专题02 不等式的综合问题（恒成立、有解、最值等问题）（期末专项训练10大题型56题）（原卷版及全解全析）高一数学上学期人教A版

2/24专题02不等式的综合问题（恒成立、有解、最值等问题）题型1由已知条件判断所给不等式是否正确题型6恒成立问题（重点）题型2解不含参数的一元二次不等式（常考点）题型7有解问题（常考点）题型3解含参数的一元二次不等式（重点）题型8整数解问题题型4解分式不等式题型9最值问题（常考点）题型5一元二次方程根的分布问题题型10实际应用（常考点）2/24题型一由已知条件判断所给不等式是否正确（共5小题）1．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知实数，且．下列结论正确的是（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·北京丰台·期末）下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则3．（24-25高一上·河南商丘·期末）（多选）若，，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．4．（24-25高一上·山西·期末）（多选）已知实数满足，则（

）A． B． C． D．5．（24-25高一上·河北邯郸·期末）（多选）下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，，则题型二解不含参数的一元二次不等式（共5小题）6．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．7．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知集合，则（

）A． B． C． D．8．（24-25高一上·河北唐山·期末）若不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B．或C． D．或9．（24-25高一上·云南大理·期末）若关于实数的不等式的解集是或，则关于的不等式的解集是（

）A． B．C． D．10．（24-25高一上·湖北恩施·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．题型三解含参数的一元二次不等式（共5小题）11．（24-25高一上·贵州黔西·期末）解下列关于x的不等式．(1)；(2)．12．（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数．(1)当时，解不等式；(2)解不等式；(3)若恒成立，求的值．13．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数．(1)若不等式的解集为R，求实数a的取值范围；(2)当时，解关于x的不等式．14．（25-26高一上·湖南长沙·月考）已知函数.(1)求关于的不等式的解集；(2)当时，设，，若，求的取值范围.15．（24-25高一上·湖北·期末）已知关于实数的函数．(1)若的解集为，求的值；(2)解关于实数的不等式．题型四解分式不等式（共5小题）16．（24-25高一上·北京延庆·期末）不等式的解集为（

）A． B． C． D．17．（24-25高一上·河北唐山·期末）已知，若，，则是的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件18．（24-25高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为.19．（24-25高一上·广东深圳·期末）设不等式的解集为，则．20．（24-25高一上·安徽合肥·期末）不等式的解集是.题型五一元二次方程根的分布问题（共5小题）21．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是.22．（23-24高一上·河南南阳·期末）一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（

）A． B． C． D．23．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（

）A．当时，方程的两个实数根之和为B．方程无实数根的充分不必要条件是C．方程有两个正根的充要条件是D．方程有一个正根一个负根的充要条件是24．（25-26高一上·陕西·月考）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（

）A． B．或C．或 D．或25．（25-26高一上·广西河池·月考）已知是关于的方程的两个实数根．(1)若，求的值；(2)若，求的最小值；(3)若，是两个不相等的正数，求实数的取值范围．题型六恒成立问题（共8小题）26．（24-25高一上·浙江宁波·期末）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（

）A．3 B． C．4 D．27．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是.28．（24-25高一上·重庆·期末）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．29．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，若关于x的不等式在区间上恒成立，则的最小值是（

）A．2 B． C．3 D．30．（24-25高一上·吉林·期末）已知函数.(1)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围；(2)解关于的不等式.31．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数．(1)若不等式的解集为，求的取值范围；(2)当时，解不等式；(3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．32．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知函数解集为．(1)求的解析式；(2)用定义法证明函数在上为单调增函数；(3)若在区间上恒成立，求实数的范围．33．（24-25高一上·北京西城·月考）已知关于的方程.(1)若该方程的解集中只有一个元素，求的值；(2)若，且当时，恒成立，求实数的取值范围；(3)若，解关于的不等式.题型七有解问题（共8小题）34．（24-25高一上·山东济南·期末）若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．35．（24-25高一上·江苏苏州·期末）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．36．（25-26高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．37．（24-25高一上·河北廊坊·期末）函数在上有解的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．38．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为.39．（24-25高一上·云南曲靖·月考）已知函数.(1)若关于的不等式有解，求的取值范围；(2)求的取值范围，使得总有实数解.40．（24-25高一上·四川德阳·月考）已知函数.(1)若不等式的解集为，求实数a的取值范围；(2)解关于的不等式；(3)，使得不等式有解，求实数的取值范围.41．（24-25高一上·河北张家口·月考）已知函数，．(1)当时，解不等式；(2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围；(3)若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围．题型八整数解问题（共5小题）42．（23-24高一上·云南昆明·期末）（多选）已知，若关于的不等式只有一个整数解，则的可能取值有（

）A． B．1 C．2 D．343．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知函数，若关于的不等式有且仅有一个整数解，则的取值范围是．44．（24-25高一上·湖北·月考）关于的不等式的解集中恰有个正整数解，则的取值范围为（

）A． B．C． D．45．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（

）A． B． C． D．46．（25-26高一上·陕西商洛·月考）已知关于的不等式的解集为.(1)求的值；(2)若关于的不等式恰有3个整数解，求实数的取值范围.题型九最值问题（共5小题）47．（24-25高一上·上海长宁·期末）偶函数在区间上的最大值为，则实数．48．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，且关于的不等式的解集为.(1)求函数的解析式；(2)若，讨论在区间上的最值.49．（24-25高一上·北京丰台·期末）设函数，其中．(1)当时，求在区间上的最大值和最小值：(2)若在区间上不单调，求的取值范围；(3)若在区间内存在零点，求的取值范围．50．（24-25高一上·四川南充·期末）已知函数，不等式的解集为．(1)若时，的最大值为6，求的解析式；(2)若函数，解关于x的不等式．51．（25-26高一上·陕西西安·期中）设函数（），.(1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；(2)解关于的不等式：；(3)求函数在上的最小值.题型十实际应用（共5小题）52．（25-26高一上·天津河西·期中）某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为元.53．（25-26高一上·福建泉州·期中）为配制一种药液，进行了二次稀释．先在体积为10升的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出一部分溶液后用水补满，再搅拌均匀，第二次倒出相同数量的溶液后用水补满．若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的64%，则每次至少倒出升溶液．54．（25-26高一上·江苏镇江·期中）汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（

）A．甲、乙两车均超过规定限速B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速D．甲、乙两车均未超过规定限速55．（25-26高一上·安徽蚌埠·月考）如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，那么要使矩形花坛的面积大于27，则的取值范围为．56．（25-26高一上·广东广州·期中）某工厂每年消耗电费32万元.为了节能环保，考虑修建一个可使用12年的沼气发电池，并入该工厂的电网.修建沼气发电池的费用（单位：万元）与沼气发电池的容积（单位：）成正比，比例系数为0.15.由于场地的限制，如果修建沼气发电池，它的容积不能超过.为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电.设在此模式下，修建后该工厂每年消耗的电费（单位：万元）与修建的沼气发电池的容积（单位：）之间的函数关系为（实数为常数）.记该工厂修建此沼气发电池的费用与12年所消耗的电费之和为S（单位：万元）.(1)试解释的实际意义，并写出S关于的函数关系；(2)该工厂应修建多大容积的沼气发电池，可使S最小，并求出S的最小值.(3)要使S不超过114万元，求沼气发电池的容积（单位：）的取值范围.

专题02不等式的综合问题（恒成立、有解、最值等问题）题型1由已知条件判断所给不等式是否正确题型6恒成立问题（重点）题型2解不含参数的一元二次不等式（常考点）题型7有解问题（常考点）题型3解含参数的一元二次不等式（重点）题型8整数解问题题型4解分式不等式题型9最值问题（常考点）题型5一元二次方程根的分布问题题型10实际应用（常考点）题型一由已知条件判断所给不等式是否正确（共5小题）1．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知实数，且．下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知可得，然后根据不等式的性质，以及赋值法即可判断各项的正误.【详解】因为，所以，所以，故A错误；因为，所以，又，所以，所以，所以，故B正确；当时，，故C错误；因为，且，所以，所以，又，所以，所以，故D错误．故选：B.2．（24-25高一上·北京丰台·期末）下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】AC可举出反例；B选项，由不等式性质判断正确；D选项，作差法比较大小.【详解】A选项，不妨设，满足，但，A错误；B选项，，由不等式性质得，B正确；C选项，不妨设，此时满足，但，C错误；D选项，，因为，所以，但不确定的正负，若，则，若，则，若，则，D错误.故选：B3．（24-25高一上·河南商丘·期末）（多选）若，，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】取特殊值判断A选项和D选项，由不等式的性质判断B选项，由作差法判断C选项.【详解】当，时，满足，但是，故A错误；因为，所以，又，所以，故B正确；因为，又，所以，，所以，即，故C正确；当，，，时，满足，，但是，故D错误.故选：BC.4．（24-25高一上·山西·期末）（多选）已知实数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】由不等式的性质结合已知可得A正确、B正确；作差可得C错误；举反例可得D错误；【详解】对于A，因为，两边同乘以，因为，所以由不等式的性质，得，故A正确；对于B，因为，所以，又，由不等式的性质，得，所以，故B正确；对于C，，由题意知，且，所以，所以，故C错误；对于D，取，此时，故D错误．故选：AB．5．（24-25高一上·河北邯郸·期末）（多选）下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，，则【答案】ACD【分析】作差比较即可判断A的正误，时即可判断B的正误，根据不等式的性质即可判断C的正误，用和表示即可判断D的正误．【详解】，，，，A正确；时，，B错误；，，C正确；，且，，则，D正确．故选：.题型二解不含参数的一元二次不等式（共5小题）6．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先分别求出两个集合的解集，再根据集合的运算可求出结果.【详解】对于不等式，解得，所以，对于不等式，即，解得，所以，所以.故选：B.7．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解一元二次不等式，根据交集运算求解.【详解】因为，所以，故选：A8．（24-25高一上·河北唐山·期末）若不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】利用三个二次的关系推得方程有两根为和4，由韦达定理求出，代入所求不等式，求解即得.【详解】由题意，方程有两根为和4，故由韦达定理，，解得，则不等式即，解得或.故选：D.9．（24-25高一上·云南大理·期末）若关于实数的不等式的解集是或，则关于的不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据一元二次不等式与方程的关系，结合韦达定理求得，，再代入不等式，即可求解.【详解】∵关于的一元二次不等式的解集是或，∴，2是一元二次方程的两个实数根，∴由韦达定理得：，，即，，不等式化为，即，解得，∴不等式的解集为.故选：D.10．（24-25高一上·湖北恩施·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由不等式的解集得出关系，再解分式不等式即可.【详解】由不等式的解集为，可得，，即，所以不等式可化为，即，所以可得，解得或，所以不等式的解集为，故选：C题型三解含参数的一元二次不等式（共5小题）11．（24-25高一上·贵州黔西·期末）解下列关于x的不等式．(1)；(2)．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由指数、对数函数的单调性得到，求解即可；（2）因式分解，讨论两根大小即可求解；【详解】（1）等价于，等价于，等价于且，由可得：，即，即，由可得：，即，或，所以，所以的解集为：（2），等价于，当时，即，不等式的解集为，当时，即，不等式的解集为，当时，即，不等式的解集为，综上：时，不等式的解集为，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为.12．（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数．(1)当时，解不等式；(2)解不等式；(3)若恒成立，求的值．【答案】(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）由一元二次不等式的求法即可求解；（2）通过，，，，分类讨论即可；（3）通过和两类情况讨论求解即可.【详解】（1）当时，可得，即，解得或，即解集为；（2）由不等式若，不等式即为，解得；若，不等式可化为，此时方程的两根分别为，当时，即，不等式的解集为；当时，，不等式的解集为；当时，，不等式的解集为；当时，，不等式的解集为；综上可得：当时，不等式的解集为；当时不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.（3）恒成立，当时，不等式为，得，不符合题意；当时，恒成立，需满足：解得：，综上的值为.13．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数．(1)若不等式的解集为R，求实数a的取值范围；(2)当时，解关于x的不等式．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据不等式恒成立，讨论a是否为0，即可求得答案.（2）分三种情况讨论，结合一元二次方程两根的大小比较，即可求得答案.【详解】（1）由题意知不等式的解集为R，即对于任意实数恒成立，当时，恒成立，符合题意；当时，要使得对于任意实数恒成立，需满足，解得，综合可知实数a的取值范围；（2）不等式，即，即，即；当时，不等式即，解得；当时，，解，得，当时，，不等式即，解得或当时，，不等式即，则；当时，，不等式即，解得或，综合上述，可得：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.14．（25-26高一上·湖南长沙·月考）已知函数.(1)求关于的不等式的解集；(2)当时，设，，若，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【分析】（1）根据题意，利用含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解；（2）根据题意，转化为不等式在上恒成立，结合二次函数的图象与性质，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）解：由不等式，若，不等式即为，解得，即不等式的解集为；若，不等式可化为，即，此时方程的两根分别为，当时，不等式即为，解得，解集为；当时，不等式即为，若，可得，解得或，不等式的解集为或；若，可得，不等式即为，此时不等式的解集为；若，可得，解得或，不等式的解集为或，综上可得：当时，不等式的解集为；当时不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或.（2）解：由不等式，可得，即，因为时，集合，且，所以不等式在上恒成立，设，则满足，解得，即实数的取值范围为.15．（24-25高一上·湖北·期末）已知关于实数的函数．(1)若的解集为，求的值；(2)解关于实数的不等式．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由不等式的解集求得参数值；（2）根据一元二次函数的性质分类讨论解不等式．【详解】（1）若的解集为，则，，，，∴；（2）整理可得，配方得分以下情况讨论：1．时，，解得或2．时，，解得3．时，，解得或综上所述：当时解集为；当时解集为；当时解集为题型四解分式不等式（共5小题）16．（24-25高一上·北京延庆·期末）不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】移项通分后转化一元二次不等式即可求解.【详解】原不等式即为即，故，故，故选：D.17．（24-25高一上·河北唐山·期末）已知，若，，则是的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】解不等式求出命题、，再根据充分不必要条件定义判断可得答案.【详解】由得，解得，则，由得，则，所以若成立，则成立，但成立，但不一定成立，则是的充分不必要条件.故选：B.18．（24-25高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为.【答案】【分析】利用分式不等式的解法可得出原不等式的解集.【详解】不等式等价于，解得或，故原不等式的解集为.故答案为：.19．（24-25高一上·广东深圳·期末）设不等式的解集为，则．【答案】1【分析】把分式不等式转化为整式不等式，然后求解．【详解】原不等式可化为,即，所以，解得，所以，.故答案为：120．（24-25高一上·安徽合肥·期末）不等式的解集是.【答案】【分析】利用分式不等式解法即可求得结果.【详解】等价于，即，得到,解得：，故不等式的解集为.故答案为：题型五一元二次方程根的分布问题（共5小题）21．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是.【答案】【分析】分与时讨论，当时，令判别式大于等于零即可；【详解】当时，方程为，解得；当时，方程至少有一个实根，则，解得，综上，实数的取值范围是.故答案为：.22．（23-24高一上·河南南阳·期末）一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出方程有一个正实根和一个负实根的充要条件，结合选项，判断哪一个是该条件的真子集，即可得答案.【详解】由题意知一元二次方程的两根为，要使得方程有一个正实根和一个负实根，需，结合选项知，只有，即一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是，故选：C23．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（

）A．当时，方程的两个实数根之和为B．方程无实数根的充分不必要条件是C．方程有两个正根的充要条件是D．方程有一个正根一个负根的充要条件是【答案】B【分析】由判断A；利用方程对应函数的性质列不等式组求参数范围，结合充分、必要性定义判断B、C、D.【详解】A：由题设，显然无解，错；B：若方程无实根，则，即，所以是方程无实数根的充分不必要条件，对；C：令，要使方程有两个正根，所以，可得，故不是充要条件，错；D：同C分析，，可得，故不是充要条件，错.故选：B24．（25-26高一上·陕西·月考）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（

）A． B．或C．或 D．或【答案】B【分析】按照、和分类讨论，按照二次方程根的分布列不等式组求解即可.【详解】当时，方程只有一个根，显然不符合题意；当时，则，解得；当时，则，解得，故或．故选：B25．（25-26高一上·广西河池·月考）已知是关于的方程的两个实数根．(1)若，求的值；(2)若，求的最小值；(3)若，是两个不相等的正数，求实数的取值范围．【答案】(1)－1．(2)3．(3)．【分析】（1）利用韦达定理进行求解；（2）先求出，再由基本不等式求解；（3）由进行求解．【详解】（1）由，可得，因为，所以，解得或－7（舍去），故的值为－1．（2）当时，，所以，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3．（3）因为是两个不相等的正数，所以解得，所以或，所以实数的取值范围是．题型六恒成立问题（共8小题）26．（24-25高一上·浙江宁波·期末）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（

）A．3 B． C．4 D．【答案】C【分析】由不等式恒成立，确定，且，再由基本不等式即可求解．【详解】不等式可化为，当时，不等式为，不满足对任意的恒成立；当时，，图象开口向下，不满足题意，所以，且，所以，所以，且，；所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为4．故选：C27．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是.【答案】【分析】讨论、，结合二次函数性质列不等式求参数范围.【详解】当，则，显然对于都成立，满足；当，要使对恒成立，则，所以；综上，.故答案为：.28．（24-25高一上·重庆·期末）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立问题求解.【详解】当时，恒成立，则；当时，，解得，所以实数的取值范围为.故选：D29．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，若关于x的不等式在区间上恒成立，则的最小值是（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】结合函数函数性质，得到函数的函数性质，由此建立等式得到的关系，然后借助基本不等式求出的最小值.【详解】∵，∴在区间上单调递增，∴当时，当时，令，要想关于x的不等式在区间上恒成立，则当时，当时，∴，则，即，∴，当且仅当，即时取等号.故选：B.30．（24-25高一上·吉林·期末）已知函数.(1)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围；(2)解关于的不等式.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）依题意可得不等式的解集为，分与两种情况讨论，当时，即可求出参数的取值范围；（2）依题意可得，再分、、、、五种情况讨论，分别求出不等式的解集.【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，即关于的不等式的解集为，当时，恒成立；当时，则，解得；综上可得实数的取值范围为；（2）不等式，即，当时，则；当时，不等式可化为，解得或，即不等式的解集为；当时，不等式即，则；当时，不等式可化为，解得，即不等式的解集为；当时，不等式可化为，解得，即不等式的解集为；综上可得：当或时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.31．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数．(1)若不等式的解集为，求的取值范围；(2)当时，解不等式；(3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】(1)；(2)答案见解析；(3).【分析】（1）当时验证解集；当时，由不等式解集分析相应二次函数图象和二次方程根的情况求解；（2）将不等式因式分解，分情况讨论取值求解；（3）通过分离参数，将问题转化为最值问题求解.【详解】（1）（1）当，即时，不等式即，解集不是，不符合题意；当，即时，若不等式的解集为，则二次函数开口向上，且与轴至多一个交点，也即方程至多一个实根，所以，即，解得，即的取值范围为.（2），即，亦即，当时，，若，即，则，所以，所以，此时不等式的解集为；若，即，则不等式即，解集为；若，即，则，不等式解集为或.综上，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为或.（3）不等式，即，故，即，可化为.设，对称轴为，且对称轴在区间内，离对称轴较远的端点为左端点，所以当时，；当时，，所以，所以，因为对任意，不等式恒成立，所以，所以，即的取值范围为.32．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知函数解集为．(1)求的解析式；(2)用定义法证明函数在上为单调增函数；(3)若在区间上恒成立，求实数的范围．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据一元二次不等式的解集、根与系数关系求得.（2）利用函数单调性的定义，求得，从而证得的单调性.（3）利用分离常数法，结合二次函数的性质来求得的取值范围.【详解】（1）由函数解集为，可知方程的两根为，，由，解得，所以.（2）设，由，∵，∴，∴即，∴函数在上为增函数.（3）由题意得：，即对于任意的，有恒成立，则，当时，由二次函数性质得取得最小值，则.33．（24-25高一上·北京西城·月考）已知关于的方程.(1)若该方程的解集中只有一个元素，求的值；(2)若，且当时，恒成立，求实数的取值范围；(3)若，解关于的不等式.【答案】(1)或(2)(3)答案见解析【分析】（1）根据题意，分当和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解；（2）当时，转化为时，恒成立，结合基本不等式，即可求解；（3）根据题意，不等式转化为，分类讨论，即可求解.【详解】（1）解：由关于的方程，当时，方程即为，解得，满足题意；当时，若该方程的解集中只有一个元素，则满足，即，解得，综上可得，实数的值为或.（2）解：当时，不等式为，即，由时，恒成立，即为时，恒成立，又因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以，即实数的取值范围为.（3）解：由不等式，可化为，因为，可得，即为，当时，即时，解得，不等式的解集为；当时，即时，不等式为，此时不等式的解集为；当时，即时，解得，不等式的解集为，综上可得：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.题型七有解问题（共8小题）34．（24-25高一上·山东济南·期末）若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分，和三种情况分类讨论，其中当时，利用判别式列不等式求解即可，最后求并集.【详解】当时，不等式为，即，显然在有解，符合题意；，命题“”为真命题，当时，对于抛物线，开口向下，显然在有解，符合题意；当时，对于抛物线，开口向上，只需，解得或，又，所以或，综上，实数的取值范围是或，即.故选：D35．（24-25高一上·江苏苏州·期末）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先写出命题的否定，再根据命题的否定为真命题，列不等式解得结果.【详解】因为命题“”是假命题，所以“”是真命题，因此即实数的取值范围是.故选：B.36．（25-26高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】应用分类讨论，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围.【详解】当，则，在上显然不成立，当，则或，得或，综上，实数的取值范围是.故选：D37．（24-25高一上·河北廊坊·期末）函数在上有解的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】参变分离可得在上有解，利用基本不等式求出，即可求出参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可.【详解】由在上有解，即在上有解，又，当且仅当，即时取等号，所以；因为真包含于，结合选项可知函数在上有解的一个充分不必要条件是.故选：B38．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为.【答案】【分析】根据存在性的性质，结合二次函数的单调性进行求解即可.【详解】因为函数的对称轴为，所以当时，该二次函数单调递增，所以，因为存在，使得不等式成立，所以有，或，因此实数的取值范围为，故答案为：39．（24-25高一上·云南曲靖·月考）已知函数.(1)若关于的不等式有解，求的取值范围；(2)求的取值范围，使得总有实数解.【答案】(1)或；(2)或.【分析】（1）根据二次函数与一元二次不等式的关系，结合分类讨论即可求解，（2）根据一元二次方程的根，利用判别式即可求解.【详解】（1）若，则，不满足题意；若，则必有解；若，解得，故的取值范围为或；（2）①若，则，不满足题意；②由，由知总有实数解，即，则或，由于，则或，综上，或.40．（24-25高一上·四川德阳·月考）已知函数.(1)若不等式的解集为，求实数a的取值范围；(2)解关于的不等式；(3)，使得不等式有解，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可；（2）因式分解得到，根据的不同取值范围分类讨论即可；（3）将问题转化为一元二次方程在给定区间内有解，根据的不同取值范围分类讨论即可.【详解】（1）不等式的解集为，即恒成立，当时，的解集不为；当时，恒成立，则，解得，所以实数a的取值范围为.（2）由题意得，当时，解得；当时，是开口向上的抛物线，两根分别为和，当，即时，的解为或，当，即时，的解为，当，即时，的解为或；当时，是开口向下的抛物线，两根分别为和，且，此时的解为；综上，当时，的解集为，当时，的解集为，当时，的解集为，当时，的解集为，当时，的解集为.（3）由题意整理得，使得不等式有解，当时，解得，故使得不等式有解，当时，是开口向上的抛物线，只需在上即可，因为的对称轴为，此时对称轴，所以当，即时，，整理得，结合可得此时；当，即时，，结合可得此时；当时，是开口向下的抛物线，当时,所以当时，，使得不等式有解，综上的取值范围为.41．（24-25高一上·河北张家口·月考）已知函数，．(1)当时，解不等式；(2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围；(3)若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围．【答案】(1)或；(2)；(3).【分析】（1）利用十字相乘的方法解二次不等式即可；（2）利用参变分离的方法解恒成立问题，其中最值可由均值不等式求得；（3）将问题转化为，分类讨论求出，再解范围即可.【详解】（1）当时，即，所以，所以，所以或，所以不等式的解集为或.（2）“对任意，都有恒成立”等价于“对任意，都有恒成立”，因为时，（当且仅当时等号成立），所以即，所以实数的取值范围是.（3）因为对，，使得不等式成立，所以不等式，因为，所以在单调递增，所以.因为，所以当，即时，在单调递增，所以，则成立，故；当，即时，，由得，所以；当，即时，，由得，所以.综上所述，实数的取值范围是.题型八整数解问题（共5小题）42．（23-24高一上·云南昆明·期末）（多选）已知，若关于的不等式只有一个整数解，则的可能取值有（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】AD【分析】分类讨论k的取值范围，结合不等式只有一个整数解，确定k的取值，即得答案.【详解】关于的不等式即，即，当时，即，解集为空集，不合题意；当时，的解满足，要使得关于的不等式只有一个整数解，需，由于，故；当时，的解满足，要使得关于的不等式只有一个整数解，需，由于，故，综合得的可能取值，故选：AD43．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知函数，若关于的不等式有且仅有一个整数解，则的取值范围是．【答案】【分析】分析可知，，由可得，分析可知，，不等式两边平方整理可得，然后分、两种情况讨论，解不等式，确定整数解，可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】因为，由可得，不等式两边平方可得，当时，，不合乎题意；当时，则，则原不等式可化为，解得或，此时，关于的不等式有无数个整数解，不合乎题意；当时，则，则原不等式可化为，解得，由题意可知，关于的不等式有且仅有一个整数解，且这个整数解为，所以，，解得，又因为，所以，.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于根据绝对值的性质转化为二次不等式，然后注意对参数分类讨论，并解出二次不等式，并确定整数解，然后列出关于参数的不等式求解.44．（24-25高一上·湖北·月考）关于的不等式的解集中恰有个正整数解，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】原不等式即为，分、、三种情况讨论，解原不等式，确定满足不等式的三个正整数解，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.【详解】由得，若时，原不等式即为，不合乎题意；若时，则原不等式的解为或，满足条件的正整数解有无数个，不合乎题意；若时，则原不等式的解为，由题意可知，满足条件的三个正整数解为、、，则，解得.因此，实数的取值范围是.故选：C.45．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知结合二次不等式的求法分别求出各不等式的解集，即可求解.【详解】由，即，解得或，由，即，因为，不等式的解集为，结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解，所以.故选：B.46．（25-26高一上·陕西商洛·月考）已知关于的不等式的解集为.(1)求的值；(2)若关于的不等式恰有3个整数解，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由不等式的解集得到相应方程的实数根，根据根与系数的关系可得；（2）根据（1）得到的关系，代入不等式求解，讨论其解集的情况，并根据该不等式恰有3个整数解，确定实数的取值范围.【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，所以方程有两根为-1和2，且，由韦达定理得解得，所以.（2）由（1）得，所以由，得.即，因为，故.当时，，所以不等式的解集为，要使得关于的不等式恰有3个整数解，则这3个整数解是3，4，5.所以，解得.当时，不等式化为，所以不等式解集为，不符合题意；当时，，所以不等式的解集为，此时关于的不等式最多有1个整数解，不符合题意.综上，实数的取值范围为.题型九最值问题（共5小题）47．（24-25高一上·上海长宁·期末）偶函数在区间上的最大值为，则实数．【答案】【分析】根据条件得到，再利用二次函数的性质，结合条件，即可求解.【详解】因为是偶函数，则，则，又在区间上的最大值为，且当时，，所以，解得，故答案为：.48．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，且关于的不等式的解集为.(1)求函数的解析式；(2)若，讨论在区间上的最值.【答案】(1)(2)答案见解析.【分析】（1）由不等式的解可确定的解，然后由韦达定理可得答案；（2）由（1），讨论在区间上的单调性，据此可得答案.【详解】（1）因的解集为，则的根为与.由韦达定理，可得，则；（2）由（1），，若，则在区间上单调递减，则；若，则在区间上单调递减，在上单调递增，则，.综上，.49．（24-25高一上·北京丰台·期末）设函数，其中．(1)当时，求在区间上的最大值和最小值：(2)若在区间上不单调，求的取值范围；(3)若在区间内存在零点，求的取值范围．【答案】(1)最小值为3，最大值为7．(2)(3)．【分析】（1）根据二次函数的性质得出最值；（2）根据函数不单调列不等式计算求参；（3）解法1：分及两种情况分类讨论求零点或结合零点存在定理计算范围；解法2：先计算对称轴为，再分，及，结合零点存在定理计算求解.【详解】（1）当时，，所以的对称轴为，所以在区间上的最小值为，最大值为．（2）由已知，得的对称轴为．因为在区间上不单调，所以．由，解得，故的取值范围是（3）解法1：由已知，得．1）当即，或时，由，得，此时的零点为3，不符合题意：由，得，此时的零点为，符合题意．2）当即，或时，①若，此时的对称轴且所以在区间内存在零点，符合题意②若，此时的对称轴，所以在区间内单调递减．又因为，所以在区间内存在零点只需满足，解得．综上，的取值范围是．解法2：由已知，得的对称轴为，1）当即时，，此时在区间内有零点为，符合题意．2）当即时，，此时在区间内无零点，不符合题意，3）当即，且时，由在区间内存在零点，则有以下两种情况：①，解得，或②解得．综上，的取值范围是．【点睛】关键点点睛：解题的关键点是应用零点存在定理列不等式关系计算求参.50．（24-25高一上·四川南充·期末）已知函数，不等式的解集为．(1)若时，的最大值为6，求的解析式；(2)若函数，解关于x的不等式．【答案】(1)；(2)答案见解析.【分析】（1）由不等式的解集可得，，，再由二次函数的最大值求得，进而可得函数解析式；（2）由题设有，应用分类讨论求解一元二次不等式的解集即可.【详解】（1）∵不等式的解集为，∴，且1和3是方程的两根，∴，，即，，∴，∵函数在上单调递减，在上单调递增，∴时，，∴，，，故函数解析式为.（2）由，得，即，由得：或，①当时，即，则或，②当时，即，则或，③当时，即，则或，综上，当时，解集为或；当时，解集为或；当时，解集为或.51．（25-26高一上·陕西西安·期中）设函数（），.(1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；(2)解关于的不等式：；(3)求函数在上的最小值.【答案】(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）转化问题为恒成立，进而结合二次不等式恒成立问题求解即可；（2）不等式化简为，进而根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解.（3）求出二次函数的对称轴，结合图像讨论的范围即可求解.【详解】（1）对一切实数恒成立，等价于恒成立.当时，不等式可化为，不满足题意.当，有，即，解得，所以的取值范围是.（2）依题意，等价于，当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为当时，不等式化为，当时，，不等式的解集为；当时，，不等式的解集为；当时，，不等式的解集为；综上，当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.（3）函数是二次函数，函数图象是抛物线，开口向上，对称轴为直线；当，即时，在上的最小值为；当，即时，在上单调递增，最小值为；当，即时，在上单调递减，最小值为；综上，在上的最小值为，题型十实际应用（共5小题）52．（25-26高一上·天津河西·期中）某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽