四川省绵阳市三台中学2024-2025学年高二上学期期末适应性考试数学试题（含答案）

第第页四川省绵阳市三台中学2024-2025学年高二上学期期末适应性考试数学试题一、单选题：（本题共8小题，每题5分，共40分）1．抛物线y=4xA．1,0 B．0,1 C．0,116 2．已知点A2,1,−1关于y轴的对称点为B，则ABA．32 B．26 C．2 3．我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为3:4:3，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（）A．52 B．48 C．36 D．244．若直线l过点(−3,−2)，且与双曲线x2A．2x+y−8=0 B．2x+y+8=0 C．2x−y+8=0 D．2x−y−6=05．安排甲，乙，丙三位志愿者到编号为1,2,3的三个教室打扫卫生，每个教室恰好安排一位志愿者，则甲恰好不安排到3号教室的概率为（）A．23 B．34 C．146．已知直线l：kx+y+2−k=0过定点M，点P(x，A．5 B．5 C．355 7．已知M−2,0，圆C:x2−4x+y2=0，动圆P经过A．x2−yC．x2−y8．已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，B是A．55 B．255 C．1二、多选题：（本题共3小题，每题6分，共18分）9．一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有1∼9这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件A，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件B，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件C．则下列说法正确的是（）A．事件A与事件C是互斥事件 B．事件B与事件C是对立事件C．事件A与事件B相互独立 D．P10．（多选）已知抛物线y2=2pxp>0的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于Ax1,y1A．p=4 B．抛物线的方程为yC．直线l的方程为y=2x−4 D．AB11．如图，已知斜三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=π2，∠BAA1=A．AO=12C．AO⊥BC D．平面ABC⊥平面B三、填空题：（本愿共3小题，每题5分，共15分）12．两平行直线l1:ax+3y+1=0，l213．已知1，x1，x2，x3，x4这5个数的平均数为3，方差为2，则x1，x2，x314．已知圆O:x2+y2=9，椭圆C:x25+y22=1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P四、解答题：（第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）15．已知圆C与y轴相切，其圆心在x轴的正半轴上，且圆C被直线y=x截得的弦长为22（1）求圆C的标准方程；（2）若过点P(0,3)的直线l与圆C相切，求直线l的方程.16．在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（五局三胜制），其中每局中甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为1（1）求比赛只需打三局的概率；（2）已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率.17．高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数；（2）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）；（3）设m，n表示该班两个学生的百米测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m﹣n|＞2”的概率．18．如图所示，直角梯形ABCD中，AD//BC,AD⊥AB,AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形，CF=3，平面EDCF⊥平面ABCD（1）求证：DF//平面ABE；（2）求平面ABE与平面EFB夹角的余弦值；（3）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的余弦值为134，若存在，求出线段BP19．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1、F2，虚轴长为（1）求双曲线C的方程；（2）若AF1=4（3）若M(−2,0)，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？请说明理由.

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：抛物线y=4x2的标准方程为x2故答案为：C.【分析】将抛物线方程化为标准方程，再求焦点坐标即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：点A2,1,−1关于y轴的对称点为B则AB=故答案为：D.【分析】由题意，根据点对称的性质求得点B坐标，再求AB即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：由题意可知：应抽取的一年级学生的人数为33+4+3故答案为：C.

【分析】由题意，利用分层抽样的抽样列式计算即可.4．【答案】B【解析】【解答】解：如图：易知双曲线x24−因为直线l与之垂直，所以直线l的斜率为−2，又因为直线l过点(−3,−2)，所以直线l的方程为y+2=−2(x+3)，即2x+y+8=0.故答案为：B.【分析】先求双曲线的渐近线方程，再根据两直线垂直求出直线l的斜率，利用直线的点斜式求l的方程即可.5．【答案】A【解析】【解答】解：甲，乙，丙三位志愿者到编号为1,2,3的三个教室，每个教室恰好安排一位志愿者，

则（甲，1），（乙，2），（丙，3），（甲，1），（乙，3），（丙，2），（甲，2），（乙，1），（丙，3），（甲，2），（乙，3），（丙，1），（甲，3），（乙，1），（丙，2），（甲，3），（乙，2），（丙，1），共6种，其中甲恰好不安排到3号教室：（甲，1），（乙，2），（丙，3），（甲，1），（乙，3），（丙，2），（甲，2），（乙，1），（丙，3），（甲，2），（乙，3），（丙，1），共4种，所以甲恰好不安排到3号教室的概率为P=4故答案为：A.【分析】由题意，列出基本事件，再利用古典概型的概率计算公式求解即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：由kx+y+2-k=0得y+2=k(1-x)，所以直线l过定点M(1，-2)，

所以|MP|的最小值就是点M到直线2x-y+1=0的距离，即MPmin=1×2+-27．【答案】C【解析】【解答】解：易知圆C的圆心为C2,0，半径r=2，设动圆P的半径为R若动圆P与圆C相内切，则圆C在圆P内，所以PM=R，PC所以PM−PC=2<MC=4，则动点P是以M−2,0、C2,0为焦点的双曲线的右支，

且a=1、c=2若动圆P与圆C相外切，则PM=R，PC=R+2，则动点P是以M−2,0、C2,0为焦点的双曲线的左支，且a=1、c=2，即动圆圆心P的轨迹方程是x2综上可得：动圆圆心P的轨迹方程是x2故答案为：C.【分析】先求圆C的圆心坐标与半径，设动圆P的半径为R，分两圆相内切与外切两种情况讨论，结合双曲线的定义计算即可.8．【答案】A【解析】【解答】解：由题意可得：BF1=B因为F1A⊥即m+a2=2a−m2+a在△AF1B在△AF1F即4c2=4a32+故答案为：A.【分析】根据椭圆的定义及勾股定理用a表示出AF1,AF2，在Rt△AF1B9．【答案】B,C【解析】【解答】解：由题意，样本空间为Ω=因为A∩C=8，所以事件A与事件C不是互斥事件，故A因为B∪C=1,2,3,4,5,6,8,9,B∩C=∅，所以事件B与事件C为对立事件，故因为PAB=29,PA=39因为PA∪B=7故选：BC.【分析】根据题意，得到Ω=1,2,3,4,5,6,7,8,9,A=2,5,8,B=1,2,3,4,5,610．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：因为焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p=4，故A正确故抛物线的方程为y2=8x，焦点则y12=8又Mm,2是AB的中点，则y1+即y1−y2x由y1+得AB=故选：ACD．【分析】由抛物线的焦点到准线的距离，求得p=4，得出抛物线的方程，可判断A正确，B错误；由Mm,2是AB的中点，得到y1+y2=4，结合中点弦的性质，以及斜率公式，求得直线l的斜率，得出直线l的方程，可判定C正确；由11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：对于A，由图，AO=对于B，由A，AO==1对于C，AO==121+1×2×对于D，取BC中点为D，连接AD，则AD=12注意到AD⋅则AD⊥BB1，又AD⊥BC，BB则AD⊥平面B1BCC1，又AD⊂平面ABC，则平面故选：ABD.

【分析】由空间向量加法，结合图形，得到AO=12AB+AC+12．【答案】4【解析】【解答】解：因为直线l1与l2平行，所以aa−2则直线l1的方程为3x+3y+1=0，直线l2的方程为x+y+3=0，即故两直线间的距离为d=1−9故答案为：42【分析】由两直线平行列式求出实数a的值，再利用平行线间的距离公式求解即可.13．【答案】5【解析】【解答】解：由题意可得：x1则x1，x2，x3，x4这x12+故x1，x2，x3，x4这故答案为：54【分析】利用平均数和方差的计算求解即可.14．【答案】6【解析】【解答】解：设P(x0,y0)，又因为PF1⋅所以x0则|PM|⋅|PN|=(|OM|−|OP|)(|ON|+|OP|)=|OM|故答案为：6.【分析】利用椭圆的额定义PF1+PF2=2a15．【答案】（1）解：由题意，设圆的方程为：x−a2圆心到直线y=x的距离为d=a则圆C被直线y=x截得的弦长为2r2−所以圆C的标准方程为x−22（2）解：由题意得：当直线的斜率不存在时，直线方程为x=0，符合题意；当直线的斜率存在时，

设直线的方程为y=kx+3，即kx−y+3=0，则圆心到直线的距离等于半径，即2k+3k2+1所以直线方程为5x+12y−36=0，综上所述：直线l的方程为x=0或5x+12y−36=0.【解析】【分析】（1）根据题意，设圆的方程为x−a2+y2=a2（2）分直线的斜率不存在和存在两种情况，再利用直线与圆相切位置关系判断方法，即圆心到直线的距离等于半径，从而得出直线的斜率，进而得出直线l的方程.（1）由题意设圆的方程为：x−a2圆心到直线y=x的距离为d=a则圆C被直线y=x截得的弦长为2r2−所以圆C的标准方程为x−22（2）由题意得：当直线的斜率不存在时，直线方程为x=0，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+3，即kx−y+3=0，则圆心到直线的距离等于半径，即2k+3k2+1所以直线方程为5x+12y−36=0，综上：直线l的方程为x=0或5x+12y−36=0.16．【答案】（1）解：设事件A=“甲前三局都获胜”，事件B=“乙前三局都获胜”，

则P(A)=23×23×23=（2）解：因为甲需要打三局的概率为：P1甲需要打四局的概率为：P2甲需要打五局的概率为：P3则甲最终获胜的概率为：P=P【解析】【分析】（1）“比赛只需打三局”可看作互斥事件“甲前三局都获胜”与“乙前三局都获胜”的和事件，再利用相互独立事件乘法概率公式与互斥事件加法概率公式，从而得出比赛只需打三局的概率.（2）利用“甲最终获胜”是互斥事件“第三局甲胜”、“第三局甲输第四局甲胜”与“第三局第四局甲均输第五局甲胜”的和事件，再利用相互独立事件乘法概率公式与互斥事件加法概率公式，从而得出甲最终获胜的概率.（1）设事件A=“甲前三局都获胜”，事件B=“乙前三局都获胜”，则P(A)=2PB比赛只需打三局的概率为：P=P(A∪B)=P(A)+P(B)=8（2）甲需要打三局的概率为：P1甲需要打四局的概率为：P2甲需要打五局的概率为：P3则甲最终获胜的概率为：P=P17．【答案】解：（1）根据频率分布直方图知成绩在[14，16）内的人数为：

50×0.18+50×0.38＝28人，

∴该班在这次百米测试中成绩为良好的人数为28人.

（2）由频率分布直方图知众数落在第三组[15，16）内，

众数是15+162=15.5，

∵数据落在第一、二组的频率＝1×0.04+1×0.18＝0.22＜0.5，

数据落在第一、二、三组的频率＝1×0.04+1×0.18+1×0.38＝0.6＞0.5，

∴中位数一定落在第三组中，

假设中位数是x，则0.22+（x﹣15）×0.38＝0.5，

解得x＝29919≈15.74，∴中位数是15.74.

（3）因为成绩在[13，14）的人数有50×0.04＝2人，

成绩在[17，18）的人数有50×0.06＝3人，

又因为m，n表示该班两个学生的百米测试成绩，

且m，n∈[13，14）∪[17，18]，

∴事件“|m﹣n|＞2”等价于其中一个学生的百米测试成绩在[13,14)，

另一个学生的百米测试成绩在[17,18]内，

记百米测试成绩在[13，14）内的两个人为A,B，

百米测试成绩在[17,18]内的三个人为C,D,E，则从这5个学生中任取两个，

有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D)，(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)，共10种情况，

其中一个学生的百米测试成绩在[13,14)，

另一个学生的百米测试成绩在[17,18]内的有6种情况，

所以事件“|m﹣【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求出成绩在[14，16）内的人数，由此得到该班在这次百米测试中成绩为良好的人数.（2）由频率分布直方图得出众数落在第二组[15，16）内，由此求出众数，再利用数据落在第一、二组的频率是0.22＜0.5，数据落在第一、二、三组的频率是0.6＞0.5，则中位数一定落在第三组中，假设中位数是x，则0.22+（x﹣15）×0.38＝0.5，从而求出中位数.（3）利用成绩在[13，14）的人数有2人，成绩在[17，18）的人数有3人，则事件“|m﹣n|＞2”等价于其中一个学生的百米测试成绩在[13,14)，另一个学生的百米测试成绩在[17,18]内，记百米测试成绩在[13，14）内的两个人为A,B，百米测试成绩在[17,18]内的三个人为C,D,E，再利用列举法和古典概型求概率公式，从而得出事件“|m﹣n|＞2”的概率．18．【答案】（1）证明：因为四边形EDCF为矩形，平面EDCF⊥平面ABCD，平面EDCF∩平面ABCD=DC，所以ED⊥DC，则ED⊥平面ABCD，根据题意可以以D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，易知A1,0,0,B1,2,0设平面ABE的法向量n=不妨令x=3⇒y=0,z=1，则又DF=−1,2,3又∵DF⊄平面ABE,∴DF//平面ABE．（2）解：由上可知BE=−1,−2,3,BF∴m⋅BE=−a−2b+3∴cos∴平面ABE与平面EFB夹角的余弦值为531（3）解：设DP=λDF∴BP又∵平面ABE的法向量n=由直线BP与平面ABE所成角的余弦值为134∴sin∴8λ2−6λ+1=0，∴λ=当λ=12时，当λ=14时，综上，BP=2【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证得ED⊥平面ABCD，以D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，求得平面ABE的法向量n=3,0,1，以及向量DF⃗，结合DF⃗（2）由（1）中的空间直角坐标系，求得平面BEF的法向量m=（3）设DP⃗=λDF⃗，得到P−λ,2λ,3λ，得出BP⃗=（1）因为四边形EDCF为矩形，平面EDCF⊥平面ABCD，平面EDCF∩平面ABCD=DC，所以ED⊥DC，则ED⊥平面ABCD，根据题意可以以D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，易知A1,0,0,B1,2,0设平面ABE的法向量n=不妨令x=3⇒y=0,z=1，则又DF=−1,2,3又∵DF⊄平面ABE,∴DF//平面ABE．（2）由上可知BE=−1,−2,3,BF∴m⋅BE=−a−2b+3∴cos∴平面ABE与平面EFB夹角的余弦值为531（3）设DP=λDF∴BP又∵平面ABE的法向量n=由直线BP与平面ABE所成角的余弦值为134∴sin∴8λ2−6λ+1=0，∴λ=当λ=12时，当λ=14时，综上，BP=219．【答案】（1）解：由题意可知：2b=42e=c所以双曲线C的方程为：x2（2）解：因为AF1=42，

所以所以cos∠所以∠