期末真题必刷易错60题（17个考点专练）（原卷版及全解全析）

期末真题必刷易错60题（17个考点专练）一、基本不等式的应用1．（多选）（23-24高一上·江西抚州·期末）若正实数满足，则下列结论中正确的有（

）A．的最小值为8．B．的最小值为C．的最大值为．D．的最小值为．二、应用奇偶性、单调性解抽象函数表达式2．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知是定义在上的奇函数，若对于任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为（

）A． B．(1,+∞) C． D．三、应用奇偶性、单调性研究抽象函数性质3．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知函数对任意实数、都满足，且，以下结论正确的有（

）A． B．是偶函数C．是奇函数 D．4．（多选）（23-24高一上·山东威海·期末）若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（

）A． B．在上单调递增C． D．在上的实数根之和为四、根据不等式恒成立求参数5．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数若对，恒成立，则实数的取值范围为.五、“三个二次”问题6．（23-24高一上·河北张家口·期末）已知函数.(1)，，求a的取值范围；(2)若，，，求a的取值范围.7．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知关于的不等式.(1)若不等式的解集为，求实数的值；(2)若不等式的解集为，求实数的取值范围.8．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数.(1)解关于x的不等式；(2)若关于x的不等式的解集为.（i）求的值；（ii）求的最小值.9．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）已知函数.(1)若，求在上的最小值；(2)若，且对于，有成立，求实数的取值范围.10．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数，.记为的最小值.(1)求；(2)设，若关于的方程在上有且只有一解，求实数的取值范围.六、指数函数、对数函数性质的应用11．（23-24高一上·河北张家口·期末）已知正数a，b满足，则（

）A． B． C． D．12．（23-24高一上·山东日照·期末）若，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．13．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数，若，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．14．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义在区间上的函数，若存在时，成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．15．（多选）（23-24高一上·江苏扬州·期末）如图，过函数（）图象上的两点A，B作轴的垂线，垂足分别为，（），线段与函数（）的图象交于点，且与轴平行.下列结论正确的有（

）A．点的坐标为B．当，，时，的值为9C．当时，D．当，时，若，为区间内任意两个变量，且，则16．（多选）（21-22高二下·山东滨州·期末）已知函数的定义域为，其图象关于直线对称，且，当时，，则下列结论中正确的是（

）A．为偶函数 B．在上单调递减C． D．在上无零点七、函数零点与方程的解17．（多选）（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数若函数有三个零点，且，则（

）A． B．C．函数的增区间为 D．的最小值为八、根据函数零点情况求参数（范围）18．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数若互不相等，且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．19．（23-24高一上·山东日照·期末）已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．20．（多选）（23-24高一上·江西抚州·期末）已知函数，函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是．21．（23-24高一上·江西萍乡·期末）记表示不超过x的最大整数，例如，．已知函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为．22．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知函数若存在实数，使得方程有4个不同的实数根，且.则的取值范围为，的取值范围为.九、根据不等式的解求参数范围23．（23-24高一上·江西上饶·期末）若关于的不等式恰好有个整数解，则实数的范围为（

）A． B．C． D．十、函数的实际应用24．（23-24高一上·山东滨州·期末）近来，流感病毒肆虐，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系为（且）.根据图中提供的信息，求：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；(2)为确保学生健康安全，药物释放过程中要求学生全部撤离，药物释放完毕后，空气中每立方米含药量不超过毫克时，学生方可进入教室.那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室.（精确到小时）（参考值：，，）十一、模拟函数问题25．（23-24高一上·山东日照·期末）2023年10月29日，日照马拉松鸣枪开跑，全国各地20000多名跑友相聚日照最美赛道．从森林跑向大海，用脚步丈量山与海的距离，共同为梦想而奔跑．为了进一步宣传日照马拉松，某赞助商开发了一款纪念产品，通过对这款产品的销售情况调查发现：该产品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，该商品的日销售量（单位：个）与时间部分数据如下表所示：（天）51015202530（个）205210215220215210(1)给出以下三种函数模型：①，②，③，请你根据上表中的数据，从中选择最合理的一种函数模型来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式；(2)求该商品的日销售总收入（单位：元）的最小值（注：日销售总收入＝日销售价格×日销售量）．26．（23-24高一上·山东威海·期末）某科研团队在某地区种植一定面积的藤蔓植物进行研究，发现其蔓延速度越来越快.已知经过个月其覆盖面积为，经过个月其覆盖面积为.现该植物覆盖面积（单位：）与经过时间个月的关系有函数模型与可供选择.（参考数据：，，，.）(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；(2)求至少经过几个月该藤蔓植物的覆盖面积能超过原先种植面积的倍.十二、函数、方程、不等式综合问题27．（23-24高一上·山东日照·期末）已知函数．(1)求不等式的解集；(2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．28．（23-24高一上·江西新余·期末）已知函数是奇函数．(1)求的值和函数在区间上的值域；(2)若不等式对于任意的上恒成立，求实数的取值范围．29．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数.(1)若函数为奇函数，求的值；(2)当时，用函数单调性的定义证明：函数在上单调递增；(3)若函数有两个不同的零点，求的取值范围.30．（23-24高一上·河北沧州·期末）因函数的图象形状像对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”．该函数具有性质：在上单调递减，在上单调递增．(1)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；(2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．31．（23-24高一上·山东日照·期末）已知函数，．(1)若，求的最小值；(2)令，，若对于定义域内任意的，，当时，都有，求实数的取值范围．32．（23-24高一上·河北张家口·期末）已知函数，且.(1)求实数的值；(2)若的图象与直线有且只有一个交点，求实数的取值范围.33．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知函数.(1)若，解不等式；(2)若函数在区间上的最小值为，求的值.34．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数，其中.(1)若，证明：在上单调递增，(2)求的最小值.35．（22-23高一下·河南周口·期末）已知函数f（x）＝是定义在R上的奇函数．(1)求实数a的值；(2)证明：函数f（x）在R上单调递增；(3)记，对x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围．36．（23-24高一上·湖南·期中）已知幂函数既不是奇函数，也不是偶函数.(1)求的值；(2)若函数的最小值为，求实数的值.37．（23-24高一上·河南新乡·期末）已知函数且.(1)若，函数，求的定义域；(2)若，求的取值范围.38．（23-24高一上·河北唐山·期中）已知是定义域为的奇函数.(1)求实数的值；(2)判断函数在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；(3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.39．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知(1)写出函数y=fx(2)当函数有两个零点时，求的取值范围；(3)求的解析式.40．（23-24高一上·广西桂林·期末）已知函数.(1)当时，解不等式；(2)若的最大值是，求的值；(3)已知，，当的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围.41．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知.(1)当时，时，求的取值范围；(2)对任意，且，有，求的取值范围；(3)，的最小值为，求的最大值.十三、函数的“新定义”问题42．（2021高三·全国·专题练习）定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点，现有函数f（x）＝x3+tx是[﹣1，1]上的平均值函数，则实数t的取值范围是（）A． B． C． D．43．（多选）（23-24高一上·山东日照·期末）对，表示不超过的最大整数，如，，，通常把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数．下列说法正确的是（

）A．，B．，C．，若，则D．，使成立44．（23-24高一上·山东日照·期末）设表示函数在闭区间上的最大值．若正实数满足，则正实数的取值范围为．45．（23-24高一上·广西玉林·期末）若函数在其定义域内的给定区间上存在实数，满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点．设函数是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，则所有满足条件的实数对为．46．（23-24高一上·江西抚州·期末）对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数的定义域为时，值域也为，则称区间为函数的“保值”区间．(1)求函数的所有“保值”区间．(2)函数的一个“保值”区间为，当变化时，求的最大值．47．（23-24高一上·江苏无锡·期末）若函数y=fx对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.(1)判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；(2)若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围；(3)已知函数在定义域上为“依赖函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值.48．（23-24高一上·江苏南京·期末）若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为型函数.(1)若函数是型函数，求的值；(2)若函数是型函数，求和的值；(3)已知函数ℎx定义在上，ℎx恒大于0，且为1,4型函数，当时，.若在恒成立，求实数的取值范围.49．（21-22高二下·山东滨州·期末）已知是定义在实数集上的函数，把方程称为函数的特征方程，特征方程的两个实根，称为函数的特征根.(1)讨论函数的奇偶性，并说明理由；(2)求的表达式；(3)把函数在上的最大值记作，最小值记作，令，若恒成立，求实数的取值范围.十四、样本的数字特征50．（多选）（23-24高一上·江西景德镇·期末）2023年8月8日是我国第15个“全民健身日”，“全民健身日”提升全民健身意识，让健身成为一种习惯和风俗，为倡导健康生活方式，某大学社团联合学生会倡议全校学生参与“每日万步行”健走活动．下图为该校甲、乙两名同学在同一星期内每日步数的折线统计图，则下列说法正确的是（

）A．这一星期内甲的日步数的中位数小于乙的日步数的中位数B．这一星期内甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数C．这一星期内乙的日步数的标准差小于甲的日步数的标准差D．这一星期内乙的日步数的分位数是1240051．（多选）（2023·全国·模拟预测）已知一组样本数据，，…，均为正数且互不相等．若由生成一组新的数据，，…，，则这组新数据与原数据可能相等的是（

）A．中位数 B．极差 C．平均数 D．标准差十五、事件的判断与概率52．（23-24高一上·江西抚州·期末）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论错误的是（

）A．2个球都是红球的概率为B．2个球中恰有1个红球的概率为C．至少有1个红球的概率为D．2个球不都是红球的概率为53．（23-24高一上·山东日照·期末）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外无差异．不放回地取两次，每次取出一个．事件“两次取出球的标号为1和4”，事件“第二次取出球的标号为4”，事件“两次取出球的标号之和为5”，则（

）A． B．C．事件与不互斥 D．事件与相互独立十六、统计的应用问题54．（23-24高一上·江西上饶·期末）某校在上饶市期末数学测试中为统计学生的考试情况，从学校的1000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，……第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.(1)求第八组的频率，并完成频率分布直方图；(2)用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）和中位数（保留小数点后面一位）55．（22-23高一下·河南周口·期末）居民小区物业服务联系着千家万户，关系着居民的“幸福指数”．某物业公司为了调查小区业主对物业服务的满意程度，以便更好地为业主服务，随机调查了100名业主，根据这100名业主对物业服务的满意程度给出评分，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)在这100名业主中，求评分在区间[70，80)的人数与评分在区间[50，60)的人数之差；(2)估计业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和90%分位数；(3)若小区物业服务满意度（满意度＝）低于0.8，则物业公司需要对物业服务人员进行再培训．请根据你所学的统计知识，结合满意度，判断物业公司是否需要对物业服务人员进行再培训，并说明理由．（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）56．（23-24高一上·江西景德镇·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中的值和样本成绩的四分位数；(2)已知落在的平均成绩是65，方差是11，落在的平均成绩为75，方差是16，求两组成绩的总平均数和总方差．十七、统计与概率的综合应用57．（23-24高一上·江西上饶·期末）甲、乙两人组成“博学队”参加上饶市中学“博学少年”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.(1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；(2)求“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率.58．（23-24高一上·江西萍乡·期末）从某学校800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组的人数为4．(1)求第七组的频率；(2)估计该校800名男生身高的中位数；(3)从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为x，y，记为事件E，求．59．（23-24高一上·江西抚州·期末）2023年9月23日，中国农历象征收获的秋分时节，第19届亚洲运动会在浙江杭州隆重开幕．杭州基础设施全面升级、城市面貌焕然一新、民生服务格局大变．为了解杭州老百姓对城市基础设施升级工作满意度，从该地的A，B两地区分别随机调查了40户居民，根据大家对城市基础设施升级工作的满意度评分（单位：分），得到地区的居民满意度评分的频率分布直方图（如图）和地区的居民满意度评分的频数分布表（如表1）．满意度评分频数2814106表2满意度评分低于70分满意度等级不满意满意非常满意(1)根据居民满意度评分，将居民的满意度分为三个等级（如表2），估计哪个地区的居民满意度等级为不满意的可能性大，说明理由.(2)将频率看作概率，从A，B两地区居民中各随机抽查1户居民进行调查，求至少有一户居民评分满意度等级为“非常满意”的概率60．（23-24高一上·山东潍坊·期末）某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求指标在和内各1件的概率；(3)根据检测结果确定该指标的一个临界值c，且，某科技公司准备用甲、乙两种型号的芯片生产A型手机、B型手机各1万部，有以下两种方案可供选择：方案一：将甲型芯片应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值c的芯片会导致每部手机损失700元；将乙型芯片应用于B型手机，其中该指标大于临界值c的芯片会导致每部手机损失300元；方案二：重新检测所用的全部芯片，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101万元；请从科技公司的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由，

期末真题必刷易错60题（17个考点专练）一、基本不等式的应用1．（多选）（23-24高一上·江西抚州·期末）若正实数满足，则下列结论中正确的有（

）A．的最小值为8．B．的最小值为C．的最大值为．D．的最小值为．【答案】ABC【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、求二次函数的值域或最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用基本不等式求解最值判断A，B，C，利用消元法结合二次函数求得最值判断D.【详解】A选项，因为，且，所以，所以，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，故A正确；B选项，因为，当且仅当，即时取等号，故B项正确；C选项，，当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为，故C项正确；D选项，因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D项错误．故选：ABC.二、应用奇偶性、单调性解抽象函数表达式2．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知是定义在上的奇函数，若对于任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为（

）A． B．(1,+∞) C． D．【答案】D【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式【分析】根据题意分析出的单调性，且得到时，，时，的结论，然后分类讨论解不等式即可.【详解】对于任意的，当时，都有成立，所以在严格增，又是定义在上的奇函数，所以在上严格增，且，所以时，，时，，或，即或，所以，故选：D.三、应用奇偶性、单调性研究抽象函数性质3．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知函数对任意实数、都满足，且，以下结论正确的有（

）A． B．是偶函数C．是奇函数 D．【答案】ABD【知识点】由函数的周期性求函数值、函数的周期性的定义与求解、函数奇偶性的定义与判断、求函数值【分析】令可求得的值，令，可求得的值，可判断A选项；推导出为偶函数，且，可判断B选项；由结合函数的奇偶性可判断C选项；利用函数的周期性可判断D选项.【详解】对于A选项，令可得，因为，则，令，，可得，则，A对；对于B选项，令可得，所以，，故函数为偶函数，令可得，即，故，因为函数为偶函数，则函数为偶函数，B对；对于C选项，因为，因为函数为偶函数，则函数也为偶函数，C错；对于D选项，由B选项可知，函数是周期为的周期函数，因为，，所以，，D对.故选：ABD.【点睛】思路点睛：利用定义法判断函数的奇偶性，步骤如下：（1）一是看定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；（2）若函数的定义域关于原点对称，接下来就是判断与之间的关系；（3）下结论.4．（多选）（23-24高一上·山东威海·期末）若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（

）A． B．在上单调递增C． D．在上的实数根之和为【答案】ACD【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、根据图像判断函数单调性【分析】根据函数的奇偶性结合已知条件可用赋值法求得，判断A；结合题意推出函数的周期以及对称轴，结合当时，，可作出函数的图象，即可判断B；利用函数的奇偶性可判断C；将在上的实数根问题转化为函数的图象的交点的横坐标问题，数形结合，即可判断D.【详解】对于A，由于函数是定义在上的奇函数，故，由，令，则，则，A正确；对于B，由，得，即，故，即8为函数的一个周期，由，可知函数的图象关于直线对称，又当时，，故可作出函数的图象如图：由图象可知在上单调递减，B错误；对于C，由于函数是定义在上的奇函数，且满足，故，C正确；对于D，当时，显然不满足，故的根即的根，也即函数的图象的交点的横坐标，作出的图象如图：由于均为奇函数，因此结合图象可知，二者在上图象的交点也两两关于原点对称，因此交点的横坐标之和等于0，即在上的实数根之和为0，D正确，故选：ACD四、根据不等式恒成立求参数5．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数若对，恒成立，则实数的取值范围为.【答案】【知识点】分段函数的性质及应用、函数不等式恒成立问题、已知分段函数的值求参数或自变量、对勾函数求最值【分析】分和两种情况，参变分离，结合函数单调性求出答案.【详解】当时，，故，令，由对勾函数的性质可得在上单调递减，故，所以，解得，当时，，故，其中，所以，综上，.故答案为：五、“三个二次”问题6．（23-24高一上·河北张家口·期末）已知函数.(1)，，求a的取值范围；(2)若，，，求a的取值范围.【答案】(1)(2)【知识点】函数不等式恒成立问题、一元二次不等式在实数集上恒成立问题【分析】（1）分和进行讨论，然后列出满足条件的不等式求解即得；（2）由，，，得，分和进行讨论，然后设，，分别求出和的最值，结合恒成立条件即得.【详解】（1）（1）由，即，当时，得，不满足条件.当时，需满足，解得.（2）（2）由，即.因为，所以即当时，，显然成立.当时，设，的对称轴为，故，又在上单调递减，在上单调递增.所以.要使，成立，则需满足即，解得综上：满足条件的a的取值范围为7．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知关于的不等式.(1)若不等式的解集为，求实数的值；(2)若不等式的解集为，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、由一元二次不等式的解确定参数【分析】（1）由题意可知和1是方程的两个实数根，由韦达定理求的值；（2）讨论是否为0，分别求得的范围，求并集即为的取值范围.【详解】（1）若关于的不等式的解集为，则和1是的两个实数根，且，由韦达定理可得，解得.（2）若关于的不等式解集为，当时，不等式化为，恒成立，满足题意；当时，则有，解得，所以，即实数的取值范围为.8．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数.(1)解关于x的不等式；(2)若关于x的不等式的解集为.（i）求的值；（ii）求的最小值.【答案】(1)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.(2)（i）；（ii）9【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、基本不等式“1”的妙用求最值、解含有参数的一元二次不等式【分析】（1）根据和分类讨论解不等式即可.（2）（i）由题意m，n分别是方程的两根，利用韦达定理即可得解；（ii）结合（i）中结论，利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】（1）不等式，整理得，当时，原不等式可化为，此时不等式的解为或；当时，原不等式可化为，此时不等式的解为；综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.（2）（i）若的解集为，则m，n分别是方程的两根，且，由韦达定理可知，所以.（ii）由（i）知，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9.9．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）已知函数.(1)若，求在上的最小值；(2)若，且对于，有成立，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2).【知识点】求二次函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域【分析】（1）根据二次函数图象的对称轴进行分类讨论，结合二次函数的性质求得正确答案.（2）由不等式分离参数，利用换元法，结合函数的单调性求得的取值范围.【详解】（1）图象的对称轴为，∵，∴.当即时，在上单调递增，∴；当，即时，；综上：当时，；当时，.（2），即，化简得：，又恒成立，∴，故，恒成立，即为.令，，则，∵，由对勾函数单调性知在上单调递减，∴，∴，即.∴实数的取值范围为.10．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数，.记为的最小值.(1)求；(2)设，若关于的方程在上有且只有一解，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、求二次函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域【分析】（1）根据区间和对称轴的关系即可结合分类讨论即可求解，（2）将问题转化为与的图象在上有且只有一个交点，即可结合函数的性质列不等式求解，或者根据二次函数的单调性以及指数函数的单调性即可求解在上单调递减，进而利用零点存在定理即可求解.【详解】（1）由题意知，对称轴为，①当时，在上单调递增，所以的最小值为；②当时，在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为；③当时，在上单调递减，所以的最小值为.综上可知，.（2）法一：由第（1）问知，，即，所以关于的方程在上有且只有一解，等价于与的图象在上有且只有一个交点，因为，所以的图象开口向下，对称轴为，所以在上单调递减，又因为在上单调递增，所以，即，解得.法二:由第（1）问知，，即在上有且只有一解，令，因为，所以的图象开口向下，对称轴为，所以在上单调递减，又因为在上单调递增，所以在上单调递减，则，即，解得.六、指数函数、对数函数性质的应用11．（23-24高一上·河北张家口·期末）已知正数a，b满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】比较函数值的大小关系、由已知条件判断所给不等式是否正确【分析】将已知等式分离变量得，由，利用对数函数的单调性放大可得，构造函数，由及的单调性可得.【详解】设，易知在上单调递增.原式可整理为，由，则，即.因为在上单调递增，所以.所以，则，所以当时，；当时，.故ABC都错误，仅D正确.故选：D.12．（23-24高一上·山东日照·期末）若，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】比较零点的大小关系【分析】先由可得，，，由，得，，在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，结合图象可得结果.【详解】因为，而当时，，当时，，所以，因为，而当时，，所以，因为，而当时，，所以，由，得，，所以为和图象交点的横坐标，为和图象交点的横坐标，在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，如图所示，由图可得综上，故选：A13．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数，若，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】对数的运算、根据对数型函数图象判断参数的范围【分析】根据题意得，作出图像分析时，有，化简，从而得到答案.【详解】由题可得：，作出的图像如下：由，且，则，，即，解得：，所以由，则，所以，故当，即时，取最小值为.故选：B14．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义在区间上的函数，若存在时，成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】函数与方程的综合应用【分析】由的单调性及，得到在区间有解，分离出参数即可求解.【详解】由题意知．设．则．因为在上单调递增，故在上单调递增．设．若，则可得在区间有解．在区间上有解，且在区间上有解，且在区间恒成立．．故选：D.15．（多选）（23-24高一上·江苏扬州·期末）如图，过函数（）图象上的两点A，B作轴的垂线，垂足分别为，（），线段与函数（）的图象交于点，且与轴平行.下列结论正确的有（

）A．点的坐标为B．当，，时，的值为9C．当时，D．当，时，若，为区间内任意两个变量，且，则【答案】ABD【知识点】函数图象的应用、对数的运算性质的应用【分析】代入验证可判断A；将，，，代入，然后分别得出点A、C的坐标，使点A与点C的纵坐标相等求解m的值可判断B；用含a、b的式子表示出点A、B、C的坐标，再利用AC与x轴平行得到m与c的关系式可判断C；设，利用对数函数的单调性，以及对数的运算法则，即可证明.【详解】对A：由图可知，若设，则,又A在上，则，所以，故A对；对B：由题意得，，且与轴平行，所以，得故B对；对C：由题意得，，且与轴平行，所以，因为，所以，故C错；对D：因为，且，所以，又因为，所以，，又因为，所以，所以，所以，即，故D对；故选：ABD16．（多选）（21-22高二下·山东滨州·期末）已知函数的定义域为，其图象关于直线对称，且，当时，，则下列结论中正确的是（

）A．为偶函数 B．在上单调递减C． D．在上无零点【答案】AC【知识点】判断零点所在的区间、由函数对称性求函数值或参数、由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的定义与判断【分析】对A，根据与图象关于直线对称判断即可；对B，根据函数为偶函数，结合时，的单调性分析即可；对C，分析函数的周期性，再根据的解析式求解即可对D，根据零点存在性定理判断当时，是否有零点即可【详解】对A，因为图象关于直线对称，故，且，故，即，故为偶函数，故A正确；对B，当时，为减函数，又为偶函数，故在其对称区间上为增函数，故B错误；对C，由可得的周期为4，故，又为偶函数，故，故C正确；对D，当时，为减函数，且，，故在上有零点，故D错误；故选：AC七、函数零点与方程的解17．（多选）（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数若函数有三个零点，且，则（

）A． B．C．函数的增区间为 D．的最小值为【答案】ABD【知识点】基本不等式求和的最小值、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围【分析】做出的图像可直接判断AC；对于B只需计算与的交点即可；对于D，把所求的式子消元变成的函数，再经过适当的变形运用基本不等式即可.【详解】如图所示：

对于A：方程有三个解y=fx与有3个交点，从图中可以看出A正确；对于B：令得，即点的坐标为，令得，即点的坐标为，由图可知的范围应该介于，之间，可以取点，不能取点，所以，故B正确；对于C：的增区间为，所以的增区间为，故C错误；对于D：关于对称，所以，令得或，由图可知等号当时即时成立，故D正确.故选：ABD八、根据函数零点情况求参数（范围）18．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数若互不相等，且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】比较对数式的大小、根据函数零点的个数求参数范围、求分段函数解析式或求函数的值【分析】先画出分段函数的图像，然后转换变量化成对勾函数模型，再根据自变量的取值范围求出整体取值范围即可.【详解】作出分段函数的图像，如图所示，

，直线与函数图像有4个交点，则关于直线对称，所以，而，所以，所以，所以，因为直线与函数图像有4个交点，所以，所以，根据对勾函数性质可知在上单调递减，所以，所以，故选：D19．（23-24高一上·山东日照·期末）已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】分段函数的性质及应用、根据零点求函数解析式中的参数、函数图象的应用【分析】作出函数的图象，利用换元，令，将原问题转化为的所有解的乘积为1，结合函数图象，分类讨论，即可求得答案.【详解】由题意，作出函数的图象如图：令，则函数，即，即，即，由题意函数所有零点的乘积为1，可知的所有解的乘积为1，而的解可看作函数的图象与直线的交点的横坐标；结合的图象可知，当时，函数的图象与直线有2个交点，不妨设交点横坐标为，则，且，即，符合题意；当时，函数的图象与直线有3个交点，其中最左侧交点的横坐标小于等于0，则的所有解的乘积小于等于0，不合题意；当时，函数的图象与直线有2个交点，不妨设交点横坐标为，则，且，即，符合题意；综合以上可知实数的取值范围为，故选：B【点睛】方法点睛：（1）转化法：利用换元法，令，将函数所有零点的乘积为1，转化为的所有解的乘积为1；（2）数形结合法：作出函数的图象，数形结合，分类讨论，解决问题.20．（多选）（23-24高一上·江西抚州·期末）已知函数，函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是．【答案】【知识点】根据函数零点的个数求参数范围【分析】根据题意画出图形，令gx=0，等价于，分别求出或，要使有5个零点，即方程有四个不同的实数根，结合图形从而可求解.【详解】当时，，当单调递增，当单调递减，．当x∈1,+∞时，当单调递减，当单调递增，．令gx=0，即或，如图可知，要使有个零点，则方程有四个不同的实数根，结合函数的图象可得.故答案为：0,4.21．（23-24高一上·江西萍乡·期末）记表示不超过x的最大整数，例如，．已知函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为．【答案】【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、分段函数的性质及应用、对数的运算性质的应用【分析】通过数形结合首先得，进一步若要满足题目条件，只需，由此即可得解.【详解】如图所示：

若，则函数y=fx的图象与函数的图象只有1个交点，即函数恰有1个零点，不符合题意；如图所示：

若函数恰有2个零点，且，所以函数y=fx的图象与函数的图象有两个交点，显然当时，函数y=fx的图象与函数的图象有1个交点，只需保证当时，函数y=fx的图象与函数的图象有1个交点，则，解不等式组得，综上所述，实数a的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：首先得到，进一步通过画图，列出满足题意的不等式组即可顺利得解.22．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知函数若存在实数，使得方程有4个不同的实数根，且.则的取值范围为，的取值范围为.【答案】【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用【分析】结合函数图像，即可求出的取值范围；利用，将表示成关于的表达式，借助，利用单调性即可解决.【详解】画出函数的图象如图所示：要使得方程有4个不同的实数根，只需有4个不同的实数根，即的图象有四个交点，结合图象可知：.因为，所以，所以，即，所以，即，而是的两根，即，因为，满足所以，，令，因为，则在单调递增，所以，故.故答案为：；.九、根据不等式的解求参数范围23．（23-24高一上·江西上饶·期末）若关于的不等式恰好有个整数解，则实数的范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围【分析】令，，首先结合图象分析，结合图象判断整数解为、、，联立，求出，从而得到，解得即可.【详解】令，，当时，画出与的图象如下所示：则不等式的整数解有无数多个，不符合题意；当或时，画出与的图象如下所示：则不等式无解，不符合题意；当时，画出与的图象如下所示：则不等式的整数解有无数多个，不符合题意；所以；当时，，，画出与的图象如下所示：要使关于的不等式恰好有个整数解，则整数解为、、，联立，解得，则，解得，故实数的取值范围是.故选：B十、函数的实际应用24．（23-24高一上·山东滨州·期末）近来，流感病毒肆虐，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系为（且）.根据图中提供的信息，求：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；(2)为确保学生健康安全，药物释放过程中要求学生全部撤离，药物释放完毕后，空气中每立方米含药量不超过毫克时，学生方可进入教室.那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室.（精确到小时）（参考值：，，）【答案】(1)(2)小时【知识点】分段函数模型的应用、指数函数模型的应用（2）【分析】（1）当时，设，当时，设（且），将相应点的坐标代入函数解析式，求出参数的值，综合可得出关于的函数解析式；（2）分析函数的单调性，当时，解不等式，即可得出结论.【详解】（1）解：当时，设，将代入得，解得，此时，；当时，设（且），将、代入得，解得，此时，.综上：.（2）解：因为函数在上单调递增，在上单调递减，当时，令，得，则，即，所以，.所以，从药物释放开始，至少经过小时后学生才能进入教室.十一、模拟函数问题25．（23-24高一上·山东日照·期末）2023年10月29日，日照马拉松鸣枪开跑，全国各地20000多名跑友相聚日照最美赛道．从森林跑向大海，用脚步丈量山与海的距离，共同为梦想而奔跑．为了进一步宣传日照马拉松，某赞助商开发了一款纪念产品，通过对这款产品的销售情况调查发现：该产品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，该商品的日销售量（单位：个）与时间部分数据如下表所示：（天）51015202530（个）205210215220215210(1)给出以下三种函数模型：①，②，③，请你根据上表中的数据，从中选择最合理的一种函数模型来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式；(2)求该商品的日销售总收入（单位：元）的最小值（注：日销售总收入＝日销售价格×日销售量）．【答案】(1)选择合适，(2)427元【知识点】分段函数模型的应用、利用函数单调性求最值或值域、基本不等式求和的最小值【分析】（1）根据数据的对称性选择模型②，再代入数据可求出函数解析式；（2）根据题意表示出，再根据函数的单调性和基本不等式，分段计算函数的最小值，再比较即可得答案.【详解】（1）根据表格数据，的函数值关于220对称，故选择合适．又，，解得，，故，验证均满足．故（2）当，时，，当且仅当，即时等号成立；因为和在上单调递减，所以当，时，在上单调递减，故最小值为．综上所述：当时，有最小值为427元．26．（23-24高一上·山东威海·期末）某科研团队在某地区种植一定面积的藤蔓植物进行研究，发现其蔓延速度越来越快.已知经过个月其覆盖面积为，经过个月其覆盖面积为.现该植物覆盖面积（单位：）与经过时间个月的关系有函数模型与可供选择.（参考数据：，，，.）(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；(2)求至少经过几个月该藤蔓植物的覆盖面积能超过原先种植面积的倍.【答案】(1)更合适，，(2)至少经过个月【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、由对数函数的单调性解不等式、指数函数模型的应用（2）【分析】（1）根据增长速度变换情况选择解析式，待定系数即可得解.（2）当时，，根据指数对数运算解不等式即可得解.【详解】（1）因为的增长速度越来越快，，的增长速度越来越慢，所以依题意应选择，由题意知，所以，所以，.（2）当时，，所以藤蔓植物原先种植面积为，设经过个月藤蔓植物的覆盖面积能超过原先种植面积的倍.所以，可得，所以，所以至少经过个月该藤蔓植物的覆盖面积能超过原先种植面积的倍.十二、函数、方程、不等式综合问题27．（23-24高一上·山东日照·期末）已知函数．(1)求不等式的解集；(2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【知识点】由对数函数的单调性解不等式、函数不等式能成立（有解）问题、解不含参数的一元二次不等式、对勾函数求最值【分析】（1）解不等式得到，从而求出的解集；（2）换元后得到对于能成立，利用函数单调性求出，得到答案.【详解】（1），令，则原不等式可化为，解得，即所以，不等式的解集．（2）当时，令，可得，原不等式可化为对于能成立，即可得对于能成立，由对勾函数性质可知在上单调递增，所以，因此只需即可，得；即的取值范围是．28．（23-24高一上·江西新余·期末）已知函数是奇函数．(1)求的值和函数在区间上的值域；(2)若不等式对于任意的上恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)【知识点】由奇偶性求参数、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题、求对数型复合函数的值域【分析】（1）由奇函数代特值求出，再利用复合函数单调性求值域；（2）先化简，再分离参数结合基本不等式求出函数最值可得解.【详解】（1）由得，所以定义域为，由是奇函数，则，即，解得.所以经检验满足.令，易知在单调递减，则故，所以函数在区间上的值域为.（2），其中，所以，即，所以，令，则恒成立，因为，当且仅当即等号成立，所以，所以29．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数.(1)若函数为奇函数，求的值；(2)当时，用函数单调性的定义证明：函数在上单调递增；(3)若函数有两个不同的零点，求的取值范围.【答案】(1)1(2)证明见解析(3)【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由奇偶性求参数、定义法判断或证明函数的单调性、比较指数幂的大小【分析】（1）根据得到方程，求出，验证后得到答案；（2）定义法求解函数单调性步骤：取点，作差，判号，下结论；（3）换元后得到在0,+∞有两个不同的实数解，由根的判别式和对称轴得到不等式，求出的取值范围.【详解】（1）的定义域为R，且为奇函数，由，得，此时.因为，所以为奇函数，故.（2）当时，.任取，且，则，因为，所以，所以，即，所以函数在R上单调递增.（3）有两个不同的零点，等价于有两个不同的实数解.令，则在0,+∞有两个不同的实数解，令，其中g0=1>0所以，解得.所以的取值范围为.30．（23-24高一上·河北沧州·期末）因函数的图象形状像对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”．该函数具有性质：在上单调递减，在上单调递增．(1)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；(2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为，值域为(2)【知识点】求二次函数的值域或最值、函数新定义、根据解析式直接判断函数的单调性【分析】（1）运用整体换元法对已知函数进行变形，再根据“对勾函数”的性质得出结果；（2）根据条件可得出值域是值域的子集，由此解决问题.【详解】（1）解：设，，则．由函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．，，即，的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为．（2）当时，今，则，则函数，由于，故当时，的值域为，因为对任意，总存在，使得成立，所以，故，解得，即实数a的取值范围为．31．（23-24高一上·山东日照·期末）已知函数，．(1)若，求的最小值；(2)令，，若对于定义域内任意的，，当时，都有，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)或【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据函数的单调性解不等式、求二次函数的值域或最值【分析】（1）利用换元法，将问题转化为二次函数的最值问题，从而得解；（2）利用换元法，将问题转化为二次函数的性质问题，从而得解.【详解】（1）因为，，则由得，所以Fx定义域为，而，设，则在上单调递增，故，则，开口向上，对称轴为，所以当时，．（2），，则，设，，，令，则开口向上，原问题转化为对于任意，，都有，所以在上单调递增，①当时，即，在上单调递增，同时满足，解得，此时，故，满足题意，所以；②当时，即，在上单调递减，应满足，解得，此时，故，满足题意，所以；③当时，不单调，不成立，舍去．综上，的取值范围为或．32．（23-24高一上·河北张家口·期末）已知函数，且.(1)求实数的值；(2)若的图象与直线有且只有一个交点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)或【知识点】求解析式中的参数值、函数与方程的综合应用【分析】（1）直接把代入函数，可得到关于的一元二次方程，求解即可；（2）把两函数图象有且只有一个交点问题，转化为方程只有一个实数根问题，令换元，然后构造一个二次函数，分类讨论即可得解.【详解】（1）依题意，，即，解得或，因为，所以.（2）由（1）知，所以，因为的图象与直线有且只有一个交点，等价于方程有且只有一个实数根，即时，，所以，所以当时，有且只有一个根，令，当时，得，则令，则函数的对称轴为，又在只有一个根，可得或，解得，当时，得，则，令，则函数的对称轴为，又在只有一个根，可得，解得，综上所述，或.33．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知函数.(1)若，解不等式；(2)若函数在区间上的最小值为，求的值.【答案】(1)(2)或【知识点】由对数函数的单调性解不等式、解含有参数的一元二次不等式【分析】（1）根据对数函数的单调性变化不等式，换元后解出即可；（2）问题转化为在的最小值问题，分类讨论求解即可.【详解】（1）当时，，不等式为，则，即，设，不等式化为，解得或，故或，故不等式的解集为.（2）设，根据题意知，当时，，设，函数化为，其对称轴为，当，即时，，解得，符合题意；当，即时，，解得（舍），故值为或.34．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数，其中.(1)若，证明：在上单调递增，(2)求的最小值.【答案】(1)见解析(2)见解析【知识点】基本不等式求和的最小值、定义法判断或证明函数的单调性【分析】（1）利用单调性的定义证明即可；（2）分类讨论，去绝对值，结合对勾函数的性质以及函数的单调性，即可由基本不等式求解.【详解】（1）证明：当时，，任取，且，则，因为，所以，得，而，得，故，即，得在0,+∞上单调递增.（2）令，则，则，当时，，当时，，由于在单调递减，所以，而当为对勾函数，当时，在单调递增，所以此时，故此时的最小值为，当时，在单调递减，在1,+∞单调递增，故此时，由于，故此时的最小值为2，当时，，由于在单调递增，所以，而当为对勾函数，当时，在单调递减，所以此时，故此时的最小值为，当时，在0,1单调递减，在单调递增，故此时，由于，故此时的最小值为2，综上可得：当时，的最小值为2，，的最小值为，当时，的最小值为.35．（22-23高一下·河南周口·期末）已知函数f（x）＝是定义在R上的奇函数．(1)求实数a的值；(2)证明：函数f（x）在R上单调递增；(3)记，对x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)a＝0(2)证明见解析(3)【知识点】由奇偶性求参数、基本不等式求和的最小值、对数型复合函数的单调性、定义法判断或证明函数的单调性【分析】（1）根据函数是定义在R上的奇函数，由求得a，再验证即可；（2）利用函数的单调性定义和复合函数的单调性证明；（3）先证得函数在R上单调递增，将不等式转化为，进而得到求解.【详解】（1）解：由函数是定义在R上的奇函数，有，可得a＝0，当a＝0时，由，，，此时为奇函数，又由，可知函数的定义域为R，故a＝0满足题意，故实数a的值为0；（2）证明：由（1）有，①若，令则，因为，所以，则，即，所以在上递增，又在上递增，由复合函数的单调性得函数在上单调递增，②若，由函数为奇函数，得，即③若，则由①②得综上，对于，总有，因此函数在R上单调递增；（3）由，可得函数为奇函数．又由函数和在R上单调递增，可得函数在R上单调递增，不等式可化为不等式，可化为，有，可知对，不等式恒成立，等价于对，恒成立，①当时，，，不等式显然成立；②当时，Ⅰ．若x＝－1，，，不等式显然成立，Ⅱ．若，不等式可化为，又由（当且仅当x＝1时取等号），故有；Ⅲ．若，不等式可化为，又由（当且仅当x＝－3时取等号），故有，由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ可得，由①②可知，实数m的取值范围为．36．（23-24高一上·湖南·期中）已知幂函数既不是奇函数，也不是偶函数.(1)求的值；(2)若函数的最小值为，求实数的值.【答案】(1)(2)或.【知识点】根据函数是幂函数求参数值、根据二次函数的最值或值域求参数、求二次函数的值域或最值、由奇偶性求参数【分析】（1）先根据函数是幂函数求参，再结合奇函数定义判断即可确定参数；（2）应用换元法转化为已知二次函数最值求出参数.【详解】（1）令，整理为，解得或，①当时，，可得，由，知函数为奇函数，不合题意；②当时，，可得，由函数的定义域为，满足题意.由①②知，的值为；（2）由（1）有，可得，令（），有，可得，可化为，令（），①当时，，又由的最小值为，有，解得；②当时，，又由的最小值为，有，解得（舍去）或，由①②知或.37．（23-24高一上·河南新乡·期末）已知函数且.(1)若，函数，求的定义域；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【知识点】求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题【分析】（1）根据对数函数性质求解析式有意义的x的范围即可；（2）分0<a<1和两种情况，分别研究和恒成立问题，即可得到答案.【详解】（1），代入可得：，有意义可得，所以，的定义域为.（2）.因为且，所以恒成立.若，则函数是增函数.因为，所以，即.设，要使时，恒成立，只需或解得.故符合题意.若，则函数是减函数.因为，所以，即.结合二次函数的性质可得，当时，不等式不可能恒成立.故不符合题意.综上，的取值范围为.38．（23-24高一上·河北唐山·期中）已知是定义域为的奇函数.(1)求实数的值；(2)判断函数在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；(3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)1(2)在R上单调递增，证明见详解(3)【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求函数解析式、定义法判断或证明函数的单调性【分析】（1）利用奇函数的性质即可得出的值；（2）根据函数单调性的定义判断即可；（3）结合（2）的结论和奇函数的性质，不等式可转化为，利用换元法和二次函数的知识求出右式的最大值即可．【详解】（1）是R上的奇函数，，对任意，即，即，对任意恒成立，，即.（2）为R上的增函数，证明如下：任取，，且，，，，，即，所以函数为R上的增函数.（3）不等式在R上恒成立，，又为R上的增函数，在R上恒成立，即，令，，上式等价于对恒成立，即，令，只需即可，又，开口向下，对称轴为，，，.所以实数的取值范围为.39．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知(1)写出函数y=fx(2)当函数有两个零点时，求的取值范围；(3)求的解析式.【答案】(1)单调递增区间为，；(2)(3)【知识点】已知f（g（x））求解析式、根据函数零点的个数求参数范围、根据解析式直接判断函数的单调性【分析】（1）根据的解析式及指对数函数性质可得答案；（2）时有一解求出的范围；时有一解求出的范围可得答案；（3）根据定义域求出ℎx【详解】（1）函数y=fx的单调递增区间为，0,+∞（2）当函数有两个零点时，即有两根.由在区间，0,+∞递增，所以，（）有一解，即；，（）有一解，即；综上，所以当函数有两个零点时；（3）时，，又，所以，即.40．（23-24高一上·广西桂林·期末）已知函数.(1)当时，解不等式；(2)若的最大值是，求的值；(3)已知，，当的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围、由指数函数的单调性解不等式、根据值域求参数的值或者范围、由对数函数的单调性解不等式【分析】（1）根据对数和指数函数单调即可求解；（2）设，通过二次函数的性质分析即可；（3）通过二次函数单调性得到，再代入利用韦达定理结合二次函数根的分布得到不等式组，解出即可.【详解】（1）当时，，则，解得，故不等式的解集为.（2）当时，，不合题意；时，设，令.①若开口向上没有最大值，故无最大值，不合题意;②当时，此时对称轴，函数的最大值是，所以，解得或(舍)，所以.（3）当时，设，而的对称轴，所以当时，为增函数，故为增函数.因为函数的定义域为时，的值域为，，；，所以为方程的两根.故有两个大于1的不同实根.所以，解得，所以实数的取值范围是.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用换元法结合二次函数函数的性质进行合理分类讨论即可，第三问的关键是将其转化为二次函数根的分布，从而得到不等式组.41．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知.(1)当时，时，求的取值范围；(2)对任意，且，有，求的取值范围；(3)，的最小值为，求的最大值.【答案】(1)或(2)(3)1【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数不等式恒成立问题、基本不等式求和的最小值、根据函数的单调性解不等式【分析】（1）将看成整体，解一个一元二次不等式即得；（2）利用参变分离法将不等式恒成立问题转化为求对应函数的最小值问题求解；（3）将绝对值分类讨论得到分段函数，分别就参数的范围进行讨论，得到，求其最大值即得.【详解】（1）由，可得，解得或，所以或；（2）由，时恒成立则，令.则当时，由可得：，即得：（时取等号），当时，，可得：即得：.（时取等号）故，因在上递减，在上递增，而时；时，，即，故.（3）由（）.可得：，①当时，在0,+∞单调递增，所以此时无最值；②当时，由，.所以在上单调递增，上单调递减,此时，.③当时.，，.所以在上单调递减，在上单调递增，此时，，综上，，因时，，故最大值为1.十三、函数的“新定义”问题42．（2021高三·全国·专题练习）定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点，现有函数f（x）＝x3+tx是[﹣1，1]上的平均值函数，则实数t的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【知识点】函数新定义、根据零点求函数解析式中的参数【分析】函数是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有在（﹣1，1）内有实数根，进而可得方程在（﹣1，1）上有根，即可求出t的取值范围．【详解】∵函数是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有即在（﹣1，1）内有实数根，则有根，所以x＝1或.又1∉（﹣1，1）∴方程在（﹣1，1）上有根，因为，而当时，，于是.故选：A．43．（多选）（23-24高一上·山东日照·期末）对，表示不超过的最大整数，如，，，通常把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数．下列说法正确的是（

）A．，B．，C．，若，则D．，使成立【答案】BCD【知识点】对数的运算性质的应用、函数新定义、判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假【分析】举出反例可判断A，举例可判断B，设，则，，求出的范围可判断C；根据取值特征可判断D.【详解】对于A，当时，，故A错误；对于B，设，则，故B正确；对于C，设，则，，则，所以，故C正确；对于D，时，，当时，，当时，，当时，，当时，，由，可得时，成立，故D正确.故选：BCD.44．（23-24高一上·山东日照·期末）设表示函数在闭区间上的最大值．若正实数满足，则正实数的取值范围为．【答案】【知识点】求二次函数的值域或最值、解不含参数的一元一次不等式、利用函数单调性求最值或值域【分析】首先画出函数的图象，由图象分析，可知，即可计算的值；因为，可知，首先求出的实数根，根据图象判断，列式求的取值范围.【详解】函数的图如下：的对称轴为，；当时，，分类讨论如下：①当时，，,依题意，，而函数在时是增函数，此时，，故不可能；②当时，，依题意，，即，令，解得：，则有：并且，解得：；或者并且，无解；综上：故答案为：.45．（23-24高一上·广西玉林·期末）若函数在其定义域内的给定区间上存在实数，满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点．设函数是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，则所有满足条件的实数对为．【答案】【知识点】函数与方程的综合应用、函数新定义【分析】根据条件表示出，化简整理可得，结合k的范围可求出t的范围.【详解】由题意的，则，且，由题意可知，即，所以，因为，所以，则，又因为，且，则，则当时，成立，所以是满足条件的实数对.故答案为：46．（23-24高一上·江西抚州·期末）对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数的定义域为时，值域也为，则称区间为函数的“保值”区间．(1)求函数的所有“保值”区间．(2)函数的一个“保值”区间为，当变化时，求的最大值．【答案】(1)；(2).【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、根据二次函数的最值或值域求参数、函数新定义、求二次函数的值域或最值【分析】（1）求出函数的单调区间，利用“保值”区间的定义分类讨论求解即得.（2）分析函数的单调性，利用“保值”区间的定义建立方程，再转化为一元二次方程求解即可.【详解】（1）函数在上单调递增，在上单调递减，令区间为函数的“保值”区间，则在上单调，即有或，当时，在区间上单调递增，则，即，于是是方程，即的两个不同的非正实根，显然，方程两根异号，与矛盾，即不符合题意；当时，在区间上单调递减，则，即，则有，所以函数的“保值”区间为.（2）令，显然函数在上单调递增，由是函数的一个“保值”区间，得或，且在上单调递增，则，即是方程，即的两个同号的不等根，于是，解得，且，因此，当且仅当时取等号，所以当时，取得最大值.47．（23-24高一上·江苏无锡·期末）若函数y=fx对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.(1)判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；(2)若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围；(3)已知函数在定义域上为“依赖函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值.【答案】(1)不是“依赖函数”，理由见解析(2)(3)【知识点】函数新定义、函数不等式恒成立问题、求二次函数的值域或最值【分析】（1）根据题中定义，运用特例法进行判断即可；（2）根据题中定义，结合指数函数的单调性、二次函数的性质进行求解即可；（3）根据二次函数对称轴与所给的区间的位置关系，结合对钩函数、一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可.【详解】（1）对于函数的定义域R内存在，则，故不是“依赖函数”.（2）因为在递增，故，即，由，故，得，从而，设当时，函数单调递增，故；（3）①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去；②若故在上单调递增，∴，解得或（舍）.∴存在，使得对任意的，有不等式都成立，即恒成立，由，得，由，可得，又在单调递增，故当时，，从而，解得，综上，故实数的最大值为.【点睛】关键点睛：本题的关键是根据二次函数的对称轴与所给区间的位置分类进行求解.48．（23-24高一上·江苏南京·期末）若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为型函数.(1)若函数是型函数，求的值；(2)若函数是型函数，求和的值；(3)已知函数ℎx定义在上，ℎx恒大于0，且为1,4型函数，当时，.若在恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3).【知识点】函数新定义、函数不等式恒成立问题、指数幂的运算、求对数型复合函数的值域【分析】（1）根据给定的定义，结合指数运算计算即得.（2）利用给定的定义，建立恒成立的等式，借助恒等式求解即得.（3）利用新定义建立关系，再分段讨论并借助函数不等式恒成立求解即得.【详解】（1）由是型函数，得，即，所以.（2）由是型函数，得，则，因此对定义域内任意恒成立，于是，解得，所以.（3）由是型函数，得，①当时，，而，则，满足；②当时，恒成立，令，则当时，恒成立，于是恒成立，而函数在单调递增，则，当且仅当时取等号，因此；③当时，，则，由，得，令，则当时，，由②知，则只需时，恒成立，即恒成立，又，当且仅当时取等号，因此，所以实数的取值范围是.【点睛】结论点睛：函数的定义区间为，①若，总有成立，则；②若，总有成立，则；③若，使得成立，则；④若，使得成立，则.49．（21-22高二下·山东滨州·期末）已知是定义在实数集上的函数，把方程称为函数的特征方程，特征方程的两个实根，称为函数的特征根.(1)讨论函数的奇偶性，并说明理由；(2)求的表达式；(3)把函数在上的最大值记作，最小值记作，令，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)当时，为奇函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数；(2)(3)【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数奇偶性的定义与判断、函数不等式恒成立问题、函数新定义【分析】（1）分和两种情况讨论，结合奇偶性的定义判断即可；（2）依题意方程的两个实数根为，，利用韦达定理可得，，再计算即可；（3）求出函数的导函数，即可得到在上的单调性，从而得到恒成立，参变分离，再结合基本不等式计算可得.【详解】（1）解：当时，，则，即为奇函数；当时，因为，，所以，，故既不是奇函数也不是偶函数．综上所述，当时，为奇函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数；（2）解：由题意可得，方程的两个特征根为，，则方程的两个实数根为，，由，所以，，故，所以，即.（3）由，得，由（2）可知，方程的两个实数根为，，则当时，恒成立，所以恒成立，则在上单调递增，所以，由恒成立，可知恒成立，所以恒成立，因为，其中当且仅当，即时等号成立，所以，故实数的取值范围为．十四、样本的数字特征50．（多选）（23-24高一上·江西景德镇·期末）2023年8月8日是我国第15个“全民健身日”，“全民健身日”提升全民健身意识，让健身成为一种习惯和风俗，为倡导健康生活方式，某大学社团联合学生会倡议全校学生参与“每日万步行”健走活动．下图为该校甲、乙两名同学在同一星期内每日步数的折线统计图，则下列说法正确的是（

）A．这一星期内甲的日步数的中位数小于乙的日步数的中位数B．这一星期内甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数C．这一星期内乙的日步数的标准差小于甲的日步数的标准差D．这一星期内乙的日步数的分位数是12400【答案】BC【知识点】总体百分位数的估计、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数、根据折线统计图解决实际问题【分析】根据折线图得到这一星期内甲，乙的日步数，都从小到大进行排列，得到中位数后即可判断选项A；根据平均数计算公式，计算出这一星期内甲，乙的日步数的平均数，比较大小即可判断选项B；根据图象观察甲的波动程度较大，故方差较大，从而判断选项C；把乙一星期内的步数从小到大进行排列，并计算，故第六个数为所求，即可判断选项D.【详解】由折线图可得甲一星期内的步数从小到大的排列为：，所以中位数为12600；由折线图可得乙一星期内的步数从小到大的排列为：，所以中位数为12600；故这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12600，A错误；这一星期内甲的日步数的平均数为：，这一星期内乙的日步数的平均数为：，因为，故B正确；由图知，甲的波动程度较大，故方差，标准差较大，故C正确；乙一星期内的步数从小到大的排列为：，故这一星期内乙的日步数的分位数是13800，故D错误．故选：BC.51．（多选）（2023·全国·模拟预测）已知一组样本数据，，…，均为正数且互不相等．若由生成一组新的数据，，…，，则这组新数据与原数据可能相等的是（

）A．中位数 B．极差 C．平均数 D．标准差【答案】AC【知识点】各数据同时乘除同一数对方差的影响、各数据同时加减同一数对方差的影响【分析】由样本特征数的概念进行判断.【详解】不妨令．对于A选项，当时，，，…，的中位数为，，，…，的中位数为，可知当时，中位数相等，故A正确；对于B选项，，，…，的极差为，，，…，的极差为，因为，所以，故B错误；对于C选项，设，，…，的平均数为，即，所以，，…，的平均数为，由可知，当时，两组数据的平均数相等，故C正确；对于D选项，设，，…，的标准差为，，，…，的标准差为，则，，因为，所以，则，故两组样本数据的标准差不可能相等，故D错误．故选：AC十五、事件的判断与概率52．（23-24高一上·江西抚州·期末）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论错误的是（

）A．2个球都是红球的概率为B．2个球中恰有1个红球的概率为C．至少有1个红球的概率为D．2个球不都是红球的概率为【答案】D【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式【分析】根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率可判断A；根据独立事件乘法公式、互