第4章专题01三角函数的概念与三角恒等变换（原卷版）

专题01三角函数的概念与三角恒等变换0505点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类【方法技巧01】确定角终边所在象限的方法【方法技巧02】扇形的弧长与面积应用【方法技巧03】三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法【方法技巧04】对sina，cosa，tana的知一求二问题【方法技巧05】利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤【方法技巧06】给值求值问题的求解策略【方法技巧07】给值求角问题的求解策略01任意角与弧度制1.角的相关概念（1）角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.（2）角的表示：如图，射线OA为始边，射线OB为终边，点为角的顶点.“角”或““可简记为“”．（3）角的分类名称定义图形正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转形成的角这样,我们就把角的概念推广到了任意角，（5）角的加、减法②相反角：把射线OA绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角的相反角记为.2.终边相同的角3.象限角与轴线角（1）象限角、轴线角的概念：在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，便称此角为第几象限角。如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角．（2）象限角的集合（3）轴线角的集合角终边的位置角的集合特点在轴的非负半轴上集合中角之间的差都为360°的整数倍在轴的非负半轴上在轴的非负半轴上在轴的非正半轴上在轴上集合中角之间的差都为180°的整数倍在轴上在坐标轴上集合中角之间的差为90°的整数倍象限角的注意事项2．象限角只能反映角的终边所在的象限，不能反映角的大小，不能说第二象限角大于第一象限角．终边在轴上的角的集合的推导过程A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4.角度制、弧度制的概念（2）弧度制定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)角度与弧度的换算弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2角的表示的书写规范5.角度与弧度的互化（1）角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度（2）一些特殊角的度数与弧度数的对应表度弧度在弧度制下，轴线角的集合6.扇形的弧长公式和面积公式角度制弧度制弧长公式面积公式对扇形的弧长公式和面积公式的理解（2）运用弧度制下的公式时要注意前提：为弧度数。【真题实战2】（2025·甘肃白银·二模）已知动点的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的面积为（

）

弧度制下扇形面积公式的记忆技巧02三角函数的概念1.三角函数的概念（1）利用单位圆定义任意角的三角函数（2）利用角的终边上任意一点的坐标定义三角函数直角三角形中的三角函数在RtΔABC中，C=90°,A的对边与斜边的比值叫做A的正弦函数，即sinA=对边斜边=BCAB;A的邻直角边与斜边的比值叫做A的余弦函数，即②一些特殊角的三角函数值00101101001—10—同一个三角函数值对应的角有无数个，如sinα=12，则α=2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件A．2 B．4C．6 D．82.三角函数的定义域和值域三角函数定义域值域α正弦函数的值域3.三角函数值在各象限内的符号三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么eq\a\vs4\al(y)叫做α的正弦，记作sinαeq\a\vs4\al(x)叫做α的余弦，记作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线口诀记忆：上加下减；左减右加；左斜减，又斜加.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【真题实战2】（2025·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边落在第一象限，则下列三角函数值中一定大于零的是（

）4.同角三角函数基本关系式（1）同角三角函数的基本关系（2）基本关系式的几种变形同角三角函数的基本关系的推导（3）同角三角函数的基本关系的常见变形对同角三角函数的基本关系的理解03诱导公式1.三角函数的诱导公式公式1公式2公式3公式4公式5公式6对诱导公式的说明1．正、余弦函数诱导公式中的角可以是任意角，但正切函数诱导公式中的角必须使公式中的角的正切值有意义。2．在判断三角函数值的符号时，可以把看成锐角。3．诱导公式可以根据角的终边的对称性，结合三角函数的定义进行推导或理解．2．诱导公式的理解与记忆（2）＂变＂与＂不变＂是针对三角函数名称而言的．当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变.诱导公式的作用公式三：将负角转化为正角求值。公式五和公式六：实现正弦与余弦的相互转化．A． B． C． D．A． B． C． D．04三角恒等变换公式1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβS(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβS(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβT(α－β)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)；变形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)T(α＋β)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)；变形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)在公式T(α±β)中α，β，α±β都不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即保证tanα，tanβ，tan(α±β)都有意义．利用两角差的余弦公式推导诱导公式2.二倍角公式（1）二倍角公式S2αsin2α＝2sinαcosα；C2αcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；T2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)（2）倍角公式的逆用及变形（3）配方变形（4）因式分解变形（5）升幂公式（6）降幂公式3.辅助角公式常见辅助角结论4.半角公式（1）半角公式的无理形式（2）半角正切公式的有理形式A． B． C． D．5.万能公式A． B． C．3 D．6.积化和差与和差化积公式（1）积化和差公式积化和差公式的记忆口诀前角用和后角差，正余二分正弦和，余正二分正弦差，余余二分余弦和，正正负半余弦差。和差化积公式和差化积公式的记忆口诀正加正，正在前；余加余，余并肩；正减正，余在前；余减余，负正弦．应用和差化积与积化和差公式化简的关键点利用和差化积与积化和差公式化简三角函数式是将同名称的正弦与余弦进行恰当组合，组合时遵循原则：（1）尽量使两角的和（差）出现特殊角；（2）对于特殊角的三角函数应求出其值．01sinα，cosα齐次式中“切弦互化”的技巧1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：（1）sinα，cosα的二次齐次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；（2）sinα，cosα的齐次分式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)))的问题常采用分式的基本性质进行变形．2、切化弦：利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧．A． B． C． D．A．2 B．1 C． D．02sinα±cosα与sinαcosα关系的应用对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，知一可求二，若令sinα＋cosα＝t(t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)])，则sinαcosα＝eq\f(t2－1,2)，sinα－cosα＝±eq\r(2－t2)(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．A． B． C． D．03三角函数式的化简要遵循“三看”原则【注意】化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等．04寻找角的关系1.计算与化简题中的角的关系：2．“已知若干解或若干角的三角函数值，求目标解或目标解的三解函数值”问题中的解的关系：05积化和差与和差化积公式积化和差与和差化积解题策略1．抓角的关系：分析角的和、差、倍或特殊角（如），明确转化方向。2．配公式结构：①积化和差：乘积转和差，记系数与符号（同名积和差，异名积差和）；3．联用+验符号：结合诱导、和差角、倍角公式化简，通过角的范围判断三角函数符号，排除矛盾解．A． B．7 C． D．A． B． C． D．A．6 B．7 C．8 D．9A． B． C．1 D．01忽略角的度量单位的一致性角的终边相关集合问题三个核心规律【典例1】与角终边相同的角的集合是（

）02忽略终边相同角的公式中π的系数的要求，不能分类讨论03应用三角函数的定义求值时遗漏终边的位置终边落在直线Ax+By=0上,即要确定终边在哪些象限,需分类讨论,利用三角函数的定义求值时必须明确终边的条件,清楚其在坐标系中的位置.简言之，遇直线型终边，先定象限、再分类.A．2 B．﹣2 C．﹣2或2 D．004应用三角函数的定义求参数时忽略参数的取值范围简言之，用定义求值时，先借符号定坐标范围，再验解保结果合理，规避增根与逻辑矛盾。A．－4和 B． C．－4 D．1A．2 B． C． D．05忽略题目隐含范围致错06不能精确确定角的取值范围导致错解A． B． C．或 D．一、确定角αnn（1）分类讨论法：利用已知条件写出的范围（用表示），由此确定的范围，在对进行分类讨论，从而确定所在象限。（2）几何法：先把各象限分为等份，再从轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、四……则原来是第几象限的角，标号为几的区域即角终边所在的区域。【典例1】（2425高一下·上海·阶段练习）已知为第三象限角，则所在的象限是（

）A．第一或第三象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限【典例2】（2425高一下·江西抚州·阶段练习）已知是钝角三角形中最大的角，则是（

）A．第一象限角 B．第三象限角 C．第四象限角 D．小于的正角【典例3】（2324高三上·上海静安·期末）设是第一象限的角，则所在的象限为（

）A．第一象限 B．第三象限C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限【典例4】（2425高三·河北石家庄·期中）如果角的终边在第三象限，则的终边一定不在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限二、扇形的弧长与面积应用1.利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.2.求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.3.在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.【典例1】（2425高三上·湖南·阶段练习）如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为（

）【典例2】（2025·浙江温州·二模）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（

）A．1 B． C．3 D．6【典例3】（2025·河北衡水·模拟预测）已知某扇形的圆心角为2rad，面积为25，则该扇形所对应圆的面积为（

）A． B． C． D．三、三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法1.已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。2.已知角的一个三角函数值和终边上一点的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题。A． B．1 C． D．四、对sinα，cosα，tanα的知一求二问题A． B． C． D．五、利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤eq\x(\a\al(任意负角,的三角函,数))eq\o(→,\s\up9(\a\vs4\al(利用诱导公式)),\s\do8(三或一))eq\x(\a\al(任意正角,的三角函,数))eq\o(→,\s\up9(\a\vs4\al(利用诱导公式一)))eq\x(\a\al(0～2π的,角的三角,函数))eq\o(→,\s\up9(\a\vs4\al(利用诱导公式二)),\s\do8(或四或五))eq\x(\a\al(锐角三,角函数))也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．A． B．1 C． D．3六、给值求值问题的求