第1章 三角形期末复习（知识清单）（学生版）-浙教版(2024)八上

第1章三角形1.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做.2.三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.3.三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．4.三角形内角和定理：三角形的内角和为．5.三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，是△ABC的一个外角.（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的的和（2）三角形的一个外角任意一个与它不相邻的内角6.三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：线段名称三角形的角平分线三角形的中线三角形的高文字语言三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．图形语言作图语言作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．取BC边的中点D，连接AD．过点A作AD⊥BC于点D．标示图形符号语言1.AD是△ABC的角平分线．2.AD平分∠BAC，交BC于点D．3.∠1＝∠2＝∠BAC．1.AD是△ABC的中线．2．AD是△ABC中BC边上的中线．3.BD＝DC＝BC4.点D是BC边的中点．1.AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC边上的高．3.AD⊥BC于点D．4.∠ADC＝90°，∠ADB＝90°(或∠ADC＝∠ADB＝90°)推理语言因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC．因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)用途举例角度相等．1.线段相等．2.面积相等．1.线段垂直．2.角度相等．注意事项与角的平分线不同．—1.与边的垂线不同．2.不一定在三角形内．重要特征一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．7.定义与命题、证明定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义命题：判断某一件事情的句子叫做命题，正确的命题称你为，错误的命题称为；定理：用推理的方法判断为的命题叫做定理；定理可以作为判断其他命题真假的依据；证明：要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明；8.能够的两个图形称为全等图形，能够的两个三角形叫做全等三角形9.全等三角形对应边、对应角；全等三角形的周长、面积、对应边上的“三线”也.10.全等三角形的判定（1）分别对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）；（2）及其分别对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；（3）及其分别对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）；（4）及其中一边的分别对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）；11.作一个角等于已知角：图1图2步骤：①以点O为圆心，以适当长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D.②作射线O'A'.以点O'为圆心，以OC长为半径作弧l，交O'A'于点C'.③以点C'为圆心，以CD长为半径作弧，交弧l于点D'.④过点O'，D'作射线O'B'.∴∠A'O'B'就是所求作的角.12.线段垂直平分线定义：将一条线段，并且于该线段的一条直线叫做这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到相等；13.角平分线上的点到相等；一、三角形的角1.三角形内角和为180°错误：未考虑到三角形内角和为180°的隐含条件；注意：三角形内角和为180°是隐含条件，不在题干中提及但可以在已知是三角形时运用。例1（2025·湖北·三模）如图，已知直线a∥b，三角板ABC的直角顶点C放在直线b上，∠A=30°，A．20° B．30° C．40° D．60°2.设未知数求解三角形的内角错误：在只知道一个内角的度数时无法求出三角形的其他两个内角注意：根据内角之间的已知条件，学会未知数列式解决求内角的问题，如已知一个角和另外两个角的等量关系，或已知三个角间多个等量关系，比如，已知三个角的比例是1:2:3，可以设三个角的度数为α，2α，3α，然后根据内角和为180°，列式α+2α+3α=180，可以求出三个内角的度数。例2（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC例3（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在△ABC中，∠B=2∠A，二、三角形的边1.用三角形的三边关系确认是否构成三角形错误：判断时没有考虑任意两边之和都要大于第三边的原则，只判断其中两边大于第三边。注意：要同时满足任意两边之和大于第三边，简便方式是可以只比较小的两条边的和与最大边长的大小。例4（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）把一根长12的铁丝按下面的长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（

）A．6，4，2 B．6，3，2 C．5，5，2 D．7，3，22.忽略验证求得的边长是否满足两边之和大于第三边错误：在经过计算得出三角形的边长后，没有验证是否符合“任意两边之和大于第三边”注意：通过计算得出的三角形的边长，一定要验证是否符合“任意两边之和大于第三边”。例5（24-25七年级下·北京海淀·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为3.用两边之和大于第三边求其中一边的取值范围或求字母参数的取值范围错误：只考虑所求边小于另两边长度的和注意：需要同时考虑“任意两边之和大于第三边”，因此第三边不但要小于另外两边之和，还要大于另外两边之差（大边－小边）例6（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）已知△ABC的三边长分别为3，5，a，化简a-三、三角形的角平分线1.混淆角的角平分线和三角形的角平分线错误：三角形的角平分线是射线，或者画成射线注意：角的角平分线是射线，三角形的角平分线是线段，从三角形的其中一个顶点出发作角平分线，交对边于另一个点，这是线段。例7下列说法中错误的是（）A.三角形的角平分线有三条B.三角形三条角平分线交于一点C.三角形的角平分线是射线D.三角形的角平分线平分一个内角例8（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，AD为△ABC的角平分线，点P为AD上的点，过点P作PE⊥AD交BC的延长线于点E．若∠B=30°四、三角形的中线1.中线的性质错误：作出中线后忽略端点所在边被分为相等的两部分的事实注意：中线产生的已知条件中，一条边被分为相等的两段，非常重要，也可以引申出：中线将三角形分为面积相等的两部分。例9（24-25八年级上·天津和平·期末）在△ABC中，AB=BC，中线AD将这个三角形的周长分为15和21两部分，则ACA．16 B．11 C．16或8 D．11或1例10（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且SA．4cm2 B．6cm2五、三角形的高线1.作钝角三角形一边上的高错误：在作钝角三角形钝角边上的高时，只作垂直，不经过对边顶点。或在判断高线时，忽略经过对边顶点的要求。注意：应遵循作三角形的高线的原则：作一边的高线，需要从改边对面顶点出发，作边所在直线的垂线，与直线交于垂点。如果是钝角三角形，在作钝角边上的高时，对面顶点作下来的高应该与该边一侧的延长线相交。例11（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，借助直角三角板作△ABC的边BC上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（

A． B．C． D．2.三角形三条高线交于一点错误：认为三条高线交于三角形内部。注意：三角形三条高线的交点不像三条中线或者三条角平分线的交点在三角形内部，当三角形是直角三角形时，三条高线交于直角顶点；当三角形是钝角三角形时，三条高线交于三角形外。六、定义、命题与证明1.对于定义、命题和定理的概念混淆错误：不理解哪些语句属于定义，对命题和定理的关系分不清楚。注意：定义是表示某一名称或者术语的意义的句子，属于陈述语句；命题是用于某一件事情的句子，伴随着条件和结论，有真命题和假命题之分；而定理是经过推断证明是真的命题。例12（22-23八年级上·上海普陀·期中）下列语句中哪句话是定义（

）A．联结A、B两点. B．等角的余角相等吗？C．内错角相等，两直线平行. D．整数与分数统称为有理数.例13（24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列命题为真命题的有（）①1的平方根是1；②无理数都是无限小数；③同角的余角相等；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个例14（24-25八年级下·全国·假期作业）把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：(1)全等三角形的对应角相等；(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．例15（22-23八年级上·全国·课后作业）已知：如图，∠B+∠C七、三角形的外角及其性质1.通过三角形的外角的性质求解三角形的内角错误：只能通过外角判断相邻内角的度数，间接求解三角形的其他内角。注意：可以直接通过三角形的外角的性质，结合其他条件求出不相邻的其他内角。例16（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）已知：∠A=49°，点B、C在∠A的两边上，点P为平面内一点，且∠PBA例17（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）问题引入：如图①，在△ABC中，O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，若∠A=70°，则∠BOC=________；如图②，∠CBO=1（2）如图③，∠CBO=13∠DBC，∠BCO=（3）类比研究：BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=1n∠八、全等三角形的性质1.对应边相等，对应角相等错误：未确定对应关系就建立等量关系注意：当两个三角形全等时，首先要确定他们的三边和三角的对应关系，然后对应相等。例18（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，△ABC≌△ADE,∠B和∠D是对应角，∠C和∠E是对应角．若∠BA．60° B．70° C．75° D．80°例19（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，AB=9cm,BC=12cm,∠B=∠C．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q从C点出发沿射线例20（24-25七年级下·山西晋城·期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB边上，连接CE交AD于点F(1)若BD=4，AD=12，求(2)试判断AB与CF之间的位置关系，并说明理由．九、全等三角形的判定——SSS、SAS1.证明三角形全等的规范性错误：在证明两个三角形全等的过程中，没有将需要的条件一一罗列出来，条件有缺漏注意：证明是非常严谨的过程，在证明三角形全等的过程中，我们需要将证明全等的条件一一罗列出来，因此我们使用大括号将其罗列，这一步至关重要。例21（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，点F，C在BE上，BF=EC，AB=DE，2.混淆判定依据错误：罗列的条件与写出的判定依据不对应，如判定全等的条件是三边，但是判定依据备注的是SAS注意：应该先根据已知条件确定判定方向和依据，然后再书写判定过程和依据，这样能保证判定条件和依据对应。例22（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠CAB3.尺规作图作一个角等于已知角、过一点作已知直线的平行线的依据错误：看到与角有关，认为尺规作图作一个角等于已知角、过一点作已知直线的平行线的依据的依据是SAS注意：尺规作图作一个角等于已知角、过一点作已知直线的平行线的依据的依据都是SSS，之所以与角有关，是因为只有通过SSS判定了两个三角形全等，才能利用全等三角形角的性质确定所作角等于已知角，所作直线构成的同位角相等。例23（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图1是一个平分角的仪器，其中OD=OE，(1)如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．试证明仪器画出的AP是∠(2)如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ=3，AB=7，△ABC4.SSA无法判定两个三角形全等错误：用任意两边对应相等，其中一个角对应相等来判断三角形全等注意：只有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，这个角必须是夹角。如图,△ABC与△ABD中,AB＝AB,AC＝AD,∠B＝∠B,但△ABC与△ABD不完全重合,故不全等,也就是有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.例24（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，AC∥EF，AB=DF，添加条件，可以根据“SAS十、全等三角形的判定——ASA、AAS1.在同顶点旋转模型中证明对应角相等错误：不会利用∠1=∠2、∠3=∠4等相关的等量关系证明△ACE≌△BDE。注意：可由三角形内角和为180°，列出∠DBE+∠1+∠AED=∠CAE+∠2+∠AED=180°，可证明∠DBE=∠CAE，再结合其他等量关系，可证明△ACE≌△BDE。例25（23-24八年级下·四川巴中·期中）如图，在△AOB和△COD中，AO=OB,OC=OD,OA<OC,∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④2.选择合理的方式证明两个三角形全等错误：在证明两个三角形全等时，缺乏必要条件时无法选择合理的方式证明两个三角形全等：①在已知的条件中无法在SSS、SAS、ASA、AAS中选择合理的依据。②已知条件与证明目标三角形全等缺失的条件关系不大，无法证明之。注意：在证明两三角形全等的复杂问题中，要通过具体问题具体分析，选择正确的依据，梳理思路证明之，具体如下：条件思路依据证明方式已知两边对应相等SS证明第三条边相等SSSS证明边相等的思路：①通过计算或等量关系证明边相等②通过证明这对边所在的另一组三角形的全等，证明这对边相等证明角相等的思路：①通过计算或等量关系证明角相等②通过证明这对角所在的另一组三角形的全等，证明这对角相等证明这两边的夹角相等ASAS已知一边和一边端点处的角对应相等SA证明组成这个角的另一边相等SSAS证明另一个角相等AASA/AAS已知一边和它的对角对应相等AS证明另一个角相等AAAS已知两个角对应相等AA证明其中一条边相等SASA/AAS例26（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点B,F,C,E在直线l上，点A,(1)说明：△ABC(2)若BE=13,BF=3例27（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD、BE分别是∠CAB、∠CBA的平分线，AD、BE交于点P，过点P作PF⊥AD交BC(1)求证：△ABP(2)AG、BD、AB之间有怎样的数量关系，请说明理由．十一、垂直平分线及其性质1.垂直平分线的性质错误：无法通过垂直平分线上的点的性质获得边长的等量关系。注意：已知点在一条线段的垂直平分线上，只要将该点与线段两端连结，就能得到两条线段相等，运用了垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的性质。例28（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E．若△ADE的周长为12cmA．6cm B．12cm C．15cm2.补全垂直平分线的作图错误：已知点在线段的垂直平分线上，但没有将点与线段的两个端点连结，则无法得到距离相等的等量关系注意：已知点在线段的垂直平分线上，一定要将作图补全，即将该点与线段两端连结，则可运用性质得到两条连结线段相等的等量关系，方便计算与证明。例29（24-25七年级下·江苏泰州·期末）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=5，AC=12，BC=13，EF垂直平分AB，点P是EF上一动点，过P作PH⊥BC3.折叠问题隐含的垂直平分线的模型错误：折叠问题相关的计算与证明题，忽略隐含的垂直平分线的模型注意：折叠问题，折叠前后的图形是全等图形，全等图形的对应点连结时，折痕即为连结线段的垂直平分线，因此：折痕所在的直线上的点到折叠前后任意对应点的距离相等。如下图所示，△ABC沿着折痕MN折叠，使得点B与点A重合，此时MN即为线段AB的垂直平分线。十二、角平分线及其性质1.角平分线的性质错误：无法通过角平分线上的点的性质获得距离相等的等量关系。注意：已知点在一个角的角平分线上，只要过这点分别作角两边的垂线，就能得到两条垂线相等，运用了角平分线上的点到角两边的距离相等。例30（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=65°，点D为AC边上一点，连接BD，过点D作DE⊥AB于点E，且2.补全角平分线的作图错误：常见的角平分线上的点到角其中一边作垂直，另一边未作垂直的，没联系到作图补全角平分线模型。注意：作该点到另一边的垂线，得到该点到两边的距离相等的等量关系，方便计算或证明。例31（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=6，DE=2，则A．12 B．10 C．8 D．6例32（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，AD∥BC，∠D=90°，点P为CD中点，BP平分∠ABC3.三角形角平分线、外角平分线的交点问题错误：三角形多条角平分线或外角平分线的交点，没有多作相关角的两边的垂线。注意：三角形多条角平分线或外角平分线的交点，要多作相关角的两边的垂线，如下多种情况：类别示图已知条件结论类型一☆点D是△ABC中内角平分线AD与BD的交点。

○分别作DE、DF、DG垂直AB、AC与BC。DE=DF=DG类型二EEF☆点P是△ABC中内角平分线BP与外角平分线AP的交点。○分别作PE、PQ、PF垂直BE、AC与BC。（1）PE=PQ=PF（2）点P在外角平分线PC上。类型三☆点E是△ABC中外角平分线EC与EB的交点。○分别作EQ、ED、EP垂直AQ、BC与AP。（1）EQ=ED=EP（2）点E在内角平分线AE上。例33（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=110°,∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥(1)∠ACE的度数是(2)求证：AE平分∠CAF(3)若AC+CD=14,AB=81.（24-25七年级下·福建福州·期末）若三角形的两条边长分别为4和9，则第三边的边长可以是（

）A．4 B．5 C．8 D．132.（24-25七年级下·江苏盐城·期末）下列命题是真命题的是（

）A．同旁内角互补 B．如果ab>0，那么a>0C．如果ab=0，那么a=03.（2025·河北沧州·模拟预测）下图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ完全相同的三角形，下列说法正确的是（

）A．只有Ⅰ可以 B．只有Ⅰ、Ⅱ可以C．作出三角形Ⅱ的依据是AAS D．作出三角形Ⅲ的依据是SAS4.（2025·陕西西安·一模）如图，在周长为20cm的△ABC中，AD是边BC上的中线，已知CD=4cm，A．6cm B．5cm C．4cm5.（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上．若OD=6，△POD的面积为9A．3 B．6 C．8 D．96.（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在△ABC中，BC=9，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长为18，则ACA．6 B．9 C．10 D．127.（2025·河北唐山·三模）将一块含45°角的直角三角尺和直尺如图放置，若∠1=60°，则∠2的度数为（

）A．165° B．166° C．139° D．121°8.（24-25七年级下·山西运城·期末）如图，点B，C，D在同一直线上，△ABC≌△DEC，若AC=4，BD=13A．7 B．8 C．9 D．109.（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=5，A．16<AC<20 B．11<AC<21 C．10.（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，点B，C，D三点在同一直线上，且AB=AE，AC=AD，∠BAE=∠CADA．45° B．50° C．55° D．60°11.（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，∠ABC（1）在△ABC中，BC边上的高是；（2）在△AEC中，AE边上的高是（3）在△FEC中，EC边上的高是（4）若AB=CD=3,AE=512.（2025·重庆渝中·二模）如图，△ABC中，D为BC边上一点，CD=AB，∠CDE=∠A，AC=DE，连接CE13.（2025·北京·中考真题）能说明命题“若a2>4b2，则a>2b”是假命题的一组实数a，b的值为14.（24-25九年级下·吉林·期中）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧，交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN，交AB于点E．若△ADE的周长为21，AC=915.（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，AE、AD分别是△ABC的高和角平分线，若∠B=3516