专题02 不等式与基本不等式（期末复习知识清单）（原卷版及全解全析）

5/5专题02不等式与基本不等式【清单01】比较大小基本方法关系方法做差法做商法【清单02】不等式的性质性质性质内容对称性传递性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性【清单03】基本不等式如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数它们的几何平均数．基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号．注意（1）基本不等式的前提是“”；其中“一正”指，“二定”指求，“三相等”指．（2）连续使用不等式要注意取得一致．1、几个重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）．特例：（同号）．（3）其他变形：①（沟通两和与两平方和的不等关系式）②（沟通两积与两平方和的不等关系式）③（沟通两积与两和的不等关系式）④重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．2、均值定理已知．（1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．（2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．3、常见求最值模型模型一：，当且仅当时等号成立；模型二：，当且仅当时等号成立；模型三：，当且仅当时等号成立；模型四：，当且仅当时等号成立．【清单04】一元二次不等式一般地，我们把只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为．一元二次不等式的一般形式是，其中a，b，c均为常数，a≠0.

【清单05】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系【特别提醒】(1)、对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：，．(2)、对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为，再对照上述情况求解．【清单06】解一元二次不等式的一般步骤1、通过对不等式变形，使二次项系数；2、计算对应方程的；3、求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；4、根据写出不等式的解集．【特别提醒】(1)、一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．(2)、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．

【清单07】解含参数的一元二次不等式1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数进行讨论；2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对进行讨论；3.若求出的根中含有参数，则应对进行讨论．【清单08】简单分式不等式的解法1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意．2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．【清单09】不等式恒成立问题1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为空集的条件为【题型一】不等式的性质【例1】．（25-26高一上·海南海口·月考）若，，，均为实数，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【变式1-1】．（25-26高一上·河南信阳·期中）（多选题）已知，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【变式1-2】．（25-26高一上·辽宁大连·期中）（多选题）若实数满足，则下列不等式一定成立的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【题型二】比较大小【例2】．（25-26高一上·北京·期中）比大小：（填“，或”）【变式2-1】．（25-26高一上·北京·月考）若，，则（用“”、“”或“”填空）．【变式2-2】．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（

）A．x＞y B．x＝yC．x＜y D．x，y的关系随c而定【题型三】基本不等式的应用-直接法求最值【例3】．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）设，则的最小值为（

）A． B．2 C．4 D．3【变式3-1】．（25-26高一上·广东深圳·期中）若正数满足，则ab的最小值为（）A．9 B．4 C．3 D．2【变式3-2】．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知，则函数有（

）A．最大值1 B．最小值9 C．最小值1 D．最大值9

【题型四】基本不等式的应用-配凑法求最值【例4】．（25-26高一上·天津滨海新·期中）若且，则的最小值为（）A． B． C． D．【变式4-1】．（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，则的最大值是.【变式4-2】．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知，且，则的最小值为（

）A． B．4C． D．8【题型五】基本不等式的应用-“1”的代换求最值【例5】．（25-26高三上·上海金山·月考）已知，，且，的最小值为．【变式5-1】．（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）已知且，则的最小值为.【变式5-2】．（25-26高三上·上海松江·期中）已知，，则的最小值为.【题型六】基本不等式中的证明问题【例6】．（25-26高一上·海南海口·月考）(1)已知均为正实数，求证：；(2)已知，求证：.

【变式6-1】．（25-26高一上·上海·月考）已知，且，求证：(1)；(2)．【变式6-2】．（25-26高一上·江西九江·月考）（1）已知，，，，求证：，并说明等号成立的条件.（2）若，，且，求证：，并说明等号成立的条件.

【题型七】二次不等式的解法【例7】．（25-26高一上·北京·期中）不等式的解集为（

）A． B．或C． D．或【变式7-1】．（25-26高一上·云南大理·月考）不等式的解集为（

）A． B． C．或 D．或【变式7-2】．（24-25高一上·四川成都·期中）已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．[2,3]【题型八】其它不等式的解法【例8】．（25-26高一上·江苏苏州·期中）不等式的解集为.【变式8-1】．（2025高二上·山东枣庄·学业考试）不等式的解集是（

）A． B．C．，或 D．，或【变式8-2】．（25-26高一上·重庆·期中）不等式的解集是（

）A．或B．或C．或D．或【题型九】二次不等式的恒成立问题与存在性问题【例9】．（25-26高一上·湖北随州·期中）若不等式对任意恒成立，则x的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式9-1】．（25-26高一上·江苏南通·月考）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式9-2】．（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是．【变式9-3】．（25-26高一上·河北邢台·期中）若关于的不等式的正整数解只有1个，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【题型十】基本不等式的实际应用【例10】．（25-26高一上·四川遂宁·期中）某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米.(1)若满足，求的最小值？(2)已知展房占地面积为108平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？

【变式10-1】．（25-26高一上·天津西青·期中）已知某公司生产某种仪器全年需投入固定成本300万元，且年产量（单位：台）与还需投入成本（单位：万元）的关系式为：由市场调研测算可知，每台仪器的售价为200万元，且该公司生产的仪器当年能全部售完.设2025年公司所获利润为（单位：万元），则（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数关系式为；2025年公司的最大利润为万元.（利润=销售额－成本）【变式10-2】．（25-26高一上·湖北武汉·月考）某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米，计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米4100元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米110元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元，设长为米，总造价为元，则当为时，总造价最小为元．

【易错题型一】容易忽略一元二次方程的二次项系数不能等于0致错【例1】．（25-26高一上·贵州遵义·期中）若“不等式对任意恒成立”，则m的取值范围（

）A． B． C．或 D．或【变式1-1】．（25-26高一上·福建福州·期中）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（

）A． B．C． D．或【变式1-2】．（25-26高一上·安徽六安·期中）若对于恒成立，则实数的取值范围是.【易错题型二】容易忽略基本不等式成立的条件【例2】．（25-26高一上·广东·期中）若，则的最大值是.【变式2-1】．（25-26高三上·安徽·期中）已知，则的最大值为（

）A．3 B． C．1 D．

专题02不等式与基本不等式【答案】一、1、做差法做商法2、对称性传递性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性二、1、2、三、1、结合二次函数的图像-数形结合2、注重分母不等于与二次不等式转化3、注意正负【清单01】比较大小基本方法关系方法做差法与0比较做商法与1比较或或【清单02】不等式的性质性质性质内容对称性传递性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性【清单03】基本不等式如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号．注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．1、几个重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）．特例：（同号）．（3）其他变形：①（沟通两和与两平方和的不等关系式）②（沟通两积与两平方和的不等关系式）③（沟通两积与两和的不等关系式）④重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．2、均值定理已知．（1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．（2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．3、常见求最值模型模型一：，当且仅当时等号成立；模型二：，当且仅当时等号成立；模型三：，当且仅当时等号成立；模型四：，当且仅当时等号成立．【清单04】一元二次不等式一般地，我们把只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.【清单05】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系【特别提醒】(1)、对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)、对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．【清单06】解一元二次不等式的一般步骤1、通过对不等式变形，使二次项系数大于零；2、计算对应方程的判别式；3、求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；4、根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．【特别提醒】(1)、一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．(2)、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．

【清单07】解含参数的一元二次不等式1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；3.若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．【清单08】简单分式不等式的解法1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．【清单09】不等式恒成立问题1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；))3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为空集的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))【题型一】不等式的性质【例1】．（25-26高一上·海南海口·月考）若，，，均为实数，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【难度】0.65【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小【分析】通过举反例判断AB；根据不等式的性质判断CD.【详解】对于A，，，但，所以A错误；对于B，，，但，所以B错误；对于C，因为，，则，所以C错误；对于D，由得，又，所以，所以，所以D正确.故选：D.【变式1-1】．（25-26高一上·河南信阳·期中）（多选题）已知，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BC【难度】0.85【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小【分析】利用不等式性质逐项判断.【详解】对于A，若，，则，故A错误；对于B，若，则，故B正确；对于C，由，得，又，所以，故C正确；对于D，由，得，又，所以，即，故D错误.故选：BC.【变式1-2】．（25-26高一上·辽宁大连·期中）（多选题）若实数满足，则下列不等式一定成立的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AC【难度】0.85【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小【分析】由作差法判断A，取特殊值判断BD，利用作差法判断C.【详解】对A，，则，所以，故A正确；对B，当时，不成立，故B错误；对C，，因为，,所以，即，故C正确；对D，当时，不成立，故D错误.故选：AC【题型二】比较大小【例2】．（25-26高一上·北京·期中）比大小：（填“，或”）【答案】【难度】0.85【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小【分析】可通过比较两个实数的平方进行大小比较.【详解】因为，，因为，所以.所以，所以.故答案为：.【变式2-1】．（25-26高一上·北京·月考）若，，则（用“”、“”或“”填空）．【答案】【难度】0.85【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小【分析】用作差法比较大小即可.【详解】因为，所以.故答案为：【变式2-2】．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（

）A．x＞y B．x＝yC．x＜y D．x，y的关系随c而定【答案】C【难度】0.94【知识点】作商法比较代数式的大小【分析】应用作商法比较的大小关系即可.【详解】由题设，易知x，y＞0，又，∴x＜y.故选：C.【题型三】基本不等式的应用-直接法求最值【例3】．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）设，则的最小值为（

）A． B．2 C．4 D．3【答案】D【难度】0.85【知识点】基本不等式求和的最小值【分析】直接利用基本不等式可得答案.【详解】因为，所以，当且仅当即时取等号.故的最小值为3.故选：D【变式3-1】．（25-26高一上·广东深圳·期中）若正数满足，则ab的最小值为（）A．9 B．4 C．3 D．2【答案】A【难度】0.4【知识点】条件等式求最值【分析】由得到，直接利用基本不等式求解即可.【详解】，，，，，，，，当且仅当时取等号，即，解得，的最小值为9.故选：A.【变式3-2】．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知，则函数有（

）A．最大值1 B．最小值9 C．最小值1 D．最大值9【答案】B【难度】0.85【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值【分析】利用基本不等式求最小值，则可得函数有最小值9.【详解】因为，所以，根据基本不等式可知：，当且仅当，即取等号，故.即函数有最小值9.故选：B.【题型四】基本不等式的应用-配凑法求最值【例4】．（25-26高一上·天津滨海新·期中）若且，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.85【知识点】基本不等式求和的最小值【分析】由基本不等式求解即可.【详解】因为且，则，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选：D.【变式4-1】．（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，则的最大值是.【答案】【难度】0.85【知识点】基本不等式求积的最大值【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】由于，则，故，当且仅当，即时取到等号，故最大值为，故答案为：【变式4-2】．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知，且，则的最小值为（

）A． B．4C． D．8【答案】B【难度】0.85【知识点】基本不等式求和的最小值【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为4.故选：B.【题型五】基本不等式的应用-“1”的代换求最值【例5】．（25-26高三上·上海金山·月考）已知，，且，的最小值为．【答案】5【难度】0.65【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】将利用“1”的代换变形为，再利用基本不等式求解.【详解】将变形为，由基本不等式，故，当且仅当时取等号．故答案为：.【变式5-1】．（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）已知且，则的最小值为.【答案】【难度】0.65【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】由待定系数法可得，则，然后由基本不等式可得答案.【详解】因，则，设，则，.则，当且仅当，结合，即时取等号.故答案为：【变式5-2】．（25-26高三上·上海松江·期中）已知，，则的最小值为.【答案】【难度】0.65【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】结合已知条件对进行变形，构造出可以使用基本不等式的形式即可求出.【详解】，，，，根据均值不等式可得，，当且仅当，即，时，等号成立，的最小值为.故答案为：.【题型六】基本不等式中的证明问题【例6】．（25-26高一上·海南海口·月考）(1)已知均为正实数，求证：；(2)已知，求证：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【难度】0.65【知识点】由基本不等式证明不等关系【分析】（1）将，，三式相加再转化即可证明；（2）由利用基本不等式求最值即可.【详解】（1）因为均为正实数，所以（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），以上三式相加，得（当且仅当时等号成立），所以（当且仅当时等号成立），即（当且仅当时等号成立）．（2）因为,则，因为，，由得当且仅当时等号成立.所以.【变式6-1】．（25-26高一上·上海·月考）已知，且，求证：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【难度】0.85【知识点】由基本不等式证明不等关系【分析】（1）直接利用基本不等式求证即可；（2）对原不等式平方，变形结合（1）中结论即可求证．【详解】（1）对，有，所以，平方得，所以，当且仅当时，等号成立，得证．（2）证明，即证，也即证，只需证，即证，即证，由（1）可知成立，所以成立．【变式6-2】．（25-26高一上·江西九江·月考）（1）已知，，，，求证：，并说明等号成立的条件.（2）若，，且，求证：，并说明等号成立的条件.【答案】（1）证明见解析，当且仅当时；（2）证明见解析，当且仅当时【难度】0.4【知识点】作差法比较代数式的大小、由基本不等式证明不等关系【分析】（1）利用作差法即可证明不等式；（2）由三个基本不等式相加后整理得到，由已知条件两边同时平方，然后由前面的结论建立不等式，即可得证.【详解】（1）.当且仅当时，等号成立.（2），，，将三式相加，即，，，即，，，当且仅当时等号成立.【题型七】二次不等式的解法【例7】．（25-26高一上·北京·期中）不等式的解集为（

）A． B．或C． D．或【答案】B【难度】0.94【知识点】解不含参数的一元二次不等式【分析】利用一元二次不等式的解法可得出原不等式的解集.【详解】原不等式可化为，解得或．故原不等式的解集为或.故选：B．【变式7-1】．（25-26高一上·云南大理·月考）不等式的解集为（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【难度】0.94【知识点】解不含参数的一元二次不等式【分析】先将因式分解成，再结合二次函数的图象写出不等式的解集即可得解.【详解】因为，解得或，所以不等式的解集为或.故选：C【变式7-2】．（24-25高一上·四川成都·期中）已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．[2,3]【答案】B【难度】0.85【知识点】一元二次不等式的概念及辨析、解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式【分析】根据一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集的关系求结果.【详解】由题设且，所以，所以不等式的解集为.故选：B【题型八】其它不等式的解法【例8】．（25-26高一上·江苏苏州·期中）不等式的解集为.【答案】【难度】0.85【知识点】解不含参数的一元二次不等式【分析】先把绝对值平方，再化简不等式求解.【详解】因为，所以，所以，所以，不等式的解集为.故答案为：.【变式8-1】．（2025高二上·山东枣庄·学业考试）不等式的解集是（

）A． B．C．，或 D．，或【答案】B【难度】0.65【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，注意分母不为0的情况.【详解】将不等式转化为，解得.故选：B.【变式8-2】．（25-26高一上·重庆·期中）不等式的解集是（

）A．或B．或C．或D．或【答案】B【难度】0.65【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式【分析】将分式不等式转化为整式不等式组，利用一元二次不等式的解法求不等式组的解再求并集即可.【详解】将分式不等式转化为整式不等式组或；不等式组的解集为或，不等式组的解集为，所以不等式的解集是或.故选：B【题型九】二次不等式的恒成立问题与存在性问题【例9】．（25-26高一上·湖北随州·期中）若不等式对任意恒成立，则x的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【分析】首先不等式看成关于的不等式，再根据定义域，列式求解.【详解】不等式整理为关于的一元一次不等式，恒成立，，，得或，所以的取值范围是.故选：A【变式9-1】．（25-26高一上·江苏南通·月考）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题【分析】根据题意，分和两种情况进行讨论，结合二次函数的图像性质即可求解.【详解】由题意得关于的不等式恒成立，当时，不等式化为，显然恒成立，符合条件；当时，则，解得，综上，实数的取值范围是.故选：A【变式9-2】．（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是．【答案】【难度】0.65【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上有解问题【分析】根据一元二次函数的性质进行求解即可.【详解】不等式在区间内有解，即在区间内有解，那么，设.根据二次函数的性质可知，所以.故答案为：.【变式9-3】．（25-26高一上·河北邢台·期中）若关于的不等式的正整数解只有1个，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【难度】0.4【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数【分析】通过因式分解简化不等式，再结合参数符号分析解集范围，最终根据正整数解的数量限制确定参数的取值范围.【详解】由，得．当时，该不等式的解集中有无数个正整数，不符合题意，舍去；当时，该不等式的解集为，则，解得7．故选：A【题型十】基本不等式的实际应用【例10】．（25-26高一上·四川遂宁·期中）某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米.(1)若满足，求的最小值？(2)已知展房占地面积为108平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？【答案】(1)9.(2)当展房正面长为12米，侧面长为9米时，总造价最低为92200元.【难度】0.65【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】（1）将条件变形为，再对使用“乘1法”并结合基本不等式求解；（2）由题意得到总造价，利用题设条件和基本不等式即可求解.【详解】（1）因且，两边同除以，可得，，，当且仅当时，等号成立.所以的最小值为9.（2）由题意，，设总造价为，则由解得，即当时，上式等号成立，所以当展房正面长为12米，侧面长为9米时，总造价最低为92200元.【变式10-1】．（25-26高一上·天津西青·期中）已知某公司生产某种仪器全年需投入固定成本300万元，且年产量（单位：台）与还需投入成本（单位：万元）的关系式为：由市场调研测算可知，每台仪器的售价为200万元，且该公司生产的仪器当年能全部售完.设2025年公司所获利润为（单位：万元），则（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数关系式为；2025年公司的最大利润为万元.（利润=销售额－成本）【答案】1680【难度】0.65【知识点】求二次函数的值域或最值、分段函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用【分析】（1）分和两种情况，进行求解利润函数；（2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基