《实验与探究：圆和圆的位置关系》教案

《实验与探究：圆和圆的位置关系》教案教学目标教学目标：了解圆和圆的位置关系，及圆和圆的位置关系中圆心距与两圆半径之间的数量关系；经历实验，探究，归纳，总结圆和圆的位置关系的过程，培养学生观察，比较，概括的能力，渗透类比思想.教学重点：两圆的位置关系及两圆的位置关系中圆心距与两圆半径之间的数量关系.教学难点：探究圆和圆的位置关系中圆心距与两圆半径之间的数量关系.教学过程时间教学环节主要师生活动1’20’’复习引入1.点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d.点P在圆外d>r；点P在圆上d=r；点P在圆内d<r.2.直线和圆的位置关系设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.直线l和⊙O相离d>r；直线l和⊙O相切d=r；直线l和⊙O相交d<r.3’实验探究动画演示得到两圆的几种不同的位置.通过分析两圆公共点个数，归纳两圆的位置关系.2’30’’6’讲授新课一、圆和圆的位置关系1.如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离.外离内含2.如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切.外切内切3.如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交.相交二、圆和圆的位置关系的数量特征如果⊙O1与⊙O2的半径分别为r1和r2(r1<r2)，圆心距为d.两圆的位置关系d与r1和r2之间的关系外离d>r1+r两圆的位置关系d与r1和r2之间的关系外离d>r1+r2外切d=r1+r2相交r2-r1<d<r1+r2内切d=r2-r1内含0≤d<r2-r1注：1.两圆的圆心距、半径之间的数量关系，既是两圆位置关系的判定，又是两圆位置关系的性质.2.判定两圆相交时，必须具备r2-r1<d<r1+r2的条件，如果只知道d<r1+r2，两圆还可能内切或内含，如果只知道d>r2-r1，两圆还可能外切或外离.问题：圆和圆的各种位置关系在生活中随处可见，你还能再举一些例子吗？6’10’’应用探究应用⊙O1与⊙O2的半径分别是r1，r2，圆心距为d，在下列情况下，⊙O1与⊙O2有怎样的位置关系？（1）r1=5，r2=4，d=10；（2）r1=7，r2=4，d=8；（3）r1=3，r2=5，d=1；（4）r1=5，r2=2，d=7；（5）r1=4，r2=5，d=1.解：（1）∵r1+r2=9，d=10，∴d>r1+r2.∴⊙O1与⊙O2外离.（2）∵r1+r2=11，r1-r2=3，d=8，∴r1-r2<d<r1+r2.∴⊙O1与⊙O2相交.（3）∵r2-r1=2，d=1，∴d<r2-r1.∴⊙O1与⊙O2内含.（4）∵r1+r2=7，d=7，∴d=r1+r2.∴⊙O1与⊙O2外切.（5）∵r2-r1=1，d=1，∴d=r2-r1.∴⊙O1与⊙O2内切.小结：本题是用两圆的圆心距、半径之间的数量关系，判定两圆的位置关系.拓展如图，⊙O的半径为5，点P是⊙O外一点，OP=8，以P为圆心的⊙P与⊙O相切，画出⊙P并求⊙P的半径.解：若⊙P与⊙O外切，则r=8-5=3.若⊙P与⊙O内切，则r=8+5=13.答：⊙P的半径是3或13.小结：1.本题是由两圆的位置关系，得到两圆的圆心距、半径之间的数量关系，从而解决问题.2.相切包括外切、内切，注意分类讨论.53’’课堂小结两圆位置关系外离两圆位置关系外离外切相交内切内含图形公共点个数没有1个2个1个没有圆心距d与r1，r2之间的关系(r1<r2)d>r1+r2d=r1+r2r2-r1<d<r1+r2d=r2-r10≤d<r2-r110ʺ布置作业1.⊙O1与⊙O2的半径分别是r1，r2，圆心距为d，在下列情况下，⊙O1与⊙O2有怎样的位置关系？（1）r1=7，r2=5，d=2；（2）r1=6，r2=4，d=11；（3）r1=5，r2=2，d=4；（4）r1=5，r2=3，d=8；（5）r1=7，r2=4，d=2.2.如图，⊙A，⊙B的半径分别为1cm，2cm，圆心距AB=5cm.如果⊙A由图示位置沿直线AB向右平移3cm，则平移后⊙A与⊙B的位置关系是_____.综合训练一、选择题1.在矩形ABCD中,AB=8,BC=35,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么下列判断正确的是()A.点B,C均在圆P外B.点B在圆P外、点C在圆P内C.点B在圆P内、点C在圆P外D.点B,C均在圆P内2.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是()A.80° B.100° C.140° D.160°3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且CE=CD,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F等于(A.92° B.108° C.112° D.124°4.如图,CD为圆O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM∶MD=5∶8,则圆O的周长为()A.26π B.13π C.96π5 D5.如图,从一块直径为2m的圆形铁皮上剪下一个圆心角为90°的扇形,则此扇形的面积为()A.π2m2 B.32πm2 C.πm2 D.2π6.如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限,☉P与x轴、y轴都相切,且经过矩形AOBC的顶点C,与BC相交于点D.若☉P的半径为5,点A的坐标是(0,8).则点D的坐标是()A.(9,2) B.(9,3) C.(10,2) D.(10,3)7.如图,点P是等边三角形ABC外接圆☉O上的点,在下列判断中,不正确的是()A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥ACC.当PO⊥AC时,∠ACP=30°D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形8.如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB,AC于点E,D,DF是圆O的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为()A.4 B.33 C.6 D.23二、填空题9.如图,点A,B,C在半径为9的☉O上,AB的长为2π,则∠ACB的大小是.

10.如图,点A,B,C在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,若∠DCE=40°,则∠ACB的度数为.

11.如图,在☉O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E=°.

12.如图,AB为☉O的直径,C为☉O外一点,过点C作☉O的切线,切点为B,连接AC交☉O于点D,∠C=38°.点E在AB右侧的半圆周上运动(不与A,B重合),则∠AED的度数为.

13.如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC,垂足为D,连接BD,BC,AB=5,AC=4,则BD=.

三、解答题14.在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3).(1)画出△ABC的外接圆☉P,并指出点D与☉P的位置关系;(2)若直线l经过点D(-2,-2),E(0,-3),判断直线l与☉P的位置关系.15.已知BC是☉O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是☉O的弦,∠AEC=30°.(1)求证:直线AD是☉O的切线;(2)若AE⊥BC,垂足为点M,☉O的半径为4,求AE的长.16.如图,已知在☉O中,AB=43,AC是☉O的直径,AC⊥BD,垂足为F,∠A=30°.(1)求图中阴影部分的面积;(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径.17.如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,☉O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC,OF交AC于点E,交PC于点F,连接AF.(1)判断AF与☉O的位置关系并说明理由;(2)若☉O的半径为4,AF=3,求AC的长.综合训练一、选择题1.C2.B∵∠AOC=160°,∴∠ADC=12∠AOC=80°∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-80°=100°.3.C∵∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠B=34°.在☉O中,∵CE=∴∠COE=2∠B=68°,∴∠F=112°,故选C.4.B如图,连接OA,设OM=5x,MD=8x,则OA=OD=13x.又AB=12,由垂径定理可得AM=6,∴在Rt△AOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=12∴半径r=OA=132.根据圆周长公式C=2πr,得圆O的周长为13π5.A如图,连接AC,∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,即∠ABC=90°,∴AC为直径,即AC=2m,AB=BC.∵AB2+BC2=22,∴AB=BC=2(m).∴阴影部分的面积是90π×(2)23606.A7.C对于选项A,当弦PB最长时,PB是☉O的直径,O既是等边三角形ABC的内心,也是外心,所以∠ABP=∠CBP,根据圆周角性质,PA=PC,所以PA=PC;对于选项B,当△APC是等腰三角形时,点P是AC的中点或与点B重合,由垂径定理,都可以得到PO⊥AC;对于选项C,当PO⊥AC时,由点P是AC的中点或与点B重合,易得∠ACP=30°或∠ACP=60°;对于选项D,当∠ACP=30°时,分两种情况,点P是AC或AB的中点,都可以得到8.B如图,连接OD,因为DF为圆O的切线,所以OD⊥DF.因为△ABC为等边三角形,所以AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°.因为OD=OC,所以△OCD为等边三角形.所以OD∥AB.所以DF⊥AB.又O为BC的中点,所以D为AC的中点.在Rt△AFD中,∠ADF=30°,AF=2,所以AD=4,即AC=8.所以FB=AB-AF=8-2=6.在Rt△BFG中,∠BFG=30°,所以BG=3,则根据勾股定理得FG=33,故选B.二、填空题9.20°如图,连接OA,OB.设∠AOB=n°.∵AB的长为2π,∴nπ×9180=2π.∴n=40,∴∴∠ACB=12∠AOB=20°10.110°11.215在圆内接四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180°,∠B=180°-∠ADC.在圆内接四边形ACDE中,∠E+∠ACD=180°,∠E=180°-∠ACD,故∠B+∠E=180°-∠ADC+180°-∠ACD=180°+(180°-∠ADC-∠ACD)=180°+∠CAD=180°+35°=215°.12.38°如图,连接BE,则直径AB所对的圆周角∠AEB=90°.由BC是☉O的切线得∠ABC=90°,∠BAC=90°-∠C=90°-38°=52°.因为∠BAC=∠BED=52°,所以∠AED=∠AEB-∠BED=90°-52°=38°.13.13由垂径定理,得CD=2,由AB是☉O的直径,得∠C=90°.由勾股定理,得BC=3,在Rt△BCD中,由勾股定理得BD=13.三、解答题14.解(1)所画☉P如图所示.由图可知,☉P的半径为5.连接PD,∵PD=12+22=5,∴点(2)直线l与☉P相切.理由如下:如图,连接PE.因为直线l过点D(-2,-2),E(0,-3),所以PE2=12+32=10,PD2=5,DE2=5,所以PE2=PD2+DE2.所以△PDE是直角三角形,且∠PDE=90°.所以PD⊥l.故直线l与☉P相切.15.(1)证明如图,连接OA,∵∠AEC=30°,∴∠ABC=30°.∵AB=AD,∴∠D=∠ABC=30°.∴∠BAD=120°.∴OA=OB,∴∠OAB=∠ABC=30°.∴∠OAD=∠BAD-∠OAB=90°.∴OA⊥AD.∵点A在☉O上,∴直线AD是☉O的切线.(2)解∵∠AEC=30°,∴∠AOC=60°.∵BC⊥AE于点M,∴AE=2AM,∠OMA=90°.在Rt△AOM中,OM=2,AM=23,∴AE=2AM=43.16.解(1)在Rt△ABF中,∠A=30°,则BF=12AB=23,于是AF=(43在Rt△BOF中,OB2=OF2+BF2=(AF-OA)2+BF2,又OB=OA,∴OA2=(6-OA)2+(23)2.∴OA=4.∵∠BAO=30°,∴∠BOF=2∠BAO=60°.又O