【数学试题卷+答案】江苏省如皋市2025-2026学年度高三年级第一学期教学质量调研(二)(12.12-12.13)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求A.1+2iB.1-2iC.2-i2.已知全集U={x|1≤x≤4},集合,则CA=A.{x|1≤x≤2或3≤x≤4}B.{x|1≤x<2或3<x≤4}3.一组从小到大排列的数据：1,2,3,4,6,8,x,18,22,23.若它们的70百分位数是中位数的两倍，则x的值为A.10B.114.已知双曲线C,顶点到渐近线的距离为,则离心率e=A.128B.255C.2567.已知函数f(x)=(x+1)(x²+ax+b)的图象关于点(1,0)对称，则a+2b=A.-10B.10C.28.已知半径为5,圆心角为π的扇形铁片P-AB如图一，将其裁剪成如图二的形状并制成一个倒立的圆锥桶(如图三，含盖，且连接处损耗不计),该圆锥桶内能放入的最大球内注满了水(球厚薄忽略不计),将水倒入圆锥筒内，则水面高度为BB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.B.若f(x₁)=f(x₂)=1,D.当x∈[0,2π]时，曲线y=sinx与f(x)有4个交点 A.BD₁//平面AEC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数f(x)=e-2x有大于零的极值点，则实数a的取值范围是14.已知F是抛物线C:x²=4y的焦点，1是准线，过F作圆A:x²+y²-6y+6=0的切线，与抛物线C交于点M,N两点(M在N的上方),过M作I的垂线，垂足为P,则△MFP的面积为·四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(1)求角C;(2)若角C为锐角，M是BC边上的一点，CM=2MB=2,AM=2√2,求△ABC的面积.16.(15分)已知数列{a,}的各项均为正数，前n项和为S。,且a=1,a+=√S+1+√Sn.(2),数列{b}的前n项和为T,不等式λ<T,对任意正整数n恒成立，求实数λ的取值范围.为圆台的轴截面，且(2)求异面直线EF与BC所成角；(3)已知二面角B-EF-C的余弦值为,求圆台的高O₁O₂的长.C18.(17分)已知函数,k∈R.(2)若函数f(x)为偶函数.在双曲线C上.(1)求双曲线的方程；(2)如图，在双曲线的右支上任取一点P(x₀,y。),以P为切点作双曲线右支的切线，交两渐近线于M₀,N₀两点，过M,N₀两点分别作两渐近线的平行线交于点P,过P作直线M₀N₀的平行线分别交两渐近线于M,N₁两点，再过M₁,N₁两点分别作两渐近线的平行线交于点P₂,一直反复操作，可得P,P₂,P₃…P.①证明：点O,P₀,P,P₂,P₃,……,P,在同一条直线上，并求该直线方程；②记△P₋M:N,(i=1,2,…,n)的面积为S₁,记,证明：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A.1+2iB.1-2iC.2-iz=(1-2i)i=i-2i²=2+i,z=2-i,A.{x|1≤x≤2或3≤x≤4}CA={x|1≤x<2或3≤x≤4},选D.3.一组从小到大排列的数据：1,2,3,4,6,8,x,18,22,23.若它们的70百分位数是中位数的两倍，则x的值为A.10B.11C.12l共10个数据，中位数为7,10×70%=7,第70百分数A.√2A.128B.2552a²=a₁a₄=a₂a₃,∴2a₂=a₃,∴6.在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,a=5,c=acosB,A.12B.9【答案】C7.已知函数f(x)=(x+1)(x²+ax+b)的图象关于点(1,0)对称，则a+2b=A.-10B.10【答案】Cf(x)关于(1,0)对称，则f(1)=0,∴a+b=-1①,函数图象关于点对称，找到两组对称的就可以求出参数的值，除非错题，否则算出来的参数不会出错。8.已知半径为5,圆心角为π的扇形铁片P-AB如图一，将其裁剪成如图二的形状并制成一个倒立的圆锥桶(如图三，含盖，且连接处损耗不计),该圆锥桶内能放入的最大球内注满了水(球厚薄忽略不计),将水倒入圆锥筒内，则水面高度为B解析】方法一：设PC=r,则小圆直径5-r,则∴r=3,底面圆半径1,圆锥高2√2,设圆锥内切球半径为RBB∴圆锥母线长l=3,圆锥高PP′=2√2,设其内切球为球O'二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.D.当x∈[0,2π]时，曲线y=sinx与f(x)有4个交点A对.或或错.” A.BD₁//平面AECC.当λ+μ=1时，满足到直线AB与到平面AB₁C₁D₁的距离相等的点F有两个记AC∩BD=G,∵DE=ED₁,∴E为DD₁中点，又G为BD中AEC,∴EG//平面AEC,A对. AF=(-μ,1,2),平面BCC₁B₁的法向量AB=(0,1,0),∴AF与AB所成角为45°,∴μ²+λ²=1,轨迹为个圆，轨迹长度为B错.F(1-μ,1,2)到平面A₁B₁C₁D₁的距离d₂,平面A₁B₁C₁D₁的法向量AB=(0,1,0),AF=(-μ,1又∵λ+μ=1,∴λ=0,μ=1,F只有一个点，C错.,设球心O(x,y.z),半径R,D对.11.甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1个黑球和2个红球.现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行n(n∈N*)次操作后，甲盒子中恰有0个黑球，1个黑球，2个黑球分别记为事件An,Bn,Cn.则【答案】ACD为首项，为公比的等比数列方法二：初始甲盒1黑2红，乙盒：1黑2红对于A,,A正确.,C正确.于书写，记pn=P(Bn)=P(Xn=1),un=当X=0:甲0黑3红，乙2黑1红.乙取黑概率乙取红概率甲只能取红，当X=1:甲、乙均1黑2红.独立取球并交换：据此得转移矩阵(按状态0,1,2排列):初始为(0,1,0),即X₀=1.A:P(B₁)由上面1→1的转移概率，,A对.C:P(A₁+B₂)按并事件公式：P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B),C对.方法四：直接枚举开始X₀=1时，两个盒子的取球组合共有3×3=9等可能结果，每个结果概率其中使X₁=1的有：甲红乙红(4种)与甲黑乙黑(1种),合计5种，故使X₁=0与X₁=2各2种，古.与方法二一致..与方法二计算一致.题：甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1个黑球和2个红球.现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作.改动：甲盒取球仍等概率取色；乙盒若同时存在黑、红两色，则取黑的概率为,取红的概率为；若某色不存在则必取另一色.重复进行n(n∈N)次操作后，甲盒子中恰有0个黑球，1个黑球，2个黑球分别记为事件A,B,Cn.则()un=P(A,)=P(X=0),pn=P(B。)=P(Xn=1),X₀=1,故u₀=0,po=1,vo=0.转移若X=0:甲0黑3红，乙2黑1红.甲必取红，乙取黑概率,取红概率个个个若X=2:甲2黑1红，乙0黑3红.乙必取红；甲取黑、取红,P(2→0)=0.个A:从X₀=1起一轮，,A对.故B错.推导pn(验证D)改编二：双边同偏题：甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1个黑球和2个红球.现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作.改动：若某盒同时存在黑、红两色，则两盒均(以同一偏好参数取黑的概率为,取红的概率为;若某色不存在则必取另一色.重复进行n(neN)次操作后，记事件C.D.P(A,)=P(C,)对一切n成立【改编题解析】仍记un,Pn,v,如上，初态u₀=0,Po=1,v₀=0.此时两盒完全对称，故对所有n有un=vn,D对.一步概率(两盒同偏Xn=2:Xn=1:两盒均1黑2红，于是全概率：Pn+=q(u+v,)+(q²+(1-q)²)pn=q+(2q²-3q+1)pn当时，2q²-3q+1=2点评：马尔科夫链问题，前三个选项计算量很小，很好三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数f(x)=e-2x有大于零的极值点，则实数a的取值范围是【答案】(0,2)13.已知随机变量X～N(2,4),且P(X<0)=P(X>a),则的展开式中常数项为【答案】60X～N(2,4),P(X<0)=P(X>a)展开式第r+1r=2,T₃=60,常数项为60.点评：由正态分布的对称性求a,然后求二项展开式通项公式。14.已知F是抛物线C:x²=4y的焦点，I是准线，过F作圆A:x²+y²-6y+6=0的切线，与抛物线C交数学解析】方法一：圆A:x²+(y-3)²=3,F(0,1),圆A:x²+y²-6y+6=0→x²+(y-3)²=3,圆心O₁(0,3),r=√3. 因为MP垂直于1,故MP为竖直线段，长度MP=yu-(-1)=3+1=4.拓展与深挖(暴力算的话)数.对本题切线由于,再由y₁y₂=1与y₁解得 15.(13分)△ABC中，(1)求角C;(2)若角C为锐角，M是BC边上的一点，CM=2MB=2,AM=2√2,求△ABC的面积.(1)sinAcosC-cosAsinC+2cosAsinC=√2sinBsinC,A16.(15分)已知数列{a,}的各项均为正数，前n项和为S,且a₁=1,an+1=√S+1+√Sn.(2),数列{b,}的前n项和为T,不等式λ<T,对任意正整数n恒成立，求实数λ的取值范围.{√S}成首项为1,公差为1的等差数列.满足上式λ<(Tn)mn,n为偶数时，T才可能最小，此,即λ的取值范围17.(15分)如图，已知圆台O₁O₂,AB,CD,EF均为母线，四边形ABCD为圆台的轴截面，且(2)求异面直线EF与BC所成角；(3)已知二面角B-EF-C的余弦值为求圆台的高O₁O₂的长.CF为AD中点，F为B(3)仿(2)建系，BE=(1,2,h),EF=(1,0,-h),FC=(-2,2,0)18.(17分)已知函数,k∈R.(1)求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)为偶函数.①求k的值；无极大值.即e-e×=k(e⁻-e),(e-e*)(1+k)=0(当且仅当x=1时取“=”),∴xlnx≥x-1只需证：eˣ+e×-x²-2>0对Vx>0恒成立令F(x)=e+e⁻×-x²-2,F'(x)=e-e*-2x,F"(∴F'(x)在(0,+∞)上单调递增，∴F(x)>F(0)=0,∴e×+e⁻*-x²-2>0对Vx>0恒成立，得证!方法二；①由偶函数定义f(x)=f(-x)(Vx∈R).f(x)-f(-x)=(e-2-ke⁻*)-(e⁻-2-上式欲对一切x恒为0,只能取k=-1(因为eˣ-ex≠0)此时f(x)=e*+e⁻×-2.分两部分分别处理：关于e+e⁻×:由基本不等式相加得e²+e⁻¹≥2+t²,且当且仅当t=0取等号.取t=x得eˣ+e⁻×-2-x²>0(Vx>0).关于xlnx-x+1:设H(x)(x>0),故H在(0,+∞)上凸，且在x=1处取得最小值H(1)=0,从而xlnx-x+1≥0(Vx>0),等号仅在x=1处成立.将两部分合并：φ(x)=(eˣ+e⁻*-2-x²)+(xlnx-x+1)>0(Vx>0).于是f(x)+xlnx>x²+x-1(Vx>0)综上：在x>0上第一项正，第二项非负，二者之和正，故为不等式.拓展与深挖1、偶函数判别：一般式Ae+Be⁻×+C为偶函数当且仅当A=B.本题对应A=1,B=-k,故1=-k→k=-1.此对称系数判别，一眼给出结论.2、不等式升级:由幂级数等号仅在x=0取到.因而在本题条件x>0下①极值：当αβ<0时有唯一极小值，极值点在③若令α=β=1,可把e+e⁻*写成2coshx,并利用迅速得到与本19.(17分)已知双曲线,F(-2,0),F₂(2,0)分别为左、右焦点，点A(2,√2)(2)如图，在双曲线的右支上任取一点P。(x₀,y。),以P₀为切点