比例的基本性质课件-湘教版九年级数学上册

2025-2026学年湘教版数学九年级上册第3章

图形的相似3.1.1比例的基本性质观察与思考

如图的

(1)

和

(2)

都是故宫太和殿的照片，(2)是由

(1)

缩小得到的.（1）（2）PQP′Q′在照片

(1)

中任意取四个点

P，Q，A，B在照片

(2)找出对应的两个点

P′，Q′，A′，B′

量出线段

PQ，P′Q′，AB，A′B′

的长度.计算它们的长度的比值.AA'B'B我将以“情境导入—概念构建—性质推导—应用巩固”为教学逻辑，结合生活实例与数学活动，设计符合初中生认知的教学过程，突出比例基本性质的生成与应用。#人教版初中数学九年级下册《3.1.1比例的基本性质》教学过程设计本节课是“比例”单元的起始核心内容，前承小学阶段比的概念与性质，后启相似三角形的判定与性质等重要知识。教学目标设定为：理解比例的概念，掌握比例的基本性质及简单变形，能运用性质解决实际问题；通过观察、猜想、验证培养学生的逻辑推理能力；感受数学与生活的联系，激发学习兴趣。教学重点为比例的基本性质及应用，难点为比例性质的推导过程与灵活变形。##一、情境导入，唤醒旧知（5分钟）###1.生活情境激趣呈现两个生活场景：①国旗尺寸：我国国旗的标准尺寸中，有一种长144cm、宽96cm，另一种长96cm、宽64cm；②照片缩放：一张照片原长15cm、宽10cm，放大后长21cm、宽14cm。提问引导：“这些长方形的长和宽之间有什么共同特点？我们可以用怎样的数学关系表示它们的长与宽的倍数关系？”###2.旧知回顾衔接引导学生回忆小学知识：两个数相除又叫做两个数的比，如144÷96可以写成144:96，比值是1.5。计算上述场景中各组长与宽的比值：144:96=1.5，96:64=1.5；15:10=1.5，21:14=1.5。小结发现：每组两个比的比值相等，像这样表示两个比相等的式子，就是我们今天要学习的“比例”。板书课题：比例的基本性质。##二、概念构建，理解比例（7分钟）###1.比例的定义与表示给出定义：表示两个比相等的式子叫做比例。例如144:96=96:64，也可以写成$\frac{144}{96}=\frac{96}{64}$。介绍比例的各部分名称：在比例$a:b=c:d$（或$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$）中，$a$、$b$、$c$、$d$叫做比例的项，其中$a$和$d$是比例的外项，$b$和$c$是比例的内项。特别地，当比例的两个内项相等时，如$a:b=b:c$，$b$叫做$a$和$c$的比例中项。###2.比例与比的辨析组织小组讨论：“比例和我们以前学的比有什么区别？”师生总结：比是表示两个数的倍数关系，只有两项；比例是表示两个比相等的式子，有四项，是比的一种特殊组合。例如“3:2”是比，“3:2=6:4”是比例。###3.即时判断练习给出一组式子，让学生判断哪些是比例：①3:5②$\frac{1}{2}:\frac{1}{3}=3:2$③5:7=10:14④2+3=5:1。（答案：②③是比例）通过练习强化比例“两个比相等”的核心特征。##三、探究推导，掌握性质（15分钟）###1.猜想：比例的内项与外项的关系回到导入环节的比例实例，让学生计算每个比例中“内项积”和“外项积”：-①144:96=96:64：内项积96×96=9216，外项积144×64=9216；-②15:10=21:14：内项积10×21=210，外项积15×14=210；-③$\frac{1}{2}:\frac{1}{3}=3:2$：内项积$\frac{1}{3}×3=1$，外项积$\frac{1}{2}×2=1$。提问：“观察这些结果，你有什么猜想？”引导学生提出：比例的两个内项的积等于两个外项的积。###2.验证：从一般形式推导性质设比例$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$（$b$、$d$不为0），引导学生用代数方法证明猜想：第一步：根据等式的性质，两边同时乘$bd$（$bd≠0$），消去分母得：$a×d=b×c$。第二步：用比例的形式表示即为：在比例$a:b=c:d$中，$ad=bc$。强调：这一结论就是比例的基本性质，它是比例变形的重要依据，反过来也成立——如果$ad=bc$（$b$、$d$不为0），那么$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$。###3.特殊情况：比例中项的性质针对比例$a:b=b:c$，根据比例的基本性质可得：$b²=ac$。举例说明：若2是4和$x$的比例中项，求$x$。解：由比例中项性质得$2²=4x$，即$4=4x$，解得$x=1$。###4.性质的符号语言与文字表述文字表述：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。符号语言：若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$（$b,d≠0$），则$ad=bc$；反之，若$ad=bc$（$b,d≠0$），则$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$。##四、应用巩固，深化理解（12分钟）###1.基础应用：求比例中的未知项（解比例）例1：解比例$3:8=15:x$。解题示范：①根据比例的基本性质，内项积等于外项积，得$3x=8×15$；②计算右边：$8×15=120$；③求解$x$：$x=120÷3=40$；④检验：将$x=40$代入原比例，左边$3:8=0.375$，右边$15:40=0.375$，比值相等，解正确。练习：解比例①$\frac{x}{4}=\frac{3}{6}$②$2.4:1.6=6:x$。（答案：①$x=2$②$x=4$）###2.能力提升：比例的灵活变形例2：已知$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$，求$\frac{a+b}{b}$的值。解法引导：①由比例的基本性质得$5a=3b$，但可更简便利用“比的和差”：②$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{a}{b}+1$；③代入$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$，得$\frac{3}{5}+1=\frac{8}{5}$。拓展练习：已知$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$，求$\frac{3x-2y}{y}$的值。（答案：0）###3.实际应用：结合生活场景例3：用比例解决国旗尺寸问题：已知国旗的长与宽的比是3:2，学校要制作一面长120cm的国旗，宽应是多少cm？解答：设宽为$x$cm，根据题意列比例$120:x=3:2$；由比例性质得$3x=120×2$；解得$x=80$。答：宽应是80cm。##五、课堂小结与作业布置（6分钟）###1.课堂小结（师生共同梳理）-核心概念：比例的定义（两个比相等的式子）、各部分名称（外项、内项、比例中项）；-关键性质：比例的基本性质（内项积=外项积）及逆用；-核心技能：解比例、比例变形、实际应用，解题后需检验。###2.分层作业-基础作业：教材对应习题，解3道比例题，完成1道实际应用题；-提高作业：已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{2}{3}$（$b+d≠0$），求证$\frac{a+c}{b+d}=\frac{2}{3}$；-实践作业：测量家中长方形物体（如课本、桌面）的长和宽，写出长与宽的比，并验证是否与标准比例（如16:9、3:2）相等。##六、板书设计（简洁直观，突出重点）这份教学过程设计融入了互动讨论、分层练习和生活实例，符合九年级学生的学习特点。你可以根据班级实际情况调整练习难度，若需要补充PPT课件框架或课堂活动的细化方案，都可以告诉我。比例的基本性质合作探究问题1：如果四个数

a，b，c，d

成比例，即那么ad=

bc

吗？反过来如果

ad=

bc，那么

a，b，c，d

四个数成比例吗？如果四个数

a，b，c，d

成比例，即那么

ad

=

bc

吗？在等式两边同时乘以

bd，得

ad

=

bc由此可得到比例的基本性质：如果，那么

ad

=

bc.由此可得到比例的基本性质：如果

ad

=

bc，那么等式还成立吗？在等式中，四个数

a，b，c，d

可以为任意数，而在分式中，分母不能为0.如果

ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么

.如果或a：b=c：d，那么称a、b、c、d

成比例，

a、d

叫做比例外项，b、c

叫做比例内项.相关概念典例精析例1已知四个数a，b，c，d成比例，即.下列各式成立吗？若成立，请说明理由.①②④③由此得到解：由于两个非零数相等，则它们的倒数也相等，因此，由①式可以立即得到②式，即②式成立.由①式得ad

=

bc.在上式两边同除以cd，得在①式两边都加上1，得

例2：根据下列条件，求a∶b

的值：（1）4a

=

5b；（2）（2）∵，∴8a

=

7b，∴解（1）∵4a

=

5b，∴例3：已知

，求的值.解：解法1：由比例的基本性质，得 2(a+3b)=7×2b.∴a=4b，∴=4.解法2：由，得.∴ ,，那么、各等于多少？2．已知1．已知线段

a、b、c满足关系式且

b＝4，那么

ac＝______．，练一练16问题2：已知

a，b，c，d，e，f六个数，如果(b+d+f≠0)，那么成立吗？为什么？

设 ，则

a=kb，c=kd，e=kf.

所以等比性质由此可得到比例的又一性质：例4：在

△ABC与

△DEF中，已知，且

△ABC的周长为18cm，求

△DEF的周长.解：∵

∴∴4(AB+BC+CA)=3(DE+EF+FD).即

AB+BC+CA=(DE+EF+FD).又

△ABC的周长为18cm，即AB+BC+CA=18cm.∴△DEF的周长为24cm.例4：若

a,b,c都是不等于零的数，且求

k的值.得

，则

k＝2.当

a＋b＋c＝0时，则有

a＋b＝－c.此时.

综上所述，k的值是2或－1.解：当

a＋b＋c≠0时，由