《数学活动：探究几何概率的求解》教案

《数学活动：探究几何概率的求解》教案教学目标教学目标：１、让学生了解几何概率的意义，会计算简单的几何概型的概率；２、通过实验让学生体会用频率估计概率的可行性；３、通过实验与探究让学生感受概率的应用，体会数学的应用价值。教学重点：理解频率和概率的内在联系和区别，知道当试验次教较大时，频率稳定于概率。教学难点：在试验中体会随机事件的特点，辩证地理解频率和概率关系。教学过程时间教学环节主要师生活动3分钟导入2分钟回顾旧知复习前面学过的两种求解概率的方法：用列举法求概率；用频率估计概率。3分钟活动一【圆盘上的概率】如图是一个七等分的圆盘，随意向其投掷一枚飞镖，则飞镖落在圆盘中任何一个点上的机会都相等，试问：飞镖落在红、黄、绿区域上的概率各是多少？引导学生发现这里概率的大小是各颜色区域的面积占整个区域的面积的比值，为π的估计做好铺垫。1分定义引入几何概率定义：一般地，如果在一次试验中，结果落在区域D中每一点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为𝑃解读定义在这里，我们可以简单的理解为，M指的是一个小区域，D是一个包含M的大区域，落在M的概率就是用小区域的面积比上大区域的面积。与概率的古典定义比较，它也要求每种试验结果是等可能的，但没有结果种数有限的限制。2分钟活动二【几何概率的应用】如图是一个正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，求：这粒米落在圆内的概率是多少？8分钟活动三【实验与探究----π的估计】如图是一个正方形及其内切圆，请你借助这个图形和上一道题目的结论，设计一个实验来估算π的值。教师给出几种方法：1.可以把这个图案做成一个靶面，然后随机向其投掷飞镖，利用飞镖落在圆内的概率进行估算可以向这个图中随机扔一把豆子，计算落在圆内的豆子数与落在正方形内的豆子数的比值进行估算给出具体的实验步骤进行模拟操作，观看视频1分钟活动小结古人计算圆周率，一般是用割圆术法，即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。而今天我们通过随机模拟的方法对π进行估计，这也体现了“用频率估计概率”的广泛应用。在今天的实验与探究中，我们学习了几何概率的定义，与概率的古典定义比较，它也要求每种试验结果是等可能的，但没有结果种数有限的限制。5训练提高如图，圆内接四边形ABCD，对角线AC，BD过圆心O，AC⊥BD，点P是圆内随机确定的一个点，求点P落在四边形ABCD内的概率。小明为估计π的值，进行投掷飞镖实验，共随机掷飞镖335次，其中落在四边形ABCD内211次，落在圆外10次，小明此次实验估计的π值是多少？（精确到小数点后两位）1小结在实验中你们有哪些发现？存在哪些问题？出现这些问题的原因是什么？对改进实验的精确度你们准备采取哪些措施？3布置作业综合训练一、选择题1.下列事件中,是不可能事件的为()A.买一张电影票,座位号是奇数B.射击运动员射击一次,命中9环C.明天会下雨D.度量三角形的内角和,结果是360°2.下列说法正确的是()A.“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间都在降雨B.“抛一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率为12”C.“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票肯定会中奖D.“抛一枚质地均匀的正方体骰子,朝上的点数是2的概率为16”表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数是2”这一事件发生的频率稳定在13.如图,有一些写有号码的卡片,它们的背面都相同,现将它们背面朝上,从中任意摸出一张,摸到号码为1的卡片的概率是()A.12 B.13 C.23 4.一只蚂蚁在如图所示的树上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它获得食物的概率是()A.13 B.12 C.23 5.一个不透明的布袋中装有4个只有颜色不同的球,其中2个红色,1个白色,1个黑色,搅匀后从布袋里摸出1个球,摸到红球的概率是()A.12 B.13 C.14 6.如图,在平面直角坐标系中,点A1,A2在x轴上,点B1,B2在y轴上,其坐标分别为A1(1,0),A2(2,0),B1(0,1),B2(0,2),分别以A1,A2,B1,B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形,所作三角形是等腰三角形的概率是()A.34 B.12 C.23 7.如图,甲为四等分数字转盘,乙为三等分数字转盘.同时自由转动两个转盘,当转盘停止转动后(若指针停在边界处则重转),两个转盘的指针恰好有一个指向阴影区域的概率是()A.56 B.13 C.23 8.一项“过关游戏”规定:在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子(六个面上分别刻有1到6的点数)抛掷n次,若n次抛掷所出现的点数之和大于54n2,则算过关;否则不算过关.则能过第二关的概率是(A.1318 B.C.14 D.二、填空题9.如果从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数中任意选取一个数,那么取到的数恰好是5的倍数的概率是.

10.在一个不透明的盒子中装有n个小球,它们除颜色外其他均相同,其中有2个红球,每次摸球前先将盒子中的球摇匀,随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中,通过大量重复摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定于0.2,则可以推算出n大约是.

11.如果小球在如图所示的地面上自由滚动,并随机停留在某块方砖上,那么它最终停留在黑色区域的概率是.

12.今年五一节,某超市开展“有奖促销”活动,凡购物不少于30元的顾客均有一次转动转盘的机会(如图,转盘被分为8个全等的小扇形),当指针最终指向数字8时,该顾客获一等奖;当指针最终指向2或5时,该顾客获二等奖(若指针指向分界线则重转).经统计,当天发放一、二等奖奖品共600份,那么据此估计参与此次活动的顾客为人次.

三、解答题13.有一个质地均匀的正12面体,12个面上分别写有1~12这12个整数(每个面上只有一个整数且每个面上的整数互不相同).投掷这个正12面体一次,记事件A为“向上一面的数字是2或3的整数倍”,记事件B为“向上一面的数字是3的整数倍”,请你判断等式“P(A)=12+P(B)”是否成立,并说明理由14.一个不透明的口袋里装着分别标有汉字“灵”“秀”“神”“州”的四个小球,除汉字不同之外,小球没有任何区别,每次摸球前先搅拌均匀再摸球.(1)若从中任取一个球,则球上的汉字刚好是“神”的概率为多少?(2)甲从中任取一个球,不放回,再从中任取一个球,请用画树状图的方法,求出甲取出的两个球上的汉字恰好能组成“灵秀”或“神州”的概率P1;(3)乙从中任取一个球,记下汉字后再放回袋中,然后再从中任取一个球,记乙取出的两个球上的汉字恰能组成“灵秀”或“神州”的概率为P2,指出P1,P2的大小关系(请直接写出结论,不必证明).15.小亮与小齐学习概率初步知识后设计如下游戏:小亮手中有方块10,8,6三张扑克牌,小齐手中有方块9,7,5三张扑克牌.每人从各自手中取一张牌进行比较,牌面上的数字大的为本“局”获胜,每次取的牌不能放回.(1)若每人随机取手中的一张牌进行比赛,求小齐本“局”获胜的概率;(2)若本局采用三局两胜制,即胜2局或3局者为本次比赛获胜者.当小亮的三张牌出牌顺序为先出6,再出8,最后出10时,小齐随机出牌应对,求小齐本次比赛获胜的概率.16.经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能向左转或向右转,如果这三种情况是等可能的,那么当三辆汽车经过这个十字路口时:(1)求三辆车全部同向而行的概率;(2)求至少有两辆车向左转的概率;(3)由于十字路口右转弯处是通往新建经济开发区的,因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了多次统计,发现汽车在此十字路口向右转的频率稳定于25,向左转和直行的频率均稳定于310.综合训练一、选择题1.D2.D3.A4.A根据题意可知蚂蚁可以选择的路径共有9条,其中可以获得食物的有3条.故P(获得食物)=395.A6.B分别以A1,A2,B1,B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形的所有情况有:△A1OB2,△A1OB1,△A2OB1,△A2OB2共4种情况,其中是等腰三角形的为△A1OB1和△A2OB2两种情况,所以所求概率为247.D8.A根据题意,当点数之和大于54×22=5时,能过第二关.列表如下点数123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表格可知,共36种等可能的结果,点数之和大于5的结果数是26,故P(能过第二关)=2636二、填空题9.1510.1011.12.16008个小扇形中有3个可以获奖,600÷38=1600三、解答题13.解不成立.理由:因为P(A)=812=23,P(B)=412=14.解(1)任取一个球,共有4种不同结果,所以球上汉字刚好是“神”的概率是14(2)由题知树状图如下:共有12种等可能的取法,能满足要求的有4种,所以P1=412(3)P1>P2.15.解(1)每人随机取一张牌共有9种等可能的情况:[或(10,9),(10,7),(10,5),(8,9),(8,7),(8,5),(6,9),(6,7),(6,5)]小齐获胜的情况有(8,9),(6,9),(6,7),共三种,所以小齐获胜的概率为P1=39(2)根据题意,小亮的出牌顺序为6,8,10时,小齐随机出牌有6种:(9,7,5),(9,5,7),(7