第六、七章 统计概率（原卷版及全解全析）

第六章、七章统计概率简单随机抽样频率分布直方图样本数字特征随机事件随机事件的概率一．简单随机抽样（共8小题）1.某高中三个年级共有学生2000人，其中高一800人，高二600人，高三600人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（

）A．24 B．26 C．30 D．322.高考结束后，为了分析该校高三年级1000名学生的高考成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法中正确的是（

）A．100名学生是个体B．样本容量是100C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本D．1000名学生是样本3.某地区的高中学校分为A、B两类，A类高中学校共有学生6000人，B类高中学校共有学生2000人．现按A、B两类进行分层，用分层随机抽样的方法，从该地区的高中学校抽取学生40人进行调查研究．设抽到该地区A类高中学校学生x人，则．二．频率分布直方图（共5小题）4.（多选）某高中举行的纪念红军长征出发90周年的知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（

）A．参赛成绩的众数约为75分B．用分层抽样从该校学生中抽取容量为200的样本，则应在内的成绩抽取30人C．参赛成绩的第75百分位数约为82.5分D．参赛成绩的平均分约为72.8分5.（多选）某校1000名学生在高一测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），则（

）

A．B．约有200人的成绩不低于110分C．约有60人的成绩低于70分D．本次考试的平均分约为93.6分6.为了解某批零件的质量，质检员从这批产品中随机抽取100件产品，测量它们的直径（单位：mm），根据测量所得数据，将其按分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)估计这批零件的直径的中位数；(2)已知这批零件共有10000件，若零件的直径在内为优等品，估计这批零件中优等品的件数．7．为了解甲､乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同､摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.30.(1)求乙离子残留百分比直方图中的值；(2)求甲离子残留百分比的第百分位数；(3)估计乙离子残留百分比的均值.（同一组数据用该组区间的中点值为代表）8．为了落实习主席提出的“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，平昌县政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成如图所示的频率分布直方图．(1)直方图中a的值；(2)由频率分布直方图估计平昌县居民月用水量的平均数是多少；(3)若平昌县政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），求x的估计值．三．样本数字特征（共12小题）9．从一批棉花中随机抽测了8根棉花的纤维长度（单位：mm），其数据为88，89，76，101，121，89，90，90，则该组数据的第60百分位数为（

）A．89 B．90 C．89.5 D．10110．某篮球运动员进行投篮训练，共进行了10组，每组投篮55次，每组投篮命中的个数分别为m，n，48，47，48，50，45，47，49，50.已知这组数据的平均数为48，方差为7，则（

）A．10 B． C． D．511.某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”，“论语组”，“春秋组”，“礼记组”4个小组参赛，每组10位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优秀”称号，则根据每组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是（

）A．诗经组中位数为3，众数为2B．论语组平均数为3，方差为1C．春秋组平均数为3，众数为2D．礼记组中位数为3，极差为412.（多选）下列说法正确的是（

）A．一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60B．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23C．若一个样本容量为8的样本的平均数是5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本的平均数不变，方差变大D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为1613．（多选）已知甲组数据为4，3，2，乙组数据为6，7，8，将甲、乙两组数据混合后得到丙组数据，则（

）A．丙组数据的中位数为5B．甲组数据的70%分位数是2C．甲组数据的方差等于乙组数据的方差D．甲组数据的极差等于乙组数据的极差14.已知一组样本数据的样本平均数为3，方差为2，由生成一组新的样本数据，则新数据的平均数为；样本方差为.四．随机事件（共8小题）15.掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（

）A．与 B．与 C．与 D．与16.（多选）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取一个球.事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是8”，事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（

）A．与互斥 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立17．（多选）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“两次掷出的点数之和是”，事件B表示“第二次掷出的点数是偶数”，表示“两次掷出的点数相同”，表示“至少出现一个奇数点”，则（

）A．A与互斥 B．A与相互独立C．与对立 D．与相互独立18．（多选）某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是对立的事件是(

).A．“恰有一名女生”和“全是女生”B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生”C．“至多有一名男生”和“全是男生”D．“至少有一名男生”和“全是女生”19.已知随机事件A，B，C，与相互独立，与对立，且，，则.20.（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为奇数”记为事件，“点数小于5”记为事件，“点数大于5”记为事件.下列说法正确的是（

）A．与互斥 B．与对立C．与相互独立 D．五．随机事件的概率（共13小题）21.（多选）袋内有个白球和个红球，有放回的从中抽取两次，每次从中随机取出一个球，则（

）A．次取到的都是红球的概率为B．次取到的都是红球的概率为C．次取到的球恰好是一红一白的概率为D．次取到的球恰好是一红一白的概率为22．（多选）甲、乙两人分别从云台山、青天河、神农山、月山寺这四个景点中随机选择一个景点去旅游，已知甲、乙两人选择哪个景点相互独立，则下列说法正确的是（

）A．甲去云台山的概率为B．甲、乙两人都去云台山的概率为C．甲、乙两人中恰有一人去云台山的概率为D．甲、乙两人中至少有一人去云台山的概率为23.“石头、剪刀、布”是一种古老的游戏，操作简单，具有极为广泛的群众基础，游戏规则为：石头克剪刀，剪刀克布，布克石头.两人参加游戏，若两人都随机出手，则出手1次就能分出胜负的概率为.24．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．“星队”在两轮活动中猜对所有成语的概率为．(1)求的值；(2)求“星队”在两轮活动中，猜对3个成语的概率；(3)若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率．25．2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.(1)求a值和该样本的第75百分位数；(2)试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分；(3)该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在，各一人的概率.26．某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分（百分制）按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图.已知调查评分在中的市民有200人.心理测评评价标准如下表：调查评分心理等级A(1)求的值及频率分布直方图中的值；(2)在抽取的心理等级为的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为的概率．27.世界杯足球赛备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮，某机构为了解球迷对足球的喜爱，为此进行了调查.现从球迷中随机选出人作为样本，并将这人按年龄分组:第组，第组，第组40,50，第组，第组，得到频率分布直方图如图所示.(1)估计样本数据的上四分位数（也称第三四分位数，第百分位数）(2)若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行座谈，求抽取的人中至少有人的年龄在组的概率.28．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.(1)求第七组的频率；(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，求两名男生在同一组的概率.29．某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试．已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中a的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；(2)现学校准备利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团．①求应从和学生中分别抽取的学生人数；②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件“至少有1人测试成绩位于区间”，求事件A的概率．30.2024年9月8日，“全国高中数学联合竞赛”如期举行.该竞赛分为一试（满分120分）和二试（满分180分），在这项竞赛中取得优异成绩的学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克（CMO）暨全国中学生数学冬令营”（每年11月）.已知某市选派50人参加全国高中数学联赛，其取得的一试成绩绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图估计学生成绩的平均数a和方差的值（同一组数据用该组区间的中点值代替）；(2)若成绩在100分及以上的试卷需要主委会抽样进行二次审阅.评审员根据上表在此地区100分及以上的试卷中按照分层抽样的原则随机抽取3份进行二次审阅，已知A同学的成绩是101分，E同学的成绩是115分，求这两位同学中至少有一人试卷被抽到的概率.31．甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响.(1)求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率;(2)甲一人射击不限次数，若想击中目标的概率不低于，甲至少需要射击多少次?（参考数据：）(3)甲乙各射击两次，求4次射击恰有2次击中目标的概率.32.一个袋子中有标号分别为、、、的个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次(1)求摸出两球标号互质的概率；(2)设事件“第一次摸出球的标号小于”，事件“第二次摸出球的标号小于”，判断事件与事件是否相互独立.33.星空儿童游乐场在父亲节设置一个亲子游戏：口袋内装有形状大小及质地完全相同，编号为1，2的两个白球和编号为a，b的两个红球，每位爸爸从中连续摸球两次，摸出一球后放回；每个宝宝不放回的逐一取出两个球.若爸爸和宝宝独立摸球，两人摸出的红球个数之和恰好为2，则获得亲子礼包.现场的爸爸甲和小朋友乙参加了游戏.(1)求事件A“甲摸出的两个球都是红球”的概率；(2)求事件B“乙取出的两个球都是红球”概率；(3)求甲乙这对父子获得亲子礼包的概率.

第六章、七章统计概率简单随机抽样频率分布直方图样本数字特征随机事件随机事件的概率一．简单随机抽样（共8小题）1.某高中三个年级共有学生2000人，其中高一800人，高二600人，高三600人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（

）A．24 B．26 C．30 D．32【答案】D【详解】依题意高一年级应抽取的人数为人.故选：D.2.高考结束后，为了分析该校高三年级1000名学生的高考成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法中正确的是（

）A．100名学生是个体B．样本容量是100C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本D．1000名学生是样本【答案】B【详解】根据有关的概念并且结合题意可得总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，而不是学生，根据选项可得选项A、D表达的对象都是学生，而不是成绩，所以A、D都错误．C每名学生的成绩是所抽取的一个样本也是错的，应是每名学生的成绩是一个个体．B：样本的容量是100正确．故选:B．3.某地区的高中学校分为A、B两类，A类高中学校共有学生6000人，B类高中学校共有学生2000人．现按A、B两类进行分层，用分层随机抽样的方法，从该地区的高中学校抽取学生40人进行调查研究．设抽到该地区A类高中学校学生x人，则．【答案】30【详解】由题意，.故答案为：30.二．频率分布直方图（共5小题）4.（多选）某高中举行的纪念红军长征出发90周年的知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（

）A．参赛成绩的众数约为75分B．用分层抽样从该校学生中抽取容量为200的样本，则应在内的成绩抽取30人C．参赛成绩的第75百分位数约为82.5分D．参赛成绩的平均分约为72.8分【答案】AC【详解】对于A：由频率分布直方图可得众数为，故A正确；对于B：由频率分布直方图可得内应抽取人，故B错误；对于C：分数在）内的频率为，在）内的频率为，因此第75百分位数位于内，第75百分位数为，故C正确；对于D：平均数为，故D错误.故选：AC.5.（多选）某校1000名学生在高一测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），则（

）

A．B．约有200人的成绩不低于110分C．约有60人的成绩低于70分D．本次考试的平均分约为93.6分【答案】ABD【详解】对A：，解得，故A正确；对B：，则约有200人的成绩不低于110分，故B正确；对C：，故约有120人的成绩低于70分，故C错误；对D：，故本次考试的平均分约为93.6分，故D正确.故选：ABD.6.为了解某批零件的质量，质检员从这批产品中随机抽取100件产品，测量它们的直径（单位：mm），根据测量所得数据，将其按分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)估计这批零件的直径的中位数；(2)已知这批零件共有10000件，若零件的直径在内为优等品，估计这批零件中优等品的件数．【答案】(1)(2)5000【详解】（1）因为所以这批零件的直径的中位数在内．设这批零件的直径的中位数为，则，解得，即这批零件的直径的中位数为．（2）由频率分布直方图可知这批零件的直径在内的频率为，则可估计这批零件中优等品的件数为．7．为了解甲､乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同､摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.30.(1)求乙离子残留百分比直方图中的值；(2)求甲离子残留百分比的第百分位数；(3)估计乙离子残留百分比的均值.（同一组数据用该组区间的中点值为代表）【答案】(1)，(2)(3)【详解】（1）由已知得，解得，所以．（2）根据直方图，易知甲离子残留百分比的第百分位数在区间，设为，则，解得，所以甲离子残留百分比的第百分位数为.（3）乙离子残留百分比的平均值的估计值为.8．为了落实习主席提出的“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，平昌县政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成如图所示的频率分布直方图．(1)直方图中a的值；(2)由频率分布直方图估计平昌县居民月用水量的平均数是多少；(3)若平昌县政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），求x的估计值．【答案】(1)(2)（吨）(3)5.8（吨）【详解】（1）由题意可得，解得.（2）（吨）.（3）因为的频率为，的频率为，故的估计值为（吨），所以85%的居民每月的用水量不超过标准（吨）.三．样本数字特征（共12小题）9．从一批棉花中随机抽测了8根棉花的纤维长度（单位：mm），其数据为88，89，76，101，121，89，90，90，则该组数据的第60百分位数为（

）A．89 B．90 C．89.5 D．101【答案】B【详解】将该组数据从小到大排列：76，88，89，89，90，90，101，121，由，故该组数据的第60百分位数为.故选：B.10．某篮球运动员进行投篮训练，共进行了10组，每组投篮55次，每组投篮命中的个数分别为m，n，48，47，48，50，45，47，49，50.已知这组数据的平均数为48，方差为7，则（

）A．10 B． C． D．5【答案】A【详解】因为这组数据的平均数为48，方差为7，所以整理得设，则，因为50，所以，即，则．故选：A11.某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”，“论语组”，“春秋组”，“礼记组”4个小组参赛，每组10位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优秀”称号，则根据每组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是（

）A．诗经组中位数为3，众数为2B．论语组平均数为3，方差为1C．春秋组平均数为3，众数为2D．礼记组中位数为3，极差为4【答案】B【详解】对于A，数据为：时，满足中位数为3，众数为2，但不满足每位选手的失分不超过6分，故A错误；对于B，假设有一位同学失7分，则方差，与方差为1矛盾，假设不成立，故B正确；对于C，数据为：1，2，2，2，2，时，满足平均数为3，众数为2，但是不满足每位选手失分不超过6分，故C错误；对于D，数据为：，满足中位数为3，极差为4，但最大值超过6分，故D错误.故选：B.12.（多选）下列说法正确的是（

）A．一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60B．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23C．若一个样本容量为8的样本的平均数是5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本的平均数不变，方差变大D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16【答案】AD【详解】对于A，由方差的公式可知，该组数据的平均数是3，这组样本数据的总和为，A正确；对于B，数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10个数，从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即，所以第70百分位数是23.5，故B错误；对于C，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，设此时这9个数的平均数为，方差为，则，故C错误．对于D，样本数据，，，的标准差为8，故数据，，，的标准差为，故D正确；故选：AD．13．（多选）已知甲组数据为4，3，2，乙组数据为6，7，8，将甲、乙两组数据混合后得到丙组数据，则（

）A．丙组数据的中位数为5B．甲组数据的70%分位数是2C．甲组数据的方差等于乙组数据的方差D．甲组数据的极差等于乙组数据的极差【答案】ACD【详解】将丙组数据从小到大排列为2，3，4，6，7，8，可得丙组数据的中位数为，A正确.将甲组数据从小到大排列为2，3，4，因为，所以甲组数据的70%分位数是4，B错误.甲组数据的平均数为3，方差等于，乙组数据的平均数为7，方差等于，故方差相等，C正确.甲组数据的极差为，乙组数据的极差为，D正确.故选：ACD14.已知一组样本数据的样本平均数为3，方差为2，由生成一组新的样本数据，则新数据的平均数为；样本方差为.【答案】7；8.【详解】因为数据的样本平均数为3，方差为2，所以数据的样本平均数为，方差为.故答案为：7；8四．随机事件（共8小题）15.掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（

）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】B【详解】对于选项A，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项A错误，对于选项B，当朝上面的点数为时，与同时发生，即与不是互斥事件，所以选项B正确，对于选项C，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项C错误，对于选项D，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项D错误，故选：B.16.（多选）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取一个球.事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是8”，事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（

）A．与互斥 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立【答案】ABD【详解】依题意从中有放回地随机取两次球，则可能结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个结果.事件包含的基本事件有：，，，，，共个；事件包含的基本事件有：，，，，，共个；事件包含的基本事件有：共个；事件包含的基本事件有：，，，，，共个；对于A：显然事件与事件不可能同时发生，所以与互斥，故A正确；对于B：事件与事件不可能同时发生，所以与互斥，故B正确；对于C：因为，，，所以与不独立，故C错误；对于D：因为，，，所以与相互独立，故D正确.故选：ABD17．（多选）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“两次掷出的点数之和是”，事件B表示“第二次掷出的点数是偶数”，表示“两次掷出的点数相同”，表示“至少出现一个奇数点”，则（

）A．A与互斥 B．A与相互独立C．与对立 D．与相互独立【答案】ABD【详解】试验的样本空间，，，.事件，.对于A，A与没有公共的基本事件，A与互斥，正确；对于B，与相互独立，B正确；对于C，显然，与可以同时发生，C错误；对于D，与相互独立，D正确.故选：ABD.18．（多选）某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是对立的事件是(

).A．“恰有一名女生”和“全是女生”B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生”C．“至多有一名男生”和“全是男生”D．“至少有一名男生”和“全是女生”【答案】CD【详解】对于A选项，“恰有一名女生”和“全是女生”不能同时发生，但可以同时不发生，所以A不是对立事件；对于B选项，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同时发生，即一名男生和一名女生的事件，所以B不是对立事件；对于C，“至多有一名男生”和“全是男生”不能同时发生，但必有一个发生，C是对立事件；对于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同时发生，但必有一个发生，D是对立事件.故选：CD.19.已知随机事件A，B，C，与相互独立，与对立，且，，则.【答案】【详解】因为与对立且，所以，又与相互独立且，所以.故答案为：20.（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为奇数”记为事件，“点数小于5”记为事件，“点数大于5”记为事件.下列说法正确的是（

）A．与互斥 B．与对立C．与相互独立 D．【答案】AC【详解】事件，事件，事件，对于A，事件没有公共元素，不可能同时发生，与互斥，A正确；对于B，事件可以同时不发生，如点数5，与不对立，B错误；对于C，，，与相互独立，C正确；对于D，由选项C知，，则，D错误.故选：AC五．随机事件的概率（共13小题）21.（多选）袋内有个白球和个红球，有放回的从中抽取两次，每次从中随机取出一个球，则（

）A．次取到的都是红球的概率为B．次取到的都是红球的概率为C．次取到的球恰好是一红一白的概率为D．次取到的球恰好是一红一白的概率为【答案】AD【详解】记事件第次取到白球，事件第次取到红球，则事件与、与、与、与相互独立，且，，对于AB选项，次取到的都是红球为事件，其概率为，A对B错；对于CD选项，次取到的球恰好是一红一白为事件，其概率为，C错D对.故选：AD.22．（多选）甲、乙两人分别从云台山、青天河、神农山、月山寺这四个景点中随机选择一个景点去旅游，已知甲、乙两人选择哪个景点相互独立，则下列说法正确的是（

）A．甲去云台山的概率为B．甲、乙两人都去云台山的概率为C．甲、乙两人中恰有一人去云台山的概率为D．甲、乙两人中至少有一人去云台山的概率为【答案】AC【详解】将甲、乙两人去云台山、青天河、神农山、月山寺旅游分别记为，，，，依题意可知样本空间为：，共含有个样本点.甲去云台山的情况为，样本点有个，概率为，故A正确；甲、乙两人都去云台山的情况为，样本点有个，概率为，故B错误；甲、乙两人中恰有一人去云台山的情况为，样本点有个，概率为，故C正确；甲、乙两人中至少有一人去云台山的情况为，样本点有个，概率为，故D错误.故选：AC．23.“石头、剪刀、布”是一种古老的游戏，操作简单，具有极为广泛的群众基础，游戏规则为：石头克剪刀，剪刀克布，布克石头.两人参加游戏，若两人都随机出手，则出手1次就能分出胜负的概率为.【答案】【详解】石头剪刀布石头石头、石头石头、剪刀石头、布剪刀剪刀、石头剪刀、剪刀剪刀、布布布、石头布、剪刀布、布从表中可以看出，两个人每次随机出手，则出手1次就能分出胜负的概率为.故答案为：.24．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．“星队”在两轮活动中猜对所有成语的概率为．(1)求的值；(2)求“星队”在两轮活动中，猜对3个成语的概率；(3)若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）设分别表示甲两轮猜对0个，1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对0个，1个，2个成语的事件，则设“‘星队’在两轮活动中猜对了所有成语”，解得（2）由（1）知，设“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与与分别相互独立，则所以两轮活动‘星队’猜对3个成语的概率为.（3）“‘星队’的甲、乙两人中恰有一人获得此称号”，则所以“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率.25．2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.(1)求a值和该样本的第75百分位数；(2)试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分；(3)该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在，各一人的概率.【答案】(1)0.030，第75百分位数为82(2)平均分为71(3)【详解】（1）由题意可得：，解得：；因为，，所以该样本的第百分位数在区间，所以设该样本的第百分位数为，则可得方程：，解得：，即该样本的第百分位数为.（2）因为，故估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分为.（3）采用分层抽样从和抽取名同学，因为，则应在成绩为的学生中抽取人，记为，；在成绩为的学生中抽取人，记为，，；再从抽取的这名同学中随机抽取名同学有如下结果，，，，，，，，，，共10种可能结果；其中在40,50，各一人的共种；所以所求概率，则这名同学分数在40,50，各一人的概率为.26．某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分（百分制）按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图.已知调查评分在中的市民有200人.心理测评评价标准如下表：调查评分心理等级A(1)求的值及频率分布直方图中的值；(2)在抽取的心理等级为的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为的概率．【答案】(1)(2)【详解】（1）易知调查评分在中的市民有200人，而评分在中的频率为，所以，而，解得.（2）因为评分在中的人数是评分在中人数的一半，若通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导，此时评分在内的有1人，在内的有2人，记“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为”为事件A，因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，则，故则在抽取的3人中，经心理疏导后至少一人的心理等级转为的概率为.27.世界杯足球赛备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮，某机构为了解球迷对足球的喜爱，为此进行了调查.现从球迷中随机选出人作为样本，并将这人按年龄分组:第组，第组，第组40,50，第组，第组，得到频率分布直方图如图所示.(1)估计样本数据的上四分位数（也称第三四分位数，第百分位数）(2)若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行座谈，求抽取的人中至少有人的年龄在组的概率.【答案】(1)(2)【详解】（1）设年龄在对应的频率为，则，解得：，年龄在对应的频率为，年龄在对应的频率为，样本数据的上四分位数位于，设其为，则，解得：，即样本数据的上四分位数为.（2）年龄在和对应的频率之比为，抽取的人中，年龄在的有人，记为；年龄在的有人，记为；从抽取的人中，随机抽取人，则有，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件；其中满足至少有人的年龄在组的有：，，，，，，，，，共个基本事件；抽取的人中至少有人的年龄在组的概率.28．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.(1)求第七组的频率；(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，求两名男生在同一组的概率.【答案】(1)．(2)平均数为，中位数为；(3)【详解】（1）第七组频率为；（2）平均数为,前4组的频率和为，第4组频率为，中位数在第4组，设中位数为，则，解得；（3）由频率分布直方图知第六组有4人，第八组有2人，把它们分别编号为，任选2人，样本空间为，有15个样本点，其中两名男生在同一组的样本点为共7个所以所求概率为．29．某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试．已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中a的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；(2)现学校准备利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团．①求应从和学生中分别抽取的学生人数；②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件“至少有1人测试成绩位于区间”，求事件A的概率．【答案】(1)，(2)①5人，2人；②.【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得；所以估算这40名学生测试成绩的平均数为；（2）①由图可得和这两组的频率之比为，故应从学生中抽取的学生人数为（人），应从学生中抽取的学生人数为（人）；②设从中抽取的5人为，从学生中抽取的2人为1，2，则这个试验的样本空间，则；又，则，故.30.2024年9月8日，“全国高中数学联合竞赛”如期举行.该竞赛