2025年北师版八年级数学寒假预习 第04讲 直角三角形

第04讲直角三角形

y模块导航y素养目标。

模块

一思维导图串知识1.了解直角三角形的两个锐角互余及其逆定理;

模块

二基础知识全梳理（吃透教材）2.学会勾股定理及其逆定理；

模块

三

核心考点举一反三3.掌握互逆命题、互逆定理有关概念及应用；

模块

四

小试牛刀过关测4.学会用HL判定直角三角形全等。

模块一思维导图串知识

r1.从角的角度研究直角三角形的性质和判定

-2.从边的角度研究直角三角形的性质和判定

知识梳理

-3.互逆命题

'4."HL"

＜考点1：写出逆命题并判断真假

：考点2:逆命题、逆定理的综合辨析及证明

,考点3:直角三角形的两个锐角互余

考点4：锐角互余的三角形是直角三角形

/考点5:"HL"的解答证明

"HL”的概念辨析及应用

考点举一反三

利用勾股定理求解直角三角形

L考点8：验证勾股定理及有关面积问题

I考点9：勾股定理的逆定理及其应用

I考点10：折叠问题

4考点11：网格问题

'、考点12:勾股定理及其逆定理的解答证明

6模块二基础知识全梳理

知识点1从角的角度研究直角三角形的性质和判定

思考：（1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系?为什么？

（2）如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗?为什么？

定理直角三角形的两个锐角互余

1

定理有两个角互余的三角形是直角三角形.

定理证明：

(1)已知:如图1,在RtAABC中,ZC=90°.

求证：ZA+ZB=90°.

证明：在△ABC中，ZA+ZB+ZC=180°.

•・,NC=90。，

Z.ZA+ZB=1800-ZC=180°-90°=90°.

(2)已知：如图2,在^ABC中，ZA+ZB=90°.

求正：△ABC是直角三角形.

证明：在△ABC中，ZA+ZB+ZC=180°.

VZA+ZB=90°.

••・NC=180°-(ZA+ZB)=180°-90°=90°.

•••△ABC是直角三角形.

知识点2从边的角度研究直角三角形的性质和判定

1.勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

有关证明过程参见教材本节“读一读”.

2.反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形

是直角三角形”的结论.下面我们证明这个结论

已知：如图12(1),在^ABC中，AB2+AC2=BC2.

求证：△ABC是直角三角形.

图1-12

证明:如图1-12(2),作RtAA'B'C',

/A'=90°,A'B'=AB,A'C'=AC,

则A'B'2+A'C'2=B'C'2(勾股定理).

VAB2+AC2=BC2,

.*.BC2=B'C，2.

.*.BC=B'C

:.△ABCg^A'B'C(SSS).

.,.ZA=ZA'=90°(全等三角形的对应角相等)

因此，△ABC是直角三角形.

2

定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

知识点3互逆命题

思考与交流：观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系?第三个定

理和第四个定理呢?与同伴交流.

再观察下面三组命题：

如果两个角是对顶角，那么它们相等;

如果两个角相等，那么它们是对顶角.

如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧;

如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.

一个三角形中相等的边所对的角相等;

一个三角形中相等的角所对的边相等.

上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流.

结论：在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命

题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它

也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.例如，本节课学习的第一个定理和第二

个定理就是一对互逆定理，第三个定理和第四个定理也是一对互逆定理(即勾股定理及其逆定理).

你还能举出一些互逆定理的例子吗？

知识点4“HL”

己知：如图1-14,线段a,c(a<c),直角a.

求作：氐△ABC,使NC=Na,BC=a,AB=c.

小明的作法如下：

⑴作/A/CN=Na=90°.(2)在射线CW上截取8=

MM

(3)以点8为圆心，线段c的长为半径作(4)连接48,得到R1448C.

弧，交射线CN于点4

M

你作的直角三角形与小明作的全等吗？

定理斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简述为“斜边、直角边”或“HL”

定理证明：

3

己知：如图1-15,在△ABC与△A'B'C'中，ZC=ZC,=90°,AB=A，B，,AC=A，C，.

求证：△ABC^AA'BV.

AA!

图1-15

证明：在△ABC中，

;ZC=90",

・•・BC2=AB2_AC2（勾股定理）.

同理,B'C'2:A'B'2-A'C'2.

VAB=A'B',AC=A'C,

ABC=B'C，.

.,.△ABC^AA'B'C（SSS）.

6模块三核心考点举一反三-----------------------------

考点一：写出逆命题并判断真假

1例I.命题“两个全等图形的面积相等”的逆命题是.

【变式1-1]直角三角形的两锐角互余.”的逆命题是，它是命题（填“真”或“假”）

【变式1-2].我们知道等腰三角形的两个底角相等，简记为“等边对等角“，则它的逆命题是—命题.（填

“真”或“假”）

【变式1-3].命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题是（"如果……那

么……”的形式表示）.

考点二，逆命题、逆定理的综合辨析及证明

例2.下列说法中正确的是（）

A.任何一个命题都有逆命题

B.若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题

C.任何一个定理都有逆定理

D.若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题

【变式21】.下列说法正确的有（）

①所有定埋都是真命题②真命题的逆命题是真命题

③假命题的逆命题是真命题④每个定理都有逆定理

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式2-2].己知命题：等腰三角形底边上的中线和顶角的平分线重合.证明这个命题，并写出它的逆命

题，逆命题成立吗？

【变式2-3].写出定理“等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高线互相重合”的逆命题，并证明这个命题

是真命题.

4

逆命题:

已知:

求证:

考点三：直角三角形的两个锐角互余

a例

3.在RtZ\A8c中，ZC=90°,ZA=48°,则的，复数为.

【变式3-1].如图，在VABC中，AB=AC,4。是中线，若/C=72。，则NK4。的度数为

在V48C中，ZC=90°,ZA=2ZB,则N3的度数为（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

【变式3-3].如图，在VA8C中，ZACB=9O°,。。是A8边上的高，/8=60。，80=4,则A。的长

考点四：锐角互余的三角形是直角三角形

例4.在VA8C中，下列哪组条件不能判定VABC是直角三角形（）

A.NC:N8:ZA=2:2:4B.AB=5,4c=12,BC=\3

C.ZC:ZB:Z4=3:4:5D.Z4+ZC=Z5

【变式4-1].如图，点E、/分别在CD、A8上，连接BECF、DF,BEJ.0F于点G,ZC=Z7.

⑴求NC尸。的度数；

（2）若N2+N£>=90。，求证：AB/7CD.

【变式4-2].已知：如图，在VA3C中，AO/4C于点。，E为AC上一点，且80=4）,DF=DC.猜

想正与AC的关系，井说明理由.

5

【变式4-3].如图，在VA3C中，A8JL8C,点。在边8C上(不与点3,点。重合).

(1)若点尸在边4c上，且NPDC=NBAC,求证：PDA.AC,

(2)请用尺子在图中画出八4£＞。的边A。上的高CE,若44=4cm,AD=5cm,DC=6cm,求CE的长度.

考点五：“HL”的解答证明

由例

5.如图，点8,F,C,E在一条直线上，AB=DE,BF=CEtZA=ZD=90°.求证:

△ABC@ADEF.

【变式5-1].如图，已知8E=C尸，交AB的延长线于点区DF/AC于点、F,旦BD=CD.求

证：NBED^CFD.

【变式5-2].如图，在VA4c中，NACZ?=90。，。为AC延长线上一点，点E在3c边上，且CE=C。，AE=BD.

(1)求证：“ACEABCD：

6

(2)若NCAE=25。，求NBZ汨的度数.

【变式5-3].如图，BD,CE是VA8C的高，RBD=CE.

⑴求证：V48C是等腰三角形：

(2)若44=60。，4?=2,求VA8C的高80.

考点六：“HL”的概念辨析及应用

例6.如图，因为：PD1AB,PELAC,垂足分别为。、E,且AO=AE,所以尸D与上加史全

E

A.SASB.AASC.SSSD.HL

【变式6-1].下列关于直角三角形全等的说法中，不正确的是()

A.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

B.有一边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等

C.有两角对应相等的两个直角三角形全等

D.有一边和两角对应相等的两个直角三角形全等

【变式6-2].如图，ZB=ZD=90°,添加-一个条件，可使用“HL”判定RtAABC与RtW全等，以下给出

的条件适合的是()

A.AB=BCB.ZBAC=ZDACC.AB=ACD.AB=AD

7

【变式6-31题目：“在NABC和dEC中，两个三角形的高线分别为A。和4。，/B=/£=30,A8=A6,

AC=A'C,AO=A。'，且八已知/C=〃，求NC'的度数.”对于其答案，甲答：/C'=〃，

乙答：ZC=15O,丙答：ZC=18O-〃，则正确的是（）

A.只有甲答的对B.甲、丙答案合在一起才完整

C.甲、乙答案合在一起才完整D.三人答案合在一起才完整

考点七：利用勾股定理求解直角三角形

、例7.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长是（

A.5B.25C."D.5或疗

【变式7-1].下列说法正确的是（）

A.若“，b,。是VA8C的三边，则"+〃=/

B.若。，b,c是RJABC的三边,则一+从=）

C.若。，b,c是用..ABC的三边，ZA=90°,则/+。2=。2

D.若叫b.。是心二AAC的三边，NC=90。，则

【变式7-2】.如图，在VA5C中，44。8=90。,。。_148于点。，AC=12,BC=5,则的长为（）

效段

A,B.6c.D.4

【变式7-3].在中，ZC=90°,A8=3,则/W?+以丁+AC?的值为（）

A.24B.18C.12D.9

考点八：验证勾股定理及有关面积问题

例8.如图，A,B,C是三个正方形，当B的面积为14,C的面积为19时，则A的面积为

【变式8-1].如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“勾股园方图“（又称赵爽弦图），

它是由四个全等的宜角三角形（直角边分别为mb,斜边为c）与中间的一个小正方形拼成的一个大正方

形.如果大正方形的面积为11,小正方形的面积为3,则/+//的值为（）

8

A.68B.89C.119D.130

【变式8・2】.如图，在四边形ABO£中，AB//DE,AB上BD,点C是边BD上一点,BC=DE=a,

CD=AB=b,AC=CE=c.下列结论：①二ABC三4cOE；②ZAC石=90。；③四边形ABOF的面积是

2

⑹；@l（6r+^）-lc=2xl^;⑤该图可以验证勾股定理.其中正确的结论个数是（）

A.5B.4C.3D.2

【变式8-3】•下面图形能够验证勾股定理的有（）个

考点九：勾股定理的逆定理及应用

1例9.若一个三角形的三边长分别为1、3和加，则这个三角形的面积是（）

A.3B.—C.3A/10D.-

22

【变式9-1].下列各组线段中的三个长度：09,12,15：②7,24,25；（3）32,42,52；④3a,4a,5a

（a>0）；⑤m2-M,2mn,m24n2（m,n为正整数，且m>n）其中可以构成直角三角形的有（）

A.5组B.4组C.3组D.2组

【变式9-2].已知某开发区有一块四边形空地人4C。,如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量NA=90。,

NC8O=90。，DB=5m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需要200元，问需要多少投入？

9

C

D

考点十：折叠问题

'例10.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边4C=6cm、BC=8cm,现将△A8C折叠，使点8

与点A重合，折痕为OE,则BE的长为（）

A.4cmB.4.75cmC.6cmD.5cm

【变式10-1].如图，在纸片中，NA8C=90。，将其折置，使得点。与点A重合，折痕为QE,若

AB=3）an,AC=5cm,则aABE1的周长为（）

【变式10-2].如图在RlZ\A8C中，ZBAC=90°,A8=9,AC=6t将VABC沿折叠，使点3刚好落

在AC边的中点尸处，则口。的长为.

【变式10-3].如图，有一块直角三角形纸片，ZC-90%AC=8,BC—6,将斜边A5翻折，使点6落在

10

宜角边AC的延长线上的点E处，折痕为4。，则3。的长为（）

考点十一：网格问题

|A^例11.如图，在4x4的网格中，每个小正方形的边长均为I,点A,B,C都在格点上，ADJ.BC于

点D,则从。的长为（〉

【变式11-1].已知在正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中，格点V48C（即VA8C的三个顶点都

在小正方形的顶点处）的三条边A8,AC,BC的长分别为石，2叵,J/.

（1）在网格中画出VABC.

（2）求边AC上的高.

【变式如图，每个小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点.

II

(1)AB=_；BC=_.

(2)试判断VA4C是什么三角形，并说明理由.

【变式11-3].如图，在单位为1的正方形网格图中有小b,c,d四条线段，从中任取三条线段所构成的

三角形中恰好是直角三角形的个数为()

个C.3个D.4个

考点十二：勾股定理及其逆定理的解答证明问题

12.如图，△4DC中，AD=13cm,AC=12cm,DC=5cm,8是CO延长线上的点，连接AB,

若4区=15cm,

A

C

(1)说明NAC8为直角,

(2)求8。的长.

【变式12-1].如图，四边形A8CO中，？490?,AC为对角线，DEJ.AC于E,AB=8,BC=6,CD=2岳,

AD=2yfU).

⑴求证：ZADC=90°；

(2)求线段。上的长.

12

【变式12-2].如图，V4BC中，AB=2,BC=\,NA8C=45。，分别以AB、AC为直角边向外作等腰直

角△A8O和等腰直角IWCE.

⑴求证：CD=BE；

(2)求跖的长.

【变式12-31.如图，四边形A4C。中，NB=30。,过点A作AE_L于点七，E恰好是4c的中点，若

AE=GOC=I,AO=旧.

⑴直接写出四边形A8C。的周长:

(2)求四边形同8CO的面积.

6模块四小试牛刀过关测-----------

一、单选题

1.下列各组数中，能构成直角三角形的一组是＜)

A.1,2,3B.1,1,y/2C.2,3,4D.7,15,17

AC=\O,AB=6,求BC的长是（）

C.4D.7

3.下列定理中，有逆定理的是()

A.两直线平行，内错角相等B.全等三角形的对应角相等

C.等底等高的两个三角形面积相等D.对顶角相等

4.如图，已知点A、。、C、厂在同一条直线上,ZB=ZE=90°.AB=DE,若添加一个条件后，能用“HL”

的方法判定R於ABC^Rt^DEF,添加的条件可以是()

13

BE

A.BC=EFB.ZBC4=ZFC.AB//DED.AD=CF

5.如图，VABC的顶点在边长为1的正方形网格的格点上,COJLA8于点。，则C。的长为（）

21

D.

0TT

6.如图，RSA8C中，NACB=90。，N8=50。，D,b分别是BC,AC上的点，DELAB,垂足为E,CF

=BE,DF=DB,则NAOE的度数为（）

50°C.70°D.71°

7.如图，RSA8E中，N5=90。，延长BE到C,使£C=力区分别过点C、E作8C、AE的垂线，两线相

交干点D,连接/W.若A8=3,DC=4,则40的长是（)

C.5及D.无法确定

8.如图，在RtaAAC中，NACB=90。,AC=6,BC=8,将边8c沿CK翻折，点8落在点尸处，连接

交A8于点。.则产。的最大值为（）

14

6

c,ID.

5

二、填空题

9.如果两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等，其逆命题

是,这个逆命题是.命题.

10.如图，AB=DC,AE±BC,DF工BC,要根据“HL”证明也口△£>0,则还需要添加一个

条件是

AB=AD,/84。=130°,则N£>C4=

12.如图，在△A灰?中，A4=10,BC=9,4C=17,则8C边上的高为.

A

13.如图所示,已知在此一/WC中，A3=4,分别以4所,BC为直径作半圆，面积分别记为％§2,则，+邑

的值等于.

15

14.如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中/1+N2+N3+N4+N5的度数为

三、解答题

15.已知，如图，VABC中，AD平分NB4C,DEJ.AB,DF1AC,垂足分别为E、F,且BO=CO.求

证：AB=AC.

16.已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”.

(1)写出此命题的逆命题；

(2)逆命题是真命题还是假命题？若为真命题，请画出图形，写出“己知”，求证并证明；若为假命题，请

举反例说明.

17.如图，在RtZXABC与Rl.A£＞石中，ZC=ZE=90°,BC=DE,BC与DE交于点、F,月.NK4E=ND4C,

求证:

(1)ZB=ZD；

(2)BF=DF.

18.问题背景：

在VzABC中，已知A3=6，ACy/w,BC=A，求这个三角形的面积.

16

一名同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点VABC

(即4B、C三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示，这样不需，VA8C的高，而借用网格就能

计算出它的面积.

国2

⑴请你直接写出7ABe的面积—

思维拓展:

⑵我们把上述求VA3c面积的方法叫做构图法，若△A4G三边的长分别为6/、2亿、疯«4>0),请利用

图2的正方形网格(每个小正方形的边长为。)画出相应的△A/C，并求出它的面积.

19.在中，ZACB=90°,4C=8,48=10.

(1)如图1,求点。到边AB的距离;

(2)如图2,点M是线段A8上一旬点.过点M作MNJ.AB交AC于点、N,当MN=CN时,求MN的长;

(3)如图3,点M是直线A8上一切点,连接CM,请直接写出当AM为何值时，ZVICM为等腰三角形.

20.在A仁中，AB=AC.

(1)如图1、求证：ZB=ZC：

(2)如图2,D为AB上一点,连接CD,七为CO中点，过点E作用'_LC。于点E,连接人?,尸。，求证:

FC=FD；

(3)如图3,在(2)的条件下，过点尸作于点从连接4F,若AF〃BC,FH=4,CH=20,BD=10,

求△AOF的面枳

21.如图，△ABC'和△七都是等腰二角形，具中A8=AC,AD=AE,NBAC=NDAE.

17

E

E

C

D

BA

图①

(1)如图①，连接BE、CD,求证：BE=CD；

(2)如图②，连接8。、CD,若N8AC=NOAE=60。，CDLAE,AO=3,CD=5,求8。的长；

(3)如图③，若N8AC=ND4E=90。，且。点恰好落在OE上，试探究CO、CE和CA之间的数量关系,

并加以说明.

18

第04讲直角三角形

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一思维导图串知识i.了解直角三角形的两个锐角互余及其逆定理;

块

模

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块

模

三核心考点举一反三3.掌握互逆命题、互逆定理有关概念及应用；

块

模

四

小试牛刀过关测4.学会用HL判定直角三角形全等。

3模块一思维导图串知识

r1.从角的角度研究直角三角形的性质和判定

「2.从边的角度研究直角三角形的性质和判定

知识梳理

-3.互逆命题

4."HL”

考点1：写出逆命题并判断真假

考点2:逆命题、逆定理的综合辨析及证明

考点3:直角三角形的两个锐角互余

直角三角形＜考点4：锐角互余的三角形是直角三角形

＜考点5:"HL"的解答证明

「考点6:"HL”的概念辨析及应用

考点举一反三

一考点7:利用勾股定理求解直角三角形

I考点8:验证勾股定理及有关面积问题

考点9:勾股定理的逆定理及其应用

考点10：折叠问题

考点11：网格问题

考点12:勾股定理及其逆定理的解答证明

6模块二基础知识全梳理

知识点1从角的角度研究直角三角形的性质和判定

思考：（1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系?为什么？

（2）如果•个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗?为什么？

定理直角三角形的两个锐角互余.

19

定理有两个角互余的三角形是直角三角形.

定理证明：

(1)已知:如图1,在RSABC中,ZC=90°.

求证：ZA+ZB=90°.

证明：在AABC中，ZA+ZB+ZC=180°.

•・•ZC=90°,

••・ZA+ZB=180°-ZC=18O°-9O°=9O°.

mi图2

(2)已知：如图2,在AABC中,ZA+ZB=90°.

求证：AABC是直角三角形.

证明：在AABC中，ZA+ZB+ZC=180°.

VZA+ZB=90°,

・•・ZC=180°-(ZA+ZB)=180°-90°=90°.

•••△ABC是直角三角形.

知识点2从边的角度研究直角三角形的性质和判定

1.勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

有关证明过程参见教材本节“读一读”.

2.反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形

是直角三角形”的结论.下面我们证明这个结论

已知:如图1-12(1),在AABC中,AB2+AC2=BC2.

求证：^ABC是直角三角形.

(1)(2)

图1一12

证明：如图1-12(2),作RSABC,

NA'=9()°,A'B'=AB,A'C'=AC,

则AE2+AC，2=BC2(勾股定理).

•••AB2+AC2=BC2,

，BC2二B，CZ

/.BC=B'C

..•△ABCg△A'B'C(SSS).

・•・ZA=ZA'=90°(全等三角形的对应角相等)

因此，AABC是直角二角形.

20

定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

知识点3互逆命题

思考与交流：观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系?第三个定

理和第四个定理呢?与同伴交流.

再观察下面三组命题：

如果两个角是对顶角，那么它们相等;

如果两个角相等，那么它们是对顶角.

如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧;

如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.

一个三角形中相等的边所对的角相等;

一个三角形中相等的角所对的边相等.

上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流.

结论：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命

题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它

也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.例如，本节课学习的第一个定理和第二

个定理就是一对互逆定理，第三个定理和第四个定理也是一对互逆定理(即勾股定理及其逆定理).

你还能举出一些互逆定理的例子吗？

知识点4“HL”

已知：如图1-14,线段a,c(a〈c),直角a.

求作：R/ABC,使NC=/a,BC=a,AB=c.

图1一14

小明的作法如下：

⑴作N"CN=Na=90°.(2)在射线CM上截取C8=G.

(3)以点8为圆心，线段c的长为半径作(4)连接力凡得到

弧，交射线CN于点4

21

你作的直角三角形与小明作的全等吗？

定理斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简述为“斜边、直角边''或“HL”

定理证明：

己知：如图1-15,在^ABC与AAHC中，ZC=ZC'=90°,AB=A,B\AC=A'C;

求证：△ABC^AA,B,C,.

图1-15

证明：在ZiABC中，

ZC=90°,

•••BC2=AB2・AC2（勾股定理）.

同理，BC，2=AB2ACZ

VAB=A,B',AC=A,C',

.*.BC=BC;

/.△ABC^AA'B'C（SSS）.

6模块三核心考点举一反三-----------------------------

考点一：写出逆命题并判断真假

、例1.命题“两个全等图形的面积相等”的逆命题是.

【答案】面积相等的两个图形是全等形

【分析】本题考查命题概念，弄清楚命题的条件和结论是写出逆命题的关键.

根据逆命题的定义，即可解答.

【解析】解：命题“两个全等图形的面积相等”的逆命题是：面积相等的两个图形是全等形，

故答案为：面积相等的两个图形是全等形.

【变式皿】.“直角三角形的两锐角互余.”的逆命题是,它是命题（填“真''或"假”）

【答案】如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形真

【分析】本题主要考查命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个

命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命

题.先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据直角三角形的判定判断即可.

【解析】解：“百角二角形的两锐角互余的逆命题是如果二角形有两个锐角互余,那么这个二角形是有角

三角形，是真命题，

故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形；真.

【变式1-21.我们知道等腰三角形的两个底角相等，简记为“等边对等角“，则它的逆命题是—命题.（填

“真”或“假”）

【答案】真

【分析】本题考查了命题及逆命题，先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命

题的逆命题，继而也能判断出真假，掌握互逆命题的定义是解题的关键.

22

【解析】解：・・・原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等“，

・•・命题”等腰三角形的两个底角相等'’的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形“，是真命题，

故答案为：真.

【变式1-31.命题“三个角都相等的三角形是等边三角形''的逆命题是（"如果……那

么……”的形式表示）.

【答案】如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个角都相等

【分析】本题考查了把命题改成''如果…，那么…”形式及逆命题的定义，关键是要找到什么是条件什么是结

论.本命题是判断•个三角形是等边三角形，所以“如果”后面的是三角形具备的条件，那么后面的是“等边

三角形”这一结论

【解析】解：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成"如果…，那么…”的形式为：如果一个三

角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形，

则逆命题是：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个角都相等.

故答案为：如果一个三角形是等逅三角形，那么这个三角形的三个角都相等

考点二：逆命题、逆定理的综合辨析及证明

02.下列说法中正确的是（）

A.任何一个命题都有逆命题

B.若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题

C.任何一个定理都有逆定理

D.若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题

【答案】A

【分析】本题考查了命题与定理，解题的关键是掌握命题与逆命题，定理与逆定理的概念和它们的关系.根

据命题与逆命题，定理与逆定理的概念逐项判断.

【解析】解：A、任何一个命题都有逆命题，故该选项正确；

B、原命题是假命题，它的逆命题不一定是假命题，故该选项错误；

C、不一定每个定理都有逆定理，故该选项错误：

D、一个真命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，故该选项错误；

故选：A.

【变式2-1】•下列说法正确的有（）

①所有定理都是真命题②真命题的逆命题是真命题

③假命题的逆命题是真命题④每个定理都有逆定理

A.I个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】本题考查了命题的真假、逆命题、定理及逆定理等相关命题知识.命题有真假之分，真命题的逆

23

命题未必是真命题，假命题的逆命题也可以是真命题：根据这些知识去判断即可.

【解析】解：定理是真命题，故所有定理是真命题，故①说法正确；

真命题的逆命题可以是真命题，也可以是假命题，如：若。=力，则/=/,此命题是真命题，但其逆命题

是假命题，故②说法错误；

假命题的逆命题可以是真命题，也可以是假命题，如：若则/>〃，此命题是假命题，其逆命题为：

若〃，则.>如此命题是假命题，故③说法错误；

并不是每个定理的逆命题都是正确的，即并不是每个定理都有逆定理，故④说法错误；

故正确的说法只有1个；

故选：A.

【变式2-2].已知命题：等腰三角形底边上的中线和顶角的平分线重合.证明这个命题，并写出它的逆命

题，逆命题成立吗？

【答案】证明见解析，逆命题是“一边上的中线和该边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形“，逆命题

成立

【分析】根据证明的步骤，先写出己知、求证，再写出证明过程，最后写出逆命题即可.

【解析】解：已知：如图，中，AB=AC,是8C边上的中线，

求证：ZBAD=ZCAD.

证明：AO是8c边上的中线，

:.BD=CD,

在△A3。和，A8中，

AB=AC

<AD=AD,

BD=CD

ACD(SSS),

：.^BAD=^CAD,

当AO是N8AC的平分线时，

:.BD=CD,

二等腰三角形底边上的中线和顶角的平分线重合，

它的逆命题是“一边上的中线和该边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形“，逆命题成立.

24

【点睛】本题主要考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一

个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，判断命题的真假，关键是要熟悉课

本中的性质定理.

【变式2-31.写出定理”等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高线互相重合”的逆命题，并证明这个命题

是真命题.

逆命题：.

已知：.

求证：.

【答案】一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形；如图所示，ADJ.BC,是

V力的角平分线；VA/C是等腰三角形；证明见解析.

【分析］根据逆命题可直接进行解答，然后写出已知求证，进而根据三角形全等进行求证即可.

【解析】解：由题意可得，原命题的逆命题为：一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰

三角形.这个命题是真命题.

己知，如图所示：

ADJ.BC,A。是VA3C的角平分线，求证VA8C是等腰三角形.

证明如下：

V\D1BC,

•••ZADB=ZADC,

•・•A。是的角平分线，

・•・/DAB=/DAC,

•・•AD=AD，

/.AABD^AACD,

/.AB=AC,

・••VA8C是等腰三角形.

故答案为：一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形；如图所示，AD1BC,AD是

V4HC的角平分线；VABC是等腰三角形.

【点睛】本题主要考查逆命题、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定，熟练掌握逆命题、全等三

角形的性质与判定及等腰三角形的判定是解题的关键.

考点三：直角三角形的两个锐角互余

25

01例3.在RtAABC中，ZC=90°,4=48。，则-3的度数为.

【答案】42。/42度

【分析】本题考查直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余即可求解.

【解析】解：•••R△A8C中，ZC=90°,ZA=48°,

:.ZB=90°-ZA=42°,

故答案为：42°.

【变式3-1].如图，在VAAC中，AB=AC,4。是中线，若/C=72。，则NBA。的度数为

【答案】180/18度

【分析】本题考查了等腰三角形三线合一性质，直角三角形的两个锐角互余性质，熟练掌握性质是解题的

关键.利用等腰三角形三线合一性质，直角三角形的两个锐角互余性质计算即可.

【解析】・・・A8=4C,A。为边AC上的中线，

.・./BAD=ACAD,ADIBC,

VZC=72°,

・•・ZfiA£)=ZC4£)=900-72o=18°,

故答案为：18c.

【变式3-2].在VABC中，ZC=90°,ZA=2ZB,则的度数为()

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】B

【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键.

根据直角三角形的两锐角互余计算即可.

【解析】解：在.ABC中，ZC=90°,

则ZA+N8=90。，

VZA=2ZB,

工"=30。.

故选：B.

【变式3-3].如图，在VA8C中，ZACB=9O°,CO是AB边上的高，/6=60。，80=4,则AO的长

为•

26

【分析】本题考杳含30。角的直角三角形，由30。角的直角三角形的性质推出=再根据

AZ)=AB-8D即可得解.解题的关犍是掌握：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直

角边等于斜边的一半.

【解析】解：:CD是边上的高，/3=60。，

，ZBDC=9(r,

，ABCD=90°-ZB=90°-60°=30°,

ABD=-BC,即4C=28O,

2

・.・ZAC8=90。，4=60。，80=4,

oo

・•・ZA=90-Zfi=90°-60=30°1

・•・BC=-AB,

2

•\AB=2BC=2x2B£)=2x2x4=16

AD=AB-BD=]6-4=]2t

:.AO的长为12.

故答案为：12.

考点四：锐角互余的三角形是直角三角形

''例4.在VAAC中，下列哪组条件不用判定VABC是直角三角形()

A.Z.C:Z.B:ZA=2:2:4B.AB=5,4c=12,BC=13

C.NC:/B:ZA=3:4:5D.ZA+ZC=ZB

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理，三角形内角和，直角三角形的定义，掌握这三个知识点是解题的关键.根

据勾股定理，直角三角形定义进行判定即可.

4

【解析】解：A、ZA=——x\^=90°,故VA8C是直角三角形，不符合题意；

2+2+4

B、AB2+AC2=52+\22=\32=BC\故V48C是直角三角形，不符合题意；

C、最大角/4="_工*180。=75。，故VABC不是宜角三角形，符合题意；

3+4+5

27

D、由NA+NC=N6,NA+NC+N8=180。，得2/8=180。，卬？B90?,故V4BC是直角三角形，不符

合题意；

故选：C.

【变式4-1].如图，点E、尸分别在C。、A8上，连接笈区CF、DF,BE1DF于点G,/C=/l.

(1)求NCH>的度数；

(2)若N2+NL>=90。，求证：AB//CD.

【答案】(l)NCTO=90。

(2)见解析

【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，直角三角形特征，熟练掌握平行线的判定，同角的余角

相等是解题的关键；

(1)根据垂直的定义和直角三角形特征可得/1+/