2025年中考数学几何模型归纳训练专题12三角形中的重要模型之面积模型解读与提分精练(原卷版+解析)

专题12三角形中的重要模型之面积模型

三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的

思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三

角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应

试题分析，方便掌握。

目录导航］

模型1.等积变换基础模型..............................1

模型2.蝴蝶（风筝）模型..............................3

模型3.燕尾（定理）模型..............................5

模型4.鸟头定理（共角定理）模型......................8

模型5.金字塔与沙漏模型..............................12

习题练模型］

.............................................................................................................................................14

模型L等积变换基础模型

模型解读

模型1）等底等高的两个三角形面积相等；

如图I,当A8//CZ），则%八6=%砂；反之，如果2g,=S/"，则可知直线A8〃CZX

图1图2图3

模型2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如图2,当点。是8c边上的动点时，则S：）:S*DC=BD:DC.

如图3,当点。是8c边上的动点，BEYAD,CFLAD时，则底./）：S.）c=BE：CF.

证明：模型1）如图I,过点A作4E_LC。、过点4作4FJ_CQ.・・・AB〃C。，・・・AE=3"

.・Y△皿=；。•心S-=gc/）M・・・S△皿=S.s。反之同理可证。

模型2）如图2,过点A作A〃J_8C。

,:S&、BD=^BDAHXSAACD=^CDAH；/.S^ABD:S^DC=BD：DC.

如图3,过点C作CAL4。、过点4作4£L4。。

•；S5=ADBE；

、**•SAABD:SAADC=BE:CFo

模型运用

例1.（24・25八年级上•山东德州•阶段练习）如图，若点。是边BC上的点，且80:8=3:2,则△A3。与

,ACD的面积之比为（）

A.3:2B.9:4C.2:3D.4:9

例2.（23-24八年级下•河北沧州.期中）如图，E,尸分别是uABCO的边力氏CD上的点,A/与0E相交于

点、P,8/与CE相交于点。，若AAPO的面积为2,8QC的面积为4,A8co的面积为26,则阴影部是

的面积为.

例3.（2024•上海浦东新•一模）圻图，在V4?C中，AB=4,AC=6,E为BC中点,A。为V4?C的角平分

线，V4BC的面积记为VADE的面积记为§2,则§20=—.

例4.（23-24七年级下.江苏镇江•期中）【探究】如图1,4。是VABC中8C边上的中线，△A8D与.dCD的

面积相等吗？请说明理由,

【应用】如图2,点A、8、C分别是80、CE、"、的中点，且S、8C=4,则图2中阴影部分的面积为一：

【拓展】（1）如图3,VABC中，延长C4至点F,使得延长48至点。，使得80=248,延长

至点使得CE=3C8,连接EF、FD、DE,如果S*5c=3,那么S△叱•为.

（2）如图4,V八BC中，AB=\2,AC=16,点/）、石是BC、AC边上的中点，AD、BE交于尽F.若YABC

的面积为S,则四边形。C灯面积为（用含S的代数式表示）；四边形QCEr的面积存在最大值，这个值

为•

例5.（23-24八年级下•浙江宁波・期中）规律：如图1,直线〃MX,B,C为直线〃上的点，A,P为直线

，〃上的点.如果A,R,C为三个定点，点尸在直线，〃上移动，那么无论点尸移动到何位置，VABC与、PBC

的面积始终相等，其理由是---------

应用：（1）如图2,R、C,。三点在同一条直线上，VA8C与二七。）都是等边三角形，连结5E.AE.若

8=2,BC=2CD,求的面积.（2）如图3,己知E,F,G,“是矩形ABC。边上的点，且铲〃4）,

G〃〃48,连结G8交所于点M,连结MC交G〃于点N,连结ON交石产于点P,连结G尸，若四边形AEOG

的面积等于5,求四边形GMNQ的面积.

模型2.蝴蝶（风筝）模型

模型解读

蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则

四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也不以得到与面积对应的对角线的比例关系。

1）任意四边形的蝴蝶定理：

如图I,结论：®5,:52=54:53®5,x53=5,x54；②AO:OC=（S+§2）:区+S.J。

证明：由基础模型2）知：Sy:S2=DO.BO^SA:S,=DO.BOX即故5:S?=S,：&；即SxS,二邑xS’。

由基础模型2）知：5公即：54g=0人；05即人0:0。=（$+与）：0+53）。

2）梯形蝴蝶定理：

如图2,结论：①£:S：=":〃；②S［：S3：S2：S4：SA8m=a2：〃：1：a〃：曲：（a+A）2。

证明：•・•四边形A8C。为梯形，：.AD//BC,・•・易证AA。/）qCOB,工£:邑=/：6。

222

同理可证得：$:S3:S2:S4:SAliCI）=a:b:ah:ab:（a+b）o

模型运用

例1.（23-24八年级上•浙江•阶段练习）如图，任意四边形"CD中，AC和相交于点。，把AAOB、AAO。、

△COD、一80c的面积分别记作S1、S”S3、邑，则下列各式成立的是（）

D.Sl-S3=S2S4

例2.（23-24九年级上.上海松江•期中）如图，已知在梯形A4CQ中，AB//CD,2A4=3C。，如果对角线

AC与8。相交于点。，△AOD、△8QA、MOB、△£）OC的面积分别记作H、S?、S3、S,,那么下列

结论中，不正确的是（）

C.E=S3

A.2s2=3S|B.2s2~3S&D.5j-53=52-S4

例3.（2024.四川成都•校考一模）如图，梯形ABCO的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为

P2>则梯形的面积为

例4.（2024・山西•校考一模）阅读与探究请阅读下列材料，完成相应的任务：

凸四边形的性质研究

如果把某个四边形的任何一边向两端延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做

凸四边形.凸四边形是我们数学学习中常见的图形，它有一个非常有趣的性质:任意凸四边形被对角线分成

的两对对顶二角形的而积之积相等.

例如，在图1中，凸四边形A8CO的对角线AC,8。相交于点。，且4C/A。，VAO8,&BOC,△COD,

q_OB,OA°n

Z\AOD的面积分别为S、,S0,S.,则有SS=$2•S4,证明过程如下：亍=j-----------=—

'-ODOA0?

2

任务：（1）请将材料中的证明过程补充完整；（2）如图2,任意凸匹边形A8C。的对角线AC4。相交于点。，

分别记V4OE,.BOC,ACODf△40。的面积为S.Sa.S3,S,,求证=（3）加图3,在四边

形A3CO中，对角线AC,A。相交于点。。，5Mg=4,S&B℃=6,SAOB:SCOD=\:3T则四边形A4CO的

模型3.燕尾（定理）模型

模型解读

B

条件：如图，在AABC中，E分别是8C上的点，G在AE上一点。

结论：Si：52=5S：54=（S1+S3）：（S2+S4）=BE.EC。

证明：由基础模型2）知：Sy:S4=BE.EC；SABE：S.AEC=BE:EC；故S：S2=BE：EC；

即SI$=S3：S4=（S1+S3）：（S2+S4）=BE：EC。

模型运用

例I.（23-24七年级下•江苏宿迁•期末）（数学经验）三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分.

（经验发展）（1）面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比,

S...AM

如图1,V八8C的边A8上有一点M,请证明：?"r=二7；

（结论应用）（2）如图2,ACDE的面积为1,丝=，，g=!，求V48C的面积；

AC4cB3

（拓展延伸）（3）如图3,VA3C的边A8上有一点3为C历上任意一点，请利用上述结论，证明：

S.jDc_AM

SEDCBM'

（迁移应用）（4）如图4,VA8C中，M是48的三等分点N是8c的中点，若VA〃C的面

积是1,请直接写出四边形8M0N的面积：

例2.（23-24七年级下.宁夏银川・期末）【问题情境】如图1,A。是VA3c的中线，VA8C与的面积

有怎样的数量关系？小旭同学在图1中作边4c上的高AE,根据中线的定义可知40=8.因为高AE相

=酸"

问，所以SA/}f)SACn,于是S&ABC=2sm

HG

AA

据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积.

（1）【深入探究】如图2,点。在VA8C的边8c上，点。在AD上.

①若A力是VWBC的中线，请判断与S.APC的大小关系，并说明理由.

②若BD=3DC,则S,：SAPC.

（2）【拓展延伸】如图3,分别延长四边形4BC。的各边，使得A,B,C,D分别为AE,BF,CG的中

点，依次连接E,F,G,”得四边形EFG”.直接写出5秒3，S.与鼠边形人8m之间的等量关系；.

S">BD

例3.（23-24七年级下•浙江杭州•期中）已知。是/L48C的8c边上一点，连结AO,此时有结论产'二寿，

,iMCD

请解答下列问题：⑴当。是8c边上的中点时，A4BD的面积_A4C£>的面积（填或"二”）.

（2）如图1,点。、石分别为AB,AC边上的点，连结CDBE交于点、0,若ABOD、bCOE、ABOC的面

枳分别为5,8,10,则AAD石的面积是_（直接写出结论）.

（3）如图2,若点DE分别是ZMBC的ABAC边上的中点，且8c=60,求四边形AOOE的面积.可以

用如下方法:连结AO,由AD=DB得^SADO=S的yo，同理：S&CEO~S^AEO，设SgDO=X»S&CEO=）'»则^\ADO=X，

11f2x+y=30

s：=y,由题意得S“BE=-S^=30,S=4〃c=30,可列方程组为：，解得x+产20,

2C2lx+2y=320n

可得四边形AOOE的面枳为20.解答下面问题：

如图3,D,尸是A8的三等分点，E,G是C4的三等分点，CD与BE交于O,且^^=6。，请计算四边

形AOOE的面积，并说明理由.

模型4.鸟头定理（共角定理）模型

模型解读

共角三角形：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角定理：共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

SADE二心八七

（等角型）条件：如图1，在三隹形A6C中，。、E分别是A从AC上的点，结论:

SAltc~ABAC

SADE_ADAE

（互补型）条件：如图2,己知/8AC+ND4£=180。，结论:

SABCAS,AC

证明：（等角型）如图I，分别过点£C作EGJL/W于点G,于点尸,

VZAGE=ZAFC,又・・・NA=NA,AAG/\E^AMC,A—=—o

CFAC

sw2AD，EG.S-_AD.EGADAES-AQ坐

S/XABC-ABCFS”8cAB»CFABACS^ABCABAC

2

（互补型）如图2,过点C作。GJ_48于G,过点E作E/_LD4交。4延长线于F,

,ZEFA=ZCGA=90°,;ZBAC+ZDAE=\SO°,ZDAE+ZEAF=\SQQ,

FFCGII

・・・NCAG二NEAR:.△CAGsREAF,：.——=—,S=-DA-EF,S,.^-ABCG,

AEACADAE22

r)A.FF

S-2二。小E/二O/VAE

SdABc-ABCGAB’CGABAC

2

模型运用

例I、如图，在三角形ABC中，。、石是A8,AC上的点，且40：48=2:5,AEtAC=4：7,三角形4OE的

面积是16平方厘米，则/WC的面积为

例2.（2023•山西晋中•九年级统考阶段练习）阅读理解

如果两个三角形中有一组对应角相等或互补，那么这两个三角形叫做共角三角形，共角三角形的面积比等

于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比,

ADAE

例：在图I中，点。，E分别在人8和AC上，△人OE和ZMAC是共角三角形，则°ADE

SABCABAC

证明：分别过点E,C作EG_LAB于点G,CF_LAB于点凡得到图2,

V^AGE=ZAFC,又•.•/4=N4,.・.△GAEs△必c,A—=—

CFAC

AD，EG

S^E_2.S-AQ,EGJ/)*S；WE_AD.AE

S/XABC-ABCFS”8cAB»CFABACS^ABCABAC

2

SAD*AF

任务：（1）如图3,已知N/MC+/Q4E=180。，请你参照材料的证明方法，求证："^二一,二

dABCA"AC

（2）在（1）的条件下，若触生=:，*=：，43=9,则AE=

'△RBC°AC4

例3.（2023•重庆•九年级专题练习）问题提出：如图1,。、£分别在ZiABC的边AB、AC上，连接。£,已

知线段4。=〃，DB=b,AE=c,EC=d,则SMQE,SM8C和a,b,c,d之间会有怎样的数量关系呢？

D

E

D

3

图6图7

问题解决：探究一：(1)看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律.如图2,若DE

//BC,则且/4=NA,所以△A/)ES/\4BC,可得比例式：一二二一二而根据相似三角形

a+bc+d

S

面积之比等于相似比的平方.可得产根据上述这两个式子，可以推出:

ABC

cac

S/DE_a_a_

S诋(〃+〃/a+ba+ba+bc+d(a+/?)(c+d)

(2)如图3,若NAQE=NC,上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由.

探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：",+〃)=+,/)?方法回顾：

两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以

q-BDAHRn

解决.如图4,。在△A8C的边上，做A〃_L4c于“，可得：=--------=后.借用这个结论，请

33上DC•AH0

2

你解决最初的问题.

延伸探究：(1)如图5,。、石分别在△ABC的边AB、AC反向延长线上，连接。石，已知线段A/)=mAB

S

=b,AE=c,AC=d,则丁"=.(2)如图6,£在AABC的边AC上，。在A8反向延长线上，连接

s

DE,已知线段AQ=a,AB=b,AE=c,AC=d,-^=____.

3ABC

结论应用：如图7,在平行四边形A8CO中，G是8C边上的中点，延长GA到E,连接。E交84的延长线

于F,若A8=5,AG=4,AE=2,团A8CO的面积为30,则^AE尸的面积是

模型5.金字塔与沙漏模型

模型解读

A

IGC

金字塔模型沙漏模型

条件:如图所示―结论:唠嘿噗嚏；②必。

证明：VDE//BC；易证：AADE^AABC；AADF^AABG；/\AFE^/\AGCI

.ADAEDEAF

S：Sw=AD2：AB2=AF2：AG2>

**AB-AC-BC-AGAnF

模型运用

例I.（2023秋•辽宁沈阳•九年级校考阶段练习）如图，已知点。、E分别是ARAC边上的点，且

XKDEsXmC,面积比为1：9,AG工BC交DE于点、F.则AF:4G=（）

A.1：3B.3:1C.1：9D.9：1

例2.（2023•江苏扬州•二模）如图，。、£分别是VA8C的边A8、AC上的点，且OE〃&7,BE、CO相

交于点0,若，QOE的面积与△C04的面积的比为4:25,则等于（）

BC

例3.（2023•福建龙岩•九年级校考阶段练习）如图，乂8c中，DEHBC,%:与CD相交于点F.如果

DF:FC=1:3,那么SM/SABC等于（）

A

A

B匕-------------

A.1:9B.1:3C.2:3D.1:8

例4.（2023春•北京海淀•九年级校考开学考试）如图，是等边三角形被一矩形所截，AB被截成三

等分，EH//BC,若图中阴影部分的面积是6,则四边形SCG/HKJ面积为（）

占

B

A.8B.9C.10D.11

习题练模型

I.（2024・贵州•校考一模）如图，梯形ABC。被对角线分成4个小三角形，已知VAO8与..BOC的面积分别

为25m2和35mt那么梯形的面积是（）n?.

A.144B.140C.160D.无法确定

2.（24-25八年级,匕山东德州•阶段练习）如图所示，V48C中，点。、E、尸分别在三边上，E是AC的

中点，40、BE、C尸交于一点G,BD=2DC,5AGfc-c=3,SMDC=4,则7ABC的面积是1)

C.35D.40

3.（22-23七年级下•江苏扬州•期中）如图，四边形A8CO中,E、RG、，依次是A8，BC,CD,0A中

点，O是四边形内部一点，若四边形AEOH、四边形8尸OE、四边形CGO厂的面积分别为8、11、13,四边

形W7OG面积为（）

A.10B.11C.12D.13

4.124-25八年级上•四川德阳•阶段练习）如图，若VA8C的面积为小且点A,B,。分别是石仁ARBD的

中点，则求阴影部分的面积（用含〃的式子表示），（）

C

D

A.6aB.6.5aC.5.5aD.5a

5.（24-25八年级上•湖北武汉•阶段练习）如图，在VA8C中，A。是284c的平分线，延长力。至E,使

AJi

AD=DE,连接V8QE的面积为10,VABC的面积是13,则不;的值为（）

6.（2023•陕西西安・模拟预测）如图，在VAAC中，AO是8C边上的高线，CE是A8边上的中线，若

CD=AD=4,则△OCE的面积是（）

7.（2023・江苏•模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，A,B,C,。是网格线交点，AC与肘）相交于点

O,则的面枳与二89的面积的比为（）

A.1：2B.立2C.1：4D.72:4

8.（23-24八年级上•天津河东•期中）如图，VA8C的两条中线4W,用V相交于点。，已知..MO的面积为

4,的面积为2,则四边形MCNO的面积为（）

A.2B.3C.4D.3.5

9.（2024.甘肃酒泉•二模）如图，在平行四边形A8CO中，如果点M为CO的中点，AM与BD相交于点N,

若已知Sw=4,那么5仙”等于（）

C.12D.16

10.（23-24九年级•重庆•课后作业）如图，A8为半圆。的直径，弦A。,4c相交于点P,如果6=3,44=4,

C.4：3D.9：16

11.（22-23七年级下•江苏南京•期末）如图，在VA4c中，。是力的中点，E、尸分别是边AC上的三等

分点，连接4E3厂分别交。。于G、H点,若VA3。的面积为90,则四边形石"/G的面积为.

//

BC

12.（2024・上海•校考一模）如图，梯形A8CO中，AD//BC,8c=2AO,点尸在8c的延长线二，AF与BD

相交于点E,与C。边相交于点G.如果AO=2b,那么ADEG与ACFG的面积之比等于.

13.如图1,点。在/8C边8。上，我们知道若空=：,则沁■=£;反之亦然.如图2,BE是SBC

CDbSycDb

eOE

的中线，点尸在边A8上,

14.（23-24九年级上.福建泉州.阶段练习）已知V/WC中，A。是BC边上的中线，点G为VABC重心,

GE//AC,若V/WC的面积为12,则△8GE的面积是

15.（2024•河南郑州•九年级校考期中）如图，矩形E/GH内接于ABC（矩形各顶点在三角形边上），E,F

在BC上,H,G分别在八8,AC上，且4。_£8。于点。，交/£于点N.（1）求证：△A//G⑵若A。=3,

BC=9,设=则当x取何值时，矩形比6〃的面积最大？最大面积是多少？

16.（23-24八年级下•湖南永州•期末）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用

阅读理解：如图1,已知直线〃b,直线小人的距离为九则三角形A8C的面积为S△，械.=gxA4x/?.

DCDD

(1)【问题探究】如图2,若点C平移到点。，求证：5^OC=SW°D；

(2)【深化拓展】如图3,记SAOC=S、S4ROD.S2、SACOD~S,、S^U(M=S4,根据图形特征，试证明:

S,XS2=S3X54；

(3)【灵活运用】如图4,在平行四边形A8C。中，点E是线段AO上的一点，的与AC相交于点。，已知

SvME=10,且EO:E8=2:5,求四边形CDEO的面枳.

17.(23-24八年级下•山东青岛.期末)问题解决：如图1,V/WC中，"为5c边上的中线,则5必步

q

J.M8C・

问题探究：(I)如图2,CD8E分别是V/1AC的中线，S^oc与S四边形相等吗？

瓯口=BE

解：VABC中，由问题解决的结论可得，SQSwc，5AA='5必8c

==

SgCD=SsA1BE•*^SBCD~S^OD\ABE~^SBOD即^^BOC'四边形八仅”：,

(2)图2中，仿照(I)的方法，试说明乂加。=5式。£

(3)如图3,CD,BE,"'分别是VA8C的中线，则&噂.Sg8c»SMOE

图3

E、尸分划为四边形ABC。的边A。、8c的中点，请直接写出阴影部分的面积与四

边形A3c。的面积之间的数量关系：5阴影二S四边形同加7》•

（2）如图5,E、F、G、”分别为四边形ABC。的边A。、BC、AB、C£＞的中点；请直接写出阴影部分的面

积与四边形A/SCA）的面积之间的数量关系：S阴影=S网边形.

18.（24-25九年级上•广东深圳•期中）阅读理解：两个三角形中有一个角相等或互补，我们称这两个三角形

是共角三角形，这个角称为对应角.根据上述定义，判断下列结论，正确的打错误的打“x”.

（1）三角形一条中线分成的两个三角形是共角三角形.（）

（2）两个等腰三角形是共角三角形.（）

问题提出：小明在研究图1的时发现，因为点。，E分别在A3和AC上，所以V4OE和VA3c是共角三角

SAD.AE

形，并且还发现厂匹=AR以下是小明的证明思路，请秒小明完善证明过程.

图I图2

证明：分别过点£,C作EG_LAB于点G,于点尸，得到图2,

,EGAE

VZAGE=ZAFC,又Z/l=ZA,△GAEs(■CF=(_®)-

S*二”EG.S^ADE_ADEG_ADAESAl)E_AD-AE

S△诙__LAAC尸'飞△梳ABCF"AC'"曲ABAC.

2

S_ADAE

延伸探究：如图3,已知N/MC+ND4E=180°,请你参照小明的证明方法，求证:ADE

SARCW

E//

图3图4图5

结论应用：(I)如图4,在平行四边形A8c。中，G是3c边上的点且满足24G=GC,延长GA到E,连接

交班的延长线于f，若A8=6,AG=5,AE=2.5,uABCO的面积为60,则的面积是

(2)如图5,oA8co的面枳为2,延长。A8CO的各边，使或：=A8,CF=2BC,DG=3CD,AH=4AD,

则四边形EFG”的面积为

19.(2023•山东青岛・二模)【模型】同高的两个三角形面积之比等于底边长度之比.

SABD_BD

已知，如图1,V48C中，。为线段BC上任意一点，连接入Z),则有:=一酒

【模型应用】(1)如图2,任意四边形A8CD中，E、尸分别是A3、CO边的中点，连接CE、AF,若四

边形ABCD的面积为S，则与边形皿=

(2)如图3,在任意四边形ABCQ中，点七、尸分别是边A3、CO上离点A和点C最近的三等分点,连接

AF.CE,若四边形A8C。的面积为S,贝”因边形AQ=

(3)如图4,在任意四边形ABCD中，点£、厂分别是边A3、CD上离点0和点。最近的”等分点，连接

AF、CE,若四边形人AC。的面积为S,则鼠或形AE“=.

【拓展与应用】（4）如图5,若任意的十边形的面积为100,点K、L、M、N、0、P、Q、R分别是48、

CD、DE、EF、FG、HI、〃、〃边上离点A、C、E、E、F、H、I、A最近的四等分点，连接班、

DK、DR、MJ、NJ、FQ、0/、GP,则图中阴影部分的面积是.

20.（23-24七年级下.安徽宿州.期末）（1）探索发现：如图1,在VA8C中，点。在边8C上，△A3。与/MOC

S,BD

的面积分别记为S1与邑，试判断不与能的数量关系，并说明理由.

（2）阅读分析：小明遇到这样一个问题：如图2,在RtZXABC中，AB=AC,ZfiAC=90°,射线AA/交块?

于点。，点、E、尸在AM上，且4=N2=90。，试判断8/、CE、E尸三条线段之间的数量关系.

小明利用一对全等三角形，经过推理使问题得以解决.图2中的斯、CE、收三条线段之间的数量关系为

并说明理由.（3）类比探究：如图3,在四边形48CD中，AB=AD,4c与8。交于点。，点E、尸在射

线AC上，且N1=N2=/8AO.①全等的两个三角形为一，并说明理由.②若OD=3OB,△AEO的面积为

3,直接写出C/）石的面积:

21.（23-24九年级上•广西崇左•期末）【问题】如图1,在四边形A8CO中，对角线AC与8。相交于点O,

S,OCOD

记△CO/）的面积为S.404的面积为S?,求证：芳=…•

【解决问题的方法】如图2,在△口?力和VAO8中，分别作OC,Q4边上的高OEM,利用三角函数表示

出OEBF,再代入面积公式就可以解决问题.

D

S.OCOD

⑴【问题解决】如图2,求证：消二A,“；(2)【拓展应用】如图3,AM〃C。交8。于点M,点”为A8

3,OA-UD

〒上口0G4OC5十£

的中点‘OH父AM于点G,且万^亍市二了求不值.

22.(2023•宁夏银川•二模)等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.它是利用“同一个图形的面积相

等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等

性质解决有关数学问题.在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简

便快捷.

请用等面积法的思想解决下列问题：

(1)在直角三角形中，两直角边长分别为3和4,则该直角三角形斜边上的高的长为.

(2)如图I,反比例函数.y=-&x>0)的图像上有一点尸，如_Lx轴于点4,点B在y轴上，则二P42的面积

X

为•

(3)如图2,P是边长为〃的正VABC内任意一点，点。为V4AC的中心,设点P到VABC各边距掰分别为九,

I八

色，心,连接AP,BP,CP,由等面积法，易知/4（%+%+4）=SABC=3S0A8,可得匕+4+%=与〃；

如图3,若尸是边长为4的正五边形A8C。石内任意一点，设点P到五边形A8C0E各边距离分别为九，生，

93

友,儿，%,参照上面的探索过程，求匕+4+4+九+%5的值.（参考数据：tan36°«ptan540«1）

（4）如图4,已知。。的半径为I,点4为C。外一点，OA=2,AB切「）0于点B,弦3。〃。4,连接AC,

求图中阴影部分的面积.（结果保留不）

⑸我国数学家祖随，提出「一个祖眶原理：“耗势既同，则积不容异意思是：两个等高的几何体若在所

有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.如图所示，某帐篷的造型是两个全等圆柱垂

直相交的公共部分的一半（这个公共部分叫做牟合方盖），其中曲线40c和40D均是以1为半径的半圆.用

任意平行于帐篷底面A3。的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，且该正方形的面积恰好等于与帐

篷同底等高的止四棱柱中挖去一个倒放的同底等高的止四棱锥后同高度截面的囿枳（图8中阴影部分的面

枳），因此该帐篷的体积为.（正棱锥的体积底面积x高）

专题12三角形中的重要模型之面积模型

三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学儿何里面一个非常重要的

思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三

角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应

试题分析，方便掌握。

目录导航］

.............................................................................................................................................................................1

模型1.等积变换基础模型..............................1

模型2.蝴蝶（风筝）模型..............................3

模型3.燕尾（定理）模型..............................5

模型4.鸟头定理（共角定理）模型......................8

模型5.金字塔与沙漏模型..............................12

习题练模型］

...........................................................................................................................................14

模型1.等积变换基础模型

模型解读

模型1）等底等高的两个三角形面积相等；

如图1,当AB//CD,则反之，如果5△皿=5A曲，则可知直线

模型2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如图2,当点D是边上的动点时，则SAAM:SMDC=BD：DC。

如图3,当点。是3c边上的动点，BE工AD,C〃_LA。时，则5必皿：：C凡

证明：模型1）如图1，过点A作AE_LC。、过点B作BFLCD.•；AB〃CD,，AE=BF。

^S^ACD=^CDAE；八・・・SAA8=S^C。。反之同理可证。

模型2）如图2,过点4作A〃J_3C。

•；s,八.=-CDAH；

AM—BDAH;Scl)**•S^ABD:SZ\DC=BD:DCo

如图3,过点C作CALA。、过点8作8£_LAD。

「S=—2AO-BE；SZ.AA/iCf/)J=—2ADCF；**•SAABD:SA/SC=BE:CFo

模型运用

例I.（24-25八年级上•山东德州•阶段练习）如图，若点。是边BC上的点，且30:8=3:2,则△A3。与

.•.AC。的面积之比为（）

A.