《圆周角(第一课时)》教案

《圆周角（第一课时）》教案教学目标教学目标：1.理解圆周角的概念，了解并证明圆周角定理及其推论；2.准确地运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算；3.通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系发展学生合情推理和演绎推理的能力；4.经历探究同弧或等弧所对圆周角与圆心角的关系的过程，进一步体会分类讨论、转化、归纳的思想方法；5.经过探索圆周角定理的过程，发展学生的数学思考能力.教学重点：圆周角定理及其推导；教学难点：圆周角定理的证明中的分类讨论.教学过程时间教学环节主要师生活动课程引入如图：教练让甲,乙,丙三人分别在A,B,C三处射门，仅从射门角度大小考虑，教练的做法公平吗？为什么？引入概念1.探究活动一：圆周角概念角的顶点在圆上，角的两边与圆的位置关系都有哪些类型？请同学们尝试画一画.2.圆周角：我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角.如图，∠如图，∠ACB为⊙O的圆周角,所对的弦为AB,所对的弧为.3.练习：判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由：探索新知1.探究活动二：优弧与劣弧上的圆周角.点M，N在⊙O上，在⊙O上任取三个不与点M，N重合的点P1，P2，P3，得到三个圆周角∠MP1N，∠MP2N，∠MP3N，分别测量这三个角的角度，并记录下来.∠MP1N=__________，∠MP2N=_________，∠MP3N=_________.发现：当点P在优弧MN上运动时，∠P始终是55°，当点P在劣弧MN上运动时，∠P变为125°.2.探究活动三：圆周角与圆心的位置关系.通过观察得到点P在优弧MN上的三种位置关系：即圆心在圆周角外，圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角内。3.探究活动四：圆周角与圆心角的关系.分别证明这三个位置中，圆心角与圆周角的关系（1）圆心在圆周角的一边上证明：∵证明：∵OA=ON，∴∠A=∠N．又∵∠MON是△AON的外角,∴∠MON=∠A+∠N，∴∠MON=2∠A，即∠A=1证明：连接BO并延长，交证明：连接BO并延长，交⊙O于点E.∵∠∴∠MBN（3）圆心在圆周角外证明：连接证明：连接CO并延长，交⊙O于点F.∵∠1=∠∴∠MCN4.圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如图，∠如图，∠P是所对的圆周角，∠O是所对的圆心角,∴∠P得到推论1.探究活动五：圆周角与弧的关系（1）同弧所对的圆周角相等．如图，∠P,∠Q是所对的圆周角，则∠证明：∵∠证明：∵∠P∠Q∴∠P2.等弧所对的圆周角相等．已知：如图，与相等，求证：∠P=∠Q.证明：连接OM证明：连接OM，ON，OM’，ON’.∵=，∴∠P=∠Q.3.圆周角定理推论（一）同弧或等弧所对的圆周角相等．由一般到特殊1.探究活动六：特殊的角度在左图⊙O上画出直径MN，及其所对的圆周角∠MPN，并测量∠MPN的角度.在右图⊙O上画出个以点P为顶点的圆周角∠MPN，使∠MPN=90°，再画出它所对的圆心角∠MON，并测量∠MON的角度. ∠MPN=∠MPN=90°，∠MON=_____°.MN为⊙O直径，∠MPN=_____°.发现：当∠O变为180°，即MN是圆O直径时，∠P=90°,反之，圆周角∠P为90°时，圆心角∠O则为180°.2.圆周角定理推论（二）半圆（或直径）所对的圆周角是直角．90°的圆周角所对的弦是直径．3.练习1.如图①，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠CAB=40°，则∠ABC=_______°.2.如图②，△ABC的顶点都在⊙O上，BD是⊙O直径，若∠CBD=21°，则∠A=_______°.例题分析例：如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长．课堂小结1.圆周角、圆心角与弧之间的关系2.直径与直角之间的关系课后作业1.如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.2.如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？有几种方法？与同学交流一下.提高作业提高题：如图，圆上分布着7个点，A1，A2，……，A7，从A1起顺次连接A3，A5，A7，A2，A4，A6，A1，得到“七角星”，则∠A1+∠A2+……+∠A7=_______知能演练提升一、能力提升1.如图,☉O中,OC⊥AB,∠APC=28°,则∠BOC的度数为()A.14° B.28° C.42° D.56°2.如图,A是☉O上一点,BC是直径,AC=2,AB=4,点D在☉O上且平分BC,则DC的长为()A.22 B.5 C.25 D.103.如图,AB是☉O的直径,点C,D,E在☉O上,若∠AED=20°,则∠BCD的度数为()A.100° B.110° C.115° D.120°4.如图,BD是☉O的直径,点A,C在☉O上,AB=AD,AC交BD于点G.若∠COD=126°,则∠AGB的度数为(A.99° B.108° C.110° D.117°5.如图,已知BC是☉O的直径,半径OA⊥BC,点D在劣弧AC上(不与点A,点C重合),BD与OA交于点E.设∠AED=α,∠AOD=β,则()A.3α+β=180° B.2α+β=180°C.3α-β=90° D.2α-β=90°6.如图,☉O的半径为5,AB为弦,点C为AB的中点,若∠ABC=30°,则弦AB的长为.

(第6题图)7.如图,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°,则∠CAD的度数为.

8.如图,已知AB=BC=AC,点P(1)求∠BPC的度数;(2)求证:PA=PB+PC.★9.如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,并且点C是优弧AmB上一点(点C不与点A,B重合).设∠OAB=α,∠C=β.(1)当α=35°时,求β的度数;(2)猜想α与β之间的关系,并给予证明.二、创新应用★10.我们知道:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角,叫做圆周角.因为一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,而圆心角的度数等于它所对的弧的度数,所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.类似地,我们定义:顶点在圆外,并且两边都和圆相交的角叫圆外角.如图,∠DPB是圆外角,那么∠DPB的度数与它所夹的两段弧BD和(1)请把你的结论用文字表述为(不能出现字母和数字符号):.

(2)证明你的结论.

知能演练·提升一、能力提升1.D2.D3.B如图,连接AC.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵∠AED=20°,∴∠ACD=20°,∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°,故选B.4.B5.D6.53如图,连接OC,OA,∵∠ABC=30°,∴∠AOC=60°.∵AB为弦,点C为AB的中点,∴OC⊥AB.在Rt△OAE中,AE=53∴AB=53.7.88°∵AB=AC=AD,∴∠ABC=∠ACB,点B,C,D在以A为圆心,AB为半径的圆周上,∴∠BDC=12∠BAC∠CAD=2∠CBD.∵∠BAC=44°,∴∠BDC=22°,∵∠CBD=2∠BDC=44°,∴∠CAD=88°.8.(1)解∵AB=∴AB=BC=AC.∴∠BAC=60°.又∠BPC+∠BAC=180°,∴∠BPC=120°.(2)证明如图,在PA上截取PD=PC,连接DC,∵AB=AC=BC,∴∠APB=∠APC=60°.∴△PCD为等边三角形.∴∠ADC=120°.又∠CAD=∠PBC,且AC=BC,∴△ACD≌△BCP.∴AD=PB.∴PA=AD+PD=PB+PC.9.解(1)如图,连接OB,则OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=35°,∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=110°.∴β=∠C=12∠AOB=55°(2)α与β之间的关系是α+β=90°.证法一:如图,连接OB,则OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=α,∴∠AOB=180°-2α.∴β=∠C=12∠=12(180°-2α)=90°-α∴α+β=90°.证法二:如图,连接OB,则OA=OB,∴∠AOB=2∠C=2β.过点O作OD⊥AB于点D,则OD平分∠AOB,∴∠AOD=12∠AOB=β在Rt△AOD中,∠OAD+∠AOD=90°,∴α+β=90°.证法三:如图,延长AO交☉O于点E,连接BE,则∠E=∠C=β.∵AE是☉O的直径,∴∠AOE=180°,∴∠ABE=90°,∴∠BAE+∠E=90°,即α+β=90°.二、创新应用10.分析本题是一道结论探索题,解题的关键是如何将圆外角∠DPB与圆周角联系起来.