浙江省杭州北斗联盟2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题

2025学年第一学期杭州北斗联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】先根据复数的减法运算求出复数，然后求出其在复平面对应的点，从而可求得结果.故选：CA.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理即可求解.故选：B.【答案】D【解析】故选：D.4.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论正确的是（）【答案】C【解析】【分析】根据线面平行、线面垂直、面面垂直定义及判定定理，逐一判断正误.C中，根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行知C正确．D中，β，γ两平面可能相交或平行，所以D错误．故选：CA.1 B.3 C.5 D.7【答案】B【解析】故选：B【答案】B【解析】【分析】利用投影向量的计算公式，可得答案.故选：B.7.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，由此能求出从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率．【详解】有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，∴从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率：故选C．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.A.条 B.条 C.条 D.条【答案】C【解析】所以满足条件的直线共有条，故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【答案】AC【解析】【分析】对于A，运用消去参数，对于B，运用截距概念；对于C，运用两直线垂直时，斜率之积为；对于D，两直线平行时，斜率相等，结合平行线距离公式计算.我们将根据这些性质来逐一分析每个选项.所以直线在轴上的截距为，选项B错误.故选；AC.A.异面直线与所成的角为【答案】BC【解析】【分析】对于A，利用线线角的定义及正方体的性质，结合等边三角形的性质即可求解；对于B，利用等体积法及棱锥的体积公式即可求解；对于C，利用线面垂直的判定定理即可求解；对于D，根据已知条件及二面角的平面角的定义，结合锐角三角函数即可求解.即异面直线与所成的角为，故A错误；故选：BC.【答案】ABD【解析】B选项：由函数单调性的定义判断函数的单调性；故选：ABD非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【答案】125°【解析】【分析】根据斜率与倾斜角的关系计算可得.【答案】29【解析】【分析】讨论椭圆焦点的位置，然后根据焦距，列等式求得即可.综上所述，的值为．故答案为：．【答案】【解析】故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【解析】（1）试用，，表示出向量；（2）求与所成的角的余弦值．【解析】【分析】（1）根据向量线性运算，化简即得用，，表示向量的式子；（2）利用空间的数量积和向量夹角公式进行求解即可．【小问1详解】【小问2详解】（1）求圆的标准方程；【解析】（2）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况讨论求解即可.【小问1详解】【小问2详解】【答案】（1）（i）证明见解析，（ii）【解析】【小问1详解】（i）证明：如图建立空间直角坐标系，则有【答案】（1）是“距”增函数，理由见解析【解析】【小问1详解】【小问2详解】【小问3详解】【点睛】“新定义”主要是指定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根