2025年北师版八年级数学寒假预习 第03讲 等腰三角形（第3课时）

第03讲等腰三角形（第3课时）

y模块导航y素养目标。

模块

一思维导图串知识I.掌握反证法的概念，学会用反证法证明;

模块

二基础知识全梳理（吃透教材）2.知道直角三角形30。角的性质；

模块

三

核心考点举一反三3.学会等腰三角形的综合应用。

模块

四

小试牛刀过关测

模块一思维导图串知识

'考点9:等腰三角形难点分析

3模块二基础知识全梳理-----------------------------

知识点1反证法

引入：小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.你认为小明这个

结论成立吗?如果成立，你能证明它吗？

小明是这样想的：如图1-9,在AABC中，已知NBrNC,此时AB与AC要么相等，要么不相等.

假设AB=AC,那么根据“等边对等角”定理可得NC=NB,这与已知条件NBf/C相矛盾，因止匕ABHAC.

图1-9

小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、己有定理或已知条件相矛盾的

1

结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.

要点：一般证明步骤如下：

(1)假定命题的结论不成立；

(2)从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、

性质或题设条件相矛盾的结果：

(3)由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.

例用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.

已知:AABC.

求证：NA,NB,NC中不能有两个角是直角.

证明：假设/A,NB,NC中有两个角是直角，不妨设NA和NB是直角，即NA=9(T,NB=9()。

TZA+ZB+ZC=90°+90°+ZC>180°.

这与三角形内角和定理相矛盾，因此“NA和/B是直角”的假设不成立.

所以，一个三角形中不能有两个角是直角.

知识点2含有30。角的直角三角形

思考：用两个含30。角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗？由此你能发

现什么结论?说说你的理由.

定理在直角三角形中，如果一个锐角等于3()。,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

己知：如图1-10(1),ZkABC是直角三角形，ZC=90°,ZA=30°.

求证：BC=-AB

2

图1-10

证明：如图1-1(X2),延长BC至D.使CD=BC,连接AD.

「ZACB=90°,ZBAC=30°,

ZACD=90°,ZB=60°.

VAC=AC,

AAABC^AADC(SAS).

・•・AB二AD(全等三角形的对应边相等).

/.△ABD是等边三角形(有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形).

2

・•・BC=-BD=-AB

22

例求证：如果等腰三角形的底角为15。,那么腰上的高是腰长的一半.

已知：如图1-11,在AABC中,AB=AC,NB=15o,CD是腰AB上的高.

VAB=AC,ZB=I5°,

:.ZACB=ZB=15°（等边对等角）.

・•・ZDAC=ZB+ZACB=15°+15°=3O°.

VCD是腰AB上的高,

・•・ZADC=90°.

・•・=（在直角三角形中，如果一个锐角等于30。,那么它所对的宜角边等于斜边的一半）.

2

：,CD=-AB

2

6模块三核心考点举一反三-----------------------------

考点一：用反证法证明的步骤辨析

一例1.用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45。”时，首先应该假设这个三角形中（）

A.有一个内角小于45。B.每一个内角都大于等于45。

C.有一个内角大于等于45。D.每一个内角都小于45。

【变式1-1】•用反证法证明"三角形中必有一个内角不大于60。”时，应假设（）

A.有一个内角小于60°B.每一个内角都小于60°

C.有一个内角大于60。D.每一个内角都大于60°

【变式1-2】.我们可以用反证法来证明”在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60。”.下面写出了

证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于18（F”这个定理矛盾.②所以在一个三角形中，

至少有一个内角小于或等于60。.③假设三角形没有一个内角小于或等于60。，即三个内角都大于60。.④

则三角形的三个内角的和大于18".这四个步骤正确的顺序是.

【变式1-3].小明在解答“已知V/WC中，AB=AC,求证90。”这道题时，写出了下面用反证法证明

这个命题过程中的四个推理步骤：

3

(1)所以NB+NC+ZA>I8O0,这与三角形内角和定理相矛盾.

(2)所以N8<90。.

(3)假设N3N90。.

(4)那么，由=得N8=NC290。，即N8=NC290。，即N5+NC2180。.

请你写出这四个步骤正确的顺序.

考点二：用反证法证明

」例2.如图，在同一平面内，已知A8J_直线/于点£8与直线/相交(且不垂直)于点E.求证:

AB与CO必相交.

证明：假设A3与CO不相交，则//.

•・•ABAJ,:.CDAJ,

这与CO与直线/不垂直相矛盾..

假设AB与CD不相交.

.与CO.

【变式2-1].用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角.

已知：在aABC中，AB=AC.求证：ZB,NC必为锐角.

【变式2-2].阅读下列材料•：“为什么及不是有理数”.

假及是有理数，那么存在两个互质的正整数〃，，〃，使得人=",于是有2〃/=〃2.

m

・・・2加是偶数，・・・♦也是偶数，，〃是偶数.

设〃=2,•是正整数)，则"=4»,,・・2产=*,

，阳，〃都是偶数，不互质，与假设矛盾.

・••假设错误

4

•・•拉不是有理数

有类似的方法，请证明百不是有理数.

【变式2-3].已知：如图，点。是3c内一点.

求证：&ABD,△BOC,A/l。。不可能都是锐角三角形.（用反证法证明）

考点三：直角三角形中30。角的性质

3.在RtZXABC中，ZC=30°,斜边AC的长为10cm,则A8的长为（）

A.2cmB.5cmC.7cmD.10cm

【变式3-1].如图，直角VA8C中，ZC=90°,ZA=30°,且8c=6，AC=3,则48=()

A.6B.3+6C.3GD.2G

【变式3-2].如图，在AA8C中，AB=BC,448c=120。，过点8作8。J.8C,交AC于点。，若AO=1,

则CD的长度为（）

【变式3-3].如图，在VA3c中，ZACB=90°,CD工AB于点D,若NA=30。，BD=2,则的长为（）

C.8D.16

考点四：直角三角形中30。角性质的有关解答证明

5

4.如图所示，在VA3C中，ZAC8=90°,N8=30o,CD_48于点。，AD=\.7,求AB的长.

【变式4-1].如图，在VABC中，A8=AC,ZBAC=120°,。为8c的中点，OE/AC于点E,AE=1,

求小的长.

【变式4-2].如图，在等边三角形/WC中，点。，七分别在边BC,AC上，DE〃AB,过点、E作EF上DE,

交直线BC于点尸求证：DE=；DF.

【变式4-3].如图，在VA8C中，3C=AC,ZC=60°,点。、后分别在边8C、AC上，且AE=C£),BE

与AO相交于点P,力于点Q.

(1)求证；.ABE%CAD；

(2)若8Q=26，求砂的长.

考点五：直角三角形中30。角性质的实际应用题

pV例5.如图，在莲花山滑雪场滑雪时，需从山脚处乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为30。,

缆车速度为每分钟40米，缆车从山脚处4到达山顶〃需要15分钟，则山的高度4c为()

6

B

A.200石米B.60()6米C.3(X)米D.1200米

【变式5-1].生活中的衣架可以近似看成一个等腰VA"C,如图所示，其中/W-AC,〃C-40cm,

Z4BC=3O°,则高AO的长度为()

A.10cmB.loGcmC.—，()V3cmD.20\/3cm

【变式5-2].某班数学兴趣小组的同学进行数学实践活动：测量了学校旗杆的高度.如图，旗杆AB垂直

于地面，李明在C处测得NACB=15。.他沿CB方向走了28m,到达点。处，测得乙M>8=3(T.请你帮助

兴趣小组的同学计算出旗杆的高度为m.

【变式5-3].某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，。、E、8在同一直线上，测得A处

与E处的距离为40五米，C处与。处的距离为36米，ZC=90°,ZI3AE=30°(x/2»1.4,>/3=1.7,x/62.4)

(计算结果保留整数)

海洋球)

(过山君公也旋转木马)

(出口)|入口)

BA

(1)求入口A处到出口用处的距离；

⑵求海洋球D处到出口3处的距离.

考点六：直角三角形中30。角性质的几何综合应用

「、例6.如图所示，在VA3c中，。为8C上一点，连接AO,已知N1=N2,AD=BD=4,CEVAD

7

于点区N8=30°,则OE的长是

【变式6-1].题目：“如图，N8=30°,BC=2,在射线8M上取一点A,设AC=d,若对于d的一个数

值，只能作出唯一一个VABC,求〃的取值范围.”对于其答案，甲答：d>2,乙答：4=1,丙答：出,

则正确的是（）

A.只有甲答的对B.乙、丙答案合在一起才完整

C.甲、乙答案合在一-起才完整D.三人答案合在一起才完整

【变式6-2].如图，在VA8C中，AB=AC,。和Z?是VA3C内的两点，平分上ZMC,ZEBC=ZE=60°,

若BC=4,BE=25,则OE的长为.

【变式6-3].如图，两块完全相同的含：30。角的直角三角板叠放在一起，且/D46=30。，有以下四个

结论：①AF/BC；②N8OE=I35。；③点0为8c的中点，其中正确结论的序号是（）

A.①②B.①©③C.②③D.①③

考点七：等腰三角形与方程（动点问题）

秒4个单位长度的速度向右运动，设点P的运动时间为/,连接AP.当△A4P是以AP为腰的等腰三角形时,

则i的值为.

8

J

【变式7-1].如图，在VABC中，ZC=90°,4=30。，AB=40cm,动点P,。同时从A,B两点出发，

分别在48,AC边上匀速移动，它们的速度分别为Vp=2cm/s,v0=lcm/s,当点尸到达点B时，P,。两

点同时停止运动，设点P的运动时间为抬.

⑴BP=cm,BQ=cm(用含，的式子表示)，BC=cm；

(2)当/为何值时，APBQ为等边三角形？

(3)当/为何值时，APBQ为直角三角形？请直接写出/的值.

【变式7-2].如图：VABC是边长为6的等边三角形，。是4c边上一动点.由点A向点。运动(尸与点A、C

不重合)，点。同时以点。相同的速度，由点笈向C3延长线方向运动(点。不与点8重合)，过点P作庄_LA8

于点E,连接PQ交4B于点力.

⑴若设”的长为巴则PC=_,QC=_.

⑵当/BQD=30。时，求80的长.

(3)点P，。在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段EO的长；如果变化，请说明

理由.

【变式7-3].如图，在RtZiABC中，ZAI3C=90°,AB=20,3C=15,点。为AC边上的动点，点。从

点C出发，沿边。往A运动,当运动到点八时停止,若设点。运动的时间为，秒,点。运动的速度为每秒

2个单位长度.

(1)当1=2时，△A3。的面积为(请直接写出答案)；

(2)当，=时，△C8O是直角二角形(请直接写出答案)；

9

（3）求当/为何值时，△C8O是等腰三角形？并说明理由.

考点八：等腰三角形与平面直角坐标系

8.如图，在等腰RG4BC中，ZCAB=90°,AB=ACt若点A（_[,0）,点8（0,4）,贝!点C的坐标

【变式8-11.如图所示，在平面直角坐标系中，△A&A，△人44,△AAA?,…都是等边三角形，其

边长依次为2,4,6,…其中点A的坐标为（2'°）,点4的坐标为点儿的坐标为（0,0）,点4的坐

标为（2,26），…，按此规律排下去，则点A。。的坐标为

【变式8-2].如图，直线广立x+5与x轴，y轴分别交于点4和点B,点C、。分别为线段A840上的

3

【变式8-3].如图，在平面直角坐标系中，直线产工+2与x轴、），轴分别交A、4两点，与直线），=-；"+〃

10

相交于点C(2,〃?)，若直线y=与x轴相交于点。.动点P从点。开始，以每秒1个单位的速度向x

轴负方向运动，设点P的运动时间为/秒.

⑴求，〃和力的值；

⑵在点夕的运动过程中，△4CP的面积为S,求S与f之间的函数关系式，并写出自变量，的取值范围;

(3)是否存在/的值，使△AC。为等腰三角形？若存在，直接写出，的值；若不存在，请说明理由.

考点九：等腰三角形难点分析

⑴如图1,若x=45。，求证：CE=2AE

(2)如图2,若x=30。，AB=AC=E.求CE的长.

(3)如图3,若x=60。，A8=4C=26,点。为V48C外一点，且N4QA=60。,AQ=2,求线段QC的长.

【变式9-1].如图，在等边V49C中，点。在8C边上，点E在AC延长线上，且

(1)求证：ZBAD=ZCDE,

(2)若等边V/WC的边长为6,8。=2,求AE的长；

(3)求证：BD=CE；

(4)如图，当点。在C8的延长线上，点E在C4延长线上时，其它条件不变，(3)中的结论是否仍然成立？

若成立,靖讦明：若不成立,请说明理由.

II

【变式9-21.如图，VA8C和VAOE都是等腰三角形，NB4C=ND4E=120。，D,E,C三点在同一直

线上，连接80.

⑴求证：

（2）写出线段AD,RD,C。之间的等量美系，并说明理由；

⑶若人。=2百，BD=4,①求线段8c的长；②求点。到48的距离.

【变式9-31.在VA4C中，AB=AC,N8AC=a,。点是边A8上一点，石为边AC上一点，连接CO,DE.

（2）如图2,a=60。，AB=3RD,DEJ.AC,连接施交CO于点F,延长正至P,使得P/=C/，连接AP,

①依题意补全图形；

②用等式表示线段小，BP,之间的数量关系，并证明；

⑶如图3,点石为定点，/CRE=//,连接点〃为线段的上的一个动点，且满足RM一AD,当人"+CD

取得最小值时，直接写出/BOC的值（用。和£表示）.

3模块四小试牛刀过关测-------------------------------

一、单选题

1.在RSABC中，ZC=90°,ZB=30°,则（）

A.AB=2ACB.AC=2ABC.AB=ACD.AB=3AC

2.“求证：Rt2\A8C的两个锐角/A,中至少有一个不大于45。.”用反证法证明这个命题时，应先假

设（）

A.ZA>45°,ZA?>45°B.45°,ZB>45°C.ZA<45°,ZB<45°

D.ZA<45°,NB«45。

3.已知直角三角形一个锐角60。，斜边长为2,那么此直角三角形的周长是（）

A.-B.3C.V3+3D.^^2

22

4.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,4=30。，4c=2,点D是A3的中点，DE±AC,则OE的长

度是（）

12

B

C.2D.4

5.如图，在三角形纸片ABC中，AE=6,ZA=30°,ZC=90°,将/A沿。七折登，使点4与点月重合,

则折痕的长为（）

1.5C.2D.3

6.如下图左，在平面直角坐标系中，直线A8与人轴的夹角为60"且点A坐标为（-2,0）,点6在人轴上方,

设•=〃，那么点B的横坐标为（）

2+-

22

7.将一副直角三角板和一把宽度为女m的直尺按如图方式摆放：先把60。和45。角的顶点及它们的直角边重

合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿

)

C.3D.36

8.如图，VABC中，AB=AC,ZBAC=120°,于点。，/?£氏二60。，点E在边区4上，点尸在

边AC上，连接EF.若AE=6,A8=32,则线段4尸的长为（）

A

13

A.10B.12C.13D.14

9.图1是第七届国际数学教育大会（/CME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能

组合得到如图2所示的四边形Q4BC；若A8=8C=1,且ZAQ8=3O°,则OC的长度为（）

图2

c.6D.73

1（）.如图，OE是等边V4OA的中线,OB=8,C是直线OE上一动点，以AC为边作等边三角形AC。，连

接ED,下列说法正确的是（）

B.的最大值是2

C.E。的最小值是4D.EO的最大值是4

二、填空题

11.如图，AB=AC=6,ZC=15S8Z）_LAC交CA的延长线于点。，则8£>=

12.如图，在.ABC中，/AC8=90。，CO是高，若NB=30。，AD=\,则—

DEJ.AC于点、E,若CE=0.5,那么A8的长是

14

A

14.如图，在等边VA8C中，80平分NA8C交AC于点。，过点。作OE_LBC于点E,且"=12,则3£

的长为.

15.如图，一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔。在A的北偏东6()。方向，航行50海里到达B处，

此时测得灯塔P在B的北偏东15。方向上.则ZAPB=:轮船到灯塔P的距离PB=海里.(结果

保留根号)

北

■^东/P

A-----------“B

16.如图.在△ABC中，/C=90。,ZABC=30°.AC=3.点。为V4AC外一点.满足ZBAD=15。，ZABD=30°.

则△A3。的面积是.

17.如图，在A45C中，4。=90,点。是边的中点，ZB=ZACE,DE=4,CE=Ji6,则A8的

长为一.

BC

15

18.如图，在中，BP.LAP,,4^=2,ZA=30°,且［QiQ}P21AP1,P2Q21AB,Q2P.1AP}t

L,QnP„±AB,Plt+lQfl±AP,,则八通且通的值为.

三、解答题

19.如图，在VA3C中，ZC=120°,4c=10,&7=8,求VABC的面积.

C

20.用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

已知：如图，N1是AABC的一个外角.

求证：Z1=ZA+ZB.

21.如图，已知在VABC中，AB=AC,。为BC边的中点，过点。作。石工/IB,OF1AC,垂足分别为E,

F.

⑴求证：DE=DFx

(2)若NC=60。，BE=2,请直接写出VABC的周长.

22.如图所示,在等边VA3c中，点。是4c的中点，DEI4?于点E,作b〃4c交AC于点F,8E=3cm.

16

B

E.

1

(1)求证：是等边三角形；

⑵求的周长.

23.如图，等腰VABC中，A8=AC,点。在AC上，点E在BC延长线上，连接87)、ED,且BD=ED.

图1图2

(1)求证：ZABD=NCDE；

(2)若NA=60。，且AB=3,AD=\,求BE的长.

24.如图，VA3C是边长为12cm的等边三角形，点RQ分别从顶点A区同时出发，点P沿射线AB运动，

点。沿折线BC-CA运动，且它们的速度都为1cm/s,当点。到达点A时，点P随之停止运动，连接PQ,PC,

设点〃的运动时间为f(s).

(1)当点。在线段4c上运动H寸，BQ的长为(cm),3P的长为(cm)(用含f的式子表示).

(2)当尸。与VA3c的一条边垂直时，求/的值.

⑶当点。从点C运动到点A的过程中，连接尸。，直接写出P。中点。经过的路径长.

25.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,0),点B在第一象限，△OAB为等边三角形，点(?为＞轴上任

意一点，以AC为边在AC下方作等边△D4C,连接8C,OD.

17

图①图②备用图

(1)如图①，当点C在轴正半轴上时，求证：OD=BC；

(2)如图②，当点C在了轴负半轴上时，请在图2中补全图形，声直接写出OO与8c之间的数量关系:

⑶根据上述探究，请判断。。的长是否存在最小值？若存在，求。。氏的最小值，并求此时点。的横坐标;

若不存在，请说明理由.

26.已知：如图，在等边VA8C中，点。是AC上任意一点，点后在4c延长线上，连接D8,使得BD=DE.

(1)如图I：求证：AD=CE；

(2)如图2,取80的中点F,连接AE、AE,求证：NCAE=/BAF；

(3)如图3,在(2)的条件下，过点〃作尸〃_LA《于点”，求证：EH=3AH.

18

第03讲等腰三角形（第3课时）

y模块导航素养目标

模块

一思维导图串知识i.掌握反证法的概念，学会用反证法证明;

块

模

二基础知识全梳理（吃透教材）2.知道直角三角形30。角的性质；

块

模

三核心考点举一反三3.学会等腰三角形的综合应用。

块

模

四

小试牛刀过关测

3模块一思维导图串知识

（考点9:等腰三角形难点分析

6模块二基础知识全梳理

知识点1反证法

引入：小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.你认为小明这个

结论成立吗?如果成立，你能证明它吗？

小明是这样想的：如图1-9,在AABC中，已知NBrNC,此时AB与AC要么相等，要么不相等.

假设AB=AC,那么根据“等边对等角“定理可得NC=NB,这与已知条件NB彳NC相矛盾，因此AB彳AC.

图1-9

小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已自定理或已知条件相矛盾的

19

结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.

要点：一般证明步骤如下：

(1)假定命题的结论不成立；

(2)从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、

性质或题设条件相矛盾的结果：

(3)由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.

例用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.

已知:AABC.

求证：NA,NB,NC中不能有两个角是直角.

证明：假设/A,NB,NC中有两个角是直角，不妨设NA和NB是直角，即NA=9(T,NB=9()。

TZA+ZB+ZC=90°+90°+ZC>180°.

这与三角形内角和定理相矛盾，因此“NA和/B是直角”的假设不成立.

所以，一个三角形中不能有两个角是直角.

知识点2含有30。角的直角三角形

思考：用两个含30。角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗？由此你能发

现什么结论?说说你的理由.

定理在直角三角形中，如果一个锐角等于3()。,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

己知：如图1-10(1),ZkABC是直角三角形，ZC=90°,ZA=30°.

求证：BC=-AB

2

图1-10

证明：如图1-10(2),延长BC至D,使CDnBC,连接AD.

,/ZACB=90°,ZBAC=30°,

；・ZACD=90°,ZB=60°.

VAC=AC,

，AABC^AADCCSAS).

・・・AB=AD(全等三角形的对应边相等).

/.△ABD是等边三角形(有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形).

20

・•・BC=-BD=-AB

22

例求证：如果等腰三角形的底角为15。,那么腰上的高是腰长的一半.

已知：如图1-11,在AABC中,AB=AC,NB=15o,CD是腰AB上的高.

VAB=AC,ZB=I5°,

:.ZACB=ZB=15°（等边对等角）.

・•・ZDAC=ZB+ZACB=15°+15°=3O°.

VCD是腰AB上的高，

••・ZADC=90°.

・•・（在直角三角形中，如果一个锐角等于30。,那么它所对的直角边等于斜边的一半）.

2

：,CD=-AB

2

6模块三核心考点举一反三

考点一：用反证法证明的步骤辨析

例1.用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45。”时，首先应该假设这个三角形中（）

A.有一个内角小于45。B.每一个内角都大于等于45。

C.有一个内角大于等于45。D.每一个内角都小于45。

【答案】B

【分析】此题考杳了反证法，反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立.解此题关键要懂得

反正法的意义及步骤.

【解析】解：用反证法证明"钝角三角形中必有一个内角小于45。”时，

应先假设这个三角形中每一个内角都不小于45。，即每一个内角都大于或等于45。.

故选：B.

【变式1-11.用反证法证明"三角形中必有一个内角不大于60。”时，应假设（）

A.有一个内角小于60。B.每一个内角都小于60°

C.有一个内角大于60°D.每一个内角都人于60°

21

【答案】D

【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.在假设结论不成立时要注

意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一

一否定.

根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反而成立解答即可.

【解析】解：第一步应假设结论不成立，即每一个内角都大于60。.

故选：D.

【变式1-2].我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60。”.下面写出了

证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于180”这个定理矛盾.②所以在一个三角形中，

至少有一个内角小于或等于60。.③假设三角形没有一个内角小于或等于60。，即三个内角都大于60。.④

则三角形的三个内角的和大于180°.这四个步骤正确的顺序是.

【答案】③④①②

【分析】此题主要考查了反证法的步骤，三角形的内角和定理.解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.

【解析】鼾：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60。.

证明：假设三角形没有•个内角小于或等于60。，即三个内角都大于60。，

则三角形的三个内角的和大于180°,

这与“三角形的内角和等于180。”这个定理矛盾，

所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60。.

则四个步骤正确的顺序是③④①②，

故答案为：③④①<2).

【变式1-3].小明白解答''已知VANC中，AB=AC,求证N〃<90。”这道题时，写出了下面用反证法证明

这个命题过程中的四个推理步骤：

(1)所以N8+NC+ZA>180°,这与三角形内角和定理相矛盾.

(2)所以/8<90。.

(3)假设4290°.

(4)那么，由A3=AC,得N8=NCN90。，B|JZB=ZC>90°,B|JZB+ZC>180°.

请你写出这四个步骤正确的顺序.

【答案】(3)(4)(1)(2)

【分析】本题考查的是反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从

这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾飞③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.根据

反正法的一般步骤解答即可.

【解析】证明：假设N8N90。，

那么，由A5=AC,得N2=NCN90。，gpZB+ZC>180°,

所以ZB+NC+ZA>180°,这与三角形内角和定理相矛盾，

22

所以N8<90。，

所以这四个步骤正确的顺序是(3)(4)(1)(2),

故答案为：(3)(4)(1)(2).

考点二：用反证法证明

2.如图，在同一平面向，已知A8_L直线/于点EC。与直线/相交(且不垂直)于点E.求证:

AB与CD必相交.

这与CO与直线/不垂直相矛盾.

••・假设AB与C。不相交.

.：A6与CD.

【答案】AB,CD,不成正，必相交

【分析】本题考查反证法，根据反正法假设结论成立，推出与已知矛盾，进行作答即可.

【解析】证明假设AB与CO不相交，则A8〃8.

・・・AB1/,

这与CD与直线/不垂直相矛盾.

•.・假设AB与CD不相交不成5.

.•.48与。。必相交.

【变式2-1].用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角.

已知：在^ABC中，AB=AC.求证：ZB,NC必为锐角.

【答案】见解析.

23

【分析】假设结论不成立，则NB,NC为直角或钝角，再分别得出与三角形的三个内角和等于180。相矛盾

的结论，则假设不成立，故得证.

【解析】假设结论不成立，则NB,/C为直角或钝角，

VAB=AC,

AZB=ZC,

当NB=NC为直角时，ZB+ZC=180°,这与三角形的三个内角和等于180。相矛盾；

当NB=NC为钝角时，ZB+ZOI800,这与三角形的三个内角和等于18（）。相矛盾.

综上所述，假设不成立，

AZB,NC必为锐角.

【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.反证法的步骤是：（1）

假设结论不成立：（2）从假设出发推出矛盾：（3）假设不成立，则结论成立.在假设结论不成立时要注

意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一

一否定.

【变式2-2].阅读下列材料：“为什么应不是有理数”.

假也是有理数，那么存在两个互质的正整数〃，使得a=",于是有2〃/=1.

m

是偶数，・・・〃2也是偶数，，〃是偶数.

设〃=2,■是正整数），则〃2=4/，・・・2/=*,

・•・加，〃都是偶数，不互质，与假设矛盾.

・••假设错误

•••Q不是有理数

有类似的方法，请证明G不是有理数.

【答案】见解析

【分析】利用类比的思想，仿照证“为什么V2不是有理数''来证明.

【解析】解：假设G是有理数，

则存在两个互质的正整数〃?，〃，使得百=°,

m

于是有3〃=/，

V3上是3的倍数,

・•・/也是3的倍数，

，〃是3的倍数，

设〃=3,■是正整数），则1=9产，即9产=3病,

，3/=〃?2,

・•・州也是3的倍数,

24

・•・阳，〃都是3的倍数，不互质，与假设矛盾，

・•・假设错误,

・•・"不是有理数.

【点睛】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，从而得

到所求.

【变式2-3］.己知：如图，点。是△ABC内一点.

求正：AABD,ABDC,不可能都是锐角三角形.（用反证法证明）

【答案】证明见解析

【分析】先假设△AB。，△BOC,AAOC都是锐角三角形，则NAD8,/BDC,NAOC都是锐角，得NAD8+

N8DC+NAQC<360。，与已知矛盾，故可得证.

【解析】假设A"。，ABDC,A/l。。都是锐角三角形，则N4QB,NBDC,NAOC都是锐角，

・•・ZADB+ZBDC+ZADC<360°,

这与NADB+NBDC+ZADC=360c矛盾.

，假设不成立.

：.&ABD,&BDC,ZUDC不可能都是锐角三角形.

【点睛】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.反证法的步骤是：（1）假设结

论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立.在假设结论不成立时要注意考虑

结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就瓦以了，如果有多种情况，只要否定其一即

可.

考点三：直角三角形中30。角的性质

［、］例3.在中，ZC=30°,斜边AC的长为10cm,则A3的长为（）

A.2cmB.5cmC.7cmD.10cm

【答案】B

【分析】本题考查含30度角的直角三角形，根据30度所对的直角边是斜边的一半，进行求解即可.

【脩析】解：:在中，ZC=30°,斜边4c的长为10cm,

/.AS=—AC=5cm；

2

故选B.

【变式3-1].如图，直角VA8C中，ZC=90",ZA=30°,且8C=6，AC=3,贝=()

25

c

A.6B.3+百C.3GD.2石

【答案】D

【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握直珀三角形中30度角所对的宜角边等于斜边

的一半，是解题关键.根据含30度角的直角三角形的性质求解即可.

【解析】解：・・・NC=90。，NA=30。，BC=6,

/.AB=2BC=26,

故选：D.

【变式3-2].如图，在AABC中,AB=BC,ZABC=120°,过点8作2DJ_BC,交AC于点。,若4。=1,

则C力的长度为（）

【答案】B

【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、含30。角的直角三角形的性质.掌握含30。角的直角三角形中，

30。角所对•的边等「斜边的一半是解答本题的关键.根据题意可求出NA=NA3£>=3（）。，即推出

AD=BD=\.在8△88中，利用含30。角的直角三角形的性质即可求出O'。长.

【解析】解：VZABC=120%ZDBC=90°,

・•・ZABD=ZLABC-ZDBC=120°-90°=30°.

VAB=BC,Z4BC=120°,

:.ZA=ZC=3O°,

，ZA=ZABD=30°,

JAD=BD=\,

在RtZXBCZ）中，NDBC=90。，NC=30。，BD=1.

：.8=240=2*1=2.

故选:B.

【变式3-3].如图，在VABC中，Z4Cfi=90°,CD上AB于点I）,若乙4=30。，BD=2,则超的长为（）

26

c

C.8D.16

【答案】c

【分析】本题考查了直角三角形的性质，山NACB=90。，NA=30。，则/8=60°,8C=g八月，乂8J.八月

得/CQ3=90°,故48=30。，然后根据30°角所对直角边是斜边的一半即可求解.，掌握知识点的应用是

解题的关键.

【解析】解：VZACB=90°,4=30。,

・・・/8=60°,BC=-AB,

2

•・・。。_148于点。，

ZCDB=90°,

AZBCD=30°,

.•・BD=、BC=2,

2

・•・BC=4,

/.AB=S,

故选：C.

考点四：直角三角形中30。角性质的有关解答证明

△I例4.如图所示，在V4BC中，4。8=90。,/3=30℃。_1八8于点。，AO=1.7,求AB的长.

【答案】6.8

【分析】本题考查了含30。角的直角三角形的性质，3()。所对的直角边等于斜边的一半.是基础知识要熟练

掌握.

由ZAC8=90。，NB=30°,CD_AB,得NACO=N8=30。，得出AC,即可得到A8的长.

【解析】解：VZACB=90°,ZB=30°,CDLAB,

：.AACD+/BCD=90°，ZBCD+Z£?=90°,

・•・ZAC£>=ZB=30°,

•/AD=1.7,

27

，AC=2AO=3.4,

:.A8=24C=6.8.

【变式4-1].如图，在VA3c中，AI3=AC,ZB/AC=120°,。为4c的中点，DE/AC于前E,AE=\,

求CK的长.

【答案】CE=3.

【分析】本题考查广等腰三角形的性质，三线合•和含30。的特殊直角三角形的性质.连接AZ)，利用等边

对等角得N4=NC=30°,在中，得AD=16,在R^4)C中，得AC=4,即可求出CE的长，熟练

运用三线合一的性质是解题的关键.

【解析】解：连接A。，

VAB=AC,N84C=I2O。，。为BC的中点，

AAD.LBC,AO平分/3AC,ZB=ZC=30°,

•••ND4C=L/R4C=60。，

2

DEJ.AC,

・•・ZAED=90°,

・tZA£)E=30°,

在中，AE=\,NAO£=30。，

/.AD=2AE=2,

在Rt“DC中，A£)=2,ZC=30°,

工AC=2AD=4,

：.CE=AC-AE=4-\=3.

【变式4-2].如图，在等边三角形ABC中，点。，E分别在边8C,AC上，。石〃,过点E作所J_。石,

交直线8C于点尸求证：DE=；DF.

28

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，直角三角形30°角所对直

角边等于斜边一半，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

根据等边一:角形的性质得到N8=60。，再根据平行线的性质得到NEDF=N8=6