第10章 多元函数微分法及其应用

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课题第10章多元函数微分法及其应用课时18课时（810min）教学目标知识技能目标：（1）理解多元函数的概念，掌握计算多元函数的极限，理解偏导数的概念（2）证明多元函数的连续性（3）理解全微分的概念，计算多元函数的全微分（4）计算高阶偏导数，掌握全微分在近似方面的应用（5）了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题（6）掌握空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线，方向导数与梯度（7）掌握多元函数最值的定义，能够判断多元函数的最值素质目标：（1）解决问题，要从本质出发，多思维、多角度思考（2）了解和认识事物的全面，要多方面考虑教学重难点教学重点：计算多元函数的极限和判断多元函数的连续性，计算高阶偏导数，二重积分的计算方法和基本技巧教学难点：证明多元函数在某一点或区间上的连续性，计算偏导数，计算多元函数的全微分，求多元函数极值，判断多元函数的最值，教学方法讲解法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤考勤【教师】使用文旌课堂APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因问题导入【教师】提出问题：请举出与多元函数相关的例子。【学生】聆听、思考、回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解多元函数的概念、多元函数的极限、多元函数的连续性等知识10.1预备知识10.1.1平面及其表示10.1.2平面点集定义1坐标平面上具有某种性质的所有点的集合，称为平面点集，记作10.1.3邻域【注意】教师补充知识点（1）邻域具有直观的几何意义，即表示平面上以点为中心、为半径的圆内部的点的全体；与的区别在于前者不包含圆心，而后者包含圆心．（2）如果不需要强调邻域的半径，则用表示点的某个邻域，用表示点的去心邻域．【学生】聆听、思考10.1.4内点、外点、边界点教师传授新知定义3任取一点，任给一个点集，则（1）如果存在点的某一邻域，使得，则称为的内点；（2）如果存在点的某一邻域，使得，则称为的外点；（3）如果点的任意邻域内既有属于的点，又有不属于的点，则称为的边界点．的边界点的全体，称为的边界，记作．【学生】聆听、思考10.1.5聚点、导集教师传授新知定义4如果对于任意给定的，点的去心邻域内总有中的点，则称是的聚点．【学生】聆听、思考10.1.6开集、闭集、连通集10.1.7开区域、闭区域教师传授新知开区域：连通的开集称为开区域，简称区域．闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域．【学生】聆听、思考10.1.8有界集、无界集教师传授新知有界集：对于平面点集，如果存在某一正数，使得，其中是坐标原点，则称为有界集．无界集：一个集合如果不是有界集，就称这个集合为无界集．【学生】聆听、思考10.1.9n维空间【问题讨论】教师提问点集的聚点和边界点有什么联系？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论10.2多元函数的概念、极限与连续性10.2.1多元函数的基本概念1．引例【教师】通过引例，提出多元函数的定义【学生】聆听、思考2．概念定义1设是的一个非空子集，映射称为定义在上的二元函数，记为，或，其中，点集称为该函数的定义域，称为自变量，称为因变量．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习10.2.2多元函数的极限定义2设二元函数的定义域为，是的聚点．如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当时，总有成立，则称常数为函数当时的极限，记为，或，也可简记为或．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习10.2.3多元函数的连续性1．多元函数连续性的概念定义3设二元函数的定义域为，为的聚点，且．如果，则称函数在点连续．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．若点沿着无数多条平面曲线趋向于点时，函数都趋向于，能否断定？2．讨论函数的连续性．【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点多元函数的概念多元函数的极限多元函数的连续性【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题10.1、10.2【学生】完成课后任务考勤【教师】使用文旌课堂APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解偏导数、全微分等知识10.3偏导数10.3.1偏导数的基础知识1．偏导数的概念2．偏导数的计算方法【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习3．偏导数的几何意义4．偏导数的连续性【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习10.3.2高阶偏导数1．高阶偏导数的概念定义2设函数在区域内具有偏导数，，于是在区域内都是的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数的二阶偏导数．按照对变量的求导次序不同，有下列四个二阶偏导数：，，，．其中第二、三两个偏导数称为混合偏导数．2．高阶偏导数求法举例【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习3．二阶混合偏导数相等的条件定理如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问若函数在点连续，能否断定在该点的偏导数必定存在．【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论10.4全微分及其应用10.4.1全微分1．全微分的概念定义1如果函数在点的全增量可表示为，其中，仅与有关而与无关，，则称函数在点可微分，称为函数在点的全微分，记作，即．2．函数可微分的条件定理

1（可微分的必要条件）如果函数在点可微分，则函数在点的偏导数存在，且有．定理

2（可微分的充分条件）如果函数在点的某一邻域内存在偏导数，且这两个偏导数在点连续，则函数在点可微分．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习*10.4.2利用全微分进行近似计算【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问你能通过相关定理和例题总结出多元函数的连续性、可导性（即偏导数存在）、可微分及偏导数连续之间的相互关系吗？请画出它们的关联图．【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点偏导数全微分【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题10.3、10.4【学生】完成课后任务考勤【教师】使用文旌课堂APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解多元复合函数的求导法则、隐函数的求导公式、多元函数的极值等知识10.5多元复合函数及其求导法则10.5.1多元复合函数的求导法则1．复合函数的中间变量均为一元函数定理1如果函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且有．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【注意】教师补充知识点本例中的函数既通过中间变量与自变量相联系，又直接与自变量相联系，所以其全导数由三部分组成．计算时要特别注意不要遗漏，同时要注意符号的区别（如右边的第三项不能写成），这在抽象函数求偏导时特别重要．2．复合函数的中间变量均为多元函数定理

2如果函数都在点具有对及的偏导数，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数都存在，且有，．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【思考问题】教师提问（1）设，求．提示：．（2）设且，求．提示：．注意：这里与是不同的，是把复合函数中的看作不变而对求偏导数，而是把中的及都看成常数而对求偏导数，且由和两部分组成，与也有类似的区别．10.5.2多元复合函数的全微分设具有连续偏导数，则有全微分；当也具有连续偏导数时，则【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问设具有二阶连续偏导数，求，并说明求导过程中出现的与与有何区别？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论10.6隐函数的求导法则10.6.1一个方程确定的隐函数及其导数定理

1（隐函数存在定理）设函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，且，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习*10.6.2方程组确定的隐函数及其偏导数【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习*10.7多元函数微分学的几何应用10.7.1空间曲线的切线与法平面【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习10.7.2曲面的切平面与法线【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．若曲线的方程为则其切线和法平面方程是什么形式？若曲线的方程为则其切线和法平面方程又是什么形式？2．若曲面方程为，则曲面的切平面及法线方程是什么形式？若空间曲面以参数方程的形式给出，即，，，其中，则是否能推导出该曲面上一点的切平面和法线方程？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点多元复合函数的求导法则隐函数的求导法则多元函数微分学的几何应用【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题10.5、10.6、10.7【学生】完成课后任务考勤【教师】使用文旌课堂APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解方向导数与梯度、多元函数的最值、条件极值、二重积分的性质等知识*10.8方向导数与梯度10.8.1方向导数定理若函数在点可微分，则在点处沿任一方向的方向导数都存在，且，其中，为方向的方向余弦．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习10.8.2梯度与场1．梯度定义2设函数在平面区域内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可确定一个向量，这个向量称为函数在点的梯度，记作，即．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习2．数量场与向量场【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．函数在点沿轴正向、负向，和沿轴正向、负向的方向导数分别是什么？2．讨论三元函数的方向导数与梯度的关系时，什么情况下取得最大值、最小值和零？它们和梯度向量有何关系？梯度向量有何特征（模、方向）？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论10.9多元函数的极值及其求法10.9.1多元函数的极值与最值1．多元函数的极值的概念【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习2．多元函数取得极值的条件定理1（必要条件）设函数在点处的偏导数存在，且在点处取得极值，则，．定理2（充分条件）设函数在点的某邻域内连续且具有一阶及二阶连续偏导数，又，记，，，则（1）当时，函数在点处取得极值，且当时有极小值，当时有极大值；（2）当时，函数在点处没有极值；（3）当时，函数在点处可能有极值，也可能没有极值．3．多元函数极值与最值的求法【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【注意】教师补充知识点区域的边界是一个无穷集合，所以边界上的函数值可能有无穷多，因此有很多问题都未必能像上述例子那么容易求出边界上的最值，因此，这种判别方法并非总是有效的，需要具体问题具体分析．例如，下面例子的处理方法就跟例3不一样．10.9.2条件极值、拉格朗日乘数法应用拉格朗日乘数法求在条件下的极值的步骤如下．（1）构造拉格朗日函数．（2）求的驻点坐标，即求解方程组解出．（3）判断在处取何种极值．在实际问题中，常常由实际意义来判断．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习*10.9.3最小