浙江省杭州市钱塘区杭四江东2024-2025学年高二上学期期末数学试题（含答案）

第第页浙江省杭州市钱塘区杭四江东2024-2025学年高二上学期期末数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）1．已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且OM=OA+2xA．0 B．1 C．2 D．32．设集合A={0,a},B={a−2,3a−4}，若B=A，则a=（）A．2 B．1 C．43 D．3．椭圆E1:xA．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等4．已知正方体ABCD−A1B1CA．0 B．12 C．22 5．圆C1:(x−2)2+y2A．相离 B．有3条公切线C．关于直线x−y=0对称 D．公共弦所在直线方程为x+y+1=06．已知数列an的首项a1=1，且满足aA．2n B．nn+1 C．n2n7．已知斜率为33的直线过双曲线C:x2−y2mA．2 B．2 C．3 D．38．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1A．直线l与蒙日圆相切B．C的蒙日圆的方程为xC．记点A到直线l的距离为d，则d−|AD．若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH的面积的最大值为8二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．）9．已知f(x)，g(xA．limB．limC．limD．lim10．已知a，b，c为非零实数，则下列说法一定正确的有（）A．若a，b，c成等差数列，则5a,5b,5c成等比数列B．若a，b，c成等比数列，则a2C．若a，b，c成等差数列，则2aD．若a211．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数小于2”记为事件C．下列说法正确的是（）A．A与C互斥 B．B与C对立C．A与B相互独立 D．P(A∪B)=P(A)+P(B)三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分．）12．若f(x)=x，则f'13．直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为2，14．已知函数f(x)=−x2+3,x≤1x+1x−1,x>1，若当四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知函数f(x)=x3+x+a(a∈（1）若点P在f(x)的图象上，求曲线y=f(x)在点P处的切线的方程；（2）若点P在f(x)的图象外，过点P与f(x)的图象相切的直线斜率是1，求a的取值．16．已知函数f(x)=asinxcos（1）求a的值；（2）若fθ2−17．已知数列an满足a（1）求an（2）已知dn=ann+118．如图，在四棱锥P−ABCD中，AB⊥AD,CD⊥AD,AB=AD=PD=12CD=1,PA=（1）证明：PD⊥平面ABCD；（2）当点Q为棱PC的中点时，求直线PA与平面BDQ所成角的正弦值；（3）当二面角P−BD−Q的余弦值为33时，求PQ19．已知点A，B分别是双曲线C:y24（1）求点P的轨迹方程；（2）是否存在点P，使得过点P的动直线l交双曲线C于M，N两点，且BM与BN的斜率之和为定值？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：依题意，1+2x+y=1，所以2x+y=0.故答案为：A.

【分析】要解决空间四点共面时向量系数的问题，需用到共面向量定理的推论：若空间中四点M，A，B，C共面，且对于空间任意一点O，有OM=aOA+bOB+c2．【答案】A【解析】【解答】解：集合A={0,a},B={a−2,3a−4}，由B=A，得a−2=0或3a−4=0，解得a=2或a=43，当a=2时，B={0,2}=A，符合题意；当a=43时，B={0,−23}≠A，不符合题意，所以a=2.

故答案为：A

【分析】利用集合相等列式求值并验证得解.要解决集合A3．【答案】D【解析】【解答】解：对于椭圆E1的长短半轴长及半焦距分别为a1=3,b1故答案为：D

【分析】集合相等意味着两个集合中的元素完全相同.所以要让集合B中的元素与集合A中的元素一一对应，分情况讨论B中元素等于A中元素0的情况，再结合集合元素的互异性（集合中的元素互不相同）进行验证，从而确定a的值.4．【答案】D【解析】【解答】解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，可得A1B1∥AB∥CD，A1B1=AB=CD，

所以四边形A1B1CD是平行四边形，所以A1故答案为：D【分析】本题可通过建立空间直角坐标系，利用向量的方法来求解异面直线所成角的正弦值.解题思路是先求出两条异面直线对应的向量坐标，再计算向量的夹角余弦值，最后根据三角函数关系求出正弦值.5．【答案】C【解析】【解答】解：将圆C2的方程x2+y2-4y=0化为标准方程：x2+(y-2)2=4，所以圆C2的圆心C2(0,2)，半径r2=2；

圆C1：(x-2)2+y2=4的圆心C1(2,0)，半径r1=2.

选项A：计算圆心距|C1C2|=(2-0)2+(0-2)2=22，因为r1+r故答案为：C.

【分析】本题需要先将圆的方程化为标准形式，得到圆心和半径，再通过分析圆心距、两圆位置关系、公共弦方程以及两圆的对称性来解题.解题思路是依次对每个选项进行判断，利用圆的基本性质和相关公式来验证.6．【答案】C【解析】【解答】解：由数列an满足an+1=则2nan+1则数列2nan是以2a1=2为首项，故答案为：C.【分析】化简数列的递推关系式，可得数列2nan是以2a17．【答案】B【解析】【解答】解：由双曲线C:x2−y2m=1，得a2=1,b2=m,c2=1+m，设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0)，

由A,B均在C:x2−y2m=1上，P为AB的中点，得mx12=m+y12mx

故答案为：B

【分析】本题可利用点差法结合双曲线的性质，以及等腰三角形的角度关系来求解双曲线的离心率.解题思路是先通过点差法得到直线AB与直线OP斜率的关系，再根据等腰三角形的角度条件求出m的值，最后计算离心率.8．【答案】A,C【解析】【解答】当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为x=±a、y=±b，所以，点(±a，±b因为e=ca=对于A选项，蒙日圆圆心到直线l的距离为d=a所以，直线l与蒙日圆相切，A对；对于B选项，C的蒙日圆的方程为x2对于C选项，由椭圆的定义可得|AF1所以，d−|因为c=22a=b，直线l点F1(−b，0所以，d−|当且仅当AF对于D选项，若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH的四个顶点都在蒙日圆上，所以，|MN所以，矩形MNGH的面积为S=|故答案为：AC.

【分析】当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为x=±a、y=±b，所以，点(±a，±b)在蒙日圆上，再利用代入法得出蒙日圆的方程为x2+y2=a2+b2，再利用椭圆的离心率个数结合椭圆中a，b，c三者的关系式，再结合已知条件得出a2=2b2。再利用点到直线的距离公式得出蒙日圆圆心到直线l的距离为d=a2+b2，再利用直线与圆相切位置关系判断方法，进而判断出直线l与蒙日圆相切；再利用椭圆的蒙日圆的定义，进而求出椭圆C的蒙日圆的方程；由椭圆的定义可得|AF9．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、limΔB、limΔC、limΔD、limΔ故答案为：BCD.

【分析】利用导数的定义依次判断即可.10．【答案】B,C【解析】【解答】解：对于A，取a=1,b=2,c=3，满足a,b,c成等差数列，而5a=5,5b=10,5c=15不成等比数列，A错误；

对于B，由a,b,c成等比数列，得b2=ac，则(b2)2=a2c2，a2,b2,c2成等比数列，B正确；故答案为：BC

【分析】本题主要考查等差数列和等比数列的定义及性质。解题思路是通过举反例来判断选项A、D的错误，利用等差中项、等比中项的定义以及指数运算性质来证明选项B、C的正确。11．【答案】A,C【解析】【解答】解：样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6}，事件A={2,4,6}，事件B={1,2,3,4}，事件C={1}，

A.∵A∩C=∅，∴A与C互斥，A正确.

B.∵B∩C=1≠∅，∴B与C不对立，B错误.

C.∵A∩B=2,4，∴P(AB)=26=13，∵P(A)=36=12,P(B)=46=23，∴P(AB)=P(A)P(B)故答案为：AC.

【分析】本题主要考查互斥事件、对立事件以及相互独立事件的概念，通过分析各事件包含的样本点，结合相关概率公式来判断选项的正确性。解题思路是先确定样本空间和各事件的样本点，再根据互斥、对立、独立事件的定义及概率公式逐一分析选项。12．【答案】1【解析】【解答】解：因为f(x)=x，所以f'(x)=12故填：14

【分析】根据求导公式对函数求导，然后代入x=413．【答案】3【解析】【解答】解：连接AC，BD交于点O.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AA1⊥AC；又BB1∥AA1，所以BB1⊥AC.因为直四棱柱所有棱长均为2，∠DAB=π3，所以四边形ABCD是菱形，故AC⊥BD.由于BD∩BB1=B，BD,BB1⊂平面BB1D1D，所以AC⊥平面

【分析】本题可先分析直四棱柱的结构特征，找到直线与平面垂直的关系，进而确定直线到平面的距离所对应的线段，再通过三角形的相关知识计算该线段长度.解题思路是利用直四棱柱侧棱与底面垂直、底面为菱形的性质，证明线面垂直，从而将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，最后在三角形中求解.14．【答案】2+【解析】【解答】解：当x≤1时，由1≤f(x)≤3，得1≤−x2+3≤3，解得−2≤x≤2，因此−2≤x≤1；当x>1时，由1≤f(x)≤3，得1≤x+1x−1≤3，解得1≤x≤2+3，因此故答案为：2+2+3

【分析】本题需要分别分析函数在x≤1和x>1两个区间内满足1≤f(x)≤3的x15．【答案】（1）解：由点P在f(x)的图象上，得f(−1)=0，求导得f'(x)=3x2+1，则f'(-1)=4，所以曲线y=f(x)（2）解：由点P在f(x)的图象外，得(−1)3+(−1)+a≠0，则a≠2，设过点P的直线与f(x)的图象切于点Q(t,t3+t+a)，则切线PQ的斜率k=f'(t)=3t2+1【解析】【分析】（1）先利用点在函数图象上求出参数a，再求导得到切线斜率，进而用点斜式求出切线方程；

（2）设出切点，根据导数的几何意义和两点间斜率公式列出方程组，求解得到a的值.（1）由点P在f(x)的图象上，得f(−1)=0，求导得f'(x)=3x所以曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=4(x+1)，即4x−y+4=0.（2）由点P在f(x)的图象外，得(−1)3+(−1)+a≠0，则设过点P的直线与f(x)的图象切于点Q(t,t3+t+a)，则切线PQ由过点P与f(x)的图象相切的直线斜率是1，得3t2+1=1所以a的值为1.16．【答案】（1）解：由题意得，fπ4=asin（2）解：由（1）得，f(x)=2sinxcosx+cos2x+π6【解析】【分析】（1）求出参数a的值，已知函数f(x)在x=π4时的函数值为12，因此可以通过代入法建立方程求解a.

（2）需要利用已知的f（1）由题意得，fπ∴a=2.（2）由（1）得，f(x)=2=1∴fθ∴cos2θ−17．【答案】（1）解：数列an中，a1+3a2+5a3+⋯+(2n−1)an=(n−1)3n+1，当n≥2（2）解：由（1）知，dn=3n−1n+1，1dn=n+1【解析】【分析】（1），利用数列前n项和与通项的关系，通过作差法求出n≥2时的通项，再验证n=1的情况；

（2），先根据（1）的结果求出1d（1）数列an中，a当n≥2时，a1两式相减得(2n−1)an=(2n−1)⋅3n−1，解得a所以{an}（2）由（1）知，dn=3Tn=2两式相减得23所以Tn18．【答案】（1）解：在四棱锥P−ABCD中，由PD=AD=1,CD=2,PC=5,PA=2，得PD2+CD2=PC2（2）解：由（1）知PD,AD,DC两两垂直，以D为原点，直线DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,0,1),C(0,2,0)，由Q为棱PC的中点，得Q(0,1,12)，PA=(1,0,−1),DB=(1,1,0),DQ=(0,1,12)，设平面BDQ的法向量m=(x0,y0,z0)（3）解：由（2）知DP=(0,0,1),DB=(1,1,0),PC=(0,2,−1)，设PQ=λPC=(0,2λ,−λ)(0≤λ≤1)，则DQ=DP+PQ=(0,2λ,1−λ)，设平面BDQ的法向量n1=(x1,y1,z1)，则DB⋅n1=x【解析】【分析】（1）证明PD⊥平面ABCD：通过勾股定理验证PD与平面内两条相交直线垂直，进而应用线面垂直判定定理.（2）求线面角的正弦值：建立空间直角坐标系，利用向量法计算直线PB与平面BDQ的法向量夹角.（3）求线段比值：引入参数λ表示点Q的位置，通过二面角的余弦值建立方程求解λ，进而得到PQPC（1）在四棱锥P−ABCD中，由PD=AD=1,CD=2,PC=5得PD2+CD2又CD∩AD=D，且CD,AD⊂平面ABCD，所以（2）由（1）知PD,AD,DC两两垂直，以D为原点，直线DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,0,1),C(0,2,0)，由Q为棱PC的中点，得Q(0,1,1PA=(1,0,−1),DB=(1,1,0),DQ=(0,1,则DB⋅m=x0+y0=0DQ⋅则sinθ=|所以直线PA与平面BDQ所成角的正弦值为36（3）由（2）知DP=(0,0,1),设PQ=λPC=(0,2λ,−λ)(0≤λ≤1)设平面BDQ的法向量n1=(x1,y1设平面BDP的法向量为n2=(x2,y2由二面角P−BD−Q的余弦值为33，得|即|λ−1|3λ2−2λ