑球总数为5x×40%+4x×25%+6x×50%=6x，

∴白球的数量为9x，故任取一球是白球的概率为：9x15x=315．【答案】2x−y−1=0【解析】【解答】解：直线l:m+1x+1−my−2=0由x−y=0x+y−2=0，解得x=1y=1，则直线恒过定点易知动圆C：x−n2+y−2n2=9动圆圆心C在定直线l'：y=2x要使直线l被截得的弦长为定值，则动点C到l的距离为定值，则l∥l'，故l的斜率也为2，则m+1故答案为：2x−y−1=0.【分析】先求直线恒过定点1,1，再根据已知条件，求出动圆圆心的轨迹方程，最后根据直线l与圆心的轨迹平行求解即可.16．【答案】（﹣3，3）；y=3x，x∈[﹣3，3]【解析】【解答】由y=32x+mx2设A（x1，y1），B（x2，y2），可得：△=144m2﹣4×18（4m2﹣36）＞0，可得：﹣3＜m＜3．设弦AB的中点为M（x，y），可得：x=x可得：y=3x，x∈[﹣3，3]．故答案为：（﹣3，3）；y=3x，x∈[﹣3，3]．【分析】直线与椭圆联立方程组，通过判别式大于0，求解m的范围，然后设出AB坐标，利用韦达定理，转化求解M的轨迹方程即可。17．【答案】解：（1）由抛物线的方程y2=4x得其焦点为(1,0)，则当点M为椭圆的短轴端点时，△MF1F2面积最大，此时∴a=2，故椭圆的方程为x（2）联立x22+Δ=16k2m设A(x1，y1)，B(x①∵m≠0且k2=12，代入|AB|=1+设点O到直线AB的距离为d，则d=|m|∴S△AOB∴m2=1∈(0,2)②k1=y∴kx1+m∴2k·2m2∴直线l的方程为y=k(x−2)，故直线l恒过定点，该定点坐标为(2,0)．【解析】【解答】（1）根据题意，利用抛物线的几何性质，得到c=1，结合点M为椭圆的短轴端点时，此时△MF1F（2）①联立方程组，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，得到②根据直线的斜率公式，由k1+k2=018．【答案】（1）解：由频率分布直方图得：需求量在[100，120)内的频率为0.005×20=0.1，

需求量在[120，140)内的频率为0.01×20=0.2，

需求量在[140，160)内的频率为0.015×20=0.3，

需求量在[160，180)内的频率为0.0125×20=0.25，

需求量在[180，200]内的频率为0.0075×20=0.15，

∴根据直方图估计这个月内市场需求量x的平均数为x=110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153.（2）解：∵每售出1盒该产品获利30元，未售出的商品每盒亏损10元，∴当100≤x<180时，y=30x-10(180-x)=40x-1800；当180≤x≤200时，y=30×180=5400.

∴y=（3）解：∵利润不少于3800元，∴40x-1800≥3800，∴x≥140，∴由（1）知利润不少于3800元的概率为1-0.1-0.2=0.7.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，结合平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和，即可得到答案；（2）由每售出1盒盖产品获利30元，未售出的商品每盒亏损10元，分100≤x≤180，180<x≤200两种情况进行分类讨论，能将y表示为x的函数；（3）由利润不少于3800元，列出不等式，得到x≥140，由此能求出利润不少于3800元的概率．（1）由频率分布直方图得：需求量在[100，120)内的频率为0.005×20=0.1，需求量在[120，140)内的频率为0.01×20=0.2，需求量在[140，160)内的频率为0.015×20=0.3，需求量在[160，180)内的频率为0.0125×20=0.25，需求量在[180，200]内的频率为0.0075×20=0.15，∴根据直方图估计这个月内市场需求量x的平均数为x=110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153.（2）∵每售出1盒该产品获利30元，未售出的商品每盒亏损10元，∴当100≤x<180时，y=30x-10(180-x)=40x-1800；当180≤x≤200时，y=30×180=5400.∴y=（3）∵利润不少于3800元，∴40x-1800≥3800，∴x≥140，∴由（1）知利润不少于3800元的概率为1-0.1-0.2=0.7.19．【答案】解：记灯柱顶端为点B，灯罩处为点A，灯杆为AB，灯罩轴线与道路路面的中心线交于点C.以灯柱底端O点为坐标原点，灯柱OB所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则点B的坐标为0,h，点C的坐标为11.5,0，因为∠OBA=120°，所以直线BA的倾斜角为120°−90°=30°，则点A的坐标为2.5cos30°,h+2.5sin因为CA⊥BA，所以kCA由直线的点斜式，得直线CA的方程是y−h+1.25因为灯罩轴线CA过点C11.5,0，所以−h+1.25=−故灯柱高约为14.92m.【解析】【分析】以灯柱底端O点为坐标原点，灯柱OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，得到B的坐标为0,h，点C的坐标为11.5,0，以及A520．【答案】（1）证明：由题意可得圆的方程为：x−t2化简可得x2与坐标轴的交点分别为：A2t,0，B∴S（2）解：如图所示，∵OM∴原点O在线段MN的垂直平分线上，设线段MN的中点为H，则C，H，O三点共线，因为OC的斜率k=2∴2t2又因为t>0，所以t=2，可得圆心C2,1∴圆C的方程为：x−22（3）解：如图所示，由（2）可知：圆心C2,1，半径r=5，设点B关于直线x+y+2=0的对称点为B'则BB'中点为x2,2+y2且y−2x所以PB+又因为点B'到圆上点Q的最短距离为：

B则PB+PQ的最小值为此时直线B'C的方程为：又因为点P为直线B'C与直线则y=x2x+y+2=0即点P−【解析】【分析】（1）由已知条件可得圆的方程，从而可得点A与B的坐标，再根据三角形的面积公式证出△AOB的面积为定值．（2）由已知条件结合垂直平分线的性质和中点的性质以及三点共线的判断方法，再根据两直线垂直斜率之积等于-1，从而可得满足条件的参数t的值，进而得出圆心坐标，则得出圆C的标准方程.（3）由（2）可知：圆心C2,1，半径r=5，B0,2，结合中点坐标公式和两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出点B关于直线2x+y−4=0的对称点B'，进而可知PB+PQ=PB（1）由题意可得圆的方程为：x−t2化简可得x2与坐标轴的交点分别为：A2t,0，B∴S（2）如图所示，∵OM∴原点O在线段MN的垂直平分线上，设线段MN的中点为H，则C，H，O三点共线，又OC的斜率k=2∴2解得t=±2，又t>0，所以t=2，可得圆心C2,1∴圆C的方程为：x−22（3）如图所示，由（2）可知：圆心C2,1，半径r=5，设点B关于直线x+y+2=0的对称点为B'则BB'中点为且y−2x⋅−1=−1x则PB+又点B'到圆上点Q的最短距离为B则PB+PQ的最小值为此时直线B'C的方程为：点P为直线B'C与直线则y=x2x+y+2=0即点P−21．【答案】（1）证明：将(2,3)代入双曲线中，4a解得a2=1，故双曲线方程为下面证明x2a2−y理由如下：当切线方程的斜率存在时，设过点x0,y0的切线方程为1a由Δ化简得y0因为k=y−y0整理得xy同除以a2b2即x2因为x02a所以x2联立x02a从而x0故−1+x即−1+x令t=x0xa2解得t=1，即x0当切线斜率不存在时，此时切点为±a,0，切线方程为x=±a，满足x0综上：x2a2−y设Qm,n，则x2−y2故mx−ny3=1为x双曲线的两条渐近线方程为y=±3联立mx−ny3=1与y=联立mx−ny3=1与y=−直线AB方程为y−y1x−故点O到直线AB的距离为−y且AB=故△AOB的面积为1==1（2）证明：若直线l斜率不存在，此时直线l与双曲线右支无交点，不合题意，不满足条件，故直线l斜率存在，设直线l方程y−1=kx−与x2−y由Δ>0因为14k2故k2解得−2−213设Mx1,设点H的坐标为xH则由PMPN=MH变形得到2x将x1+x将xH=8−k3−2k